ぽっぽ
△ＡＰＱと△ＱＲＢが1：4の相似ですね
　　 1月7日（木） 0:17:04　　 　　35547
ちゃーみー
5 分くらい幾何で考えてわからなかったので，諦めて微分しました。
とうきょうとせたがやく　　 1月7日（木） 0:26:19　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　35548
さいと散
明けましておめでとうございます。
　　 1月7日（木） 0:37:42　　 　　35549
Ｍｒ.ダンディ
#35548
同じく。とりあえず微分で答えをだしておいてから、算数で考えているのですが・・・う〜ん、わからん！
　　 1月7日（木） 1:24:52　　 　　35550
黒アイス
同じく微分しか思いつかず。
　　 1月7日（木） 1:34:40　　 　　35551
スモークマン
a+b=3
x+y=k
ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)・・・対角線が直交する四角形
対辺の一つのペアは、4と1これら対辺の距離が一番離れるときが最大の面積
すなわち...対辺が平行になるとき...
そのとき対角線が直交しているということは...上と下の三角形が相似になってるということ...
で...3*(1/(1+4))=3/5
求める長さPQは1:3/5=5:3 から...4/5

無理やり後付けで考えてみました...^^;v
金光＠岡山　　 1月7日（木） 2:40:10　　 　　35552
おいら＠NY
ACの中点をS
ABの中点をTとしたときに、
PRが最長になったときは、SPとRTが平行になった時だと考えました。
（それよりもPRが右に行くと、QPが縮まる度合いがQRの伸びる度合いを上回る。）

よって、そのときは、SPQとTRQは相似になり、各辺の長さの比は１：４．
よって、QがSから右に３／５cmの場合となり、３平方の定理から
PQは４／５となりました。
　　 1月7日（木） 4:52:15　　 　　35553
abc
#35553と同じです。最初、初等幾何で解けなかったので微分でやりました。
幾何でやるときも微分の考え方が元になっているようです。下記のように考えました。

Pが円弧ACの中点にくるまでは、PQとQRの長さはともに増加し、PRの長さは増加するので、その後を考えれば充分です。ACとABの中点をそれぞれD,Eとします。さて、ある時点でPがACに平行な向きに進んだ距離をΔx,垂直な向きに進だ距離をΔyとすると、RがACに平行な向きに進んだ距離もΔx、垂直な向きに進んだ距離をΔy'とする。ある時点におけるPのABに平行に進んだ距離に対するPQの縮む度合いは、
lim[Δx→+0](Δy)/(Δx)で、これは　(Pにおける円弧ACの接線の傾き)*(-1)
に等しい（ただし、ｘ座標軸をABと平行にとりBの側を正の向きにとっている。）。同様に、同じ時点でのQRの伸びる度合いは、lim[Δx→+0](Δy')/(Δx)で、これは　(Rにおける円弧ABの接線の傾き)*(-1)に等しい。

初めのうちは、(PQの縮む度合い)<(QRの伸びる度合い)であるが途中で
(PQの縮む度合い)=(QRの伸びる度合い)…(*)　となりその後
(PQの縮む度合い)>(QRの伸びる度合い) となる。よって、PRが最大になるのは、(*)のときでこのとき
(Pにおける円弧ACの接線の傾き)=(Rにおける円弧ABの接線の傾き)となり、
△PDQ∽△REC　相似比はPD:RE=1:4 ∴DQ=DE*(1/5)=3/5
∴PQ=4/5(いわゆる3:4:5)

　　 1月7日（木） 9:42:02　　 　　35554
君の船
おはようございます

微分です

算数解が思いつきませぬ
海王星　　 1月7日（木） 12:43:20　　 　　35557
uchinyan
(#35559への回答も兼ねて，数学解法を追加しました。)
はい，こんにちは。今年も宜しくお願い致します。さて，今回の問題は．．．
う〜む，微分すればできますが，そこまでしなくとも，sin の上に凸の性質を使えば比較的容易に解けると思います。
しかし，算数は分からず．．．数学ですが，一応。

AB，AC の中点をそれぞれ M，N とします。
図から，PR の最大は Q が NC 上にあるときなのは明らかなので，その範囲で考えます。
∠PNQ = α，∠RMQ = β，0 < α < 90°，0 < β < 90°，とすると，PN = 1 cm，RM = 4 cm なので，
PQ = PN * sinα = sinα，RQ = RM * sinβ = 4 * sinβ
PR = sinα + 4 * sinβ = 5 * (sinα + 4 * sinβ)/5
ここで，y = sin(x) のグラフを考えると，sin は 0°〜 90°で上に凸，上に出っ張っている，ので，
点 (α,sinα) と (β,sinβ) を 4：1 に内分する点の y 座標と，x 座標の sin を比べると，
(sinα + 4 * sinβ)/5 <= sin((α + 4β)/5)
がいえます。ただし，等号は二点が一致する場合，α = β，です。
そこで，PR が最大なのは，∠PNQ = ∠RMQ のときで，PN//RM，△PNQ ∽ △RMQ，QN：QM = PN：RM = 1：4 になり，
QN + QM = MN = 3 cm より，QN = 3/5 cm，PN = 1 cm なので，△PNQ は 3：4：5 の直角三角形で，
PQ = 4/5 cm になります。
ネコの住む家　　 1月7日（木） 13:10:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35558
君の船
#35558

凸の性質とは何ですか？
海王星　　 1月7日（木） 12:44:08　　 　　35559
パズル&ゲーム10種競技
小円の中心を　o　大円の中心を　O　とする
oPを　o　が　O　に重なるまでAB上をすべらせ平行移動する
このとき、Pに対応する点をP'とする。
△PP’Rは　いつもPP'が3の直角三角形である
PRが最大となるためにはP'Rが最大となればよい。
P'Rが最大となるのはP'ORが一直線上にくるときであり、その大きさは5
ここに5：4：3が出来る　答は1*（4/5）
　　 1月7日（木） 12:47:02　　 HomePage:パズル&ゲーム10種競技　　35560
uchinyan
掲示板を読みました。算数解法らしいものは．．．

#35552
＞対辺の一つのペアは、4と1これら対辺の距離が一番離れるときが最大の面積
＞すなわち...対辺が平行になるとき...
ニュアンスは伝わってくる気はするのですが，明らかな気がしないです．．．

#35553
＞PRが最長になったときは、SPとRTが平行になった時だと考えました。
＞（それよりもPRが右に行くと、QPが縮まる度合いがQRの伸びる度合いを上回る。）
これもそう。明らかとはいえないと思います。

#35554
#35553を，厳密にしようと試みています。一応，成功しており，正しいと思います。
ただ，直感的とはいえ，極限が出てきたり，これは算数なのかなぁ，という素朴な疑問も。

#35560
＞P'Rが最大となるのはP'ORが一直線上にくるときであり、
最初，ここがピンと来なかったのですが，P'，O，R が一直線上にない場合は，△P'RO ができるので，
|P'O - RO| < P'R < P'O + RO = 1 + 4 = 5 = P'，O，R が一直線上にある場合
ということですね。
なるほど。これは，確かに算数ですね。これが想定解かな？
ネコの住む家　　 1月7日（木） 14:04:59　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35561
abc
#35560
なるほど、これはうまい発想ですね。
　　 1月7日（木） 14:21:47　　 　　35562
パズル&ゲーム10種競技
#35561,#35562
フォローして下さり、ありがとうございます。

甘えて、宣伝に一行使用させてください。
「2010新春ぱずる」（算数系小問5題収録）公開中　→
　　 1月7日（木） 15:02:05　　 HomePage:パズル&ゲーム10種競技　　35563
ハラギャーテイ
MATHEMATICAと三角関数でした。

ところでアバターを見ました。映画も画像処理も進化します。３Dもここまでよくなったかという感じ。

山口　　 1月7日（木） 15:42:41　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　35564
スモークマン
#35560
パズル＆ゲーム10種競技さんの...
意味がわかりました♪
なるほど...!! スマートですね ^^v
金光＠岡山　　 1月7日（木） 15:48:33　　 　　35565
Ｍｒ.ダンディ
#35560
これはすばらしい！
お見事！！
　　 1月7日（木） 17:50:10　　 　　35566
英ちゃん
また参加を忘れてしまった・・・
解き方は#35560と同じです。

あとどこかでこの問題を見たことがあるような・・・
ひゃっふー　　 1月7日（木） 18:35:06　　 HomePage:BLOOOOOOOOG　　35567
英ちゃん
ごめんなさい、よくみたら解き方#35560と若干違いました。
http://gyazo.com/3b2c8d384d8563e2da6096187b7ee3fb.png
こんな感じです。縦にずらしました。
ひゃっふー　　 1月7日（木） 18:40:58　　 HomePage:BLOOOOOOOOG　　35568
uchinyan
#35568
なるほど。この解法も見事ですね。個人的には，こちらの方が分かりやすいかも。
ただ，図は，上の半円が AB に接するべきなので，ちょっと変ですが。
ネコの住む家　　 1月7日（木） 21:13:30　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35569
圭太
リアルタイムでは、微分の方が早いかったので。
∠PAR=90度のとき最大になるんですね。
天地人　　 1月8日（金） 0:51:23　　 　　35570
さいと散
#35560　同心円なので、中心を通る直線が最大、解り易いですね。
解き方は、Pでの接線とRでの接線が平行のとき最大（又は最小）
⇒CQ/AQ=AQ/BQ=1/4 としました。
　　 1月8日（金） 1:28:10　　 　　35571
水田X
本年もよろしくお願いします。わたしも１：４で。
　　 1月8日（金） 11:26:31　　 　　35572
??/
引くでしょうね。
Option Explicit
Sub Macro1()
Sheets("Sheet1").Select
Cells(1, 1).Value = 0 'PQ
Range("A1").Select
Dim Ax As Double
Dim Ay As Double
Dim Bx As Double
Dim By As Double
Dim Cx As Double
Dim Cy As Double
Dim Dx As Double 'ACの中点
Dim Dy As Double
Dim Px As Double
Dim Py As Double
Dim Qx As Double
Dim Qy As Double
Dim Rx As Double
Dim Ry As Double
Dim Qx_min As Double
Dim Qx_max As Double
Dim Qx_min0 As Double
Dim Qx_max0 As Double
Dim Qxx As Double
Dim PR As Double
Dim kizami As Double
Dim max As Double
Dim dankai As Integer
Ax = -4: Ay = 0
Bx = 4: By = 0
Cx = -2: Cy = 0
Qy = 0
Dx = -3: Dy = 0
kizami = 0.01
max = 0
Qx_min0 = Ax + kizami
Qx_max0 = Cx - kizami
For dankai = 1 To 12
If dankai = 1 Then
Qx_min = Qx_min0
Qx_max = Qx_max0
Else
Qx_min = Application.max(Qxx - kizami, Qx_min0)
Qx_max = Application.Min(Qxx + kizami, Qx_max0)
kizami = kizami * 0.1
End If
For Qx = Qx_min To Qx_max Step kizami
Px = Qx
Rx = Qx
Py = Sqr(1 * 1 - (Px - Dx) * (Px - Dx))
Ry = -Sqr(4 * 4 - Rx * Rx)
PR = Py - Ry
If max < PR Then
max = PR
Qxx = Qx
Cells(1, 1).Value = Py
End If
Next Qx
Next dankai
End Sub
　　 1月8日（金） 12:02:05　　 　　35573
ぽっぽ
この問題見たことあるなーと思ったら数学オリンピックの予想問題に数字のみ異なる問題がありました
　　 1月8日（金） 22:09:35　　 　　35574
だいすけ
なんとまぁ８ヶ月ぶりになってしまったのですが、趣味の算数の問題を更新しました。是非解いてみてください！！よろしくお願いします
http://spitzzzz.web.fc2.com/link1-2.html
広告すみません
大阪府吹田市　　 1月9日（土） 18:45:17　　 MAIL:dice-k＠onyx.ocn.ne.jp HomePage:だいすけの部屋　　35575
ぺぷし@鼻セレブ
遅らせばながらですが、明けましておめでとうございます。
それにしても、今回はいい問題で解き終わった時に感動しました。
解法としては、小円の点Pにおける接線をm、大円の点Rにおける接戦をn、小円の中心をD、大円の中心をEとします。
するとPRが最も長くなるのはPRを横に移動したときの落差が小円と大円とで同じになる時、つまりmの傾きとnの傾きが等しくなる時である。
よって、PRが最も長くなる時はmとnが平行であり、よって三角形DPQと三角形QREは1:4ちょうちょ相似になり、以下略という感じですね。

こうすれば、#35553が証明されると思います。
　　 1月10日（日） 2:05:26　　 　　35576
たぐっさん
ここに入れたのは２回目です。すごいうれしいです。
#35574さんと同じくこの問題は数学オリンピックに同じ形で出題された気がします。私も#35568さんと同じく円をずらして考えました。
最初ＰＱじゃなくてＰＲを求める問題かと思ってずっと入れず・・・orz
　　 1月10日（日） 11:00:33　　 　　35577
吉川　マサル
ふう、講習もようやく落ち着いてきました。

この問題の出自についてですが、ぽっぽさん、たぐっさんのご指摘にあります通り、ジュニア数オリの練習問題に掲載されていたものを、数字および求めるところを変更して、小学生でも解けて、かつ当て勘による正解を多少防ぐような設定に直したものです。（原題は、無理数になる数値設定で、かつPRの長さを求める問題でした）そんなわけで、元ネタを知っての出題だったもので、この問題が算数的にはどの程度の難易度なのか、イマイチ分からずに出題してしまいました。（私自身も、微分で解きましたし）
PowerBook　　 1月11日（月） 16:01:14　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　35578
水田X
計算練習にと微分でTRYしたが答えがあわず。なにか公式もうる覚えになってきたせいもあり。。。もうすぐ５０の年男だからしゃーないか
　　 1月11日（月） 18:07:06　　 　　35579
ばち丸
やあ。水田Xくん。奇遇だね。こんばんは。

最大値→接線平行→接点を通る半径平行で終わりでした。
しかし新しい発想であり正直、たいへん面白いです。
　　 1月11日（月） 20:37:17　　 　　35580
水田X
ばち丸くん　めるでいいから微分のやり方わかったら指南よろしく。それとこの問題を拡張すると以下がいえそうかな

Acosα+ Bcosβ=B-A（の絶対値） の時　Asinα+Bcosβの最大値はα=βの時で2*√αβ　である。　αは0からπ/2 の間とする。
　　 1月11日（月） 22:50:12　　 　　35581
水田X
1箇所訂正　cos → sin
Acosα+ Bcosβ=B-A（の絶対値） の時　Asinα+Bsinβの最大値はα=βの時で2*√αβ　である。　αは0からπ/2 の間とする
　　 1月11日（月） 22:51:28　　 　　35582
hide
今年のジュニア数オリを受けたのですが、解けないのが２問ありまして…
どなたか、お願いします。

１．一辺１の正七角形ABCDEFGがある。
P,Q,R,Sをそれぞれ線分AB,BC,CD,EF上に、BP=CQ=DR=FS=1/3を満たすようにとる。
線分PRと線分QSの交点をTとするとき∠PTSの大きさを求めよ。

２．∠BAC=60度を満たす△ABCがある。
∠ABC,∠ACBの二等分線が辺AC,ABと交わる点をそれぞれP,Qとする。
△ABCの内接円の半径をr1,△APQの内接円の半径をr2とするとき、△APQの外接円の半径をr1,r2で表せ。

お願いします。
　　 1月12日（火） 21:10:42　　 　　35583
パズル&ゲーム10種競技
#35583-1
720/7
PRおよびQSをすこし回転させて、BDとCFの直線と考える。
自分が勘違いしていたらお許しください。
　　 1月12日（火） 21:48:47　　 HomePage:パズル&ゲーム10種競技　　35584
パズル&ゲーム10種競技
#35584
取り消します。安易に考えすぎたようです。
再々度考え、合っているような気がしてきました。7角形に外接する円を書く、
中心とP、Q,R,Sを結び円との交点をP'、Q',R',S'とするとPQとP'Q'およびQSとQ'S'は平行になり、各点はB,C,D,Fから等距離にあります。
　　 1月12日（火） 22:21:23　　 HomePage:パズル&ゲーム10種競技　　35585
パズル&ゲーム10種競技
#35583-2
(r1-r2)*2
△ABCの内心をR,△APQの内心をS,△APQの外心をTとする。
＜PRQ=120　故に、APRQは同一円周上、△APQの外心は△PRQの外心ともいえる。
△RTQが正三角形、＜RQB=30、SQは＜AQPの二等分線　等の条件を使用すると
＞＞＞　＜SRT=2*＜SQT　が導かれ、STQRはRを中心とする円周上にあり、RT=RSとなる
RS=2*(r1-r2)

＞＞＞ここの部分がこのようにいえるのかどうか不安があります。
　　 1月13日（水） 9:57:53　　 HomePage:パズル&ゲーム10種競技　　35586
uchinyan
#35583
1．720/7 度，2．2(r1 - r2) ですね。
1．は，要するに，正七角形の AC と BE のなす角度と同じ。
2．は，途中までは#35586と同じで，△RPT は正三角形，∠RSP = ∠APQ/2 + 30°= ∠RPS より，RT = RP = RS だから。
ネコの住む家　　 1月13日（水） 14:19:36　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35587
パズル&ゲーム10種競技
#35587
>△RPT は正三角形，∠RSP = ∠APQ/2 + 30°= ∠RPS より，RT = RP = RS だから
確かに、ずーと簡明ですね！
　　 1月13日（水） 18:25:46　　 HomePage:パズル&ゲーム10種競技　　35588
ぽっぽ
同じくジュニア数オリをうけたものです
1は720/7と同じ、しかし2は分からず
hide様少し確認をとってよろしいでしょうか
1　6個
2　28とおり
3　2.6
4　22
5　3521
6　480
7　720/7
8　5184
9　165
10　？
11　？
12　？
この掲示板でやる行為としてふさわしくない
ことをしてしまいました　心配していたもんで
　　 1月13日（水） 21:34:52　　 　　35589