hide
PA=xとし
PA/PE=x/√(x^2-6x+25)
grapesでグラフを描いて、最大値を目分量で読み取る…
なんとも強引な…

みなさんのきれいな解答を見て勉強しようと思います（笑
　　 5月6日（木） 0:11:04　　 　　36156
fumio
こんばんは、GWも今日まで、ゆっくりとした休日でした。ははは。
明日からまた仕事がんばろっと！ではまたね。
　　 5月6日（木） 0:10:37　　 　　36157
ルルゥ
PAをxとおいて
PA/PE=x/√(x^2-6x+25)
後は微分を使ってx=50/6の時最大

算数だとどうやるんでしょうか…
　　 5月6日（木） 0:16:33　　 　　36158
CRYING DOLPHIN
中学数学の範囲でできたけど、算数のやり方はわからん。

EからAPに向けて垂線EHを、PからAEに向けて垂線PIを引く。
△AEPの面積の関係より、PA×HE＝AE×PI。
これを変形すると、PA÷PI＝AE÷HE＝5/4の一定値となる。…★

角AEPが90度未満のとき、そして90度より大きい時は直角三角形PIEが
作成され、PEが斜辺となるから、PE＞PI＞0となる。
このとき、★より、PA÷PE＜PA÷PI＝5/4。

角AEPが90度の時、三角形PIEは作成されず、EとIが一致する。
PE＝PIだから、★よりPA÷PE＝PA÷PI＝5/4。

よって、PA÷PEが最大になるのは、△AEPの角Eが90度になる時、つまり
3：4：5の直角三角形になる。細かい経緯は略して、5×20/3÷2＝50/3。
誰もいない市街地　　 5月6日（木） 0:44:14　　 HomePage:算数と隧道　　36159
ゴンとも
座標に置いて微分してその方程式を解いてそれが極値で答えがでるという
2分以内にできそうな問題だったのですが・・・

diff(a/sqrt(a^2-6*a+25),a)$
solve(%=0,a)$
2*%;2*a=50/3・・・・・・(答え)
豊川市　　 5月6日（木） 1:11:23　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　36160
Ｍｒ.ダンディ
とりあえず数学で
【数学１】ルルゥさんの#36158と殆んど同じですが、ＰＥ＝ｘ(cm)とおいて
ｆ(x)＝ＰＡ/ＰＥ＝｛√（ｘ^2−16)＋3｝/ｘ とおいて、ｆ’(x)＝0となるとき
√(x^2-16)＝16/3　より、ＰＡ＝25/3　　・・・という方法
【数学２】正弦定理より
ＰＡ/ＰＥ＝sin∠PEA／sin∠PAE　となり、sin∠PAE＝4/5　と一定だから、sin∠PEAが最大のとき
すなわち、∠PEA＝90°のとき　・・・
《ぼちぼち、算数でも考えてみまっさ》
　　 5月6日（木） 1:54:44　　 　　36161
π
CRYING DOLPHINさんとほとんど同じだと思いますが…
PからAEに垂線をおろし足をFとする
△AFP∽△EBAなのでFP＝4AP/5
△FEPはFP＝4AP/5を一辺とした直角三角形なので
PEの最小値は4AP/5　よってPA÷PEはこの場合に最大となる
幾何的にはFがEに重なる場合で△AFPは3:4:5の直角三角形なので
AP＝5*5/3＝25/3　△APE＝50/3
AP＞25/3も一応確認してみると
PE^2＝(4AP/5)^2＋EF^2＞(4AP/5)^2
なのでPA÷PEはAP＝25/3で最大、でよさそうです
　　 5月6日（木） 2:44:00　　 　　36163
Ｍｒ.ダンディ
《算数で解いてみました》（結論からの後付けの感は否めないのですが）
Ｅを通るＡＥの垂線とＡＤの交点をＱ、ＰからＡＥに下ろした垂線をＰＲとするとき
ＰとＱが一致しないときは、直角三角形ＰＲＥができ、ＰＥ＞ＰＲ
また、ＰＲ//ＱＥだから
ＰＡ/ＰＥ＜ＰＡ/ＰＲ＝ＱＡ/ＱＥ
したがって、ＰをＱのところ、すなわち∠PEA＝90°としたときにＰＡ/ＰＥが最大となる。
（あとは単純な計算）・・・となりました。

　　 5月6日（木） 9:03:40　　 　　36164
パズル&ゲーム10種競技
#36164
二番煎じですが、同じ手法を！
　　 5月6日（木） 10:10:21　　 HomePage:パズル&ゲーム10種競技　　36165
???
Option Explicit
Sub Macro1()
Dim PA As Double
Dim PAA As Double
Dim PA_min As Double
Dim PA_max As Double
Dim PA_min0 As Double
Dim PA_max0 As Double
Dim PE As Double
Dim kizami As Double
Dim ratio As Double
Dim dankai As Integer
Cells(1, 1).Value = 0
Cells(2, 1).Value = 0
Range("A1").Select
kizami = 0.1
PA_min0 = kizami
PA_max0 = 15 - kizami
For dankai = 1 To 12
If dankai = 1 Then
PA_min = PA_min0
PA_max = PA_max0
Else
PA_min = Application.Max(PAA - kizami, PA_min0)
PA_max = Application.Min(PAA + kizami, PA_max0)
kizami = kizami * 0.1
End If
For PA = PA_min To PA_max Step kizami
PE = Sqr((PA - 3) * (PA - 3) + 4 * 4)
ratio = PA / PE
If Cells(2, 1).Value < ratio Then
Cells(2, 1).Value = ratio
Cells(1, 1).Value = PA * 4 / 2
PAA = PA
End If
Next PA
Next dankai
End Sub
　　 5月6日（木） 9:58:08　　 　　36166
ばち丸
おひさしぶりです。
PE=xとおいてPA/PE=x/√(x^2-6x+25)
全部√の中にぶちこんで分母を平方完成すると
PA/PE=√(1/((5/x-3/5)^2+16/25)
だからこの比はx=25/3で最大値5/4をとる。
∴答えは25/3・4・1/2=50/3でした。
　　 5月6日（木） 11:11:07　　 　　36167
鯨鯢(Keigei)
誰かが書いているかも知れませんが……、
△AEPで、PAを底辺とすると高さは4、PEを底辺とするときの高さをhとすると、
4×PA＝h×PE だから、PA÷PE＝h÷4。これを最大にするには、∠AEP＝90°。
このとき、△AEP＝△ABE×(5/3)×(5/3)＝50/3 ですね。
　　 5月6日（木） 11:14:41　　 　　36168
ハラギャーテイ
MATHEMATICAによる微分でした。微分の問題と考えるのは私にとって自然でした。
山口　　 5月6日（木） 11:26:29　　 HomePage:ハラギャーテイの制御工学　　36169
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
まぁ，一応算数かな，という感じで，次のように解きました。

A から PE に，E から PA に，それぞれ垂線を下ろし，それらの足を H，I とします。
すると，△AEP = PA * EI * 1/2 = PE * AH * 1/2 なので，PA/PE = AH/EI = AH/4 になります。
そこで，PA/PE が最大になるには AH が最大になればいいです。
ここで，H が E に一致しない場合には △AHE ができ，∠AHE = 90°> ∠AEH なので，AH < AE = 一定，です。
これより，H が E に一致する場合，AH = AE，が最大になります。
このとき，∠AEP = ∠AHP = 90°なので，△AEP，△EBA は相似で 3：4：5 の直角三角形です。
そこで，AE = 5 cm，PA = 5 * 5/3 = 25/3 cm，△AEP = PA * EI * 1/2 = 25/3 * 4 * 1/2 = 50/3 cm^2 になります。
ネコの住む家　　 5月6日（木） 12:19:20　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36170
スモークマン
すっかり忘れてました...^^;
GW惚け...か...?
PA/PE の最大=PE/PA の最小
PEの最小は...PA を平面に垂直に落とした影のときなので...
AE垂直PE のとき...
△AEP=5*5*(4/3)/2=50/3
♪
　　 5月6日（木） 12:22:34　　 　　36171
スモークマン
#36171
嘘でしたね...^^; Orz...
再考します...
　　 5月6日（木） 12:40:31　　 　　36172
uchinyan
掲示板を読みました。
比較的容易かも，と思ったのですが，数学解法が多く，算数っぽい解法も#36168など以外は少し面倒な気がします。
皆さん，連休ボケかな？

#36156，#36158，#36160，#36161，#36167
数学による解法。PA = x とおいて PA/PE を x の式で表す解法，三角関数による解法，などがあるようです。

#36159
＞EからAPに向けて垂線EHを、PからAEに向けて垂線PIを引く。
＞△AEPの面積の関係より、PA×HE＝AE×PI。
とし，△PEI ができるかどうかで ∠AEP = 90°のときが PA/PE が最大になることを求める解法。

#36163
＞PからAEに垂線をおろし足をF
とし，FP = PA * 4/5，△FEP を通じて PE = FP = PA * 4/5 のとき PA/PE が最大になることを求める解法。

#36164，#36165
＞Ｅを通るＡＥの垂線とＡＤの交点をＱ、ＰからＡＥに下ろした垂線をＰＲとするとき
△PRE などを通じて，P と Q が一致するとき，すなわち ∠PEA＝90°のときに，PA/PE が最大になることを求める解法。

#36166，#36169
プログラムによる解法。

#36168，#36170
A から PE に，E から PA に，それぞれ垂線を下ろし，それらの足を H，I とし，△AEP の面積より PA/PE = AH/4 を求め，
△AHE を通じて，H が E に一致するとき，すなわち ∠AEP = 90°のときに，PA/PE が最大になることを求める解法。

#36171，#36172
＞PA/PE の最大=PE/PA の最小
＞PEの最小は...PA を平面に垂直に落とした影のときなので...
＞AE垂直PE のとき...
という解法。ただ，二行目の議論は，結論は正しいのですが，PE も PA も動くので，これだけでは無理があるかも．．．
(三角関数の正弦定理を使えば明らかです。#36161の【数学２】参照。)
ネコの住む家　　 5月6日（木） 12:49:48　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36173
スモークマン
#36171
再考しました ^^
PA をAE上の点Gと結ぶとき...PG/PA の最小値は...明らかに、PG垂直AE
ってことは...AEが決まってるので...G=E のときになる♪

これならいいかな...^^?
　　 5月6日（木） 13:10:41　　 　　36174
Ｍｒ.ダンディ
#36173
> 算数っぽい解法も#36168など以外は少し面倒な気がします。
確かに #36168 はスッキリしていて いいですね。（さすがです）
　　 5月6日（木） 14:42:07　　 　　36175
金があればいい
こんばんは。
今まででもっとも早く正解を出せたような気がします。

解法としては、
（習いたての）制限定理を使って

PA/PE=sin∠PEA/sin∠PAEですが、sin∠PAEは4/5という一定の値をとるのでsin∠PEAが最大のとき 、PA/PEが最大になる、といった感じでしょうか。
ガマ星雲第58番惑星　　 5月6日（木） 19:49:58　　 HomePage:Youtubeですが＾＾；　　36176
hide
#36154
uchinyanさん
例の問題について、友人に確認をとったところ
初項a*b/10^cつまりn=0のつもりで出題していたそうです。

ということで、残る問題は
a^2 = 5^k - 1，k は 3 以上の奇数
a^2 = 2 * 5^k - 1，k は 3 以上の整数
の2つですね。

問題ミス失礼しました。
　　 5月7日（金） 13:02:43　　 　　36177
マサル
えと、この問題は元ネタありです。20年以上前の某誌に載っていました。（もちろん、出題形式は異なりますが）で、そこにも参考？別解として書かれていたのですが、想定していたのはこんな解法です。

AP上に∠AEQ=∠APEをとなるような点Qをとると、△PAEと△EAQより、PA/PE=EA/EQで、EAは一定（5cm）だから、EQが最小のとき、PA/PEは最大。よって、EQ⊥APとなるときの、△AEPの面積を求めればよい。

　　 5月7日（金） 15:35:36　　 　　36178
マサル
あ、定例アナウンス（笑）です。

6/20（日）に、大阪にてオフミを開催いたしますので、よろしければぜひどうぞー。
　　 5月7日（金） 15:36:39　　 　　36179
土城 航
ちょっと気になっているのですが
過去問ページの正解者一覧がエラーになっているのはなぜでしょうか？
　　 5月7日（金） 16:37:58　　 　　36180
マサル
> #36180
すみません、私の怠慢で、デバッグできていません...。オフミまでに何とか..と思っております。m(__)m
　　 5月7日（金） 17:03:53　　 　　36181
うたい
P'A/P'Eを固定すると、P'の軌跡がアポロニウスの円になりますよね。
この円とADとの交点をPとして、P'A/P'Eを増やして交点Pが存在しなくなったところが最大値になると思ったんですが、思ったより複雑でした。
アポロニウスの円をつかった上手い解法ないですかね？
　　 5月8日（土） 8:10:00　　 　　36182
taku
PE=x,PA=yとすると
y/x=kよりy=kx
また，三平方の定理から
x^2=(y-3)^2+16より
x^2/16-(y-3)^2/16=1
この双曲線と直線y=kx (k>0) が接するときkが最大。
このとき，k=5/4，x=20/3，y=25/3より△AEP=50/3となりました。
　　 5月8日（土） 9:45:02　　 MAIL:takuo@kcv.ne.jp 　　36183
英ちゃん
お久しぶりです。
最近、1/9801を知って感動しました。
ワハハ　　 5月8日（土） 13:11:58　　 HomePage:ぶろっぐ　　36184
uchinyan
#36177　hideさん
問題の確認，ありがとうございます。少し簡単になりましたね。
とはいうものの，a^2 = 5^k - 1，a^2 = 2 * 5^k - 1 の自然数解は，簡単そうな感じがする割には，なかなかうまくいかないです (^^;
何か，基本的な性質を見落としているような気がしているのですが．．．
ネコの住む家　　 5月8日（土） 13:37:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36185
ぽっぽ
#36141 自信はありませんが　a^2 = 5^k - 1だけ　よろしければ指摘してください
背理法で示す
5＾ｋー1=[a1+5*a2+5^2*a3+...5^m*am+1]^2とする(a1,a2,a3...を0から4の整数、am+1を1から4の自然数とする)
この時最大値の5の次数から考えてｋ＝2ｍ　また5＾ｋ−1＜[5＾ｍ]＾2よりam+1=0　
これはam+1が1から4の自然数であることに反するから矛盾する
よって5＾ｋ-1は平方数にならない
福岡　　 5月8日（土） 16:39:24　　 　　36186
ぽっぽ
最大値の5の次数ってなんかへんですね
5の最大次数という意味です　すいませんでした
福岡　　 5月8日（土） 16:41:42　　 　　36187
uchinyan
#36186
ごめんなさい，よく分からない．．．
＞a1,a2,a3...を0から4の整数、am+1を1から4の自然数とする
とおく必然性がよく分からないです。m = 0 の可能性もあるのでは？ そうしたら置き方がおかしいような．．．
＞この時最大値の5の次数から考えてｋ＝2ｍ
＞5の最大次数という意味です　
ここもよく分からない。左辺は「- 1」があり，右辺にはマイナスの項がないので，単純にこうは言えないような気が．．．
なお，明らかに，k = 1 のときは平方数です。
ネコの住む家　　 5月8日（土） 18:22:37　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36188
ぽっぽ
＞＞a1,a2,a3...を0から4の整数、am+1を1から4の自然数とする
＞とおく必然性がよく分からないです。m = 0 の可能性もあるのでは？ そうしたら置き方がおかしいような．．．
僕の書き方が悪かったかも　am+1というのはaのm+1項のことです
またこう置いた理由はすべての整数がこう表せるからです

＞この時最大値の5の次数から考えてｋ＝2ｍ
＞＞5の最大次数という意味です　
＞ここもよく分からない。左辺は「- 1」があり，右辺にはマイナスの項がないので，単純にこうは言えないような気が．．．
ここは明らかに僕のミスです　また別の方法にしないと
福岡　　 5月8日（土） 20:31:30　　 　　36189
uchinyan
#36189
えーと，要するに，5 進法で考える，ということなんだろう，とは思ったのですが，
m = 0 のときは am+1 = a1 なので 0 を取れてしまい，置き方がおかしいです。
なお，5 進法で考えると，
444…(4 が k 個)…444 = (am…a3a2a1)^2
を矛盾なく決められるか，という問題になると思います。
実はこの方向も気付いてはいましたが，場合分けが出てきて面倒そうだな，と思って止めてしまったのですが，
今少し考えてみた感じでは，結構うまくいくかも。

と思ったのですが，ちゃんと証明しようと思うと，やはり面倒そう．．．うーむ．．．

ちなみに，10 進法ならば，999…999 が平方数になるか？，という問題になりますね。
直感的には 9 以外はなりそうにない気がするのですが，どうなんでしょうか。
なおこれは，明らかに，111…111 が平方数になるか？，と同じですね。

あ，10 進法の場合は，n^2 を 100 で割った余りは 11 にならないので，簡単に解けちゃいました。
5 進法の場合は，n^2 を 25 で割った余りが 6 になることがあるので，そう簡単ではないですが，
この方向でいけるかな？

少し調べてみました。が，5 進法の場合は，残念ながら簡単ではないようです。
444…(4 が k 個)…444 = (am…a3a2a1)^2
でも，より単純な
111…(1 が k 個)…111 = (am…a3a2a1)^2
でも同じことですが，5 進数表記で下位の桁に 4 (又は 1) がいくらでも並ぶ平方数が存在するようです。
したがって，10 進法のようにどこかの桁で区切って，というアプローチは使えません。
しかし，調べた範囲の数では，上位の桁に 4 (又は 1) 以外の数が必ず現れ，解にはならないようです。
このことを数学的帰納法とか背理法とかでいえないかな，と思うのですが，いまいちうまくいっていません。
いずれにせよ，もっとスッキリした方法がないのかな．．．
ネコの住む家　　 5月9日（日） 14:34:37　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36190
大岡　敏幸
久しぶりに来ました。楽しませていただきました。
石川県　　 5月8日（土） 22:44:33　　 　　36191
die neue Frau
やはり相似形だったか…
オフミ、2010年は参加する予定です
2008年、2009年ともに行けなかったので…
地上の楽園でもないな　　 5月10日（月） 21:37:05　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　36192
die neue Frau
#36192
でも、そのことに気づかなかった…
地上の楽園でもないな　　 5月10日（月） 21:37:58　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　36193
die neue Frau
そろそろ、オフミなるものの案内が出る頃かな？
確か、HOMEに出るのよね
2007年から見てるから…
私の方も、関西へ向かう手はずは取ったから、参加できる
地上の楽園でもないな　　 5月12日（水） 23:56:53　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　36194