マサル
うー、23:40ごろになって問題の不備（というか新事実）に気付いて問題の設定を変更するという、大慌ての更新となりました。ミスがなければ良いのですが...
Mac mini　　 3月29日（木） 0:11:47　　 HomePage:Men@Work　　39167
スモークマン
こう考えましたが...?
２個の四角形APXQとABXCは円にそれぞれ内接してる...
(それぞれの対角線(弦)に対する角度が等しいので...)←これ怪しい？
あとは対角の和=180°と円周角から...
角PAQ=180-84
角XAQ=180-84-80=16=角XPQ
♪
　　 3月29日（木） 0:35:02　　 　　39168
abcba@baLLjugglermoka
今回はごく普通に計算しました。三角形APB≡三角形AQCおよび角度の関係から角PQA=42。よって、四角形APXQは円に内接する。求める角XPQ=角XAQ=16。

追伸：自分のブログで雑誌や本を紹介してます。
http://balljugglingpuzzle.blog.fc2.com/
　　 3月29日（木） 0:57:39　　 　　39169
ぽんきち
わーん、木曜日であることを忘れて布団にもぐりこんでました（TT

△APBと△AQCが合同なので、
AXで図を2つに割って△APBと△AQCが重なるように移動させると
42°42°96°の二等辺三角形になります。
角APX＝180-80-42＝58°
また、角BAX＋角CAX＝96°なので、角APQ＝(180-96)÷2＝42°
58−42＝16°

でした。
　　 3月29日（木） 1:50:55　　 　　39170
Ｍｒ.ダンディ
△ＡＰＢ≡△ＡＱＣ　→　∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＣ　→　Ａ,Ｐ,Ｘ,Ｑは同一円周上
→　∠ＰＱＸ＝∠ＰＡＸ＝80°　→∠ｘ＝（180−80-84）°＝16°

（初めに空間で考えて、三角錐Ｐ-ＡＸＣができるものとして考え、頭をかかえこんでいました。）
　　 3月29日（木） 1:52:47　　 　　39171
東海のたけ
やっぱ図形苦手です。みためで認証してしまいました。とほほ・・・
http://ameblo.jp/kureha0111/entry-11206403702.htmlどうぞ！
柴犬がいい　　 3月29日（木） 7:20:21　　 HomePage:どうぞ！！　　39172
鯨鯢(Keigei)
△APBをAを中心に回転して△AQCに重ねるときの回転角は 180゜−84゜＝96゜、
四角形PXQAは円に内接し、∠XPQ＝∠XAQ＝∠PAQ−∠PAX＝96゜−80゜＝16゜ です。
　　 3月29日（木） 8:08:34　　 　　39173
数樂
A、P、X、Qが同一円周上にあることからの解放。
#39171と同じです。
　　 3月29日（木） 12:15:40　　 HomePage:数樂　　39174
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，円の性質，円に内接する四角形の性質，円周角一定などを使えば簡単ですが，
これだと中学数学で算数ではないので，どう一工夫するかですね。一応，こんな感じで。

まず，△ABC ∽ △APQ より ∠BAC = ∠PAQ で，
∠PAB = ∠PAQ - ∠BAQ = ∠BAC - ∠BAQ = ∠QAC，AB = AC，AP = AQ となって，
△APB ≡ △AQC，∠APB = ∠AQC になります。
ここで，XC の C の方への延長上に ∠RAQ = 80°となる点 R を取ります。
すると，∠RAQ = 80°= ∠XAP，∠RQA = ∠AQC = ∠APB = ∠XPA，AQ = AP なので，
△AQR ≡ △APX，AR = AX，∠ARQ = ∠AXP になります。
これより，△ARX は AR = AX の二等辺三角形で，
∠ARX + ∠AXR = ∠ARQ + ∠AXR = ∠AXP + ∠AXC = ∠PXC = 84°，∠ARX = ∠AXR = 42°です。
さらに，∠RAX = ∠RAQ + ∠QAX = ∠XAP + ∠QAX = ∠PAQ なので，二等辺三角形ということから，
△ARX，△APQ，△ABC は相似です。
そこで，∠APQ = ∠AXR = 42°，
さらに，∠AXP = ∠ARQ = ∠ARX = 42°，∠XPA = 180°- ∠PAX - ∠AXP = 180°- 80°- 42°= 58°なので，
？ = ∠XPQ = ∠XPA - ∠APQ = 58°- 42°= 16°
になります。

なお，円の性質を使ってよければ，
∠APX = ∠APB = ∠AQC より □APXQ は円に内接し，
∠PXQ + ∠PAQ = 180°，∠PAQ = 180°- ∠PXQ = 180°- 84° = 96°，∠XAQ = ∠PAQ - ∠PAX = 96°- 80° = 16°
円周角一定より，？ = ∠XPQ = ∠XAQ = 16°，となって，
ずっと簡単になりますね。

算数解法ももう少し簡単になるのかな。
ネコの住む家　　 3月29日（木） 12:26:40　　 　　39175
uchinyan
掲示板を読みました。

#39170，#39175
XC の C の方への延長上に ∠RAQ = 80°となる点 R を取ると，△ARX は AR = AX の二等辺三角形になることを使う解法。
ただし，#39170は △APX を A の回りに 180°- 84°= 96°だけ反時計回りに回転していると思われます。
実質同じなので同分類にしましたが，この方が，より算数ですね。

#39168，#39169，#39171，#39173，#39174
□APXQ が円に内接することを使う解法。
うるさいことを言うと算数解法ではないと思いますが，多数派のようなので。

#39172
認証による解法 (^^;
ネコの住む家　　 3月29日（木） 13:09:55　　 　　39176
マサル
昨晩は失礼いたしました。慌てすぎてビビっていましたが、とりあえず問題自体が壊れていることはなかったようなのでホッとしています。

ところでご案内。

今年も春に栗原さんのお見舞いに行きます。（５／５）その前日の５／４、大阪に寄って飲み会（オフミ）をと考えています。いつも通り、夕方５時〜６時くらいに始まる感じになるかと思います。お見舞いも含め、ご検討いただければ幸いですー。
MacBookAir　　 3月29日（木） 14:15:41　　 HomePage:ブログ　　39177
ハラギャーテイ
こういう問題は苦手でした。三角関数を使えなくって？
北九州　　 3月30日（金） 15:21:40　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　39178
fumio
こんばんは。今年も「大阪オフミ」楽しみにしています。
　　 3月30日（金） 22:01:52　　 　　39179
せ
三角形の合同から円内接の四角形と円周角で解きました。

　　 4月3日（火） 16:58:54　　 　　39180