ちゃーみー
余弦定理で BQ=13 を求めて二等分線の定理。
他の部分は算数解法の場合のヒント？
　　 2月24日（木） 0:10:43　　 　　37445
だいすけ
△ＢＣＱだけですんでしまいました。。
数学使っちゃいましたが。
大阪府吹田市　　 2月24日（木） 0:11:01　　 MAIL:dice-k@onyx.ocn.ne.jp HomePage:だいすけの部屋　　37446
Ｍｒ.ダンディ
#37446　と同じく
条件としては図の上半分は不要。
いや、算数の解法として上半分を使うのかな　？
　　 2月24日（木） 0:26:08　　 　　37447
むらい
同じく、平行と８ｃｍと上底の７ｃｍは使いませんでした
最初座標計算で二直線の交点でとゴリゴリに解こうと思いましたが断念。
よく考えたら余弦定理で１３でますね・・・
結局違う座標を計算し、１３出して、二等分線で７：１５に分けました
いろいろ条件があって迷いました・・・
サイタマ　　 2月24日（木） 0:25:33　　 HomePage:出題中　　37448
マサル
帰宅しました。

う、スミマセン、数学を使えば簡単でした..。思えば、問題の確認の際には自分でも使っていたのに..。orz

お察しの通り、その他の条件は、数学的知識（余弦定理、座標、三平方等）を使わずに算数的解法で解くためのものということになります。m(__)m
iMac　　 2月24日（木） 0:38:34　　 HomePage:Men @ Work　　37449
ファルコン
正六角形に内接する小正六角形の一部(の正三角形)ですね。
　　 2月24日（木） 2:36:46　　 　　37450
ゴンとも
余弦定理と角の二等分線を使って

15^2+7^2-2*15*7/2$
sqrt(%)*15/22;195/22・・・・・・（答え）
　　 2月24日（木） 7:09:32　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　37451
fumio
おはようございます。久しブリブリの参加です。
解けてよかった・・・。ははは。相似形の利用で解きました。
165/7：AB=QB:7、AB=QBよりAB×QB＝169、QB=13、13×15/22＝195/22
とかなんとかです。ではまたね。・・・解けてよかった・・・。ははは。
　　 2月24日（木） 7:50:51　　 　　37452
ゲーム１０種目ランキング戦
最初は数学で答を求めました。その後、無理をした算数解。
�、�ADB≡△QCB→�□�ABQ=正三角形
��□ABQDの面積＝△BCDの面積＝1辺15の正三角形=15*15*T（T=60or120のsin）
�あ�ABQDは△ABQ+△AQB、ここで△AQDの面積は8*7*T
��BQ*BQ*T=15*15*T-8*7*T→BQ=13→13*15/22
算数といえるか疑問ですが？
　　 2月24日（木） 10:07:02　　 　　37453
Ｍｒ.ダンディ
何とか算数で
ＤとＢ、ＡとＱを結ぶと
△ＤＢＣは正三角形　→△ＱＢＣ≡△ＡＢＤ→△ＡＢＱは正三角形

△ＱＡＤ＝△ＣＡＤ*(8/15)＝△ＤＢＣ*(7/15)*(8/15)＝(56/225)△ＤＢＣ
△ＡＢＱ＝□ＤＡＢＣ−△ＱＡＤ＝△ＤＢＣ−(56/225)△ＤＢＣ
　　　　＝(13/15)^2*△ＤＢＣ
相似比が 13：15　となるので、ＢＱ＝13
ＢＲ＝(15/22)*ＢＱ＝(15/22)*13＝195/22

としました。（もっとスマートな解法があるのでしょうね）
　　 2月24日（木） 10:19:05　　 　　37454
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは数学では簡単，しかも △QBC までで十分，ですが，算数でどうするか，ですね。
もっとうまい解法もありそうですが，条件を目一杯使って，こんな感じで解きました。

まず，BC = CD，∠BCD = 60°なので △DBC は正三角形です。そこで，BD = BC，∠BDC = ∠DBC = 60°です。
また，AD//BC なので ∠ADC = 180°- ∠BCD = 180°- 60°= 120°で，∠BDA = ∠ADC - ∠BDC = 120°- 60°= 60°= ∠BCQ です。
さらに，AD = 7 cm = CQ なので，△ABD ≡ △QBC となり，BA = BQ，∠ABD = ∠QBC です。
そこで，∠ABQ = ∠ABD + ∠DBQ = ∠QBC + ∠DBQ = ∠DBC = 60°となり，△ABQ も正三角形です。
これより，△ABQ：△DBC = (BQ * BQ)：(BC * BC) = (BQ * BQ)：(15 * 15) です。
一方で，△ABQ = □ABCD - △ADQ - △QBC で，
また，AD や BC を底辺にしたときの □ABCD，△ADQ，△QBC，△DBC の高さの比が 15：8：7：15 なので，
△ABQ：△DBC = (□ABCD - △ADQ - △QBC)：△DBC
= ((7 + 15) * 15 - 7 * 8 - 15 * 7)：(15 * 15) = 169：(15 * 15) = (13 * 13)：(15 * 15)
となって，(BQ * BQ)：(15 * 15) = (13 * 13)：(15 * 15)，つまり，BQ = 13 cm になります。
後は，∠BCR = ∠QCR なので BR：QR = BC：QC = 15：7 なので，
BR = BQ * 15/(15 + 7) = 13 * 15/22 = 195/22 cm
になります。

あ，別解を思いつきました。
△ABQ は正三角形，までは，先ほどと同じです。そこで，∠QBA = 60°，BA = BQ です。
ここで，AD の D の方への延長と，BQ の Q の方への延長との交点を E とします。
すると，△QED ∽ △QBC なので，ED：BC = DQ：CQ，ED：15 = 8：7，ED = 15 * 8/7 = 120/7 cm です。
さらに，∠BCQ = 60°= ∠QBA = ∠EBA，∠QBC = ∠BEA なので，△QBC ∽ △AEB になり，
BQ：CQ = EA：BA，BQ：CQ = (AD + ED)：BQ，BQ：7 = (7 + 120/7)：BQ，BQ：7 = (169/7)：BQ，
BQ * BQ = 169/7 * 7 = 169 = 13 * 13，つまり，BQ = 13 cm になります。
後は同じです。

どっちがいいかな．．．
ネコの住む家　　 2月24日（木） 13:12:47　　 　　37455
uchinyan
掲示板を読みました。
やはり，数学による解法が多いようです。

#37453，#37454，#37455の最初の解法，#37462
△ABQ が正三角形になることと，面積の計算から BQ を求めて解く解法。

#37455の別解，多分#37452
△ABQ が正三角形になることと，AD の D の方への延長と，BQ の Q の方への延長との交点 E を使って相似で BQ を求めて解く解法。
なお，#37452の
＞165/7：AB=QB:7、AB=QBよりAB×QB＝169、QB=13、13×15/22＝195/22
の 165/7 は 169/7 の書き間違いではないのかなぁ．．．

#37459
A，D，P に関する情報を使わず，△QBC に関する情報だけを使った解法。
面積を使う解法と相似だけで解く解法があります。

#37445，#37446，#37447，#37448，#37451，#37457，#37458，#37460，#37461
数学による解法。
三角関数の余弦定理を使うのが簡単ですが，座標はもちろん，三平方の定理までの初等幾何でもできます。
それ以外の初等幾何の定理を使ってもできますね。

なお，解法としての記述なのかどうか不明ですが，一応，解法として補足しておくと．．．
#37450
＞正六角形に内接する小正六角形の一部(の正三角形)ですね。
という事実を使う解法。
この事実自体は，DA の A の方への延長と CP の P の方への延長との交点を S として，
∠SDC = 120°，△DBC は正三角形，∠SDB = 60°，BD⊥PC，DS = DC = 15 cm，AS = 8 cm，などから明らかでしょう。
これだけでは具体的にどう解いたのかは分かりませんが，これを使えば，△ABQ が正三角形になることは明らかで，
この後，例えば面積に注目すると，
△DBC * 6 = 大正六角形 = 小正六角形 + △DAQ * 6 = △ABQ * 6 + △DAQ * 6
△DBC = △ABQ + △DAQ，△ABQ = △DBC - △DAQ
なので，∠ADQ = 120°だから，
△ABQ：△DBC = (△DBC - △DAQ)：△DBC = (15 * 15 - 7 * 8)：(15 * 15) = 169：(15 * 15) = (13 * 13)：(15 * 15)
一方で，△ABQ：△DBC = (BQ * BQ)：(BC * BC) = (BQ * BQ)：(15 * 15) より，BQ = 13 cm がいえますね。
ネコの住む家　　 2月26日（土） 9:12:42　　 　　37456
次郎長
どうにも閃かないので、凄い数字の計算をしました。
ＢＣ＝１５ｃｍでは計算がややこしいので、ＢＣ＝３０として
Ｂ（０，０）
直線ＢＱ：Ｙ＝７√３Ｘ／２３
直線ＣＰ：Ｙ＝−√３Ｘ／３＋１０√３を解いて
Ｐ（３４５／２２、７√３／２３＊３４５／２２）
ＯＰ＾２＝１５２，１００／４８４
ＯＰ＝３９０／２２
２で割って、１９５／２２

無茶苦茶。
でも解けて、入って、皆さんの解法見て、にゃあーるほど！

まぁ、たまにはいいか。
今回は勘だけでは入れませんでした。
　　 2月24日（木） 13:39:12　　 　　37457
大岡　敏幸
うーん、今回は余弦定理と二等分線の定理を使いました。算数的な解法はなかなか思いつきませんでした（＾＾；
　　 2月24日（木） 17:47:59　　 　　37458
uchinyan
A，D，P に関する情報を使わず，△QBC に関する情報だけを使った，一応は算数かな，という解法です。

BC 上に CF = CQ = 7 cm の点 F を取ります。すると，△QFC は正三角形で，BF = 8 cm，∠QFB = 120°です。
また，∠FBQ + ∠BQF = ∠QFC = 60°になります。
ここで，BC を C の方へ延長した線上に ∠CQG = ∠FBQ となる点 G を取ります。
∠GCQ = 120°= ∠QFB なので △CQG ∽ △FBQ です。
そこで，CG：QG：CQ = FQ：BQ：FB，CG：QG：7 = 7：BQ：8，CG = 49/8 cm，QG = BQ * 7/8 になります。
また，∠BQG = ∠BQF + ∠FQC + ∠CQG = ∠FQC + ∠BQF + ∠FBQ = 60°+ 60°= 120°です。
これより，一辺が 1 cm の正三角形の面積を単位 1 にして面積を考えると，
△QBG = BQ * QG = BQ * BQ * 7/8
△QBG = △CBQ + △CGQ = CB * CQ + CG * CQ = 15 * 7 + 49/8 * 7 = 169 * 7/8 = 13 * 13 * 7/8
そこで，BQ * BQ * 7/8 = 13 * 13 * 7/8 となって，BQ = 13 cm がいえます。
後は，∠BCR = ∠QCR なので BR：QR = BC：QC = 15：7 なので，
BR = BQ * 15/(15 + 7) = 13 * 15/22 = 195/22 cm
になります。

面積を使わずに，その部分は，△QBG ∽ △FBQ，BG = BC + CG = 15 + 49/8 = 169/8 より，
BQ：BG = FB：BQ，BQ：(169/8) = 8：BQ，BQ * BQ = 169/8 * 8 = 169 = 13 * 13，BQ = 13 cm
としてもいいですね。この方が分かりやすいかな。

これらの算数解法を認めるならば，まぁ当然ですが，やはり上半分の情報は，算数であっても，問題を解くには不要で，
想定解？への単なるヒントでしかない，ということになりそうですね (^^;
ちなみに，解法のキレイさからして，想定解は#37450の方向かな？
ネコの住む家　　 2月25日（金） 10:54:42　　 　　37459
ハラギャーテイ
BQを余弦定理で求めて＜DBQを再び余弦定理んで求めてBRを三角関数で計算しました。
考えてみるとAD=7を使っていなかったです。PDの長さを求める問題とすれば上の図が
要るようです。
山口　　 2月24日（木） 19:38:44　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　37460
aibo
△ABQが正三角形まで行きましたが、根性なく三平方で13
出して、角の二等分線で終了
　　 2月25日（金） 1:28:42　　 　　37461
aibo
算数でできました。
△ＤＢＣ＝１５、四角形ＡＢＱＤ＝１５（△ＡＢＤ（７）＋△ＤＢＱ（８））、
△ＡＢＱ＝四角形ＡＢＱＤ−△ＡＤＱ＝１５−７×（８/１５）＝１６９/１５
△ＤＢＣ∽△ＡＢＱ＝１５：１６９/１５＝１５^２：１３^２
よってＢＱ＝１３
ＢＲ：ＲＱ＝１５：７より
１３×（１５/２２）＝１９５/２２
　　 2月25日（金） 1:49:54　　 　　37462
hide
BQ=13を求める以外は算数で。
CP,BQをADと交わるまで延長して相似を使いました。
　　 2月25日（金） 13:17:01　　 　　37463
どーもです
算数の解法が思いつかなかったので三平方を使ってしまった・・・。
どこでしょう　　 2月25日（金） 18:02:39　　 HomePage:プロフィールとブログ　　37464
マサル
東大入試、やってみました。以下、所感を。（理系です）

1.なんだかダサい問題だなぁ、という感じ。まぁ、多くの受験生をリラックスさせるには良かったのかも。かなり簡単。

2.面白い問題だと思う。誘導も適切。(2)と(3)は小さい数で試して「ははーん」という感じになりました。文系でも理系でも適度な難度と思う。

3.誘導が親切なので(2)の積分の式まではほぼ全員がたどり着くのでは、と思う。問題はそこからの計算かな。少し馬力がいるかな。(2)のf(a)は何を表しているんでしょう？

4.基礎的な問題。変域の求めわすれがありそうかな。

5.問題設定が分かりづらかった。まぁ、具体的な数で試せばすぐに分かりますが。なんか、数年前にも似たようなのがあった気が。難易度は東大としては標準的かな。

6.(3)で0<x<=1を見落として「エラいことになった..」と途方にくれてしまいました。問題としては、非常に面白く楽しかったです。二次関数の最大・最小問題からこんな問題が作れるとは..という感じ。難度は高いと思う。

全体としては、昨年よりは（1.とか4.とかがある上に、誘導が多いので）得点はしやすい感じ。たぶん、昨年よりは差がつくセットかな、と思う。６完するにはかなりの計算力が必要と思います。
iMac　　 2月26日（土） 4:34:13　　 HomePage:Men @ Work　　37466
uchinyan
#37466
そうか。もう国立大学の入試だったんですね。私も時間を見つけて解いてみます。
ネコの住む家　　 2月26日（土） 17:45:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　37467
きょろ文
お久しぶりです

正三角形を２つみつけて回転移動…

いろいろ考えてから
余弦定理と角の2等分線の定理でやりました
まあ余弦定理(60度120度の場合)と2等分線の定理は算数範囲で証明ができるのでいいんじゃないでしょうか…
　　 2月27日（日） 2:50:37　　 　　37468
uchinyan
東大理系，京大理系の入試問題を私も解いてみました。以下感想です。

東大理系

1. 座標を使った平面幾何。
標準的な問題で，計算でゴリゴリやっても大したことはないです。図形的な考察を交えれば，人によっては暗算レベルかも。
それだけに，絶対に落とせない問題です。

2. 数列＋整数関連の問題かな。
定義にしたがって調べていけばできると思います。ただ，(3)は証明をちゃんと書けるかどうかですね。
実は，連分数展開と関係しており，それを知っている人には有利かも。特に(3)はユークリッドの互除法です。
もちろん，知らなくてもできます。

3. 図形がらみの積分と極限の問題。
これも，計算をしっかりできるかどうかです。
個人的には(3)がピンとこないのですが，(2)(3)は何か直感的に意味のありそうな感じです。

4. 図形の軌跡の問題。
これも，条件を式にして軌跡の式を出すだけですが，その存在範囲をうっかり忘れないかどうかですね。

5. 一応，場合の数の問題なのかなぁ。
一見，題意が取りにくい問題ですが，実際に例で試してみればいいでしょう。
題意が分かってしまえば，後は数えるだけ。ただ，細かいうっかりミスに要注意かな。

6. 二次関数＋存在条件＋体積の問題。
(1)はよくあるパターンで場合分けに注意すればできます。(2)(3)は，私は最初題意がピンと来なかったです (^^;
分かってしまえば，(2)は(1)を使うだけ，(3)は(1)(2)を使うだけですが，焦っていると難しい問題だと思います。

総じて，体積はあったものの，いわゆる，確率，空間図形の問題がなかったのはちょっと以外。
その分，最初は戸惑うような問題があったと思います。
個人的には，やや易しめだったと思いますが，私には，6.は試験場では解けなかっただろうと思います。

京大理系

昨年までは，学部によって，甲・乙に分かれていたのですが，今年は一つのようです。

1. 互いに何の関係もない異なる分野の小問が二つ。
(1) 確率の問題。
算数に毛が生えたような問題ですが，
お恥ずかしいことに，私は最初考え違いをして全体の和が 1 にならず，しばし考え込んでしまいました (^^;
気付けば「なぁ〜んだ」なんですが。多分，全くの個人的なミスだと思います。
(2) 積分の問題
これは計算するだけ。

2. 一次変換の問題。
これは条件を式にして計算するだけです。強いて言うと，答えが一つとは限らない点が注意かな。

3. 絶対値の入ったグラフの面積を求める問題。
これもよくある標準的な問題です。絶対値の処理に注意するのがポイントかな。

4. 不等式の証明問題。
これも難しくないと思います。

5. 空間図形と式の値の範囲を求める問題。
これも標準的だと思います。対称式になっていることに気付くのがポイントかな。

6. 空間図形の証明問題。
ようやく京大らしい問題の登場です。どう考えればいいかは割と容易に分かるので，証明をきちんと書けるかどうかですね。

京大は，先に書いたように甲・乙の分類がなくなったせいなのか，易しくなった，という印象を受けました。
全問完答の人も結構いるかも。
もっとも私は，試験場では，1.(1)でつまづいて散々だったかも (^^;
ネコの住む家　　 2月27日（日） 15:05:00　　 　　37469
hide
ウイルス事件の後、Ver3へのリンクを切ったままにしているようですが、もういいのではないでしょうか？
ラダトーム　　 2月28日（月） 13:05:16　　 　　37470
凶星
久々の参加だが算数のみでの解法は思いつかなかった。やはり数学に入り浸っているせいか。
というか本来期末の三日前にこんなことをしてる場合ではないのだが・・・。
オペピオン界　　 3月1日（火） 21:47:34　　 　　37471
しな
こちらのサイトにお邪魔するのは約10年ぶりです。算数ということなので相似を使って解きましたが、相当苦戦しました。相変わらず手ごわい出題ですね・・・ｗ
　　 3月2日（水） 10:39:15　　 　　37472
しな
こちらのサイトにお邪魔するのは約10年ぶりです。算数ということなので相似を使って解きましたが、相当苦戦しました。相変わらず手ごわい出題ですね・・・ｗ
　　 3月2日（水） 10:55:41　　 　　37473