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リョウフフ

勘でPがDからEに動くときQが直線を描くとしてあとは面積比で出しました

　　 3月8日（木） 0:08:53　　　　39071

☆彡

三角形を60度回して左にくっつけると明らかですね

算チャレならいつも円周率出てくるときは3.14とするとか書いてた気がするなぁ
とか思いながら直線になることを確信しました

　　 3月8日（木） 0:15:02　　　　39072

☆彡

左じゃなくて右でした

　　 3月8日（木） 0:21:04　　　　39073

kitaji

自分にとっての話ですが、
感覚で答えはでるものの、これを生徒に授業で説明するとなると難しい。

　　 3月8日（木） 0:42:00　　　　39074

abcba@baLLjugglermoka

とりあえず問題を見た瞬間求める答えが三角形ADCと合同な三角形の面積になるということは予想ついたのですが、証明するのに時間が掛かりました。ていうか証明できてるか微妙なので、この掲示板に解法を書くのは確認してからにします。

　　 3月8日（木） 0:46:26　　　　39075

みかん

こういう問題は端っこと真ん中あたりの点を確定させ、間が直線か円弧状かを
推測するのが（算数では）定番。計算しやすいように正三角形の１辺＝７とおく。

定石に従って
（１）点Ｐ＝点Ｄの場合→点Ｑは点Ａを通って線分ＢＣに平行な直線を右に３行ったところ。
（２）点Ｐ＝点Ｅの場合→点Ｑは点Ｅを通って線分ＢＣに平行な直線を右に３行ったところ。
（３）確認のために、計算しやすいＤＥとＣＱが垂直になるパターン。
この場合の点Ｑは（１）と（２）でとった点Ｑを結ぶ線を１：３に分けた点で、
（１）でとった点に近いほう（上寄り）。結局、点Ｑは直線の上を動くと確信できる。

求めるべきだいたいの図形は、
Ａから右に３行ったところ・点Ｄ・点Ｅから右に３行ったところ
の３点を結ぶ三角形。
この三角形の面積は７×４＝［２８｝、三角形ＡＢＣの面積は７×７＝［４９］
なので、１×（２８／４９）＝４／７ｃｍ＾２…答え

　　 3月8日（木） 1:13:37　　　　39076

kitaji

なるほど

　　 3月8日（木） 1:23:03　　　　39077

ぽんきち

☆彡さんの考え方とほぼ同じですが、
点Cを中心に、点Pを時計回りに60°回転した点が点Qとなりますので、
点Cを中心に、直線DEを時計回りに60°回転した直線D'E'が点Qの軌跡となります。
このD'とE'を作図するときに、
点Cを中心に、△ABCを時計回りに60°回転した三角形A'B'C'
を作図すると、ものすごく分かりやすい図になるかと思います。

　　 3月8日（木） 1:35:37　　　　39078

スモークマン

#39078
そっかぁ～♪
ぽんきちさんのは巧い表現だなぁ!!
直線上のすべての点がCを中心に60°回転しているから...けっきょくその直線がCを中心に60°回転してるわけなのね ^^
わたしゃ...最初のPと最後ののPを結んだ△が△APCと合同になってるってないい加減なことで...
7*4/7^2=4/7
Orz...

　　 3月8日（木） 7:48:31　　　　39079

スモークマン

　　 3月8日（木） 8:42:41　　　　39080

次郎長

私も、ぽんきちさんの考え方に感心！！
見ただけで、4/7って出てきますね。
すんばらしい！

　　 3月8日（木） 8:47:24　　　　39081

ＡＤ１６４の息子

Ｔ崎線の中でひらめいた考え方は、abcba@baLLjugglermoka様と同じなんですが、私はまだ論理的な理由は思いついていません。が、掲示板に入れたので、つい投稿しまいました。昼休みにゆっくり考えます。

　　 3月8日（木） 9:02:40　　　　39082

Ｍｒ.ダンディ

ＰがＥにあるときのＱの位置を　Ｑ1とすると（Ｑは一般的な場合）
∠ＤＱＣ＝∠ＤＱＣ＝60°→Ｄ,Ｃ,Ｑ1,Ｑは同一円周上→　∠ＱＱ1Ｐ＝∠ＱＣＤ＝60°（一定）
よって、ＱはＤＱ1とのなす角が60°である直線上にある。（ここは大事なポイント！）
ＰがＤにあるときのＱの位置をＱ2とすると、Ａ，Ｄ，Ｃ，Ｑ2は同一円周上にあり
∠Ｑ2ＡＣ＝∠Ｑ2ＰＣ＝60°　→ＡＱ2//ＢＣ
□ＤＢＣＱ1は平行四辺形より、ＤＱ1＝ＢＣ
Ｑ2とＤＱ1の距離はＡとＢＣとの距離の　4/7
⇒　△ＡＤＱの面積は△ＡＢＣの　4/7　倍

大変いい問題ですね。（こういう問題を作るマサルさんて　すごいですね。）

〔後記〕タイプミスがあったので訂正しました。
（uchinynさん、ご指摘有難うございます）

　　 3月8日（木） 13:06:42　　　　39083

夕凪

PがE上にきたとき、QはDEと一直線上になる。
このときCP=PQなので、DQ=BCになる（と思う・・・）
後は比率を元に高さが4/7になるので
底辺の長さが一緒→高さの比を利用
これで4/7に

途中の動きを全く考えてない解答です・・・

　　 3月8日（木） 10:08:26　　　　39084

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは気付けば一発でしたね。こんな感じで。

まず，AD：DB = AE：EC = 4：3 なので，DE//BC です。
△QPC は正三角形なので，QC = PC，∠QCP = 60°で，Q は PC を C の回りに時計回りに 60°回転した点です。
P は DE 上の任意の点なので，結局，Q は DE を C の回りに時計回りに 60°回転した線分上を動きます。
そこで，E を通り AB に平行な直線を引き BC との交点を F とし，
△ABC 全体を C の回りに時計回りに 60°回転して各点の移動先を「'」を付けて表すと，
□DBFE は平行四辺形，△EFC は正三角形，
B' = A，∠A'AC = ∠A'B'C = ∠ABC = ∠ACB，AA'//BC，F' = E，∠E'EC = ∠E'F'C = ∠EFC = ∠ECF，EE'//BC，
D' は AA' 上にあり，D，E，E' は同一直線上にあり，Q = P' は D'E' 上を動くので，線分 PQ の通過する部分は △A'DE' になります。
さらに，DE' = DE + EE' = BF + FC = BC です。これより，
線分 PQ の通過する部分 = △A'DE' = DE' * (DE' を底辺としたときの高さ) * 1/2 = BC * (△ADE の DE を底辺としたときの高さ) * 1/2
= BC * (△ABC の BC を底辺としたときの高さ) * 4/(4 + 3) * 1/2 = △ABC * 4/7 = 1 * 4/7 = 4/7 cm^2
になります。

ネコの住む家　　 3月8日（木） 12:31:01　　　　39085

uchinyan

(少し追加しました。)
掲示板を読みました。
Q の動く範囲が直線になることがポイントですが，それにどう気付くかですね。

#39071，#39076，#39084，#39088，#39090
端の点などを具体的に調べ，多少勘交じりですが，Q の動く範囲が直線になるとして解く解法。

#39072，#39078，#39085，#39089
△ABC を C の回りに時計回りに 60°回転して考える解法。

#39075，？#39079，#39082
線分 PQ の通過する部分が △ADC と合同になることを使う解法。
これは簡単に証明できると思います。

#39083
P が D，E にあるときをもとに，Q が DE と 60°傾いた直線上にあることを示し解く解法。
ただ，途中，円周角一定を使っているので，うるさいことを言えば算数ではないかも，ですが，まぁ，これぐらいはいいかな。
それと，若干，文字の使い方に混乱があるようで，そのせいか，論理的に少し不安な感じもありますが，これは大丈夫だと思います。

その後，修正が入ったようですね。ただ，まだ少しおかしいようです。多分，
＞∠ＤＱＣ＝∠ＤＱＣ＝60°→Ｄ,Ｃ,Ｑ1,Ｑは同一円周上→　∠ＱＱ1Ｐ＝∠ＱＣＤ＝60°（一定）
これは，
∠ＰＱＣ＝∠ＰＱ1Ｃ＝60°→Ｐ,Ｃ,Ｑ1,Ｑは同一円周上→　∠ＱＱ1Ｐ＝∠ＱＣＰ＝60°（一定）
ぐらいでしょうか。

なお，次のようにすれば円周角一定を使わずともできます。

まず，∠DEC + ∠CEQ1 = 120°+ 60°= 180°なので，D，P，E，Q1 は同一直線上にあります。
さらに，PC = QC，EC = Q1C，∠PCE = ∠PCQ - ∠ECQ = 60°- ∠ECQ = ∠ECQ1 - ∠ECQ = ∠QCQ! なので，
△PCE ≡ △QCQ1，∠QQ1C = ∠PEC = 120°，∠QQ1P = ∠QQ1D = ∠QQ1E = ∠QQ1C - ∠EQ1C = 120°- 60°= 60°
になります。また，P = D のときも，
DC = Q2C，BC = AC，∠BCD = ∠BCA - ∠DCA = 60°- ∠DCA = ∠DCQ2 - ∠DCA = ∠ACQ2，
△BCD ≡ △ACQ2，∠Q2AC = ∠DBC = 60°= ∠AED = ∠ACB，AQ2//DE//BC
です。

#39087
数学による解法。

ネコの住む家　　 3月9日（金） 12:10:36　　　　39086

ハラギャーテイ

遅くなりました。三角関数です。物が動くというのは苦手です。

山口市　　 3月8日（木） 12:34:42　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　39087

hide

直線だったらうれしいなと思い認証してみたら直線でした

ラダトーム　　 3月8日（木） 13:00:34　　　　39088

あめい

前回もそうでしたが、今回も「問題に『円周率は３．１４とする』と書かれていない」→「きっと円は使わない」→「きっとどこかに置き換えができる」という問題自体とは関係のないところからスタートしました。そこで①ＰＱ＝ＰＣなのでＰＱの線を１本１本ＰＣに置きかえていくと△ＣＤＥになる・・・と考えましたが見るからに小さく不適、②ＰＱとＡＣの交点をＲ，ＱＣとＤＥの延長線との交点をＳとすると、三角形の合同から△ＰＣＥ＝四角形ＱＲＥＳ、これからいけないかと・・・あきらめ、③やっとぽんきちさんパターンを思いつきました。今回は一応、感でなく求まったのでホッとしています。

　　 3月8日（木） 14:14:20　　　　39089

せ

方眼紙に一辺７の正三角形を書いてＰ＝ＤとＰ＝ＤＥの中点Ｐ＝ＥのときのＱを書いて見るとＱは直線状を移動しそうなので、問題の図形は正三角形ＡＢＣの一辺と同じ長さの底辺を持ち、高さが正三角形ＡＢＣの４／７の三角形となるので
１＊４／７＝４／７となりました。

最初、面積１の正三角形の辺の長さを求めようとして脳みそが煮えそうになりました。

　　 3月8日（木） 14:49:40　　　　39090

ＡＤ１６４の息子

今日は仕事忙しくて昼休み時間とれず、帰宅して、今、「い○ちこ」飲みながら紙と鉛筆で検証してみてから、この掲示板覗いてみたら、皆様の解法がすばらしく、とても恥ずかしくてこれ以上のコメント書けませんです。

全くの余談ですが、こちらの問題解くには「Ｔ崎線の相性が良い」と書き込みましたが、そうではなく先日初めて買った「スマホ」が良いのではないかと思い始めました。今日の問題も自由自在に回転してひらめきましたし、３週間前のパズルの問題も、スマホ回転させて思いついたアイデアです。皆様どういうツールでこの問題に取り組まれたのでしょうか。

　　 3月8日（木） 22:43:19　　　　39091

京大

算チャレ ver3からお世話になってます。
だいすけ　さん　どうでしたか？

　　 3月9日（金） 8:23:29　　　　39092

数樂

面積2のひし形の4/7の半分でした。
2×4/7÷2＝4/7

　　 3月11日（日） 3:35:09　　 HomePage:数樂　　39093

数樂

最初のQの位置がAと同じ高さにあるんじゃないかななんて…
面積1の正三角形を2つ並べてひし形作って考えました。
↓半分勘混じりですが…

　　 3月11日（日） 3:41:18　　 HomePage:数樂　　39094

だいすけ

#39092
合格しました。ありがとうございます。

大阪府吹田市　　 3月11日（日） 12:37:25　　 MAIL:dice-k@onyx.ocn.ne.jp HomePage:だいすけの部屋　　39095

☆彡

#39095
ひさしぶりー
おーめーでーとー

　　 3月11日（日） 16:17:39　　　　39096

だいすけ

#39096
ひさしぶりー
ありがとー！

大阪府吹田市　　 3月11日（日） 21:54:10　　 MAIL:dice-k@onyx.ocn.ne.jp HomePage:だいすけの部屋　　39097

大岡　敏幸

久しぶりに来ました。Ｑの軌跡が直線と予想。後は△ＡＢＣの１辺をｘとして方程式を作り解きました。今回は良い問題ですね。考えさせられました。受験シーズン真っただ中。もう遠い昔話です。

石川県　　 3月11日（日） 22:39:22　　　　39098

fumio

こんばんは。

　　 3月11日（日） 23:34:49　　　　39099

京大

合格すごいですね、だいすけ　さん。
算数オリンピック、算チャレ ver3での掲示板チャット、なつかしいです。

　　 3月12日（月） 11:21:49　　　　39100

Ｍｒ.ダンディ

#39095
だいすけさん　おめでとうございます。
すごい！　の一言です。
新たに開けてくるであろう世界で、大いに羽ばたいてください。

　　 3月12日（月） 18:17:41　　　　39101

だいすけ

#39101
ありがとうございます！

大阪府吹田市　　 3月13日（火） 12:45:54　　 MAIL:dice-k@onyx.ocn.ne.jp HomePage:だいすけの部屋　　39102