Taro
実は21.5や22.5でも成り立ちますが・・・
　　 6月21日（木） 0:09:28　　 　　30029
sugitakukun
う〜む、自信の無いまま送ったら合ってたというやつですが…（マテ
パスを見る限り23が想定解のようですが、そうすると35番が０と言ってしまうような？

というか、21.5や22.5のほうが正解のような気がしているのですが、はて？
K府K市S区　　 6月21日（木） 0:15:35　　 MAIL:sugitakuunikun@msn.com HomePage:White Shadow　　30030
吉川　マサル
し、しまった...かなり単純なミスをしてしまいました...。ミスの内容は後ほど書きますが、それよりも現状だと題意が成立しない気がします......。
PowerBook　　 6月21日（木） 0:13:49　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30031
むらかみ
なんだかおかしい気がするのですが…
　　 6月21日（木） 0:13:55　　 　　30032
うーん
36番目って必ず１なんじゃ・・・

もうちょっと考えます。
　　 6月21日（木） 0:13:59　　 　　30033
きょろ文
36は必ず1になるような？？
ちがうかな
√2の隣　　 6月21日（木） 0:14:32　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30034
Taro
あ、19.75も成り立つようです。解は無数かも・・・

(追記)18.75,19.25,19.75,20.25,20.75はいけそうです・・
　　 6月21日（木） 0:16:57　　 　　30035
みかん
全面的に勘違いなので書き直し。

最初が２５→３８番目が０
最初が２４→３７番目が０
最初が２３→３５番目が０

となってしまうので、３６番目に０にはならないはず。
　　 6月21日（木） 0:22:08　　 　　30036
banyanyan
問題のミスですか。３６番目は１のはず。
京都市　　 6月21日（木） 0:15:45　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30037
tl
はじめの数は自然数と考えていいんですよね？
　　 6月21日（木） 0:16:01　　 　　30038
圭太
最後は2110となるので、３６番目は、1ですねぇ。
アルビレックス　　 6月21日（木） 0:18:19　　 HomePage:圭太の研究所　　30039
35番目
かと思いました
　　 6月21日（木） 0:16:40　　 　　30040
sugitakukun
#30035
む、無数にありそうですねぇ…
35番目と34番目が1/nとすると、32番目が(n±1)/nとかになるのかな？

（適当なこと言ってないで検証してきます　λ...）
K府K市S区　　 6月21日（木） 0:24:37　　 MAIL:sugitakuunikun@msn.com HomePage:White Shadow　　30041
きょろ文
はじめの数をXとおくと
X , X-1 , 1 , X-2 , X-3 ,1 ,・・・・
で3の倍数番目は1になると思って、
何か裏があると思ったんですけど・・・
√2の隣　　 6月21日（木） 0:17:38　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30042
みっちん
適当に解答を送って正解者になったものの、最初に０になる人がどうしても３５番目の人になってしまう。。。
題意を汲み取れていないみたいなので、もしよろしければ、どなたか数列を書いて頂けないでしょうか。
　　 6月21日（木） 0:18:23　　 　　30043
荻絵香木
出席番号０から始めてました・・・。出題者と同じミス？
　　 6月21日（木） 0:18:53　　 　　30044
吉川　マサル
　ううむ、スミマセン...。実は、自分の計算の際に「出席番号１番の人が１、２番の人が何か言って、３番の人が・・・・」というようにしてやってしまっていました。計算用紙を見たら、検算のときも同じことをやってます...。

　いずれにしてもうまく成立しないので、なんとか現状を収束させる手段を考えます...。
PowerBook　　 6月21日（木） 0:18:59　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30045
あー
自然数じゃないなら36番目に０になりますね
　　 6月21日（木） 0:20:07　　 　　30046
banyanyan
１時くらいに再スタートということにしてはいかがでしょうか。
京都市　　 6月21日（木） 0:20:08　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30047
kasama
(‥ )ン?　３６番⇒３５番かなぁ(^_^?)
　　 6月21日（木） 0:20:09　　 　　30048
圭太
35人にすれば解決？！
アルビレックス　　 6月21日（木） 11:58:59　　 HomePage:圭太の研究所　　30049
ファルコン
一度目は勘違いして途方もない数字を送ってしまいました。
どうしても35番目が0で36番目が1になるので、もしかして…と認証をかけてみたら、23で入れてしまいました…。
　　 6月21日（木） 0:21:50　　 　　30050
吉川　マサル
#30047
　スミマセン、さすがにあと40分で新しい問題を作るのはちょっと（能力的に）無理です..。ゴメンナサイ。m(__)m
PowerBook　　 6月21日（木） 0:21:57　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30051
荻絵香木
出席番号０から始めてました・・・。出題者と同じミス？
　　 6月21日（木） 0:22:25　　 　　30052
むらかみ
#30035
16.125とかもできますね
　　 6月21日（木） 0:23:18　　 　　30053
荻絵香木
いや、それにしてもおかしかったです。失礼しました。
　　 6月21日（木） 0:24:08　　 　　30054
banyanyan
今週はおやすみということにされてはいかがでしょうか。
京都市　　 6月21日（木） 0:25:03　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30055
吉川　マサル
　えと、いろいろと考えましたが、とりあえず「３５番」ってことにしてしまいます。順位表は、「一覧のみ」掲載し、タイム順の順位づけはしないということにさせていただきます。

　ミスの原因は完全に「チェック不足」にあります。（#30045に書いたような思い込みなのですが、あと数回チェックしていればさすがに発見できたと思います）夜遅くまで起きてくださった方々、大変申し訳ありませんでした。m(__)m
PowerBook　　 6月21日（木） 0:25:18　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30056
むらかみ
#30056
なるほど。
おやすみなさい。
　　 6月21日（木） 0:28:48　　 　　30057
banyanyan
/(・。・) 了解!
京都市　　 6月21日（木） 0:29:46　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30058
sugitakukun
#30035
無数でもなさそうですね。
36番目が０になる⇒34番目と35番目をAとすると33番目は2A⇒32番目はAか3Aで……　と逆算をしていったときにどこか3N番目が1と一致するようなパターンが解かな？

33番目の2A=1で、32番目がA=1/2のときが21.5、32番目が3A=3/2のときが22.5てな感じですか。

（まだ適当なので他にもあるかも？）

全部でいくつあるかなんて数えたくなくなりました（ぉ
K府K市S区　　 6月21日（木） 0:33:17　　 MAIL:sugitakuunikun@msn.com HomePage:White Shadow　　30059
むらい
最初に21.5送って名前が出なかったので諦めていました。
これで安心して飯食って寝られます。
来週は記念すべき５５５回ですね。　じゃビット問題か？（意味不明）

解き方は最初の人の奇偶で場合分けしました。
およそ東経約140度くらい　　 6月21日（木） 0:41:27　　 　　30060
＜Melvy＞
しばらく 「出題ミス？」 と首をかしげたあと，喜び勇んで 21.5 を送った人です．

#30059
さかのぼるのが 36 番目までしかできないことを考えると有限っぽいですね．
分母は 2 べきかと思いましたが，17+1/6 とかも解になりますね．
　　 6月21日（木） 0:42:02　　 HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記　　30061
スモークマン
a
a-1
1
a-2
a-3
1
a-4
a-5
1

36番目が1で、
36／3＝12
36−12＝24
0,1,2,・・・,23

掲示板読みました ^^
どうも最初は36番目の人が0って問題だったようですね？
レイトカマーで幸いだったか^^v

最初逆からのフィボナッチかと思ってましたが、、、最後がどうやってもあわず、、、地道に考えたらうまくいきました。。。^^;v
金光　　 6月21日（木） 0:46:49　　 　　30062
きょろ文
#30059
無数じゃないと思います
答える数は(2つ前の数)-(1つ前の数)か(1つ前の数)-(2つ前の数)
のどちらかなので。
√2の隣　　 6月21日（木） 0:43:25　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30063
Taro
#30059
とりあえず475/32や2725/256,3231/512など分母が2の累乗が怪しそうです。
ただ、分母が大きすぎると収束しそうにないので解は有限でしよう。

でも113/6なども解になることがわかりました。う〜〜ん
　　 6月21日（木） 0:49:42　　 　　30064
おかひで博士
分母２の分数　→　４３／２、４５／２
分母４の分数　→　７７／４、７９／４、８１／４、８３／４
・・・
と、無数にありそうです
兵庫県　　 6月21日（木） 0:50:13　　 　　30065
Holly
えーと、今も実数解なら 20.6 とかが答えになるような気がします。。

(途中省略)1<27番目>→2.6→1.6→1→0.6→0.4→0.2→0.2→0
　　 6月21日（木） 0:55:25　　 　　30066
きょろ文
3k+1番目において
0<A(3k-1)<1のとき、
それ以降は
A(n)=A(n-2)-A(n-1)が成り立つ？
なら何通りか求めるは楽ですね＾＾；
√2の隣　　 6月21日（木） 0:53:53　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30068
きょろ文
#30064
分母に6がくるってことは・・・
A(n)=A(n-1)-A(n-2)が連続して出てくるってことですかね？
√2の隣　　 6月21日（木） 0:57:39　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30069
sugitakukun
#30061
3番目はあきらかに1なので、遡りもここまでで1にならなければならないのです。
とすると、高々33回遡ればまぁ全部の可能性が潰せるわけですが…27番目の時点で既に10通り以上あるのですよ。
#30063のようにそれぞれの遡りは高々2通りなのですが、指数関数的に可能性が増えるので、残り24回であってもとてつもない数になるわけで。

フィボナッチの3N番目を分母にとる数も、可能性としてあるわけですし。

てなわけで、あとはプログラマさんあたりにお任せ（ぇ
K府K市S区　　 6月21日（木） 0:57:41　　 MAIL:sugitakuunikun@msn.com HomePage:White Shadow　　30070
きょろ文
#30070
何とか何通りかだけでもだせないですかね？＾＾；
√2の隣　　 6月21日（木） 1:01:57　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30071
sugitakukun
#30068
反例：25番目が13/8、26番目が5/8で27番目が1の場合。

13/8⇒5/8⇒1(27)⇒3/8⇒5/8⇒2/8(30)⇒3/8⇒1/8⇒2/8(33)⇒1/8⇒1/8⇒0(36)

いきなりぶっつぶしてすみませんが、そんなわけでその考察は偽であります^^;
K府K市S区　　 6月21日（木） 1:04:05　　 MAIL:sugitakuunikun@msn.com HomePage:White Shadow　　30072
おかひで博士
それにしても・・・
上位の方達は、問題作成ミスまで想定したかのような回答で
恐れ入るばかりです
兵庫県　　 6月21日（木） 1:04:59　　 　　30073
Taro
#30071
いま、いろんなパターンを試しながら調べてます。 427/36,463/36,333/28,227/14,241/14,669/46,1057/184,1241/184,2163/446などがとりあえず判明しましたが、分母が偶数くらいしか共通点が・・・
　　 6月21日（木） 1:06:07　　 　　30074
ヤッコチャ
一応こんなパターンもありますので・・・・
１番：49/24or47/24→２番：25/24or23/24→３番：24/24
４番：1/24→５番：23/24→６番：22/24
７番：1/24→８番：21/24→９番：20/24
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
34番：1/24→35番：1/24→36番：0

こんな形もあります＾＾
　　 6月21日（木） 1:08:06　　 　　30075
sugitakukun
#30074
＞分母が偶数

ですね。遡りの考え方だと3N番目は必ずAの偶数倍になるわけで（つか奇数倍⇒奇数倍⇒偶数倍の繰り返し）、それが1になると考えれば分母は必ず偶数になるは…ず？
K府K市S区　　 6月21日（木） 1:13:35　　 MAIL:sugitakuunikun@msn.com HomePage:White Shadow　　30076
＜Melvy＞
はじめ既約分数からスタートするとすると，(以降分母は変えないとして)
途中で必ず分子に 1 が現れる (※) ので，そこから先は分子が作意どおりの問題と
同じ流れで変わっていくことになりますね．
解の個数を調べるのに使えるのではないかな，と思って書き込み．
なお，既約分数にしたときはじめの数の分母が偶数であることだけは間違いないです (※※)．

(※) #30059 の記法で，この数列の分子はすべて A の分子の倍数．
よって，もし A の分子が 1 でないならば，途中で足して 1 になる 2 つの数が
出てくるのだからはじめの数が既約分数であることに反する．

(※※) 分母が奇数だと，
(省略) → 1 (3N 番目) → 分子が (奇数 or 偶数) → 分子が (偶数 or 奇数) → 分子が奇数 (3(N+1) 番目)
となって，絶対に 3 の倍数番目に 0 が来ない．
　　 6月21日（木） 1:19:50　　 HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記　　30077
ちゃーみー
35 の部分を一般の n に変えたとき，解の個数はフィボナッチ数列になる？
ような気がします。
自宅　　 6月21日（木） 1:21:58　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30078
きょろ文
A(n-2),A(n-1)がともに1より大のとき
必ずA(n-2)>A(n-1)なのでA(n)=A(n-2)+A(n-1)
であるから
はじめてA(n-2)<1となったとき
A(n)=A(n-1)-A(n-2)
となる
ここで
A(3k+1)で初めて1未満になったとき
n=3k+1以降は
A(n)=A(n-1)-A(n-2) A(n)=A(n-2)-A(n-1)の2通り考えられるので
2^(34-3k)通り存在する？（予想）

A(3k+2)ではじめて1未満になったとき
・・・・・・
わからない・・・

なんか重複とかしたり存在しないのがあったりしそうですね・・・
√2の隣　　 6月21日（木） 1:24:54　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30079
ダンディ海野
知らないうちにどんどん考察が進んでいますね。出題ミスも算数・数学愛好者
にとっては新たな楽しみ方に変わってしまうところが面白いですね。

ところで「35番」と訂正しても「自然数」とことわらないと、「−１９」も正解
になりますよね？
　　 6月21日（木） 2:07:44　　 　　30080
きょろ文
A(3k+2)ではじめて1未満になったときっていうのは
最初の数が
A(3k+1)で初めて1未満になったときの数に1引いたものになるんじゃないかと予想してみる・・・
たぶんある数Xを見つけたら、たぶんX+1またはX-1のどちらかが題意を満たすと思います。

てことで
11
2��2^(34-3k)　通り
k=1
じゃないかと予想して・・・寝ます
おやすみなさい〜
√2の隣　　 6月21日（木） 1:45:04　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30081
ちゃーみー
0 - 1 - 1 - 2 - … と逆にたどっていくことを考える。
順に a(1), a(2), a(3), a(4)，… とする。
a(1) 〜 a(4) を上のように定め，
a(n+2) = a(n+1) ± a(n) … ● で定めていく
(ただし，複号の - は a(n+1) > a(n) の場合のみ)。
こうして m 項目まで得られた数列を逆から見ると，
最初の 「差が 1」 以外の条件をすべて満たしている。

「m 項目で初めて 0 となる，題意を満たす数列」 と，
「上記の数列のうち a(m) > a(m-1) を満たすものの各項を
1/(a(m) - a(m-1)) 倍して逆から見たもの」 は 1 対 1 に対応する。
[本当はきちんと証明したほうがいいのだろうけど省略]

m 項目までの数列のうち，m 項目が ● の + で定められたものが
p(m) 個 (このとき a(m) > a(m-1) : これが解の個数に対応)，
- で定められたものが q(m) 個 (このとき a(m) < a(m-1)) あるとする。
p(m+1) = p(m) + q(m)
(a(m) まで定まっていれば自動的に a(m) + a(m-1) は OK)，
q(m+1) = p(m) (こちらは a(m) > a(m-1) でないと定まらない)
が成立するので，これらの漸化式 (と初期値) を用いて
解の個数を表す p(m) がフィボナッチ数列であることが示される。

あまりに簡単にいったので，どこか間違えているかもしれません。
自宅　　 6月21日（木） 2:05:10　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30082
BossF
最初の問題ってなんだったのかな？(=^・^=)
Tokio　　 6月21日（木） 4:36:47　　 MAIL:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp HomePage:BossF's Toy Box　　30083
清川　育男
#30080
　自然数の条件がないと、-19,23　でもOKですね。
広島市　　 6月21日（木） 7:40:42　　 　　30084
ハラギャーテイ
おはようございます

ぷろぐらむです。皆様の書き込みを検討します。
山口　　 6月21日（木） 8:57:38　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　30085
uchinyan
はい，おはようございます。さて，今回の問題は．．．
今回は大変だったようですね。後でじっくり掲示板を読みます。
改訂後の問題の私の解法はかなりいい加減で，最初の数を○とすると，差なので本当は問題ですが，規則性を踏まえて，
○，○−１，１，○−２，○−３，１，○−４，○−５，１，○−６，○−７，１，．．．，○−２２，○−２３　＜−−−３５番目，１，．．．
なので，２３かなぁ，ということで認証しました (^^;
ネコの住む家　　 6月21日（木） 9:14:35　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30086
uchinyan
掲示板を読みました。

最初の問題文がよく分からないので，折角の議論ですが，実数の場合の考察，特に解の個数とか，は，よく分かりませんでした。

(ちょっと追加)
済みません。以下は，○が整数の場合ですね。
(追加終わり)
なお，改訂後の問題でも，算数問題だから最初の数○は正の数なんだろうなぁ，と思いますが．．．
そうならば，私の#30086において，
○−１は０でないので正の数で，順次，○−△は３５番目までは常に正，したがって１以上，となっていき，
結局，#30086の方法で正しそうです。
○が負数でもいいとなると，○−１＜０で，後は差なので３５番目までは正の数で，
○，○−１，１，２−○，１−○，１，−○，−○−１，１，−○−２，−○−３，１，．．．，−○−１８，−○−１９　＜−−−３５番目，１，．．．
○＝−１９もありのようですね。
ネコの住む家　　 6月21日（木） 13:29:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30087
フィボナッチ
納得です。これから問題を見るひとのために、「ある数は自然数」とした方がいいですね。
　　 6月21日（木） 12:33:36　　 　　30088
吉川　マサル
　えと、訂正前の問題文ですが、「３５人」が「３６人」となっていました。m(__)m

#30088,#30084,#30080
　ご指摘ありがとうございました。「０より大きい整数」という表現にさせていただきます。（なんとなく、「算数」だから負の数の存在は考えなくていいかな...という感じにいつもなってしまって、忘れてしまうんです...）
PowerBook　　 6月21日（木） 13:05:38　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30089
uchinyan
#30028
スモークマンさんへ：
私の#30027は，直感的には明らかだと思うし間違いではないですが，証明という意味では雑でした。
厳密には，数学的帰納法を使えばいいと思います。(9 の出現の仕方の帰納法。でも，書き下すのは結構面倒そう．．．)

友人さんの解法は，なるほど，これをもっとうまくいっているようです。ただし，ケアレスミスがあるようですが。
私の解釈ですが．．．

＞f(n) = n + S(n) とおく。n の末尾の数（１の位の数）が 9でなければ、 f(n+1) = f(n) + 2 であり、n の末尾の数が9ならば、f(n+1) < f(n) である。
これは，私の議論と同じです。これから結局，f(n+1) <= f(n) + 2 です。

＞f(1) = 2 で、f(n) > n だから、任意の2以上の自然数 m を選ぶとき、f(n) ≦ m を満たす最大の自然数 n が存在する。
n < n + S(n) = f(n) なので，n が増えれば f(n) は単調増加ではないにしても増加します。
そこで，2 以上の自然数 m を決めれば，いつかは，f(n) は m を超えます。
f(n) は単調増加ではないので，m を超えたり戻ったりの可能性はありますが，n < f(n) なので，
少なくとも m <= n となれば，確実に，m < f(n) です。
したがって，どこかで，f(n) <= m が完全にいえなくなり，その一つ前では f(n) <= m となる n が存在し，
n+1 に対しては m < f(n+1) となるはずです。それが，f(n) <= m となる最大の n の意味だと思います。

＞m < f(n+1) で、f(n+1) ≦ f(n) + 2 だから、f(n) ≠ m ならば、f(n) = m+1 となる。
n+1 では m を超えるので m < f(n+1) です。これから，m < f(n+1) <= f(n) + 2 <= m + 2 です。
ただし，最後の不等号の等号は，f(n) = m となる n があった場合です。
m を与えて f(n) となる n があれば，その n をとってくればいいです。
一方，f(n) not= m の場合は，先ほどの式は，
m < f(n+1) <= f(n) + 2 < m + 2
最後の不等号には等号が付きません。となると，f(n+1) は自然数で m と m+2 の間にあるので，f(n+1) = m+1 です。
つまり，m の隣の自然数 m+1 に対して題意を満たす自然数 n+1 が存在することを示しています。
これで，隣り合う自然数の少なくとも一方は n + S(n) とかけることが分かります。
なお，友人さんの最後の「f(n) = m+1」は，f(n+1) = m+1 のミスだと思います。
ネコの住む家　　 6月21日（木） 13:47:10　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30090
ちこりん
23/1,59/3,61/3,89/5,91/5,97/5,1/19,75/19,77/19,41/21,43/21,17/35,
33/35,19/37,35/37,41/39,59/39,97/39,43/41,61/41,3/49,33/49,3/53,
35/53,73/55,79/59,15/61,57/61,47/63,59/63,49/65,61/65,17/67,63/67,
73/69,5/71,57/71,75/71,89/71,5/73,29/73,77/73,91/73,79/75,5/77,31/77,
5/79,13/79,63/79,73/79,97/81,69/83,77/83,7/85,29/85,41/85,71/85,
73/85,79/85,11/89,15/89,29/89,43/89,81/89,83/89,9/91,31/91,47/91,
81/91,97/91,31/95,49/95,83/95,87/95,7/97,83/97,85/97,89/97,89/99

整数だけに限らなければ、条件に合う数が分子分母100まででいっぱいありました。
　　 6月21日（木） 15:26:26　　 　　30091
uchinyan
#30082
ちゃーみーさん。
なるほど．．．やっとおっしゃりたいことが分かりました (^^;
(ちょっと追加)
#30091のちこりんさんの解の例を見ていて思ったのですが，
ちゃーみーさんの方法は，２番目の人の数が正の実数の場合だけを考えているようです。
問題文によると，２番目の人の数は「はじめの数−１」であって，差ではないので，
はじめの数が実数の場合には，２番目の人の数は負でもよさそうです。
(ただし，はじめの数が正の整数ならば，これはありえない。)
以下の議論は，２番目の人の数も差として，つまり正の数として扱っているようで，
その範囲では正しそうですが，２番目の人の数が負の実数の場合は抜けているように思います。
そうか，はじめの数が負の場合も抜けていそうな気がします。
結局，今の議論は，すべてが正の数の場合を考えているようです。
(追加終わり)

＞0 - 1 - 1 - 2 - … と逆にたどっていくことを考える。
＞順に a(1), a(2), a(3), a(4)，… とする。
＞a(1) 〜 a(4) を上のように定め，
ここまではOK。
＞a(n+2) = a(n+1) ± a(n) … ● で定めていく
＞(ただし，複号の - は a(n+1) > a(n) の場合のみ)。
複号の - を取れるのは a(n+1) > a(n) の場合のみですが，必ずそうするのではなく，a(n+1) > a(n) であっても + を取っていいんですね。
まぁ，そうしなければ，いろいろな場合が出てこないので，後の話がつながりませんよね。
愚かなことに，まずは，ここでつまづいた．．． (^^;
＞こうして m 項目まで得られた数列を逆から見ると，
＞最初の 「差が 1」 以外の条件をすべて満たしている。
これはOK。

＞「m 項目で初めて 0 となる，題意を満たす数列」 と，
これは，後ろから見た場合の「m 項目」。
＞「上記の数列のうち a(m) > a(m-1) を満たすものの各項を
＞1/(a(m) - a(m-1)) 倍して逆から見たもの」
こっちは，最初から見た場合の「m 項目と (m-1) 項目」。かなり混乱しました (^^;
＞ は 1 対 1 に対応する。
＞[本当はきちんと証明したほうがいいのだろうけど省略]
a(n) の作り方からして，かなり明らかっぽい感じがします。多分，大丈夫でしょう。

＞m 項目までの数列のうち，m 項目が ● の + で定められたものが
ここは，最初から見て「m 項目」。
＞p(m) 個 (このとき a(m) > a(m-1) : これが解の個数に対応)，
はい，これは，先ほどの対応からOK。
＞- で定められたものが q(m) 個 (このとき a(m) < a(m-1)) あるとする。
これもOK。
＞p(m+1) = p(m) + q(m)
＞(a(m) まで定まっていれば自動的に a(m) + a(m-1) は OK)，
これも，明らかでしょう。+ はいつでも取れますから。
＞q(m+1) = p(m) (こちらは a(m) > a(m-1) でないと定まらない)
これもOK。カッコ内の条件が必要ですから，m の場合で p(m) だけ意味があります。
＞が成立するので，これらの漸化式 (と初期値) を用いて
「初期値」というのは，p(m) の初期値。m >= 4 で意味があるので，p(4) = 1, p(5) = 1 かな。
＞解の個数を表す p(m) がフィボナッチ数列であることが示される。
はい，確かに ^^/

＞あまりに簡単にいったので，どこか間違えているかもしれません。
問題があるとすれば対応の辺りでしょうが，大丈夫だろうと思います。

でもスゴイ！　リアルタイムでここまで気付くなんて！！
私は一日考えても分からないだろうなぁ．．．(ため息．．．)
ネコの住む家　　 6月21日（木） 18:27:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30092
スモークマン
#30090
uchinyanさんへ。
なるほど、、、分かりやすいご説明ありがとうございます。Orz〜
わたしには難しい問題でした。^^;
またご教授お願いいたしまっす。v
金光　　 6月21日（木） 17:08:46　　 　　30093
ｔｋ
最初の２つが正でも負でもおそらくフィボナッチ数列になりそうです。
解の個数P(n)は、n番目のフィボナッチ数を F(n)とすると、
P(1)=1,P(2)=1,P(3)=0
P(n)=F(n-3)（4≦n＜7）
P(n)=F(n-3)+F(n-6)
　　=2*F(n-4)（7≦n）
になるのかな〜。
予想があってれば、全部で2*2,178,309=4,356,618通り？
物読み小屋　　 6月21日（木） 17:27:22　　 　　30094
ちゃーみー
あ，(0 以外は) 全部正の場合だけ考えました。
負を許してもおそらく細かい修正ですむでしょう
(と，ろくに考えずに感覚で言ってみる)。
ちょっと眠いときに書いたので伝わりにくい部分があったと思いますが，
なんとか伝わったようで安心しました (笑)。
自宅　　 6月21日（木） 20:19:23　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30095
uchinyan
#30094
tkさんへ。
これはどのように考えられたのですか？　ご教示頂けるとうれしいのですが (^^;
それと，「予想」というのは？　単に遠慮なさっているのかな？
ネコの住む家　　 6月22日（金） 8:52:04　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30096
ｔｋ
#30096
P(n)のnが4〜12ぐらいまでを手計算した値（後ろから順にたどって行きました。）から予想してしてみたんです。
予想というのは、ちゃーみーさんみたいに証明するのはちょっと得意でないので。

樹形図の枝分かれ（最初の２項と最後の２項を抜かしたものの枝分かれ）の個数がp(n-1)になってるようなので、それの2倍が解の候補の個数です。
nが十分大きいとき（この場合は6≦n）、解の候補の個数＝解の個数です。
n=4,5のとき、それぞれ重解もしくは題意にあてはまらない、になるみたいです。

証明すべき事項は、樹形図の枝分かれのの個数がp(n-1)になってることと、
最初の２つの少なくとも一方が負になっている解の個数がフィボナッチ数列になっていること
だと思われますが、前者はp(n)の定義より明らかかな？
後者は前者が合ってれば、フィボナッチ数列の性質から合ってるかと。
物読み小屋　　 6月22日（金） 18:21:41　　 　　30097
uchinyan
#30097
tkさん，ご説明ありがとうございます。なるほど，本当に予想だったのですね。

私も，具体的な例で n = 12 ぐらいまで調べてみて，確かに正しそうだな，とは思いました。
ちゃーみーさんの手法の改良を少し考えてみて，p(m) の漸化式を書き換えればよさそうな感触を得ているのですが，
いまいち理解できていないのか，変な式になってしまって行き詰ってしまいました (^^;　ちゃーみーさん，ヘルプ！

ごめんなさい，よく理解できていないので勘違いしていると思いますが．．．

＞樹形図の枝分かれのの個数がp(n-1)になってることと
後ろの方は一意に決まるし，最初の方も 1 を引くというのが決まっているので，確かにいえそうな気もしますね。

＞最初の２つの少なくとも一方が負になっている解の個数がフィボナッチ数列になっていること
こっちの方はどうなのでしょう。最初の辺りの挙動が気になりますが。
P(n) が樹形図の枝分かれの個数からだけ決まるならば，関係ないのかな。
ネコの住む家　　 6月22日（金） 23:29:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30098
ちゃーみー
> p(m) の漸化式を書き換えればよさそうな感触
たぶんそれでできると思いますよ。明日時間があったらやってみますね。
自宅　　 6月23日（土） 0:41:13　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30099
大岡　敏幸
久しぶりに来ました（＾＾）
奇数と偶数とで人数が変わってくるので奇数だけ考えました。
初めの数　　　人数
　３　　　　　　５（＋２）
　５　　　　　　８（＋３）
　７　　　　　１１（＋４）　初めの数に（　）の中の数字を足すと人数になる。何ともややこしいやり方ですが（＾＾；
よって　２３。　先々週は撃沈されましたので今週は何とか（＾＾；

Ｐ．Ｓ　早いものであっという間に期日がきました。マサルさん（＾＾）Ｖ　
　９　　　　　１４
石川県　　 6月23日（土） 11:39:53　　 　　30100
uchinyan
#30099
ちゃーみーさん，tkさん。一応，ご報告。
面倒なので証明抜きで書きますが，私がちゃーみーさんの手法を手直しして得ている漸化式は，いろいろ変形した最終形が，
p(m) = 2 * p(m-1) - p(m-3), p(6) = 2, p(7) = 4, p(8) = 6
です。これを解くと，p(8) = p(7) + p(6) がいえていることから，フィボナッチ数の２倍になることは示せます。
したがって，tkさんの#30094の予想は正しいものと思われます。
ただ，
・漸化式以外に手直しが本当に不要か。多分大丈夫だとは思うのですが。
・漸化式を導くのに不要なマイナスが入った場合を除くのに q(m) を使うのですが，
　その式が規則性は明確ですが面倒で，もっと簡単にスッキリできないか。
・もっと直接にフィボナッチ数の漸化式が得られないか。
などに不満が残っています。
ネコの住む家　　 6月23日（土） 23:56:32　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30101
アイスエイジ
35番目まで0がでないので、初めの数をｐとすると、
ｐ、ｐ−１，１，ｐ−２，ｐ−３，１，・・・という数列になります。
35番目はｐ-23なのでｐ＝23となります。
っていう解はどうですか？
　　 6月25日（月） 21:19:55　　 　　30102
doba
すみません、途中から読み始めたら、どういう問題について議論しているのか
わからなかったので、多分こういうことだろうということで、整理してみました。

＜問題＞
定数αを用いて
　a(1)=α
　a(2)=α-1
　a(k)=|a(k-2)-a(k-1)|　（k=3,4,…,n）
と定義される有限数列{a(k)}（k=1,2,…,n）が
　a(k)≠0　（k=1,2,…,n-1）
　a(n)=0
を満たすとき、
そのようなαの個数を求めよ。
ただし、n≧6とする。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

＜方針＞
有限数列{b(k)}（k=1,2,…,n）を
b(k)=a(n+1-k)/a(n-1)
と定義すると、有限数列{b(k)}（k=1,2,…,n）は
条件群Ｘ
　b(1)=0
　b(2)=1
　b(k)=|b(k+2)-b(k+1)|　（k=1,2,…,n-2）
　b(k)≠0　（k=2,3,…,n）
　b(n)＞b(n-1)
を満たす。

問題の条件を満たすαが１つ決まれば、
有限数列{b(k)}（k=1,2,…,n）は一意に定まる。

また、条件群Ｘを満たす有限数列{b(k)}（k=1,2,…,n）が１つ決まれば、
α=b(n)/(b(n)-b(n-1))
a(k)=b(n+1-k)/(b(n)-b(n-1))（k=1,2,…,n）
とおくことにより、
有限数列{a(k)}（k=1,2,…,n）は問題の条件を満たすことになる。
すなわち、このような有限数列{b(k)}（k=1,2,…,n）を導く
問題の条件を満たすαは必ず存在する。

以上より、問題の条件を満たすαは
条件群Ｘを満たす有限数列{b(k)}（k=1,2,…,n）と
１対１対応する。
従って、αの個数を求めることは、
条件群Ｘを満たす有限数列{b(k)}（k=1,2,…,n）の個数を求めることと
同義である。
　　 6月26日（火） 0:33:45　　 　　30103
doba
以下、前の検討に従い、言い換えた問題です。

＜問題２＞
　b(1)=0
　b(2)=1
　b(k)=|b(k+2)-b(k+1)|　（k=1,2,…,n-2）
　b(k)≠0　（k=2,3,…,n）
　b(n)＞b(n-1)
を満たすような有限数列{b(k)}（k=1,2,…,n）の個数を求めよ。
ただし、n≧6とする。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b(1)=|b(3)-b(2)|より
b(3)=1である。
また、
b(k)=|b(k+2)-b(k+1)|であり、なおかつ、b(k)≠0であることは
b(k+2)=b(k+1)+b(k)またはb(k+2)=b(k+1)-b(k)であり、
なおかつ、b(k)＞0であることと同値である。

したがって、与えられた{b(k)}が満たすべき条件は、
　b(1)=0
　b(2)=1
　b(3)=1
　b(k+2)=b(k+1)+b(k)またはb(k+2)=b(k+1)-b(k)（k=2,3,…,n-2）
　b(k)＞0（k=2,3,…,n-2）
　b(n-1)≠0，b(n)≠0
　b(n)＞b(n-1)
と言い換えられる。

いま、1≦m≦n-5である整数mについて、
c(1)=0
c(2)=1
c(3)=1
c(k+2)=c(k+1)+c(k)またはc(k+2)=c(k+1)-c(k)（k=2,3,…,m+1）
c(k)＞0（k=2,3,…,m+3）
を満たすような有限数列{c(k)}（k=1,2,…,m+3）を考え、
その総数をN(m)
そのうち、c(m+3)=c(m+2)+c(m+1)であるものの個数をP(m)
c(m+3)=c(m+2)-c(m+1)であるものの個数をQ(m)とする。

m=1のとき、
c(4)=c(3)+c(2)またはc(4)=c(3)-c(2)であるが、
c(2)=c(3)=1,c(4)＞0なので、
必ずc(4)=c(3)+c(2)となる
よって、P(1)=1、Q(1)=0

2≦m≦n-5のとき、
もし、c(m+2)=c(m+1)+c(m)ならば、
c(m+2)＞c(m+1)＞0なので、
c(m+3)=c(m+2)+c(m+1)であっても
c(m+3)=c(m+2)-c(m+1)であっても
c(m+3)＞0を満たすので構わない。
もし、c(m+2)=c(m+1)-c(m)ならば、
c(m+1)＞c(m+2)＞0なので、
c(m+3)=c(m+2)+c(m+1)の場合はc(m+3)＞0を満たすが、
c(m+3)=c(m+2)-c(m+1)の場合はc(m+3)＜0となり条件に反する。
よって、
P(m)=P(m-1)+Q(m-1)
Q(m)=P(m-1)

Pのみについての漸化式を求めると、
P(1)=1,P(2)=1
P(m)=P(m-1)+P(m-2)（2≦m≦n-5）
よって、P(m)はフィボナッチ数列の第m項F(m)

Q(m)=P(m-1)=F(m-1)（2≦m≦n-5）
N(m)=P(m)+Q(m)=F(m)+F(m-1)=F(m+1)（2≦m≦n-5）
N(1)=P(1)+Q(1)=1=F(2)

m=n-5のとき、有限数列{c(k)}（k=1,2,…,m+3）は
有限数列{b(k)}（k=1,2,…,n）の先頭からn-2項であるので、
{b(k)}から末尾２項を除いたもののバリエーションの数はN(n-5)=F(n-4)

b(n-1)とb(n)が満たすべき条件は、
　b(n-1)≠0，b(n)≠0
　b(n)＞b(n-1)
である。
ここで、b(n-2)＞0，b(n-3)＞0，b(n-2)≠b(n-3)が言えるので、
b(n-1)=b(n-2)+b(n-3)であっても、b(n-1)=b(n-2)-b(n-3)であっても
b(n-1)≠0は成立する。
また、b(n-2)＞0より、
b(n)=b(n-1)+b(n-2)ならばb(n)＞b(n-1)は成立するが、
b(n)=b(n-1)-b(n-2)ならばb(n)＜b(n-1)となり、条件に反する。
したがって、b(n)≠0の条件を無視すれば、
可能な{b(k)}の数は2・F(n-4)となる。
あとは、b(n)=0となる場合を除外すればよい。

b(n)=0となる場合について考えると、
b(n-1)＜b(n)=0なので、
b(n-1)=-xとおくと、
b(n-2)=x
b(n-3)=2x
b(n-4)=x
b(n-5)=x
b(n-6)=0
となるので、
n=7で、{b(k)}=0,1,1,2,1,-1,0の場合だけであることがわかる。

以上より、求める個数は
n=6またはn≧8のとき　2・F(n-4)
n=7のとき　2・F(n-4)-1=3
となる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=7のときは、例外処理が入って、４個ではなく３個ですね。
n=5以下は次の通り
n=2→１個
n=3→０個
n=4→１個
n=5→１個

それにしても、逆順にたどって分岐を数えるという発想はすばらしいですね。
　　 6月26日（火） 1:49:00　　 　　30104
uchinyan
dobaさん，考察ありがとうございます。

#30103
はい，そういうことです。

#30104
そうか。あはは，なぁ〜んだ，思わず自分の愚かさ加減に笑ってしまいました (^^;
ちゃーみーさんの#30082の漸化式はいじらずに，n-1, n を別扱いするだけでよかったんだ。
n-1 のときは±両方可能で×２，n のときは＋だけなので×１，というわけで，ちゃーみーさんの結果から，フィボナッチ数×２，というわけですね。

私の#30101は，ちゃーみーさんのp(m)，dobaさんのP(m)（or N(m)？）かな，を n-2 からではなく n から作り上げる漸化式を考えたので，
n-2 以前の項が正となるものだけを残す処理を別途入れる必要があり，かなり面倒になりました。
一応，#30101のようなキレイな式にまとまり同じ結果になったのですが。(導出の途中は間違っているかもしれない。)
したがって，私の p(m) は皆さんのそれとは異なり，最初からフィボナッチ数の２倍になっています。
なお，確かに，p(7) は例外処理が入り 3 でした。私の漸化式でも，p(8) から初期値を与える方が無難なようです。
(細かいので省きますが，実際に必要なのは q(7) = 4 の方です。
私の式では一般に p(m) = q(m) なので，二重の間違いが相殺して，p(7) = 4 とおいてうまくいってしまったようです。)
ネコの住む家　　 6月26日（火） 12:44:08　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30105
吉川　マサル
http://www.shuwasystem.co.jp/cgi-bin/detail.cgi?isbn=978-4-7980-1700-6

どうやらようやく出るみたいです。校正をお願いした方々には、サンプルが届きましたらすぐにお送りいたします。（私もまだ現物を持っていないので...）

# しかし、この表紙デザインを選ぶかなぁ...。orz

PowerBook　　 6月26日（火） 12:40:54　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30106
uchinyan
#30106
お，いよいよですか。楽しみ ^^
ネコの住む家　　 6月26日（火） 12:49:40　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30107
tl
#30106
表紙はさておき、対象読者： 初心者　は？？？
　　 6月26日（火） 14:08:29　　 　　30108
ｔｋ
確かに、第2項が0になる例外があれば、第1項が0になる例外もあるのか。
ということは、解の個数が偶数にならない例外はn=4,5,7の３つ。（もちろん、n≦3は除く。）
結局、#30094の予想は間違ってたのか…。
物読み小屋　　 6月27日（水） 0:04:30　　 　　30109