さいと散
A,P,Qを一点にしちゃいました。
　　 4月1日（木） 0:12:38　　 　　36018
むらい
若干せこい方法ですが、Ｐ・Ｑに関しての縛りがないようなので
（さらにいえば、△ＡＢＣの形状に関しても）
すべての点を座標上に配置して、面積を求めました。

Ｂ（０，０）　Ａ（０，８）　Ｃ（８，０）　直角二等辺に設定
Ｐ（０，４）　Ｑ（４，４）　ＡＢ　ＡＣ　の中点に設定
とすると、
Ｓ（２，３）　Ｒ（１，１）　となり、

△ＡＲＳ＝9/2
四角形ＰＢＣＱ（台形ですが）＝24　　より、3/16倍

こんなセコイ方法が私だけでないことを祈る！
サイタマ　　 4月1日（木） 0:16:25　　 　　36019
baka
私も特殊化で解きました　すいません
　　 4月1日（木） 0:19:36　　 　　36020
スモークマン
同じくせこい方法で...^^;...
射影幾何学的に比率は普遍量なので...
正三角形で中線同士を引いて考えました...いいのかなぁ...^^;?
△ARS=(1/3)(5/8)-{(1/3)(1/8)(1+(5/8)}=27/(24*8)=9/64
台形PBCQ=1-(1/2)^2=3/4
(9/64)/(3/4)=3/16
^^;v...Orz...
　　 4月1日（木） 0:24:47　　 　　36021
ぽっぽ
GC/Javaのお世話になりました
福岡　　 4月1日（木） 0:24:50　　 　　36022
fumio
こんばんは、感です。ではまた、お休みなさい。ははは。
　　 4月1日（木） 0:45:39　　 　　36024
みかん
三角形について何の条件もないので「どんな三角形でも一定の値になる」と
見て、せこい方法で解きました。

せこい方法を封じるために三角形の条件がついてなくてよかった^^;
　　 4月1日（木） 0:45:49　　 　　36025
fumio
大阪オフミ、今年も参加します。楽しみ！＼(^o^)／
　　 4月1日（木） 0:49:40　　 　　36026
黒アイス
特殊化も考えたが一般化できました。

AB:PB=1:X,AC:QC=1:Yとおく。
X,Yを使って、それぞれの図形と△ABCの比率を求めていく。
ひと工夫いるのが□RBSCである。
RからQCに平行な直線と、SからPBに平行な直線を引く。
すると、それぞれの直線とBCの交点は一点Tで一致する。(BT:TC=1:3)
また、平行線の角関係から∠BAC=∠RTSがわかる。
よって、△BRT,△RTS,△STCの3つに分けて求める。

で、後はごりごり計算すると、
□PBCQ=(X+Y-XY)△ABC
△ARS=3/16(X+Y-XY)△ABC
がわかる。

すっごい説明が難しい・・・。
　　 4月1日（木） 0:52:22　　 　　36027
たっこん
ボクモカンデス　lol
　　 4月1日（木） 0:52:33　　 　　36028
doba
久々に。

□PRCQ=(3/4)□PBCQ

△ARS=□APRS-△APR=(1/4)□APRC-(1/4)△APQ
=(1/4)(□APRC-△APQ)=(1/4)□PRCQ=(3/16)□PBCQ

ですね。
ううむ、よくこんな問題を思いつくなあ。いつもながらすごい。
　　 4月1日（木） 3:39:34　　 　　36029
ゴンとも
特殊化して座標で以下の解法になりました。

PSCがX軸になるように座標におくと
P(0,0),S(1,0),C(4,0)
またBRSQが一直線：y=x-1上になるように座標におくと
B(-1,-2),R(0,-1),S(1,0),Q(3,2)
すると
直線CQ：y=-2*(x-4)
直線BP：y=2*x
この2直線の交点が点Aなので
2*x=-2*(x-4)　4*x=8　x=2　より　A(2,4)　より
□PBCQ=4*2/2+4*2/2=8
△ARS=(3/5)*4/2+(3/5)*1/2=3/2 より
△ARS/□PBCQ=(3/2)/8=3/16・・・・・・（答え)
豊川市　　 4月1日（木） 4:48:48　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　36030
圭太
#36019
おいらも、同じ三角形に設定しました＾＾；；
天地人　　 4月1日（木） 6:00:54　　 　　36031
Ｍｒ.ダンディ
特殊化して解くことしかできなかった。（泣）
どうせ、特殊化するのなら、さいと散さんの #36018の「> A,P,Qを一点にし
ちゃいました。」まですればいいのに、中途半端でごちゃごちゃと・・・・

　　 4月1日（木） 10:07:24　　 　　36032
英ちゃん
おはようございます。
一点に集める特殊化でといてしまいました。
ワハハ　　 4月1日（木） 11:27:59　　 HomePage:ぶろっぐ　　36033
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，これは，数学，特にベクトルの外積，を使えば，何も考えずに暗算レベルの計算でできますが，
算数となると少し考え込みました。
しかし，気付いたら，比だけを使って，あっけないほどあっさりできました。こんな感じで。

図に依存していると思いますが，
△ARS = □APRS - △APR = (□APRC - △APQ) * 1/4 = □PRCQ * 1/4 = □PBCQ * 3/4 * 1/4 = □PBCQ * 3/16
したがって，△ARS は □PBCQ の 3/16 倍になります。
点の位置関係が変わった場合は若干の修正が必要かも，ですが，同様にできると思います。

何か簡単すぎて，勘違いしていないか不安です。
ネコの住む家　　 4月1日（木） 11:31:55　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36034
マサル
#36029
　この問題、実はオリジナルじゃなくて元ネタありです。数値設定等は変えましたが...。
　　 4月1日（木） 12:18:06　　 　　36035
uchinyan
掲示板を読みました。特殊化による解法が多数派のようです。

#36018，#36019，#36020，#36021，#36025，#36030，#36031，#36032，#36033
P，Q の位置や，△ABC の形状に自由度があることに注目した特殊化による解法。

#36022
プログラムによる解法。

#36024，#36028
勘？による解法。

#36027
＞AB:PB=1:X,AC:QC=1:Yとおく。
＞X,Yを使って、それぞれの図形と△ABCの比率を求めていく。
＞ひと工夫いるのが□RBSCである。
＞RからQCに平行な直線と、SからPBに平行な直線を引く。
＞すると、それぞれの直線とBCの交点は一点Tで一致する。(BT:TC=1:3)
＞また、平行線の角関係から∠BAC=∠RTSがわかる。
＞よって、△BRT,△RTS,△STCの3つに分けて求める。
という解法。

#36029，#36034
＞□PRCQ=(3/4)□PBCQ
＞△ARS=□APRS-△APR=(1/4)□APRC-(1/4)△APQ=(1/4)(□APRC-△APQ)=(1/4)□PRCQ=(3/16)□PBCQ
という解法。

なお，文字を使っていいのならば，こんな計算による解法もありますね。
AP：AB = m：1，AQ：AC = n：1 として，
△ARS = △ABS - △ABR - △RBS
△ABS = △ABC * 1/4
△ABR = △ABQ * 1/4 = △ABC * n/4
△RBS = △SBQ * 1/4 = (△CBQ - △CBS - △CQS) * 1/4
= (△ABC * (1-n) - △ABC * (1-m) * 3/4 - △ABC * m * (1-n) * 3/4) * 1/4 = △ABC * ((1-n) * 1/4 - (1 - mn) * 3/16)
△ARS = △ABC * 1/4 - △ABC * n/4 - △ABC * ((1-n) * 1/4 - (1 - mn) * 3/16) = △ABC * (1 - mn) * 3/16
一方で，
□PBCQ = △ABC - △APQ = △ABC * (1 - mn)
なので，
△ARS = □PBCQ * 3/16
ネコの住む家　　 4月1日（木） 12:55:23　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36036
baka
特殊化しないでできたかも…
既出のものと似たような解法で申し訳ありません

△BSC＋△ASC＝3/4△ABC
△ARQ＋△CRQ＝△ARS＋△CRS＋△ASC＝3/4△ABC
2式から△BSC＝△ARS＋△CRS
よって△ARS＝△BSC−△CRS＝（3PC/4）*(h/4)＝3PC*h/16
(ｈはPCを底辺とした時の△PQCと△PBCの高さの和）
よって△ARSは□PBCQの3/16

何か簡単すぎて、勘違いしていないか不安です。
　　 4月2日（金） 2:30:59　　 　　36037
baka
3/4△ABC →3/4*△ABC です　すいません
　　 4月2日（金） 3:24:40　　 　　36038
uchinyan
まぁ，同じようなものだと思って書きませんでしたが，
△ARS = △ARC - □ASRC = (△ABC - □APRC) * 3/4 = □PBCR * 3/4 = □PBCQ * 1/4 * 3/4 = □PBCQ * 3/16
でもいいですね。
ネコの住む家　　 4月2日（金） 11:53:42　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36039
baka
BQを底辺と見ても同様に
△ARS =□PBCQ * 1/4 * 3/4となるんですね なるほど…
　　 4月2日（金） 12:43:37　　 　　36040
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突然ですいません。
数検問題集準1級で次のような問題があったのですが、これってどの程度の難しさなのでしょうか。
手も足も出なかったので…。

※表記の都合上、Σは次のようにします。
例）1^2＋2^2＋3^2＋…10^2はΣ(k=1〜10)(k^2)と表記

問い
正の奇数n、実数xに対し
e^x≧1+Σ(k=1〜n)(x^k/k!)
が成り立つことを利用して
300!>10^600
を示せ

解説
X>0のとき
e^x≧1+Σ(k=1〜n)(x^k/k!)>x^(n-1)/(n-1)!
が成り立つので
(n-1)!>x^(n-1)/e^x
n=301,x=300とすると
300!=300^300/e^300=(300/e)^300
ここでe<3より
300/e>100=10^2
ゆえに300!>!^600が成り立つ

こういう発想は普通にできるものなのでしょうか？
（1行目とか
　　 4月3日（土） 2:07:12　　 　　36041
uchinyan
#36041
＞こういう発想は普通にできるものなのでしょうか？
う〜む，微妙なところですね。慣れもあると思います。
以下，問題を見たときの私の頭の中．．．

300! と 10^600 = (10^2)^300 = 100^300 だから，x > 0 として，
e^x >= 1 + Σ(k=1〜n)(x^k/k!) > x^n/n!
で，x = 100, n = 300 でできないかな。おっと，n は正の奇数か。となると，
e^x >= 1 + Σ(k=1〜n)(x^k/k!) > x^(n-1)/(n-1)!
で，x = 100, n = 301 かなぁ。でもこれだと，
e^100 > 100^300/300!
300! > 100^300/e^100
でうまくいかない．．．
n はこのままで，x をうまくとってできないかなぁ．．．
300! > x^300/e^x
100^300 は必要だから，x = 100m として，
300! > (100m)^300/e^(100m) = (m^3/e^m)^100 * 100^300 >= 100^300
1 <= m^3/e^m
で，m = 2, 3, 4, ... か．．．
まてよ，2 < e < 3 だから，1/3^m < 1/e^m < 1/2^m で
1 <= m^3/3^m < m^3/e^m < m^3/2^m
そうか，m = 3，x = 300，でうまくいくな！

x > 0 のときの
e^x >= 1 + Σ(k=1〜n)(x^k/k!) > x^n/n!
の評価はよくやりますね。

なお，東大前期理系の最近の入試に，これよりも難しいと思いますが，
不等式評価が絡む問題がよく出されているように思います。
ネコの住む家　　 4月3日（土） 13:37:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36042
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返信ありがとうございます。

慣れですか…
ちょっと大変かも。

7月に準1級を頑張って受けてみようと思っています。

さすがに難しいので、今のままだとマズイかも…
　　 4月6日（火） 16:51:51　　 　　36043
くろＴ
算数で頑張ってできました。
ＳからＰＱにかけて、ＡＣと平行な直線をひき、ＲからＰＱにＡＢと平行な直線をひくと、条件より同じ点になります。あたらしく出来た点をＴとすると、三角形ＡＴＳと等積変形してＴＳＱに、ＡＴＲを等積変形してＴＲＰにすると、変形したあとの斜線部分ＰＲＳＱはＰＢＣＱ×1/4×3/4の等高図形として終了。難しかった・・・。
　　 4月7日（水） 14:30:17　　 　　36044
つきたか
算チャレは１年ぶりくらいです。受験でずっとしてませんでした。
　　 4月7日（水） 16:02:04　　 　　36045