Taro
∠AQP=x　∠BPF=y　としたら
y=0.5x+72　と予想^^;
Home　　 6月25日（木） 0:09:44　　 　　34707
君の船
ＡＢ上に、ＡＱ＝ＡＲとなる点Ｒをとりました。
すると∠ＰＱＲ＝∠ＰＦＲ、故に△ＰＦＱと△ＲＦＱにおいて、∠ＦＰＱ＝∠ＦＲＱ＝80.5°
まずかったかな？
海王星　　 6月25日（木） 0:25:35　　 　　34708
ゴンとも
シンデレラというソフトで描くも図形が何通りも書ける
ような感じがして失敗しました。
豊川市　　 6月25日（木） 0:34:12　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　34709
Ｓｈｉｎ　Ｋｏｂａ
FからＰＱに垂線を。直角三角形の合同。なんて。
　　 6月25日（木） 0:41:54　　 　　34710
doba
久々にきてみました。
∠FBP=∠FJQ=90°、FB=FJ、∠BFP+∠JFQ=18°なので、
２つの直角三角形FBPとFJQをFBとFJでくっつけてできる三角形は
△FPQと合同（２辺夾角）
よって、∠FPB=∠FPQであり、∠APQ=19°なので、∠FPB=∠FPQ=80.5°
ですね。
　　 6月25日（木） 1:09:59　　 　　34712
Ｓｈｉｎ　Ｋｏｂａ
あ、ＦＢとＦＪも結びます。結局、三角形ＦＢＡとＦＪＡが合同で、角ＰＦＱが１８度を保ったまま点Ｐと点ＱがＢＡからＪＡの間を動き回ると考えたとき、その範囲内においては常に2組の合同な直角三角形がＦからＰＱに垂線を引くことによって出来上がるので、ＰＦとＱＦが常に角ＱＰＢと角ＰＱＪの二等分線になっているというようなことでした。すみません。だらだらと。
　　 6月25日（木） 1:15:26　　 　　34713
abcba@jugglermoka
#34712が分かりやすかったです。
　　 6月25日（木） 8:39:23　　 　　34714
スモークマン
やっと...^^;垂線を引くと...それぞれの折り返しになるので...
(180-(180-144-17))/2=161/2
♪
金光＠岡山　　 6月25日（木） 8:43:46　　 　　34715
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
少し直感的にやったらできてしまって，その後，もう少し真面目に考えました (^^;
両方を示しておきます。

まず，前提として，正10角形の一つの外角は 360/10 = 36°，一つの内角は 180 - 36 = 144°，です。

(解法1)　少し直感的な解法
正10角形の外接円を考え，その中心を O とします。また，FP の延長と外接円との交点を R とします。
AF はこの外接円の直径なので，対称性より，∠PAF = ∠BAJ/2 = 144/2 = 72°です。
ここでもし，∠AQP = 18°ならば，∠APQ = 180 - ∠PAQ - ∠AQP = 180 - 144 - 18 = 18°，AP = AQ になり，
△FPQ は AF について対称で，∠PFA = ∠PFQ/2 = 18/2 = 9°，∠BPF = ∠PAF + ∠PFA = 72 + 9 = 81°です。
しかし，実際には，∠AQP = 17°で PQ が 1 °だけ傾いているので，O の回りに 1°だけ，図中で右下に，傾ける必要があります。
すると，∠AOR が 1°だけ減り，∠PFA がその半分 1/2 = 0.5°だけ減ります。
しかし，∠PAF は変わらないので，∠BPF は 0.5°だけ減ることになり，81 - 0.5 = 80.5°になります。

最初，回転の中心を F と勘違いして，81 - 1 = 80°としたのは，内緒．．．(^^;

(解法2)
A と F，B と F，J と F をそれぞれ結びます。
AF は正10角形の外接円の直径なので，∠FBA = ∠FJA = 90°です。
また，∠PAF = ∠QAF = ∠BAJ/2 = 144/2 = 72°で，∠BFA = ∠JFA = 180 - 90 - 72 = 18°です。
ここで，△FJQ を F を中心に反時計回りに回転し，FJ が FB に重なるようにし，Q の移動先を Q' とします。
このとき，対称性より FJ = FB なので J は B に一致し，∠FBP + ∠FBQ' = ∠FBP + ∠FJQ = 90 + 90 = 180°なので，B は PQ' 上にあり，
回転してくっつけた図形は，△FPQ' になります。
そして，FQ' = FQ，∠PFQ' = ∠PFB + ∠QFJ = ∠BFA + ∠JFA - ∠PFQ = 18 + 18 - 18 = 18°= ∠PFQ なので，△FPQ' ≡ △FPQ です。
そこで，∠Q'PF = ∠QPF，つまり，∠BPF = ∠QPF です。
これより，
∠BPF = (∠PAQ + ∠AQP)/2 = (144 + 17)/2 = 161/2 = 80.5°
になります。
ネコの住む家　　 6月25日（木） 12:32:08　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34717

掲示板を読みました。
が，どうも頭が冴えないようで，よく分からない解法も多いのですが，一応。

#34708
＞ＡＢ上に、ＡＱ＝ＡＲとなる点Ｒをとりました。
＞すると∠ＰＱＲ＝∠ＰＦＲ、故に△ＰＦＱと△ＲＦＱにおいて、∠ＦＰＱ＝∠ＦＲＱ＝80.5°
という解法。
確かに，∠PQR = 1°= ∠PFR になりそうですが，また，そうなれば，後はいえますが，
∠PQR = ∠PFR はどうやっていうのだろうか，よく分からない．．．
あ，分かりました。∠PRQ = 18°= ∠PFQ なので，P, R, F, Q が同一円周上にあるからですね。

#34710，#34713
#34710＞FからＰＱに垂線を。直角三角形の合同。なんて。
#34713＞その範囲内においては常に2組の合同な直角三角形がＦからＰＱに垂線を引くことによって出来上がるので
という解法。多分，垂線の足を H として，△FBP ≡ △FHP などをいうのだと思います。
これもいえるのですが，直角三角形の合同を示すのは，#34712，#34715などのように，そこそこ議論が必要な気がしています。
実は，私も最初はこれも思いついたのですが，証明を考えているうちに，#34712などの解法にたどり着きました。

#34712，#34717の(解法2)
△FBP と △FJP をくっつけた三角形が △FPQ に合同になることを使う解法。

#34715，#34719
＞垂線を引くと...それぞれの折り返しになるので...
という解法。多分，#34710，#34713などと同様です。
∠FBP = 90°= ∠FJQ，∠BFP + ∠JFQ = 18°，を使っているようです。
これらをいっておけば，算数らしく分かりやすくていい解法ですね。

#34716
＞正10角形の中心をOとして、線分PQを時計回りに17°回転するとAJと平行になるから、∠POA=17°、∠PFA=8.5°。
などとする解法。
う〜ん，私の#34717の(解法1)と似た解法ですが，∠POA = 17°，∠PFA = 8.5°では，O は AF 上にあるので，
∠OPF = ∠POA - ∠PFA = 17 - 8.5 = 8.5°= ∠PFA = ∠OFP で，△OPF が二等辺三角形になり，OF = OP で，おかしいです。
(P は，正10角形の外接円の内部にあるので，OP < OF のはず．．．)
本当に，∠POA = 17°なんだろうか．．．？
それとも，私が勘違いしてるのかな？
その後，やはりおかしかったようです。#34722，#34724をご覧ください。

#34717の(解法1)
∠AQP = 18°の場合からのズレを考える解法。

#3472
△APQ の外接円と直線 AF との交点 R を考え，R が △FPQ の外心になることを使う解法。
円の性質を使うので，純粋な算数ではないですが，面白い解法だと思います。

#34728
AQ 上に AP = AT となる T をとり，P, F, Q, T が同一円周上にあることを使う解法。
#34708と似た解法のような気がします。
また，円の性質を使うので，純粋な算数ではなさそうです。

なお，

#34707
＞∠AQP=x　∠BPF=y　としたら
＞y=0.5x+72　と予想^^;
もちろん条件は付くと思いますが，その範囲で，正しそうですね。
　　 6月28日（日） 18:29:09　　 　　34718
スモークマン
>#34718 uchinyanさんへ ^^
#34715です...^^
折り畳む隣の角度は90度で、それぞれの角度の和は18度だから垂線で重なると思いました...^^;?
金光＠岡山　　 6月25日（木） 14:14:12　　 　　34719
uchinyan
#34719
説明ありがとうございます。
∠BFP + ∠JFQ = 18°を使っているのですね。なるほど，それならば，了解です。
ネコの住む家　　 6月25日（木） 14:28:13　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34720
ハラギャーテイ
何となくできました。はじめは簡単に考えすぎました。
西日本は雨が降らないです。
山口　　 6月25日（木） 16:24:45　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　34721
zexio
△APQの外接円と直線AFとの交点をRとすると
∠PRQ=36
A，P，R，Qは共円だから
∠RPQ=∠RQP=72

∠PFQ=18ゆえ，Rは△PFQの外心
したがって，∠AFP=∠ARP/2=∠AQP/2

∴∠BPF=∠PAF+∠AFP=72+∠AQP/2

今ケースの場合，∠AQP=17だから，161/2という感じでしょうか
　　 6月25日（木） 17:59:48　　 　　34723
黒アイス
こんな解法絶対気づかない・・・。
己の経験力不足を嘆く・・・。
　　 6月25日（木） 21:49:53　　 　　34725
Ｓｈｉｎ　Ｋｏｂａ
２００５年度／女子学院中学校／【３】の（３）
を思い出していました。
Uchinyanさんの仰るとおり、直角三角形の合同を
いきなり言うのは強引ですね。
前記の入試問題は、２００５年当時に、これと
同じようなことを考えさせられた問題です。
ご存知の方が多いとは思いますが。
　　 6月26日（金） 1:25:41　　 　　34726
gg
正10角形の一つの内角は144度
144/2+18*17/36＝80.5
ああ、式だけでは自分でもわからなくなってしまう＾すいません。
　　 6月27日（土） 13:32:28　　 　　34727
Mr.ダンディ
私の解法と同じものがなさそうなので、遅ればせながら私の解法も書き込んでみます。

まず △APQ において ∠APQ＝19°がいえます。
ＡＱ上に AP＝AT である点Ｔをとり、P,T を結ぶと対称性より
∠ATP＝∠APT＝∠APQ−∠TPQ＝19°−(∠ATP−∠ATQ)＝36°−∠ATP
∴ ∠ATP＝18° 、また ∠PFQ＝18°だから □PFQT は円に内接します。

よって ∠PFA＝(1/2)∠PFT＝(1/2)∠PQA＝8.5°
ゆえに　∠BPF＝90°−∠PFB＝90°−(18°−8.5°)＝80.5°
　・・・〈以上でした〉・・・
大阪　　 6月28日（日） 13:34:45　　 　　34728