Taro
対称性に着目し、AからBCに１本線を引いて考えました
　　 10月4日（木） 0:05:53　　 　　30913
きょろ文
ＡＰ＝ＣＱに目が行かなかった・・・
√2の隣　　 10月4日（木） 0:09:53　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30914
ひだ弟
△RBCと合同な三角形を3つ並べて中央に正三角形作る
面積比は △RBC：正三角=2:1、と。
　　 10月4日（木） 0:15:23　　 　　30915
英ちゃん
http://www.diced.jp/~eityan/hoka/toi568.GIF
一本線を引きました

こういう問題を見るとすぐにメネラウス等を考えてしまうのは頭が固いからでしょうか
居間　　 10月4日（木） 0:15:26　　 HomePage:虚数なページ　　30916
CRYING DOLPHIN
「補助線１本の美学」のお手本になりそうな問題ですな。
ラクガキ王国　　 10月4日（木） 0:18:12　　 HomePage:算数とか隧道とか　　30918
banyanyan
http://banyanyan.up.seesaa.net/image/sanchalle-568-2_7.jpg
皆さんのすごい速さについていけません(_ _。)。
京都市　　 10月4日（木） 0:19:18　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30919
ちゃーみー
よく見たら有名問題のちょっとした変種ですね。
なぜ気づかなかったんだろう？ 明日からブラジル行ってきます。
とうきょうとめぐろく　　 10月4日（木） 0:23:05　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30920
みかん
ＡＰ＝ＣＱ＝ＢＳとなるように、点ＳをＢＣ上にとってＡＳを結ぶ。
そうしたら不思議なことに中央に正三角形が！

テレビ見てて出遅れたのは痛いけれど、皆さん早すぎます。
　　 10月4日（木） 0:23:06　　 　　30921
def
http://vista.jeez.jp/img/vi9142528091.png
こんな感じかな
　　 10月4日（木） 0:29:38　　 　　30922
def
少し訂正
[http://www.kent-web.com/pubc/book/test/uploader/uploader.cgi?mode=downld&no=330]
　　 10月4日（木） 0:41:22　　 　　30923
ミキティ
#30914 に同じ上、7/2 でなぜ入れないのだろうと思っていました。
終わりすぎ。＼(^o^)／
　　 10月4日（木） 0:41:27　　 HomePage:みきこむ　　30924
うめ
微妙に図を不正確に書いているところがいやらしい。
　　 10月4日（木） 0:50:39　　 　　30925
スモークマン
重心を利用 ^^v
(√3/2)/(7√3/4)=2/7
金光＠岡山　　 10月4日（木） 0:59:34　　 　　30926
小西孝一
おはようございます。
早朝から２ちゃんに書き込みしてました。
１箇所だけ数学しました。
算数は、また後で考えます。
出かけるのでログは帰ってから読みます。
ど田舎　　 10月4日（木） 7:43:26　　 　　30927
ayaka
今回はベクトルを使いました。
迷路に入った場合は、ベクトルを使うべし。
基本的ですね。
でも、算数じゃないな〜
RBCといえば、赤血球、琉球放送を連想します。RBC-i radioなんてね^^;
地上の楽園でもないな〜極楽不浄土かな　　 10月4日（木） 9:04:01　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30928
ayaka
#30915
うまい!
なんかあるかなと思ったけど、思いつかなかった。
だから、#30928の解法なの。
地上の楽園でもないな〜極楽不浄土かな　　 10月4日（木） 9:06:17　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30929
25no12
こんにちは。
昨夜はめずらしく深夜参戦したものの、掲示板に入った直後にキーボード（ワイヤレス）が壊れて掲示板に書き込みができなかった・・・。

今回は、まず補助線引いて算数で解こうとしたものの難しそうだったので敬遠して、座標でやろうとしました。
そうしたら四次方程式を解く羽目に陥って暗礁に乗り上げて（計算間違ってるかも）、あきらめて算数に戻ったところ、解けました。
補助線は、真中に正三角形を作った上でもう一本、ＡからＲにひきました。
あとは面積比ですが、真中の正三角形の面積を利用することに気づかなかったので（おバカさんです）、回りくどい解き方になってしまいました・・・（省略）。

banyanyanさんの解き方が美しくて好きだなぁ。
　　 10月4日（木） 10:00:03　　 　　30930
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜ん，実は気付けば「あーあれか」という問題なのですが，ちょっとさえず，少し考え込んでしまいました (^^;
こんな感じで。

まず，AC = BC，AP = CQ，∠PAC = 60°= ∠QCB なので，△PCA ≡ △QBC です。そこで，∠PCA = ∠QBC です。
これと，∠BQC = ∠CQR より，△QBC ∽ △QCR です。そこで，∠QRC = ∠QCB = 60°で，∠BRC = 180 - ∠QRC = 120°です。
ここで，∠BRC の二等分線を引き，BC との交点を D とします。
すると，∠BRD = 60°= ∠CRQ，∠RBD = ∠RCQ なので，△RBD ∽ △RCQ で，RB：RC = 2：1 なので，△RBD：△RCQ = 4：1 です。
また，RD は ∠BRC の二等分線だったので，△RBD：△RCD = RB：RC = 2：1 です。
これらより，△RBC：△RCQ = (4+2)：1 = 6：1 = BR：RQ になり，BR：RC：RQ = 6：3：1 です。
また，△QBC ∽ △QCR だったので，BC：CQ = CR：RQ = 3：1 = AC：CQ です。
そこで，△QBC = CQ/AC * △ABC = 1/3 * △ABC，△RBC = BR/BQ * △QBC = 6/(6+1) * △QBC = 6/7 * △QBC なので，
△RBC = 6/7 * 1/3 * △ABC = 2/7 * △ABC，つまり，2/7 倍になります。

なお，別解ですが．．．
BC 上に BS = AP となる点 S を取って A と S を結べば，中央に正三角形ができるよく見る図になります。
(AP：PB = 1：2 が与えられて中央の正三角形が △ABC の何倍か，というのは，私でも知っている有名問題。)
これを使うと，対称性より，BR を 2，RC を 1 として，正三角形の一辺は 1 となるのと，∠BRC = 120°から，
中央の正三角形：回りの三つの三角形(△RBCなど) = 1：2
となり，△ABC = 1 + 2 * 3 = 7 で，△RBC = 2/7 * △ABC とする方が算数らしくていいかもしれません。
ただ，ちょっと直感的で，図を描かないと説明しづらいので，別解としました。

同じく，ここまで分かってしまうと，中央にできる正三角形を並べて描いて考える，という解法もありますね。
ネコの住む家　　 10月4日（木） 11:52:46　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30931
uchinyan
掲示板を読みました。

#30913，#30915，#30916，#30918，#30919，#30920，#30921，#30931の別解
＞対称性に着目し、AからBCに１本線を引いて考えました
又は，同じことになりますが，
＞△RBCと合同な三角形を3つ並べて中央に正三角形作る
＞面積比は △RBC：正三角=2:1、と。
という解法。

#30922，#30923，#30931の二つ目の別解
実は，上記の解法に近いのですが，上記の解法の中央の正三角形を並べて描いて考える解法。

#30926
＞重心を利用 ^^v
という解法。ただ，√が出ているので算数ではないようです。

#30927
一部数学によるらしい解法。

#30928
ベクトルを使った数学解法。

#30930
＞補助線は、真中に正三角形を作った上でもう一本、ＡからＲにひきました。
最初の解法と同じかな，とも思ったのですが，面積比の使い方が少し違うようです。

#30931
∠BRC の二等分線，相似，面積比を使う解法。

#30934
＞∠BRC = 120°のところまでは uchinyan さんと同じです。
＞直線 BR を R の方に延長し、延長した直線上に BR：RS ＝2：1 となる点 S をとります。
＞このとき、∠BRC = 120°より∠SRC = 60°　また、RC＝RS　より△RSCは正三角形。
という解法。この後，余弦定理を使うので数学になりますが，実は，△RSC は最初の解法の中央の正三角形と合同です。
その意味では，工夫次第では，正三角形を並べる，正三角形格子を作る，算数解法に結び付けることができると思います。

#30935
前半は，一番最初の解法と似ていますが，後半は，実質，BR：RQ = 6：1 を導くように工夫しているようです。
なお，
#30937
＞三角形RBCの面積:正三角形ABCの面積=N:(N(N+1)+1)
は，私の#30931の最初の解法でも容易に導くことができます。

#30938
座標による解法。う〜む，これはこれでスゴイ．．．
ネコの住む家　　 10月4日（木） 23:01:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30932
難波
∠BRC = 120°のところまでは uchinyan さんと同じです。
直線 BR

　　 10月4日（木） 12:46:17　　 　　30933
難波
↓すいません　書き込み途中で送ってしまいました。

∠BRC = 120°のところまでは uchinyan さんと同じです。
直線 BR

∠BRC = 120°のところまでは uchinyan さんと同じです。
直線 BR を R の方に延長し、延長した直線上に BR：RS ＝2：1 となる点 S をとります。
このとき、∠BRC = 120°より∠SRC = 60°　また、RC＝RS　より△RSCは正三角形。
RC＝1 とすると余弦定理を用いて、BC＝√7
よって△RSC と △ABC の辺の比は 1：√7 となり面積比は 1：7
また RS：SC ＝ 1：2 より△RSC と △BRC の面積比は 1：2
以上のことから △BRC と △ABC の 面積比は 2：7

ま、余弦定理を使ってるところが算数ではないのですが……

　　 10月4日（木） 13:04:12　　 　　30934
abcba
問題より、AC=BC,AP=CQ,CP=BQはすぐに解ります。
PC上にPS=RQとなる点Sをとります。
��SBR,��CBR,��ACSの面積が等しいことが解ります。(��CBR,��ACSは相似です。)
以上によりAP:PB=CQ:QA=1:2がすぐに解ります。
次は（図を描かないと説明しづらいのですが....）AB上にBT=APとなる点Tを、
BC上にVC=APとなる点Vをそれぞれとります。
補助線として、TC,QVをそれぞれ引きます。
QVとCPの交点をEとします。そして、
BP:EQ=2:1/3=6:1となることが解ります。
以上により、(1/(2+1))×(6/(6+1))=2/7と求まります。
　　 10月4日（木） 15:37:48　　 　　30935
abcba
#30935のやり方で
BR:RC＝N:1となるように問題を考えたら
三角形RBCの面積は正三角形ABCの面積の(N/N^2 +N　+1)倍になる事が解ります。
　　 10月4日（木） 16:12:05　　 　　30936
abcba
#30936
>N/N^2 +N　+1
どうもすみません　(1/N)+(N+1)と勘違いされやすいので書き直します。
以下の書き方の方が見やすいですね。
三角形RBCの面積:正三角形ABCの面積=N:(N(N+1)+1)
　　 10月4日（木） 16:23:26　　 　　30937
ゴンとも
#30930
>今回は、まず補助線引いて算数で解こうとしたものの難しそうだったので敬遠して、座標でやろうとしました。

算数で解こうとすると徹夜してしまいそうなので
たいてい座標でやってます。今回も以下のようにすんなりできました。

先ず、題意の図をB(0,0),C(b,0),
A(b/2,b*sqrt(3)/2)・・・・・・(1)とおくと
題意の条件AP=CQより Q(b-a,sqrt(3)*a),P(b/2-a,sqrt(3)*(b/2-a))
以上より次の2直線がでて　
直線BQ:y=sqrt(3)*a*x/(b-a)
直線CP:y=-(sqrt(3)*b-2*sqrt(3)*a)*x/(b+2*a)+(sqrt(3)*b^2-2*sqrt(3)*a*b)/(b+2*a)
この交点は
e1:y=sqrt(3)*a*x/(b-a)$
e2:y=-(sqrt(3)*b-2*sqrt(3)*a)*x/(b+2*a)+(sqrt(3)*b^2-2*sqrt(3)*a*b)/(b+2*a)$
solve([e1,e2],[x,y]);
より　点Rは
点Rのx座標:(b^3-3*a*b^2+2*a^2*b)/(b^2-2*a*b+4*a^2)
点Rのy座標:(3*a*b^2-6*a^2*b)/(sqrt(3)*b^2-2*sqrt(3)*a*b+4*sqrt(3)*a^2)・・・・・・(2)
これとC(b,0)とB(0,0)との距離の2乗はそれぞれ
fortran(factor(((b^3-3*a*b^2+2*a^2*b)/(b^2-2*a*b+4*a^2)-b)^2+((3*a*b^2-6*a^2*b)/(sqrt(3)*b^2-2*sqrt(3)*a*b+4*sqrt(3)*a^2))^2));
4*a^2*b^2/(b^2-2*a*b+4*a^2)=CR^2
fortran(factor(((b^3-3*a*b^2+2*a^2*b)/(b^2-2*a*b+4*a^2))^2+((3*a*b^2-6*a^2*b)/(sqrt(3)*b^2-2*sqrt(3)*a*b+4*sqrt(3)*a^2))^2));
b^2*(b-2*a)^2/(b^2-2*a*b+4*a^2)=BR^2
この2つの値より題意の条件でCR:BR=1:2 より　CR^2:BR^2=1:4 より　4*CR^2=BR^2　　
16*a^2*b^2/(b^2-2*a*b+4*a^2)=b^2*(b-2*a)^2/(b^2-2*a*b+4*a^2) より
16*a^2*b^2=b^2*(b-2*a)^2　これを解くと
solve(16*a^2*b^2=b^2*(b-2*a)^2,a);a=-b/2(不適),b/6 これと(2)とより
a:b/6$
fortran(expand((3*a*b^2-6*a^2*b)/(sqrt(3)*b^2-2*sqrt(3)*a*b+4*sqrt(3)*a^2)));
3.0E+0*b/(7.0E+0*sqrt(3))=3*b/(7*sqrt(3))=3*b*sqrt(3)/21=b*sqrt(3)/7
三角形BCRとBCAは底辺BCが共通なので面積比はこれと(1)のy座標とより
三角形BCR:三角形BCA=b*sqrt(3)/7:b*sqrt(3)/2=1/7:1/2=2/14:7/14=2:7 より
三角形BCR/三角形BCA=2/7・・・・・・(答え)
豊川市　　 10月4日（木） 17:13:24　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　30938
ハラギャーテイ
こんばんは！　遅くなりました。久しぶりです。

MATHEMATICAで三角関数です。いつもの解き方です。
山口　　 10月4日（木） 20:46:15　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　30939
ばち丸
対称性からもう一本似たような補助線を書くとは頭のいい人がいますねえ。
瞬殺ですね。関心することしきり。
私はでかい正三角形の１辺の長さを１として、CR=ｘとおいて∠BRC=120度が見え見えだから余弦定理を使って2x^2=2/7を出し、1*1：2x^2=7:2と出しました。CQの値をxとか置きたくなるがそれをやると迷路になるというところが意表をついていてよいと思いました
　　 10月4日（木） 23:38:40　　 　　30940
小西孝一
やっぱり三角形RBCと同じのがあと２つできて真ん中に１辺１の正三角形が
出来て、あと、１，２、１２０度と美味しい数字が並んでるので
余弦定理を使ってしまいました。
まだ、よく読んでませんが、余弦定理を使わずにできそうですね。
明日考えます。
ど田舎　　 10月5日（金） 0:16:21　　 　　30941
SUPER SPECIAL SEMTEX
くやしい
「相似でこうやったら・・・あれできない・・」
「補助線をここに・・・・できない」
三十分間考えた後やっとです　遅すぎです　かんたんでしたねorz
　　 10月5日（金） 0:32:22　　 　　30942
スモークマン
#30919
banyanyanさんはじめ真ん中に正三角形を作る方法が秀逸ですね♪
これで、、、#30937 abcbaさんの式もでますね。
N:1 なら、大きい正三角形はとの比率は、N : 3*N+(N-1)^2 = N : N^2-N+1=N(N-1)+1
わたしの方法は、2:1 だからたまたまできたようなもので。。。
応用の効く方法じゃなかったです ^^;
説明するのも憚られる。。。
金光＠岡山　　 10月5日（金） 0:43:41　　 　　30943
fumio
こんばんは、ずいぶんとご無沙汰しています。
その間に、とっても涼しくなりました。
皆様、寝冷えにきをつけましょう。
ではまたね。
　　 10月5日（金） 1:17:19　　 　　30944
エルク
なるほど・・・いい方法あったんですねぇ。
どうにもわからんから余弦定理で
ＲＣの長さ（１／√７）出してしまった・・・

Ｒの所６０度ってのも出してるんだから気づけよ自分・・・
　　 10月5日（金） 1:47:46　　 HomePage:エルクのブログ　　30945
小西孝一
もう直ぐ出かけるっていう忙しい時に限って何故当たりのホームページ
にいくかってウソですよマサルさん。綺麗な車ですね。
私はいまだに原付です。^^;
ど田舎　　 10月5日（金） 8:06:38　　 　　30946
算数や太郎
△APCと合同な△ABR(RはBC上)をつくると、3つの合同な三角形で囲まれる三角形は正三角形、一辺の比が�，覆里如�各頂点からA、B、Cに補助線を引くとどれも面積は小さい正三角形の面積と等しくなり、小さい正三角形の面積を�，箸垢襪箱�ABCは�А□�BRCは�△播�えにたどり着きました。

はじめ中点連結定理を使うのかな？と思ってやりましたがどつぼにはまりました＾＾。よく考えれば、よくある問題のパターンでした。難しく考えすぎた。とほほ。OTZ
　　 10月5日（金） 13:10:57　　 　　30947
小西孝一
#30931
uchinyanさん
有名問題なのですか。わたしのようなど田舎出身の者は、初めてみました。
私は余弦定理の誘惑に負けましたが、落ち着いて見ると、
��BRCと��RSBは同じ面積で（Sは正三角形の１頂点）、��RSBは底辺２
正三角形は底辺１頂点は同じ、より正三角形は��BRCの２分の１
と簡単に出ますね。
でも、誘惑に負けた自分・・・・
ど田舎　　 10月6日（土） 14:36:44　　 　　30948
uchinyan
#30948
えと，今回の問題そのものは有名問題ではなく，類題が有名問題，特に補助線の引き方によっては有名問題につながる，ということです。
算数又は初等幾何にお詳しい方の中には，ご存知だった方も多いのでは？
ネコの住む家　　 10月7日（日） 21:22:14　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30949
小西孝一
uchinyanさん
はい、まさにその類題についてです。どこで、習うのですか？
塾になど行ったこともない私なので初等幾何を勉強すれば、いいのかな？
ベクトル解析については、ご存知でしょうが、うちらは大学１年でやりま
した。
いつも、ここで出される平面幾何は立体幾何より苦手です。
結論として、平面幾何はここで、勉強します。
ど田舎　　 10月8日（月） 4:54:45　　 　　30950
uchinyan
#30950　小西さん
私も学生時代には，英語専門の教室以外には行ったことがないので，習ったことはありません。
(もっとも，大学受験は失敗して，予備校には通いましたが。)
ただ，平面幾何は好きな方なので，自分で本を買って読んだり問題を考えたりしています。
最近は忙しくて，なかなかできませんが．．．
類題は，確か，
　ブルーバックス　パズルでひらめく補助線の幾何学
という本で見た気がします。

それと，他の算数サイトにも顔を出しているので，そちらで類題に似た問題を解いたような気もします。
ネコの住む家　　 10月8日（月） 16:40:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30951
小西孝一
#30951 uchinyanさん
そうだったのですか！？
ブルーバックス探してみます。情報ありがとうございました。
それから
実は私の場合は中３の冬から高校３年間わけあって釣りに現実逃避してたので、予備校に１年通いました。
何故か物理は良く出来て予備校では１番でした。
数学はトップエリートという問題集をやりました。
問題の３倍以上回答に割いてあってとてもいい本だと思っていました。
数三でもトップだったかな〜
英語や化学はさぼりまくりました。
おかげで、大学ではCでやっと単位をとりました。
とりとめのない話をしてしまいました。
とにかくブルーバックス探します。
ありがとうございました。
ど田舎　　 10月8日（月） 16:08:51　　 　　30952
アイス
ふえーん、結局数学使っちゃったよー
　　 10月8日（月） 21:23:40　　 　　30953
だいすけ
ＡＰ＝ＣＱ＝ＢＳとなるように線分ＢＣ上にＳをとり、ＡＳとＢＱの交点をＴとすると、
　ＢＴ＝�　　腹茴ぃ贈達劬瓣ぃ腺贈圈�
∴真ん中の三角形は１辺�，寮技鯵儼繊�
よって、
　△ＢＣＲ＝△ＣＡ？＝△ＡＢＴ＝２×（真ん中の正三角形）

よって７分の２
　　 10月9日（火） 18:16:46　　 MAIL:daisuke18@sb.dcns.ne.jp 　　30954
水田X
久々に補助線の問題ときました。昔はそういう問題の方が得意だったのですが。
　　 10月10日（水） 18:00:15　　 　　30955