きょろ文
全部直線です

16-2-8/3 = 34/3

最初一辺2cmでやってました
　　 6月21日（木） 0:10:35　　 　　39487
すぐる学習会
すごく面白い問題でした。
高田馬場　　 6月21日（木） 0:12:29　　 MAIL:kishimotoakihisa@hotmail.com HomePage:すぐるホームページ　　39488
かえる
Ｂ（０，０）とする座標で考える。
０<＝ｔ<＝２　Ｐ（０，４ーｔ）　Ｑ（０，４ー２ｔ）　Ｒ（０，４ー３ｔ）
２<＝ｔ<＝４　Ｐ（０，４ーｔ）　Ｑ（２ｔー４，０）　Ｒ（ｔー２，２ーｔ／２））
４<＝ｔ<＝６　Ｐ（ｔー４，０）　Ｑ（４，２ｔー４）　Ｒ（ｔ／２，ｔー４）
６<＝ｔ<＝８　Ｐ（ｔー４，０）　Ｑ（１６ー２ｔ，４）　Ｒ（６ーｔ／２，２）
８<＝ｔ<＝１６は上記とｙ＝ーｘ＋４について線対象に動く
よって、求める面積は
（０，４）（０，１）（２，０）（８／３，４／３）（４，２）（３，４）
を頂点とする６角形となる。
　　 6月21日（木） 0:27:11　　 　　39489
あめい
１辺４cmの正方形に０，２，４，６，８秒のＲの位置をしるし、結んだ図を描きました。残り半分はＰ，Ｑの位置が逆になるので対称形・・・、あとはひょろ文さんと同じ計算です。
　　 6月21日（木） 0:34:02　　 　　39490
かえる
Ｂ（０，０）とする座標で考える。
０<＝ｔ<＝２　Ｐ（０，４ーｔ）　Ｑ（０，４ー２ｔ）　Ｒ（０，４ー３ｔ）
２<＝ｔ<＝４　Ｐ（０，４ーｔ）　Ｑ（２ｔー４，０）　Ｒ（ｔー２，２ーｔ／２））
４<＝ｔ<＝６　Ｐ（ｔー４，０）　Ｑ（４，２ｔー４）　Ｒ（ｔ／２，ｔー４）
６<＝ｔ<＝８　Ｐ（ｔー４，０）　Ｑ（１６ー２ｔ，４）　Ｒ（６ーｔ／２，２）
８<＝ｔ<＝１６は上記とｙ＝ーｘ＋４について線対象に動く
よって、求める面積は
（０，４）（０，１）（２，０）（８／３，４／３）（４，２）（３，４）
を頂点とする６角形となる。
　　 6月21日（木） 0:46:11　　 　　39491
みかん
点の移動を考える場合、数学だと放物線や楕円（の一部）になったりするけれど、
「算数」なら直線か円弧になる（積分は算数の範囲外なので）。

そこを念頭に置きつつ（ずるいけど）、１秒ごとの点Ｒを書きながら
求める線を１６秒後まで結んでいくとどうやら直線になりそう。

求める図形は、い−（ろ＋は＋に）
（い）正方形全体…４×４＝１６
（ろ）左下の三角形…２×１÷２＝１
（は）右下の四角形…２×（４／３）÷２×２＝８／３
（に）右上の三角形…２×１÷２＝１
したがって、１６−（１＋８／３＋１）＝３４／３ｃｍ＾２　が答え。
　　 6月21日（木） 1:16:09　　 　　39492
たけのこ
ほんとよい問題だ〜
　　 6月21日（木） 1:27:47　　 　　39493
次郎長
私も皆さん同様に、1秒後、２秒後と点を押さえていきました。全て直線でおさまるのかなと考えましたが大丈夫なようで。６秒後の地点は、(私は、計算して求めましたが）この程度なら、８／３とかは勝手に決めて良いものですか？　私は１４／３で認証されないので、どうなったのかと迷いました。
木曜はいつもより１時間早く出勤です。
　　 6月21日（木） 8:09:13　　 　　39494
あめい
正方形にRの軌跡を描き、４〜６秒と１０〜１２秒の線を延長、６秒のところから縦線、横線を引くと、横と縦が２：１の三角形ができるので、（高さの３倍）＝４cmで、よって４／３。底辺２，高さ４／３の三角形２個分で８／３と考えれば算数でOKでは？
　　 6月21日（木） 8:55:53　　 　　39495
せ
ＢＣとＣＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとし、ＢＮとＤＭの交点をＯとする。
△ＯＭＮと△ＯＢＤは相似で１：２の相似比なので面積比は１：４。
△ＢＣＤの面積は△ＣＭＮ＋△ＢＭＮ＋△ＤＭＮ−△ＯＭＮ＋△ＯＢＤ
△ＯＢＤは△ＯＭＮの４倍なので
２＋２＋２＋３×△ＯＭＮ＝８
△ＯＭＮ＝２/３
正方形ＡＢＣＤ−左下の三角形−右上の三角形−△ＣＭＮ−△ＯＭＮが該当の面積になるので。
１６−１−１−２−２/３＝３４/３
　　 6月21日（木） 10:46:35　　 　　39497
Ｍｒ.ダンディ
Ｒの動いた跡が直線になることを前提とすれば、簡単ですが、何故直線を描くかを　突き止めておきたい問題ですね。

かえるさんと同様、座標で考えました。
例えば　2≦ｔ≦4　のとき　Ｒ（ｘ，ｙ）＝（ｔ−2，2−ｔ/2） よりｔを消去すると
ｙ＝−（1/2）ｘ＋1
他の範囲でも同様にして、Ｒの動いた跡は直線になる。と考えたのですが、明らかに数学です。
〔追記〕直線になる理由を、算数では
例えば、2≦ｔ≦4　のとき
ＡＢ上で　ＡＢの中点をＭ、ＭＢの中点をＥ、ＲからＡＢに下ろした垂線をＲＨとし、△ＥＲＨについて考えると
ＭＱ＝●　とすると、ＢＰ＝2*●　→　ＨＲ＝●
ＱＢ＝2−●
ＨＢ＝1−●/2
ＥＨ＝1−（1−●/2）＝●/2
よって、ＥＨ：ＨＲ＝1：2　となり
Ｒは　定点Ｅと　ＢＣの中点を結ぶ直線上にある。（でよいのかな）
　　 6月21日（木） 12:48:41　　 　　39498
abcba@baLLjugglermoka
今回は算数で問題なく計算できたのですが、外側のという表現に悩みました。Rの描く図形の内側に面積2/3のループ状の領域が出来ているので初めは32/3と回答しました。しかし、ループ状も内側に埋もれていると考えると確かに34/3になります。どうやらこういう勘違いをしたのは自分だけのようですね。
　　 6月21日（木） 11:10:49　　 　　39499
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，何か算数らしい感じの問題ですね。じっくり調べれば難しくはないでしょうが，時間に追われると間違いそうな問題です。
こんな感じで。

図を描いて調べれば明らかなので詳細は省略しますが，次のようになります。
0 秒後 〜 2 秒後
P は A -> AB の中点 E，Q は A -> B，R は A -> AB 上 B から 1 cm の点 I と AI 上を動く。
2 秒後 〜 4 秒後
P は E -> B，Q は B -> C，R は I -> BC の中点 F と IF 上を動く。
4 秒後 〜 6 秒後
P は B -> F，Q は C -> D，R は F -> FD の中点 J と FJ 上を動く。
6 秒後 〜 8 秒後
P は F -> C，Q は D -> A，R は J -> 正方形の対角線の交点 O と JO 上を動く。
この後は，AC に関して対称にちょうど今までのビデオを逆再生したような感じで，次のようになります。
8 秒後 〜 10 秒後
P は C -> CD の中点 G，Q は A -> B，R は O -> GB の中点 K と OK 上を動く。
10 秒後 〜 12 秒後
P は G -> D，Q は B -> C，R は K -> G と KG 上を動く。
12 秒後 〜 14 秒後
P は D -> DA の中点 H，Q は C -> D，R は G -> DA 上 D から 1 cm の点 L と GL 上を動く。
14 秒後 〜 16 秒後
P は H -> A，Q は D -> A，R は L -> A と LA 上を動く。
これで，P，Q が同時に A に帰ってきて以下は今までの繰り返しになります。
そこで，R は A -> I -> F -> J -> O -> K -> G -> L -> A という線分上を動きますが，
描く図形で囲まれた部分は，FD と GB の交点を M として，図形AIFMGLA となり，
BM：MG = 2：1 = DM：MF に注意すると，その面積は，
図形AIFMGLA = □ABCD - △BFI - △DGL - △FCM - △GCM
= □ABCD - △BFI - △DGL - △FCD * 1/3 - △GCB * 1/3
= 4 * 4 - 2 * 1 * 1/2 - 2 * 1 * 1/2 - 2 * 4 * 1/2 * 1/3 - 2 * 4 * 1/2 * 1/3
= 16 - 2 - 8/3 = 34/3 cm^2
になります。
ネコの住む家　　 6月21日（木） 12:22:19　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39500
uchinyan
掲示板を読みました。
基本的には皆さん同じで，地道に P，Q，R の動きを追う解法のようです。
なお，R の軌跡が線分の結合になるのは，P，Q の動きの比と R が中点で，すべての比が一定なので，
例えば，2 秒後 〜 4 秒後 のとき，P が 1 下がると Q は 2 右に行き，R はその半分ずつで移動するので，
傾き一定で明らか，だと思いました。
ネコの住む家　　 6月21日（木） 18:51:43　　 　　39501
さいと散
R の軌跡が線分になるのは、運動の相対性から明らかだと思いました。（理科です）
　　 6月21日（木） 19:10:28　　 　　39502
スモークマン
やっとっこやっとこ...^^;
ややこしかったけど...対称なる意匠(バットマンみたく)になるんですね♪
面白い問題でしたぁ♪
直線になるのは...高さと底辺の比が同じだから＝傾き一定 ...だからですよね ^^
　　 6月21日（木） 19:37:29　　 　　39503
巷の夢
まさる様
　日本語を理解する限り、32/3ではないのですか・・・・・、ずっと悩んで34/3など考えてもおりませんでした・・・・・。
富士の嶺　　 6月22日（金） 1:21:36　　 MAIL:本当に・・・・・？ 　　39506
ぼふ
Ａに帰ってくるまでに小さな図形も完成されますが、
今回求めるのは最も外側の面積ですからね。

と素直に捉え３４/３としました。
　　 6月22日（金） 9:01:06　　 　　39507
ハラギャーテイ
楽しみで解くためにプログラムでシミレ−ションをして図形を求め、計算しました。
プログラムで図形を求めるのは面白かったです。
山口　　 6月22日（金） 10:19:54　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　39508
中川塁
ＰとＱの速さの比が２：１なので、Ｐが各頂点に達するたびに、
２分の１進んだＱの位置をプロットすれば簡単でした。
ハラギャーティさん、ベーシックのプログラム教えて下さい。
　　 6月22日（金） 12:23:57　　 　　39509
マサル
> 巷の夢 さん

すみません、私も「点Ｒの描く図形のうち、もっとも外側にある部分」の表記で意図通りに伝わるかどうかは不安でした。「例えば..」という感じで図を示そうかとも思ったのですが、それでは面白くない気もして...ううむ。申し訳ございませんでした。m(__)m

# ちなみに、文章だけで表記するとしたら、どのような表現が最も正確に意図が伝わりますでしょうか...？＞皆様
会社　　 6月22日（金） 17:04:04　　 　　39510
ハラギャーテイ
#39509
中川様　プログラムはMATLABです。MATLABは行列計算が主ですが、BASICに直すと長くなりますので
MATLABプログラムを示します。

p=[0,4];
q=[0,4];
a=[];
b=[];
c=[];
for t=0:0.1:16;
if t<4, p=p+0.1*[0,-1];end
if t>=4 & t<8, p=p+0.1*[1,0];end
if t>=8 & t<12, p=p+0.1*[0,1];end;
if t>=12 & t<16, p=p+0.1*[-1,0];end;
if t<2, q=q+0.2*[0,-1];end
if t>=2 & t<4, q=q+0.2*[1,0];end
if t>=4 & t<6, q=q+0.2*[0,1];end
if t>=6 & t<8, q=q+0.2*[-1,0];end
if t>=8 & t<10,q=q+0.2*[0,-1];end
if t>=10 & t<12, q=q+0.2*[1,0];end
if t>=12 & t<14, q=q+0.2*[0,1];end
if t>=14 & t<16, q=q+0.2*[-1,0];end
a=[a;p];
b=[b;q];
z=1/2*p+1/2*q;
c=[c;z];
x=c(:,1);
y=c(:,2);
end;
plot(x,y)
山口　　 6月22日（金） 17:55:10　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　39511
ちば けいすけ
>マサルさん
厳密に書こうとすると、たとえば
「図形を完全に含む円の外部の点との間を結ぶ曲線を書こうとすると、どうやってもその図形を構成する線分と少なくとも1回は交差するような点の集合」
というような感じになると思います。あまり算数的ではないですね。
　　 6月22日（金） 23:40:54　　 　　39512
ＡＤ１６４の息子
マサル様
巷の夢様
　こういう表現はどうでしょう。
「点Ｒの描く図形（軌跡）に囲まれた範囲を黒く塗りつぶしました。塗りつぶされた部分の面積はいくらですか？」

「軌跡」という言葉は数学っぽいし、点Ｒの動いた「『線分』に囲まれた」と書くとネタばれしそうですし。。　ただそれに囲まれたところを黒く塗りつぶせ、ならば34/3に必ずなるのではないかと・・・
　　 6月22日（金） 23:47:14　　 　　39513
巷の夢
ＡＤ１６４の息子様
マサル様
　二日ほど出張しており返信遅れ失礼致しました。AD164の息子様の表現に納得致しました。その後じっくり問題を読み考えると、小職の日本語解釈が間違っていたことに気づきました。マサル様はじめ皆様にご迷惑をおかけした点、ご寛容下さい。
富士の嶺　　 6月24日（日） 5:59:38　　 　　39515
マサル
#39515 巷の夢 さん、#39513 ＡＤ１６４の息子さん

　いえ、私のほうこそ、曖昧な表現で失礼いたしました。

　実は今回の問題は、ずーっと前（たぶん１年以上前）にある入試の過去問をもとに作ったのですが、まさに問題文の表現方法に迷ってボツにしていた問題なのでした。ＡＤ１６４の息子さんの素晴らしい表現を教わることもできましたし、良い勉強になりました。ありがとうございました。
MacBookAir　　 6月27日（水） 14:23:02　　 HomePage:ブログ　　39516