英ちゃん
難しく考えすぎた・・・。30度に気づけばすぐですね。
ワハハ　　 9月2日（木） 0:09:28　　 HomePage:ぶろっぐ　　36704
みかん
ＱＰはＢＣの垂直二等分線、あとは３０度・６０度・９０度の
直角三角形ができる、という感じでしょうか。

問題作成の過程でいじっているうちに、意図しないで易しい問題に
なってしまったのでしょうか？
　　 9月2日（木） 0:09:44　　 　　36705
fumio
こんばんは。お久しぶりぶりです。
9月に入り少しは朝晩が涼しくなったような、なっていないような・・・。
なんとかこの夏、乗り切れました。よかったよかった。ははは。ではまたね。
　　 9月2日（木） 0:14:20　　 　　36706
マサル
え？30度？しまった、ミスしてしまった...か。m(__)m
　　 9月2日（木） 0:17:04　　 　　36707
むらかみ
#36707
え？30度で解くんじゃないのか……
　　 9月2日（木） 0:20:40　　 　　36708
むらい
皆さん速いですね。　私はＰＱを引いてそのあとはセコセコ同じ角度に
印をつけていきました。
AQ=8/3 を出して、∠BQP=∠PQR=∠AQR　より　これらは60度
よって、△AQRは、30，60，90の直角三角形となり、8/3 × 1/2 = 4/3
サイタマ　　 9月2日（木） 0:24:49　　 　　36709
cyclone
図形は苦手だなぁ、やっぱり
中央区　　 9月2日（木） 0:28:44　　 　　36710
マサル
そうか、やはりPを中点にしたのが失敗でした...。最初はBP:PC=2:1とかで作ってたんですが、Illustratorで適当に図を描いたら1:1っぽくなったので、「じゃあ問題を1:1に変更しよう」ということでこうしちゃったんですよね...。ううむ。
　　 9月2日（木） 0:30:38　　 　　36711
o
算チャレ史に残る易問
　　 9月2日（木） 6:09:25　　 　　36712
ぽっぽ
1:2だったら2/3かな
玄界灘の奥　　 9月2日（木） 6:34:41　　 　　36713
まるケン
#36711
2:1だとぺったんこで三角形にならなそう、、、
1:2だと、、、4/5?
a:bだと、、、、、、8×a／(2a+4b) ???

なぜかはまだわかってない、、、
どなたか、解説を。
だいたい家　　 9月2日（木） 8:28:46　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　36714
まるケン
できたぁ〜！！

一般化して、ＢＰ：ＰＣをａ：ｂとします。

ＣＱの延長に、ＳＡとＢＣが平行となるような点Ｓをとります。

三角形ＲＡＳと三角形ＲＰＣを見ると、ＡＲ＝ＲＰですから、ＳＡ＝ＰＣ。また、三角形ＱＡＳと三角形ＱＢＣは相似ですから、ＳＱ：ＱＣ＝ＳＡ：ＢＣ＝ｂ：ａ＋ｂです。

これらより、ＳＱ：ＱＲ＝ｂ：（ａ＋２ｂ）／２−ｂ＝ｂ：ａ／２であることがわかります。

一方、角ＱＳＡ＝角ＱＡＳですから、ＳＱ＝ＡＱで、ＡＱ＝ＡＢ×ｂ／（ａ＋２ｂ）。

ということで、これらを総合すると、
ＱＲ＝ＡＢ×ａ／２（ａ＋２ｂ）

今回の問題のように、ＡＢ＝８ｃｍ、ａ＝ｂならＱＲ＝４／３ｃｍ、
ＡＢ＝８ｃｍ、ａ：ｂ＝１：２なら、４／５ｃｍとなりますね。
だいたい家　　 9月2日（木） 10:11:48　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　36715
abcba@jugglermoka
#36711,#36713,#36714
私の計算では
BP:PC=1:NのときQR=4/(2N+1)になりました。
Nの値によらずCR=4なのはエレガントですね。
算数の範囲で解けました。
　　 9月2日（木） 10:38:34　　 　　36716
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは易しめでしたね。こんな感じで。

AP を P の方に延長し B から垂線を下ろしてその足を H とします。QC//BH，∠PBH = ∠PCR です。
そこで，BP = CP より，△PBH ≡ △PCR で，BH = CR，PH = PR です。
さらに，△CAR ≡ △CPR なので AR = PR で，AR：AH = 1：3，AR：RH = 1：2 になります。
ここで，QC//BH だったので，AQ：QB = AR：RH = 1：2，QB = AB * 2/(1 + 2) = 8 * 2/3 = 16/3 cm，QR：BH = 1：3 です。
一方で，∠QBC = ∠QCB より QC = QB = 16/3 cm で，BH = CR だったので，QR：CR = QR：BH = 1：3 で，
QR = QC * 1/(1 + 3) = 16/3 * 1/4 = 4/3 cm になります。

解き終わってから，AQ = 8/3 cm より，AQ：QR = 2：1 で，これから，∠ABC = 30°，∠BCA = 60°，∠CAB = 90°に気付きました。
そういえば，それっぽい図ですね。当て勘でも解けちゃいそうな気がしてきました (^^;
ネコの住む家　　 9月2日（木） 12:11:09　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36717
die neue Frau
やはり簡単だった
30°、60°、90°の直角三角形を考えればすぐに出る
あ〜残念無念
地上の楽園でもないな　　 9月2日（木） 12:13:32　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp HomePage:die neue Frauのブログです　　36718
uchinyan
掲示板を読みました。

#36703，#36705，#36709，#36718
△BCA，△CAR，△AQR などが 30°，60°，90°の直角三角形を利用する解法。

#36715
CQ の延長に SA//BC となる点 S を取って考える解法。

#36717
AP を P の方に延長し B から垂線を下ろしてその足を H として考える解法。

なお，

#36715
＞一般化して、ＢＰ：ＰＣをａ：ｂとします。
＞．．．
＞ＱＲ＝ＡＢ×ａ／２（ａ＋２ｂ）
#36716
＞BP:PC=1:NのときQR=4/(2N+1)になりました。
＞Nの値によらずCR=4なのはエレガントですね。
私の#36717の解法で，両者を確認しました。確かになりますね。
特に，CR = AB/2 になるのは，確かにキレイ ^^/
ネコの住む家　　 9月2日（木） 15:44:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36719
マサル
まさに、CR=AB/2になるという性質に「気付けば解ける」問題にしようと思って作ったのですが...ううむ、PをBCの中点にしたばっかりに...orz
　　 9月2日（木） 12:33:58　　 　　36720
ハラギャーテイ
数式を使いました。相似とピタゴラスの定理です。
山口　　 9月2日（木） 13:56:55　　 HomePage:ハラギャーテイの制御工学　　36721
imai
AQPCはCQを直径とする円に内接する四角形
徳島　　 9月2日（木） 16:07:45　　 　　36722
巌窟王
この問題はちょっとどうかと思いますが・・・
　　 9月2日（木） 23:25:19　　 　　36723
マサル
#36723（巌窟王さん）

　申し訳ございませんでした。数値調整の途中で■=30度になってしまうような設定になってしまいました...。m(__)m
　　 9月3日（金） 7:11:58　　 　　36724
金があればいい
（雑ですが・・・）
PからABに平行線を引き、ACとの交点をSとする。
またPからABに平行線を引き、ABとの交点をTとすると、
四角形ATPSの内角は4つ全て等しい大きさになります。
∠ASP=∠PSC=90度だから∠SPC=30度
またPQ=4cm
あとは相似

数ヶ月前から何でか算チャレが解けなくなってきている気がして（笑）、リフレッシュのためしばらく来ていなかったのですが、今回は大好きな平面図形の分野だったので解いてみました。
まぁどちらかというと簡単でしたが、やっぱり算数は面白いですね。

今日、2011年度日本数学オリンピック予選への出場を申し込んできました。
　　 9月3日（金） 23:10:13　　 　　36725
ひしちゃんさん
今回は瞬殺！
　　 9月4日（土） 21:43:32　　 　　36726
大岡　敏幸
久しぶりに来ました（＾＾）やはり気分転換には良いですね。
次回のオフミには参加したいですね。
石川県　　 9月7日（火） 22:14:18　　 　　36727
モラトリアム→∞
30°に気づいてしまえばすぐに解けてしまいますよね
　　 9月7日（火） 23:25:55　　 HomePage:独創的「脳」力　養成委員会　　36728