あみー
正三角形の半分、か…。
ちゃんとした解法とは言えないなあ
内緒　　 7月1日（木） 0:05:30　　 MAIL:amimorisama@hotmail.com 　　36401
ちゃーみー
図形でどうやって解くのだろう。正弦定理で機械的に解きました。
とうきょうとせたがやく　　 7月1日（木） 0:10:11　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　36402
fumio
こんばんは、三角形の移動で正三角形を見つけました。
5センチ＝��+�△箸いΔ海箸如�おもしろかったです。
ではまたね。
　　 7月1日（木） 0:16:05　　 　　36403
ぽっぽ
14秒！Taro様様です・・・
　　 7月1日（木） 0:20:55　　 　　36404
い
QPBCは同一円周上にある
△QPRが正三角形になるようなRをAC上にとると
△APCは二等辺三角形なのでAR＝QC
よってAR;RQ＝2:1　よってQP＝5/3
間違ってそう…　
　　 7月1日（木） 1:04:34　　 　　36405
い
QPBCは同一円周上にある、とは言えないかもしれません
すみませんでした
　　 7月1日（木） 1:29:48　　 　　36406
黒アイス
ごり押し三角関数定理で完全高校数学。

QPBCは同一円周上にあります。(∠QPA=∠QCBから)
　　 7月1日（木） 1:38:41　　 　　36407
Ｍｒ.ダンディ
三角関数を使ってゴリゴリと・・・・（またもや、知恵の輪を力づくではずした感じ）
ぼちぼちと算数でも考えてみます。
　　 7月1日（木） 1:54:28　　 　　36409
ma-mu-ta
PQ，BCの延長の交点をRとし、QCの延長上に点Sをとって正三角形QRSを作ると、
△AQP∽△ABC∽△RSC
このとき、∠QRB＝∠QBRとなり、△QRBは二等辺三角形
QR＝QB＝5より　RS＝QS＝QR＝5　
すると、AQ＝RS＝5より△AQP≡△RSCだから、QP＝SC
QP＋QC＝SC＋QC＝QS＝5，　QP：QC＝1：2　より
QP＝5×1/(1＋2)＝5/3
　　 7月1日（木） 2:35:54　　 　　36410
abcba@jugglermoka
これって算数解?
ＰからACに垂線を下ろしてACとの交点をDとすれば△PAQ∽△CABにより
2AD:AB=AC:ABなので点DはACの中点になる。ここからPQ=5/3と求まる。
　　 7月1日（木） 7:50:52　　 　　36411
CRYING DOLPHIN
△QCBを移動させて△RDAをつくる。ただし移動後の点Bは点Aに一致し、
移動後の点Cは辺AB上にあり、移動後の辺QCは辺ACと交点を持たない。
角QBC＝角RAD＝o、角ABQ＝角QAB＝xとすると、60度＝ox、180度＝oooxxx。
すると、△AQRは正三角形であり[★]、点Pは辺QR上にあることがわかる。
さらに、角DPR＝角RDP＝oxxなので、△RDPはRD＝RPの二等辺三角形[☆]。

RP＝RD＝QCであることと★☆よりQP＋QC＝5cm、そしてQP：QC＝1：2
より、答えは5÷3＝5/3cm。

正確な作図をして5/3という答えモドキをだしたのち、それを立証する
ために編み出した強引な解法です。
△QBCと△RAPが合同でなかったところが廃道(謎)の入口でした...
誰もいない市街地　　 7月1日（木） 9:28:04　　 HomePage:算数と隧道　　36412
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今日はいろいろと忙しいのですが，平面幾何らしい問題は，久し振り，という感じで，すっかり堪能してしまいました (^^;

(解法1)
△BPQ を B の回りに時計回りに回転し BP を BC に重ね，P，Q の移動先を P'，Q' とします。
すると，BQ = BQ'，∠QBQ' = ∠QBP' + ∠P'BQ' = ∠QBC + ∠PBQ = ∠PBC = ∠ABC = 60°なので，
△BQQ' は正三角形で，QQ' = QB = AQ = 5cm です。
さらに，∠BP'Q' = ∠BPQ = ∠QAP + ∠AQP = ∠CAB + 60°= ∠CAB + ∠ABC = ∠P'CA より P'Q'//AC で，
QQ' とBP' との交点を R とすると，△P'Q'R ∽ △CQR になります。
さらに，
∠QRC = ∠QRB = 180°- ∠RBQ - ∠RQB = 180°- (∠CBA - ∠QBA) - ∠Q'QB
= 180°- (60°- ∠CAB) - 60°= ∠CAB + 60°= ∠P'CA = ∠QCR
より，△CQR は QR = QC の二等辺三角形で，△P'Q'R も Q'R = Q'P' の二等辺三角形になり，
QP + QC = Q'P' + QC = Q'R + QR = QQ' = 5 cm です。
そこで，QP：QC = 1：2 より，QP = 5 * 1/(1 + 2) = 5/3 cm になります。

△BCQ を B の回りに反時計回りに回転し BC を AB に重ねて正三角形を作っても，同様にできます。
この方が分かりやすそうですね。

(解法2)
QP を P の方に延長し QD = 5 cm となる点 D を取ります。すると，△QAD は正三角形です。
さらに，AB 又はその延長上に ∠DEA = ∠DAB となる点 E をとります。△DAE は DA = DE の二等辺三角形です。
すると，△DEP，△QBC において，
DE = DA = QA = QB = 5 cm
∠DEP = ∠DEA = ∠DAE = ∠DAQ - ∠QAB = 60°- ∠QAB = ∠CAB - ∠QAB = ∠QBC
∠DPE = ∠QPA = 180°- ∠QAP - ∠AQP = 180°- ∠CAB - ∠ABC = ∠ACB = ∠QCB
∠EDP = 180°- ∠DEP - ∠DPE = 180°- ∠QBCQ - ∠QCB = ∠BQC
より，△DEP ≡ △QBC となり，DP = QC になります。
そこで，QP + QC = QP + DP = QD = QA = 5 cm，QP：QC = 1：2 より，QP = 5 * 1/(1 + 2) = 5/3 cm になります。

(解法3)
算数ではないですが．．．
∠AQP = 60°= ∠CBP より，□QPBC は円に内接します。また，QA = QB より ∠QAB = ∠QBA です。
そこで，∠PCQ = ∠PBQ = ∠QAP なので，△PAC は PA = PC の二等辺三角形です。
ここで，P より AC に垂線を下ろしその足を H とすると，AH = CH です。
一方で，∠PQA = 60°より QH = PQ/2 になり，AH = CH = CQ + QH = PQ * 2 + PQ/2 = PQ * 5/2 です。
これらより，AQ = AH + QH = PQ * 5/2 + PQ/2 = PQ * 3，AQ = 5 cm より，PQ = 5/3 cm になります。

まだまだありそうですね。

掲示板を読むのは遅くなるかもしれません．．．
ネコの住む家　　 7月1日（木） 14:33:50　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36413
Ｍｒ.ダンディ
何とか算数で解きなおしました。
ＢＣのＣ側も延長上にＡＢ＝ＢＤである点Ｄをとって、正三角形ＡＢＤをつくり、ＢＤの中点をＭとします。
ＱからＡＢ，ＢＤに垂線ＱＨ，ＱＨ’をおろすと△ＱＰＨ∽△ＱＣＨ’となり
ＱＨ：ＱＨ’＝１：２　、△ＱＡＢ＝△ＭＱＢ
よって、ＢＱの延長とＡＭ，ＡＤの交点をそれぞれＥ，Ｆとすると
ＡＥ＝ＥＭ
△ＡＤＣとＢＦで、メネラウスの定理より
ＡＦ：ＦＤ＝1：2　⇒ＡＦ：ＡＢ＝1：3
△ＡＰＱ∽△ＡＣＢ　より、ＰＱ＝（1/3）ＡＱ＝5/3　（※）
（全然、いけてないな〜）
〔追記〕（※）タイプミスがあったので修正しました。
　（uchinyanさん　ご指摘有難うございました）
　　 7月1日（木） 19:26:52　　 　　36414
マサル
えと、私は、ACの延長上に、∠RBA=90°となる点Rをとり、さらにRからBCに垂線RHを、またQからABに垂線QIをとって、△RHC≡△QIPを導く、という解放を考えていました。
　　 7月1日（木） 15:57:30　　 　　36415
ハラギャーテイ
偶然入りました。5/2かなと思って駄目なので5/3にしたら当たりました。本当に偶然です。
山口　　 7月1日（木） 16:16:21　　 HomePage:ハラギャーテイの制御工学　　36416
uchinyan
掲示板を読みました。
ただ，私には，まだ？，理解できていない解法がいくつかあります (^^;

#36401，#36403
残念ながら，正三角形，というキーワードはあるものの，詳細が分からない解法たちです。

#36402，#36407，#36409
数学による解法。

#36405
□QPBC が円に内接すること，△APC は二等辺三角形になること，を使い，
さらに，△QPR が正三角形になるような点 R を AC 上に取って考える解法。

#36410
＞PQ，BCの延長の交点をRとし、QCの延長上に点Sをとって正三角形QRSを作ると、
として考える解法。

#36411
＞ＰからACに垂線を下ろしてACとの交点をDとすれば△PAQ∽△CABにより
＞2AD:AB=AC:ABなので点DはACの中点になる。
として考える解法。ただ，私には，「2AD:AB=AC:AB」がどうしていえるのか分からないです (^^;

#36412
＞△QCBを移動させて△RDAをつくる。ただし移動後の点Bは点Aに一致し、
＞移動後の点Cは辺AB上にあり、移動後の辺QCは辺ACと交点を持たない。
として考える解法。ただ，私は，まだ追い切れていません (^^;

#36413の(解法1)
△BPQ を B の回りに時計回りに回転し BP を BC に重ねて正三角形を作って考える解法。
同じようにして，△BCQ を B の回りに反時計回りに回転し BC を AB に重ねて正三角形を作って考える解法も示唆されています。

#36413の(解法2)
QP を P の方に延長し QD = 5 cm となる点 D を取って正三角形を作り，
さらに，AB 又はその延長上に ∠DEA = ∠DAB となる点 E を取って二等辺三角形を作って考える解法。

#36413の(解法3)
□QPBC が円に内接すること，△APC は二等辺三角形になること，を使う解法。
#36405とほぼ同じですが，若干面倒です。

#36414
＞ＢＣのＣ側も延長上にＡＢ＝ＢＤである点Ｄをとって、正三角形ＡＢＤをつくり、ＢＤの中点をＭとします。
その後，相似，三角形の面積比経由で，メネラウスの定理，相似などを使って解く解法。
なお，
＞△ＡＰＱ∽△ＡＣＢ　より、ＰＱ＝（1/3）ＡＱ＝3/5
△ABF ≡ △ABC も使っているようですが，最後は 5/3 ですね (^^;

#36415
マサルさんの想定解。
＞ACの延長上に、∠RBA=90°となる点Rをとり、さらにRからBCに垂線RHを、またQからABに垂線QIをとって、△RHC≡△QIPを導く
という解法。なるほど。これは簡単だ。

#36416
勘！
ネコの住む家　　 7月1日（木） 18:27:31　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36417
鯨鯢(Keigei)
遅くなりました。

QA＝QB と 四角形QPBCが円に内接することから、∠PAQ＝∠PBQ＝∠PCQ。
よって、△PACは AC を底辺とする二等辺三角形になる。
△PQRが正三角形になるように、線分 AQ 上に点R をとると、
CR＝AQ だから、3QP＝5cm、QP＝(5/3)cm になります。
　　 7月1日（木） 18:45:47　　 　　36418
あっ
余弦定理を２回つかった。
算数の解き方わかりませんでした。
　　 7月1日（木） 19:40:27　　 　　36419
スモークマン
同じく...
算数わからず...^^;
5^2+x^2-10x*cos60°=x^2+4x^2+4x^2*cos60°
6x^2+5x-25=(2x+5)(3x-5)=0
x=5/3
　　 7月2日（金） 17:13:36　　 　　36420
ど〜もどす
簡単すぎて声も出ない

　　 7月2日（金） 21:45:47　　 　　36421
ゴンとも
座標に置きました。今回座標にのりやすく3ステップぐらいでできました。

図を座標に
A(-5,0),Q(0,0),C(2*a,0),P(-a/2,-sqrt(3)*a/2)と置くことにした。
ここで点A,Pを通る直線を求めると
e1:-sqrt(3)*a/2=k*-a/2+l$
e2:0=k*-5+l$
solve([e2,e3],[k,l]);k=sqrt(3)*a/(a-10),l=5*sqrt(3)*a/(a-10)
直線AP:y=sqrt(3)*a*x/(a-10)+5*sqrt(3)*a/(a-10)
これとx^2+y^2=25との交点がBなのでそれを求めると
e3:y=sqrt(3)*a*x/(a-10)+5*sqrt(3)*a/(a-10)$
e4:x^2+y^2=25$
solve([e3,e4],[x,y]);x=-(5*a^2+50*a-250)/(2*a^2-10*a+50),y=(5*sqrt(3)*a^2-50*sqrt(3)*a)/(2*a^2-10*a+50)
この点と(2*a,0)との距離は
factor((2*a+(5*a^2+50*a-250)/(2*a^2-10*a+50))^2+(0-(5*sqrt(3)*a^2-50*sqrt(3)*a)/(2*a^2-10*a+50))^2);
25*(a-10)^2/(a^2-5*a+25)　より
5*(10-a)^2/sqrt(a^2-5*a+25)
点Bと(-5,0)との距離は
factor((-5+(5*a^2+50*a-250)/(2*a^2-10*a+50))^2+(0-(5*sqrt(3)*a^2-50*sqrt(3)*a)/(2*a^2-10*a+50))^2);
(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/(a^2-5*a+25)　より
sqrt(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/sqrt(a^2-5*a+25)
ここで△ABCに余弦定理を使用して
(2*a+5)^2=25*(a-10)^2/(a^2-5*a+25)+(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/(a^2-5*a+25)-(5*(10-a)/sqrt(a^2-5*a+25))*(sqrt(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/sqrt(a^2-5*a+25))
これをmupad light 2.5.3 で解くと
solve((2*a+5)^2=25*(a-10)^2/(a^2-5*a+25)+(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/(a^2-5*a+25)-(5*(10-a)/sqrt(a^2-5*a+25))*(sqrt(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/sqrt(a^2-5*a+25)),a);
a=10(不適),5/3・・・・・・（答え）
豊川市　　 7月4日（日） 14:37:17　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　36422
どーもです
ど〜もどすさん、うそはやめましょう。
秘密っす　　 7月6日（火） 20:05:47　　 　　36423
uchinyan
今週はお休みでしたね。うっかりしておりました (^^;
ネコの住む家　　 7月8日（木） 10:13:26　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36424
ハルカ
急にすいません＾＾；
ちょっと気付いたんですが、
四角形BPQCは円に内接するので、∠PQR:∠QBC=弧PQ:弧QC=1:2となって、
∠QBP=20°　∠QBC=40°というのは正しいのでしょうか？
　　 7月14日（水） 0:57:53　　 　　36425
ぽっぽ
#36425　PQ:QCは1：2だけど弧PQ：弧QCは1：2でないと思います
　　 7月14日（水） 7:20:44　　 　　36426