吉川　マサル
うーん、正解者が伸びない..。ミスがないか不安です。

ちなみに更新30分前までは、CB:BP=9:5、三角形AQB=25のとき、三角形ABCの面積を求めてください、という問題でした。
PowerBook　　 11月19日（木） 0:12:20　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　35361
吉川　マサル
あ、答えのファイルを間違ってました。計算途中のもの（補角にする前のもの）を入力してしまっていました。いま修正しました........。m(__)m
PowerBook　　 11月19日（木） 0:17:32　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　35362
kasama
その補角を転送して名前が載ったので、正解した気分になっていました(ノ_・、)
ここにも入れましたしね。
和歌山　　 11月19日（木） 0:25:28　　 　　35363
スモークマン
BQ を伸ばしてACの交点で...
平行四辺形が二つできて...相似な△ABQと△CBQを較べたら...
3*23+2x=180・・・x=∠C
x=111/2
求める角度=180-(x+23)=180-(111/2+23)=203/2
でいいのかな...♪
金光＠岡山　　 11月19日（木） 1:37:06　　 　　35364
doba
うーむ、この答えになるためには
∠QAB=∠BCAが言えないといけないのだが、
言える気がしないのでギブアップ。
　　 11月19日（木） 3:23:45　　 　　35365
doba
やっとできたのかな。

線分BC上にPB=BDとなる点Dをとると、
点Bは△APDの外心なので、∠DAP=90°
また、直線BQと線分ADの交点をEとすると、
BEは線分ADの垂直二等分線で、
BE//PA、BE:PA=1:2
ここで、BQ:QE=x:1とおくと、
PA:BQ=(2x+2):x
直線AQと線分BDの交点をFとすると、
PF:BF=(2x+2):x、PB:BF=(x+2):x
PB=BDより
PB:FD=PB:(BD-BF)=(x+2):2
AE=ED，AM=MCより、EM//DC、EM:DC=1:2
また、EM:PB=EQ:QB=1:x
∴ PB:DC=x:2
∴ FD:DC=(2/(x+2)):(2/x)=x:(x+2)
FQ:QA=FB:BP=x:(x+2)=FD:DCより、QC//AC
∴ ∠QDA=∠CAD
対称性より∠QDA=∠QAD
∴ ∠QAD=∠CAD=∠QAC/2=11.5°
∠AQB=∠QEA+∠QAE=90°+11.5°=101.5°

難しい．．．もっと簡単に言えないだろうか．．．
　　 11月19日（木） 10:56:31　　 　　35366
doba
訂正
誤：QC//AC
正：QD//AC
　　 11月19日（木） 11:04:45　　 　　35368
abcba@jugglermoka
初めは対称性から赤丸が23度と当て勘をかまして69という答えを送ってしまい撃沈。その後ACをQに重なるように平行移動してcの移動先をC'とすればAB=BC'となりAC'の中点DとBを結ぶと三角形C'DQ
に対して角C'QD=xと置くと2x＋23=180 X=157/2よって求める角度は
23＋157/2=203/2です。
なお、AM:MCが1:1出ないときは算数で解けるのかな?
　　 11月19日（木） 11:39:10　　 　　35369
英ちゃん
きつかった・・・！
菱形を作りました。
ワハハ　　 11月19日（木） 13:12:54　　 MAIL:eityans@gmail.com HomePage:ブログ　　35370
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，情けないですが，数学でやってしまい，まだ算数が分かりません．．．
多分，∠BAQ = ∠ACB 辺りがいえればいいんだと思うんですが．．．
しばらく掲示板を読まずに考えてみます。
ネコの住む家　　 11月19日（木） 14:48:54　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35371
ぽっぽ
色んな所を回すと相似が出ました
　　 11月19日（木） 17:18:08　　 　　35372
スモークマン
Bから、APに AC に平行な直線との交点を A' とする。
Bから、ACに AP と平行な直線との交点を B' とする。
Qから、APに AC と平行な直線との交点を Q' とする。
□AA'BB' ,□AQ'QB', □A'BQQ' は相似な平行四辺形。
∠Q'A'Q=∠BQA'=23
A'Q // PC
Bから、APに AQ と平行な直線との交点をB'' とする。
□AB''BQ も上と相似な平行四辺形。
∠B''BA'=23
けっきょく、∠A'BQ=∠BAQ+2*23=∠AQB
∠A'QB=∠ABQ=23
BQ は共通なので...△ABA'≡△AQB
よって...□AA'BQ は等脚台形
A'B=AQ=AB'
△AQB' は二等辺三角形
つまり...
∠AQB=180-(180-23)/2=90+23/2=203/2
こんどはいいかな...^^;?
金光＠岡山　　 11月19日（木） 23:20:15　　 　　35373
あみー
一瞬一位で安心して寝ちゃったよ＾＾；

ttp://blog.livedoor.jp/uusnas/

こういう感じじゃないかなと。
　　 11月19日（木） 23:37:58　　 　　35374
uchinyan
再びこんにちは。
気付けば大して難しくなかったのですが，大分頭が固くなっているようです。やっと算数でできました (^^;

(解法1)
△ABQ を BQ に関し折り返し，A の移動先を D とします。∠ABQ = ∠CBQ より，D は BC 上にあります。
次に，AD と BQ の Q の方への延長との交点を E とします。BA = BD なので，BE⊥AD，AE = DE です。
すると，AE = ED，AM = MC より，EM//BC，DC = EM * 2 です。
さらに，ME を E の方に，DQ を Q の方に，それぞれ延長して，その交点を F とします。
まず，ME//BP より，△QEM ∽ △QBP で，EM：BP = EQ：QB です。
次に，EF//BD より，△QEF ∽ △QBD で，EF：BD = EQ：QB です。
これらより，EF：BD = EM：BP で，BP = BA = BD より，EF = EM になります。
そこで，FM = FE + EM = EM * 2 = DC になり，FM//DC だったので，□FDCM は平行四辺形です。
これより，FD//AC になり，∠BAQ = ∠BDQ = ∠BCA になります。
このことと，∠QAC = 23°とから，
△ABC において，∠BAQ * 2 + ∠ABQ * 2 + 23 = 180，∠BAQ + ∠ABQ = (180 - 23)/2 = 157/2 = 78.5°
△ABQ において，∠BAQ + ∠ABQ + ∠AQB = 180，∠AQB = 180 - 78.5 = 101.5°
になります。

(解法2)
BQ の Q の方への延長と，M から BC に平行に引いた直線との交点を R，
その延長と AC との交点を S，さらにその延長と A から BC に平行に引いた直線との交点を T とします。
(R は，実は，(解法1)の E と同じです。)
このとき，∠ABT = ∠CBT = ∠ATB なので，△ABT は AB = AT の二等辺三角形です。
一方で，RM//PB より，△QRM ∽ △QBP で，RQ：QB = RM：BP です。
また，RM//AT より，△SRM ∽ △STA で，RS：ST = RM：AT です。
これらと，BP = AB = AT より，RQ：QB = RS：ST になります。
ここで，R は BT 上の点ですが，AR の R の方への延長と BC との交点を U とすると，
AM = MC，RM//BC より，AR = RU，さらに，BC//AT より，BR = TR がいえます。
(U は，実は，(解法1)の D と同じです。)
そこで，先ほどの結果と合わせて，RQ = RS，BQ = TS で，R は BT，QS の中点です。
これより，△ABT は二等辺三角形だったので，AR⊥BT で，△AQS も二等辺三角形になります。
そこで，△AQS において，∠AQS = 180 - ∠AQB = ∠ASQ ，∠AQS = ∠AQC = 23°より
(180 - ∠AQB) * 2 + 23 = 180
∠AQB = (180 + 23)/2 = 203/2 = 101.5°
になります。
ネコの住む家　　 11月20日（金） 13:59:59　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35375
uchinyan
掲示板を読みました。結構皆さんも苦戦した感じですね．．．
私には難しく，よく分からないものがほとんどですが，一応。

#35364
＞BQ を伸ばしてACの交点で...
＞平行四辺形が二つできて...相似な△ABQと△CBQを較べたら...
という解法。相似がいえればすぐですが，相似を示す詳細はよく分かりません。
なお，
＞3*23+2x=180・・・x=∠C
この式は，赤丸 = 23°とした特殊化でしょうか？　一般にはいえないような気が．．．

#35366，#35368
＞線分BC上にPB=BDとなる点Dを
とって
＞QD//AC
を示す解法。私の#35375の(解法1)と方針は似ていますが，少し複雑です。

#35369
＞その後ACをQに重なるように平行移動してcの移動先をC'とすればAB=BC'となり
という解法。これがいえれば後は簡単ですが，これを示す詳細はこれだけでは分からず。

#35370
＞菱形を作りました。
確かにひし形は幾つか出てきますが，さすがにこれだけでは詳細は分からず。

#35372
＞色んな所を回すと相似が出ました
これも相似は幾つか出てきますが，さすがにこれだけでは詳細は分からず。

#35373
う〜む，ごめんなさい．．．
＞□AA'BB' ,□AQ'QB', □A'BQQ' は相似な平行四辺形。
ここから既に着いていけないです (^^;
AB' = QQ' = BA' だから(これが既に勘違いしてる？)，三つが相似になるのでしょうか？

#35374
う〜む，この図も私には難しい．．．
2x + 2y + 23 = 180
が肝ですが，これって明らかなんでしょうか？
少なくとも，私には描けない図です．．．
ネコの住む家　　 11月20日（金） 13:48:37　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35376
さいと散
方針が立たず悩みましたが、平行四変形や菱形ができそうなので、
方眼紙にA(2,2),P(0,0),B(2,0),仮に　C(6,0) として図を描き、
ＡからＢＱに垂線を下ろし足をＨとすると、ＡＨを軸にＡＱとＡＣが対象とわかりました。
素晴らしい問題だと思います。
　　 11月20日（金） 18:29:50　　 　　35377
abcba@jugglermoka
PB:BA=AM:MCならば角ACQ=アならば、角AQB=(180＋ア)/2
　　 11月20日（金） 18:42:33　　 　　35378
スモークマン
#35376
uchinyanさんへ ^^
たしかに..勘違いしてました...^^; Orz...
その意味では...特殊化したことになってる...?
金光＠岡山　　 11月20日（金） 19:26:38　　 　　35379
老人拳
久々に・・・(^^ゞ
二等辺三角形が見えれば・・・
　　 11月20日（金） 20:25:26　　 　　35380
arigatou
今週は難しいので頭が壊れそうでした
　　 11月21日（土） 23:50:34　　 　　35381
水田X
ひさびさに楽しませていただきました。三角形APCが角Aが直角の三角形のときはQとMが一致する。だんだんとCが直角より大きくなっていくとどんな挙動をみせるか考えながらあれこれ補助線ひきました。
　　 11月22日（日） 0:23:31　　 　　35382
水田X
続けてすみません。この問題の本質と思われるものがわかりました。前回の書き込み同様三角形APCが直角三角形の時QとMが一致するけど角Aが直角よりだんだん大きくなるとQも当然その直角三角形の内側へずれていく。その両者の度合いがおんなじだということ。つまりずれる角PACが90度＋αの時にQもαだけ内側へずれる。　

で、結局この性質を追求しながらこの問題の解にいたった時は引いた補助線の数は５本でした。

久々おじゃまできてうれし。また時々よろしくお願いします。バチ丸のほうはブログで活躍してるみたいだけど
　　 11月22日（日） 23:43:29　　 　　35383
uchinyan
関係なくて恐縮ですが．．．
水樹奈々さん，祝紅白出場！
アニメファンとして，何か嬉しくて，済みませんでした。
ネコの住む家　　 11月24日（火） 13:05:21　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35384
水田X
今回はできの悪いぼくには金星だったみたいなので解法も載せておきます。重複してたらすみません。

BC上に点Oをとり角PAO＝直角となるようにする。AOの中点をNとしOQの延長とAPの交点をRとする。MN：PO＝CO:OP＝NQ:QBより...ROとACは平行になる。(少し飛躍あり？)　あとは自明。

P.S.わたしは小さい頃のアニメファンです。笑　昭和４０年台
　　 11月25日（水） 9:48:12　　 　　35385