はなう
パスがかわってないので答えは自粛します。

面白い問題でした。こういうのやったことなかったけどよく考えたら応用できそう。でも小学生にわからせるのムズカシイナァ〜
　　 3月26日（木） 0:16:54　　 　　34183
あみー
効果的な解き方ってあるのかなあ？
　　 3月26日（木） 0:21:29　　 　　34184
Taro
混乱しまくりました。
ほとんど忘れている平面の式を思い出しながら解きました。
4y-3z=0
x^2+y^2=9
x-z=0 これよりz=-2.4 なんて風にしました^^;
のぉと２　　 3月26日（木） 0:26:22　　 　　34185
mhayashi
x^2+(y-4)^2=3^2 と y=(-4/3)x+4 の交点を求めるんだけど
３：４：５の三角形の比を使えば，上の連立方程式解かなくても簡単に求まる，という
KANSAI　　 3月26日（木） 0:24:27　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　34186
はなう
お　パス発生。
私は、上から見た投影図と、前と横を書いて、そうすると、上からみたときに3:4:5の三角形が発生して、あとは流れで。楽しい問題ですね。
　　 3月26日（木） 0:25:14　　 　　34187
ちゃーみー
算数で出来る気がしなかったので一瞬で空間座標にとびつきました。
#34185 とほとんど同じです。
とうきょうとせたがやく　　 3月26日（木） 0:25:25　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　34188
みかん
これ、算数の範囲でできるのかなあ…。３：４：５を使ってあーだこーだ、
ってパターンなんだろうけど。

あれこれ考えてもできなかったので、線分ＡＯ・点Ｏ・点Ｐで、斜辺が３ｃｍ・３：４：５の
直角三角形ができるのではなかろうかと推測しました。
結果的に当たってやれやれといった感じですが、果たして正攻法は？
　　 3月26日（木） 0:26:38　　 　　34189
英ちゃん
最初側面を縦4、横3π/2の長方形へと広げたとき曲線は直線となると思いこみ、こわいこわい。
よく考えれば長方形へと広げたらサインカーブになるはずですよね。

PQの延長と弧ABの交点をRとし、RからOA,OBに下ろした垂線の足をそれぞれS,Tとすると、
RP= 4RS / 3
RP= RT
RS^2 + RT^2 = 9
を解いたのですが
しまった、算数じゃない。
居間　　 3月26日（木） 0:27:38　　 HomePage:何か　　34190
あみー
全然、歯が立ちませんでした。
上から見た図にたどり着くのが遅すぎましたね。

連続１位だったのですが，また今度から頑張ります。
　　 3月26日（木） 0:27:40　　 　　34191
あみー
ええと、まず必要な手前側の三角柱を切り出す。
２つの切り口の交点の高さは16/7�僂任△蝓い泙燭修譴肋紊�ら見たとき３：４：５の位置にある。
で、最後は４−(４−16/7)×7/5＝8/5．という感じでしょうか。
　　 3月26日（木） 0:30:11　　 　　34192
mhayashi
上から，ですか・・・
私は横から，直線ＥＧ方向から見ました
そのとき，赤が直線，緑が半円になるのかなぁって予想しました
KANSAI　　 3月26日（木） 0:33:38　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　34193
ひだ弟
久しぶりにスカッと解けてうれしいです。

いったん3*3*4の直方体で考えて、
斜めの面2つが交わってできる線を見つける。
上から見たら3:4:5が出来ました。
　　 3月26日（木） 0:36:26　　 　　34194
ひだ弟
書き間違い。6*6*4ですね。
　　 3月26日（木） 0:37:31　　 　　34195
はなう
http://hanau.img.jugem.jp/20090326_644589.png

雑ですが、作ってみました。上からってこういうことです。
　　 3月26日（木） 0:42:31　　 　　34196
なか
Ａの方向から見るのもいいですね
http://www3.sansu.org/tables/san032685.gif
北国　　 3月26日（木） 0:44:07　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　34197
algebra
Ｏ(0,0,0),Ａ(-3,0,4),Ｂ(0,-3,4),Ｃ(3,0,4),Ｄ(0,3,4),Ｆ(0,-3,0),
Ｉ(-3,0,1) とおく。
Ａ,Ｃ,Ｆを通る平面の方程式は 4ｙ−3ｚ＋12＝0…��
Ｂ,Ｄ,Ｉを通る平面の方程式は ｘ−ｚ＋4＝0…��
ｘ＾2＋ｙ＾2＝9…��
�　銑�、0≦ｚ≦4 より、ｚ＝8/5
とりあえず、高校数学で解きました。
　　 3月26日（木） 0:48:47　　 　　34198
英ちゃん
解法とは全く関係ありませんが。
http://www.diced.jp/~eityan/etc/aa.png
側面を描くとこうなりますね。やっぱりサインカーブでした。
ちなみに緑の線はy=8/5です。
居間　　 3月26日（木） 0:52:07　　 HomePage:ブログ　　34199
ピーナッツ博多
Ａ，Ｃ，Ｆを通る平面の3:4:5の直角三角形とＤ、Ｂ、Ｉを通る平面の直角二等辺三角形で共通する辺を考え、そのあと真上から見ると、さらに3:4:5の直角三角形ができ、すっきり解けました。

とても面白い問題ですね。

参加は久しぶりです。

復帰して毎週頑張りたいと思います。
　　 3月26日（木） 0:52:43　　 　　34200
mhayashi
#34197 なかさん
あ，それです！　#34186 , #34193 で言いたかったのは．

#34196 はなうさん
説明の図，ありがとうございます．時間掛かりましたが，やっと理解できました．
緑の数字１と０．７５が出てきて，これらより０．７５：１：１．２５，つまり３：４：５な直角三角形が現れて，あとは緑の 5/4 が３ｃｍに相当し，また緑の１：青の１＝３：４なのでっていう感じでしょうか．上から見るっていう発想が面白いと思いました．

ちなみに，下のほうの長方形内の赤線は問題文中の緑線のことと理解しました．
KANSAI　　 3月26日（木） 2:02:29　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　34201
君の船
素晴しい問題だと思います。美しさに感動しました。
３：４：５がでてきました
海王星　　 3月26日（木） 8:48:13　　 　　34202
Mr.ダンディ
Ｐを通る底面に平行な面で切断した断面図の円Ｏ''と赤線,緑線とのＰ以外の交点をそれぞれＲ,Ｓとします。
またＰＲ,ＰＳの中点をそれぞれＴ,Ｕとするとき、OO'''＝OO''−PQ＝ｔ（cm） とすれば

△OO'F において相似より Ｏ''Ｔ＝（3/4）ｔ
△OUO''においても同様にして　Ｏ''Ｕ＝ｔ
よって、△O''TU は　3：4：5の直角三角形となり
ＰＯ''＝ＴＵ＝（5/4）ｔ　となり、この値は３cmだから ｔ＝12/5
したがって、ＰＱ＝4−(12/5)＝8/5（cm）

紆余曲折の結果この解法にたどり着きました。
大阪　　 3月26日（木） 10:01:50　　 　　34203
abc
（試験の答案らしき回答を書きます。）
点Ｐから円柱の上面の円に下ろした垂線の足をＲ，点Ｒから直径ＡＣと直径
ＢＤに下ろした垂線の足をそれぞれＳ，Ｔとする。
　ＯＳ：ＯＴ：ＯＲ＝４：３：５でＯＳ＝３×４／５＝１２／５ｃｍ
∴　ＰＲ＝ＡＩ×ＯＳ／ＯＡ＝１２／５ｃｍ
　　　よって、ＰＱ＝４−ＰＲ＝８／５ｃｍ…（答）

（なお、赤の曲線は半径３ｃｍの円を一定方向に５／３倍に拡大した、長軸
１０ｃｍ、短軸６ｃｍの楕円、緑の曲線も同様に長軸６√２ｃｍ、短軸
６ｃｍの楕円になります。）
　　 3月26日（木） 8:54:23　　 　　34204
abcba@jugglermoka
初めは立体の切断線が側面を展開したら直線になると勝手に判断して16/7を送り撃沈。
二回目は3:4:5を用いて皆様とほぼ同じ方法で解答にたどり着きました。
(やはり図形は苦手です。しかし、楽しい問題を作って頂き有難う御座いました。頑張ります。)
　　 3月26日（木） 9:13:50　　 　　34205
鯨鯢(Keigei)
正弦曲線を使って簡単に解けましたが、算数で解くのには苦労しました。
なお、底面の半径の条件は不要ですね。
　　 3月26日（木） 9:25:00　　 　　34206
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
いろいろできそうですね。面白い問題だと思いました。

(解法1)
よくやるように，平面OO'QP での断面を考えます。
OI の I の方への延長，OP の P の方への延長と，円柱の底面がある平面との交点を，それぞれ，R，S とします。
すると，直線OPS は，平面DOBR と 平面AOCF の交線で，S は，平面OO'QP 上にあります。
また，□O'RSF は長方形で，O'R = 4 cm，O'F = 3 cm，O'S = 5 cm で，O'Q = 3 cm なので，SQ = O'S - O'Q = 5 - 3 = 2 cm です。
そこで，平面OO'QP 上で，△SPQ ∽ △SOO' なので，PQ：OO' = SQ：SO'，PQ = OO' * SQ/SO' = 4 * 2/5 = 8/5 cm になります。

(解法2)
少し前の正四角すいを平行移動する問題で投影図が使えましたが，この問題でも似たようなことができるようです。
平面DBFH に，A，I，E の方から光を垂直にあてて投影します。I，P，Q の投影先を I'，P'，Q' とします。PQ = P'Q' です。
すると，曲線DIB は O を中心とする 半円DI'B に，曲線APF は 直線AP'F になり，P' はこの半円と直線の交点です。
OO' = 4 cm，O'F = 3 cm，OF = 5 cm で，OP' = 3 cm なので，FP' = OF - OP' = 5 - 3 = 2 cm です。
そこで，△FOO' ∽ △FP'Q' なので，P'Q'：OO' = FP'：FO，PQ = P'Q' = OO' * FP'/FO = 4 * 2/5 = 8/5 cm になります。
ネコの住む家　　 3月26日（木） 11:25:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34207
uchinyan
掲示板を読みました。

#34185，#34186，#34188，#34190，#34198，#34206
数学による解法。
数学による解法も，空間座標を使う解法とサインカーブを使う解法との二つがあるようです。

#34187，#34191，#34192，#34194，#34196，#34200，#34204，？#34205
上から見た投影図を使う解法。

#34193，#34197，#34207の(解法2)
平面DBFH に投影する解法。

#34203
＞Ｐを通る底面に平行な面で切断した断面図の円Ｏ''と赤線,緑線とのＰ以外の交点をそれぞれＲ,Ｓとします。
＞またＰＲ,ＰＳの中点をそれぞれＴ,Ｕとするとき、OO'''＝OO''−PQ＝ｔ（cm） とすれば
などとする解法。
実は，実質，「上から見た投影図を使う解法」と同じようですね。

#34207の(解法1)
平面OO'QP での断面を考える解法。
これも，実質，「上から見た投影図を使う解法」と同じだと思います。

(少し追加，誤解を招きやすい表現を修正)
円柱の側面の 曲線AFC や 曲線DIB が側面を開くとサインカーブになるのは，個人的には，有名な事実と思っていましたが，
改めて掲示板を読み直すとそうでもないようですね。
明らかかとも思いますが，念のために示しておきましょう。

曲線AFC 上の任意の点を Z，Z から 円O に下ろした垂線の足を Y，Y から AC に下ろした垂線の足を X とし，∠AOY = θ とします。
すると，XY = OY * sinθ = 3 * sinθ です。
さらに，∠YXZ = 平面ABCD(円O) と 平面AOCF のなす角度 = ∠BOF，∠XYZ = 90°= ∠OBF なので，
△XYZ ∽ △OBF で，XY：OB = YZ：BF，YZ = BF * XY/OB = 4 * (3 * sinθ)/3 = 4 * sinθ です。
そこで，側面を開いて，ABC を横軸(弧度法でのθ軸)，AE を縦軸(YZ の値)にすれば，曲線AFC はサインカーブ(を反転したもの)になります。
曲線DIB も同様ですが，90°ずれているので，同じ座標系では 90°ずれて，コサインカーブ 3 * cosθ(を反転したもの)になります。
ネコの住む家　　 3月28日（土） 13:07:45　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34208
だいこん
はじめまして　だいこんです。がんばりました。新中一です。みなさんよろしくお願いします。
　　 3月26日（木） 15:47:21　　 　　34209
本名
まさかこんなところで3：4：5を使うとは思いませんでした。
#34205不思議と僕も全く同じ過程を経ています…。
オペピオン界　　 3月26日（木） 20:02:11　　 　　34210
だいこん
ぼくのとても面倒くさい方法を一応説明します。まず円柱にちょうどはいる直方体abcdefghを同じように切断します。その時のpqはaefbにできる相似によって16/7とわかるので上の部分は12/7です。次にopに注目します。これは切断で出来る線なので切断の仕方が同じである限り形が変わっても長さ以外は何も変わりません。そして上から見た時のopはpqの上の部分に比例します。では直方体の場合の上から見た時のopを求めましょう。3/72+32＝450/49 2で割って225/49 √をかけて15/7となります。15/7：12/7＝3：x
xは2.4です。よってpqは1.6になります。めんどくせーーー　もっとやりやすい方法でこれからは解くようにします。
　　 3月27日（金） 12:26:31　　 　　34211
uchinyan
#34211
興味深い解法の提示をありがとうございます。ただ．．．
＞3/72+32＝450/49 2で割って225/49 √をかけて15/7となります。
ここらがよく分からないのですが，
op ではなくて，qp を p の方に延長し ab との交点を r としたときの or を求めているのでは？

あ，ごめんなさい，読み返したら，上から見たときの op だから，上の or のことですね。
ただ，最初の計算は，やはり，よく分からないです。

ははぁーん，何となく分かりました。√2 倍したものを考えて，三平方の定理でしょうか。
ただ，少なくとも，
(3/7)^2 + 3^2 = 9/49 + 9 = 450/49
ですね (^^;

なお，どうせならば，円柱に外接する直方体を考えた方が 3：4：5 がうまく使えて算数の範囲ででき，計算も少し楽そうです。

あれから，考えるともなく頭の中で転がしてみたら，内接の場合も少し工夫すれば，3：4：5 を使って算数の範囲でできるようです。
ネコの住む家　　 3月28日（土） 13:16:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34212
君の船
#34212
＞なお，どうせならば，円柱に外接する直方体を考えた方が 3：4：5 がうまく使えて算数の範囲ででき，計算も少し楽そうです。
そのようですね。私はこの方法で解きました。
海王星　　 3月27日（金） 19:04:18　　 　　34213
o
難しいのか簡単なのかよくわからん。小学生には苦しいし、かといって灘高や開成高校は、もっとむずかしいんでしょうかねえ？やったことないからわかりません。上から見た図なら中学の範囲で解ける。
　　 3月27日（金） 20:06:52　　 　　34214
ｇｇ
Ａ側から見て解きました。さほどややこしくは無かったものの、けっこう難しく、解きごたえがありました＾
　　 3月27日（金） 21:09:15　　 　　34215
スモークマン
やっと入れたど...^^;
横から見て、4*3 の対角線と半径3の円の交点かな〜って・・・
最初展開図だったら直線同士の交点になるのかと思ったけど...違うんだ...
みなさんので勉強します Orz
金光＠岡山　　 3月27日（金） 21:26:41　　 　　34216
算数茶茶茶
　最初、「英ちゃん」さんのように、三角関数カーブを描いて両曲線の交点を求めようと悪戦苦闘しておりました。そのうち、３:４:５に気付きました。これまで空間図形にはやや苦手意識がりましたが、ちょっと自信になりました。
　因みに、EXELでxyの関数式を（値からではなく）直接グラフ化する方法はあるのでしょうか。どなたか教えてください。　
　　 3月28日（土） 10:13:20　　 　　34217
ゆかとー
お久しぶりです。
解けなくて焦りました＞＜
　　 3月28日（土） 11:52:04　　 　　34218
ゆかとー
１時間以上、
展開図書いて、どう考えてもこの曲線は算数じゃないし…
(↑しかもそう思った時点で計算したやつが惜しくもない。楕円とか嫌い(´・ω・｀))
どうしよう、魚肉ソーセージでも買ってきて実際切るか？
とか考えたあとに、
出てる数字が3と4なことに気づきましたorz
あとの解き方は3:4:5でやってる方々と一緒です。
Tokyo　　 3月28日（土） 12:03:55　　 HomePage:ゆかんづめ　　34219
abe
#34212,#34213
＞円柱に外接する直方体

#34194,#34195 の方法ですよね
　　 3月28日（土） 12:19:32　　 　　34220
あやのりん
ども。
ようやく解けました！笑
直方体を考えて、そこから切り口の直線を考え、
半径３の円と交わる場所を考え、
比で解きました。
いやぁ、いい問題ですね！！
ありがとうございました。
　　 3月31日（火） 22:58:12　　 　　34221
fumio
おはようございます。ご無沙汰しています。
朝から面白かったです。ははは。
　　 4月1日（水） 6:54:57　　 　　34222
たけとんぼ
算数の範囲でわからなかったので
円の方程式を持ち出しました。
高さを１／２に縮小して、弧ＢＩＤをＡＥ側から見たら(立面図が)半径３／２の半円だったので……
　　 4月1日（水） 9:59:04　　 　　34223
たけとんぼ
半径↓
まちがった……
　　 4月1日（水） 10:09:09　　 　　34224