みかん
８０３÷□−８０３÷（□＋１）＜１　になるところを整数で探すと、
□＞２８となる。このとき、８０３÷２８＝２８．６…、８０３÷２９＝２７．６…

□が１〜２８のときは商の整数部分が同じのは出てこないので、ここまでで
２８種類。
□が２９以上だと商の整数部分は１〜２７がすべて出るので、２７種類ある。
よって、２８＋２７＝５５種類。

なんとなくですが、
２８×２８＝７８４と、２９×２９＝８４１の間に８０３がある→√８０３＝２８．×
というのが解くヒントなのでしょうか？

　　 8月9日（木） 0:58:58　　 　　39669
☆彡
数年前の灘の算数と去年の数オリ予選に類題があった記憶
算チャレだとhttp://www.sansu.org/used-html/index460.html
これとかもそうですね

あと今月の大数の学コンにも同じ方針の問題が
　　 8月9日（木） 0:20:55　　 　　39670
ゴンとも
プログラムでやりました。

803,401,267,200,160,133,114,100,89,80,73,66,61,57,53,50,47,44,42,40
38,36,34,33,32,30,29,28,27,26,25,24,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14,13
12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1
の55通り・・・・・・(答え)
豊川市　　 8月9日（木） 0:20:57　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　39671
☆彡
よくみたら一位が同じタイムで二人いますね
めずらしっ
　　 8月9日（木） 0:22:32　　 　　39672
鯨鯢(Keigei)
[√(4・803＋1)]−1＝[√3213]−1＝56−1＝55 です。

[n/1]，[n/2]，[n/3]，[n/4]，……，[n/n] の整数は何種類かを求めます。
(k−1)k≦n を満たす最大の自然数 k について、
[n/1]＞[n/2]＞[n/3]＞……＞[n/(k−1)]＞[n/k] と [n/k] 未満の自然数すべての k＋[n/k]−1 種類の数が現れます。
ここで、(k−1)k≦n＜k(k＋1) だから、k−1≦n/k＜k＋1 、[n/k]＝k−1，k で、
(k−1)k≦n＜k^2 のとき [n/k]＝k−1 ，k^2≦n＜k(k＋1) のとき [n/k]＝k です。
(k−1)k≦n＜k^2 のとき、
　(k−1)k≦n≦k^2−1 、(2k−1)^2≦4n＋1≦4k^2−3 、2k−1≦√(4n＋1)＜2k 、 [√(4n＋1)]＝2k−1 になります。
　このとき、k＋[n/k]−1＝k＋(k−1)−1＝[√(4n＋1)]−1 です。
k^2≦n＜k(k＋1) のとき、
　4k^2＋1≦4n＋1＜(2k＋1)^2 、2k＜√(4n＋1)＜2k＋1 、 [√(4n＋1)]＝2k になります。
　このとき、k＋[n/k]−1＝k＋k−1＝[√(4n＋1)]−1 です。
従って、いずれの場合も、[√(4n＋1)]−1 種類です。

　　 8月11日（土） 6:05:17　　 　　39673
きょろ文
method1(一番厳密)
商が変わらなくなる数字を探す　すなわち
803/31 = 25.90
803/32 = 25.09

これより割る数が1から32までの32種類の商　と
25から803/803 = 1まで25種類の商
合計55種類の商が存在する

method2(より数学的に)
上のように割る数が1増えた時商の差が1以下になる数字をもとめる
803/x = 803/(x+1) + 1
x^2 + x - 803 =0
これはxの二次方程式で x = 27.8
803/28 = 28.67
これよりさっきと同様に
割る数1〜28の28種類
それ以降の28 - 1 = 27種類
合計55種類

method3(1と2をあわせて)
解法2の方程式ですが近似してやると
803 = x^2
となります　このときx = 28.33であり
803/28 = 28.67　より　55種類

1分切る方法は分かりません！
　　 8月9日（木） 0:30:25　　 　　39674
スモークマン
√803=28.33...
つまり...
28^2 以外は...
a<28<b という a,b の積で表され...それらは 1:1 に対応しているので...(ここを厳密に言わなきゃいけないんだけど...直感です...^^;)
(28-1)*2+1=54+1=55
♪
　　 8月9日（木） 0:35:49　　 　　39675
ようせん
main関数内のみ表示
int i,j[804]={0},n=0,a;
for(i=1;i<804;i++){
a=int(803/i);
if(!j[a]){
j[a]=1;
n++;
}
}
printf("Result:%d",n);
getch();
地球　　 8月9日（木） 0:39:07　　 　　39676
マサル
実は私も手計算の後、perlでプログラム書いて確認しました。(^^;
iMac　　 8月9日（木） 1:26:29　　 HomePage:ブログ　　39677
数樂
電卓で商が28になるまで計算し、
28個あったので、28に残り27個かな？と思ってたして55です。
難しすぎて、想像もつきません…
勉強不足です。
　　 8月9日（木） 2:55:05　　 HomePage:数樂　　39678
ハラギャーテイ
おはようございます。プログラムです。整数が変わるところを数えました。
山口　　 8月9日（木） 9:11:13　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　39679
Ｍｒ.ダンディ
電卓で計算しようと思うぎりぎりの値だったので、とりあえず順に半分近くまで電卓で計算して判断。
結果からみて、√803　の近似値から求められそうだと気が付きました。
　　 8月9日（木） 9:26:43　　 　　39680
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
この問題は，数学問題として以前に何回か解いたことがあります。その意味では有名問題でしょう。
ただ，算数らしく解いてね，といわれると，ちょっと難しいなぁ．．．かなり数学ですが，一応，こんな感じで。

まずは，調べるという精神で，順番に割って整数部分を取り出してみます。
803/1 = 803 -> 803，803/2 = 401.5 -> 401，803/3 = 267.66… -> 267，803/4 = 200.75 -> 200，803/5 = 160.6 -> 160，．．．
これを見ると，どうも割った回数だけ異なる整数が出てくるように見えます。
しかし，いつまでもこれが続くかというとそうではなく，例えば，
803/30 = 26.76… -> 26，803/31 = 25.90… -> 25，803/32 = 25.09… -> 25，803/33 = 24.33… -> 24，803/34 = 23.61… -> 23，．．．
となって，同じ整数が出てくることもあります。
これはどうしてかというと，803/○ はいわゆる反比例のグラフを描くので，
○ がある程度大きくなると，803/○ の値自体はどんどん小さくなり，803/○ と 803/(○ + 1) の差もどんどん小さくなり，
この差が，隣り合う整数の差 1 より小さくなると同じ整数が出て来る可能性があるからです。
またこのとき，差が隣り合う整数の差より小さいのですから，当然ですが，すべての整数が現れます。
そこで，803/○ と 803/(○ + 1) の差が最初に 1 より小さくなるような ○ を見つけてやれば，
○ 以下の数で割った場合には，割った数だけの異なる整数が現れ，
○ より大きな数で割った場合には，803/(○ + 1) の整数部分以下の正の整数がすべて現れます。
そこで，先程の計算より，このような ○ は 30 より小さくその付近と思われるので，その辺りで探してみると，
803/27 = 29.74… -> 29，803/28 = 28.67… -> 28，803/29 = 27.68… -> 27，803/30 = 26.76… -> 26，803/31 = 25.90… -> 25，．．．
となって，○ = 28 と思われます。実際，
803/27 - 803/28 = 803/(27 * 28) = 803/756 > 1
803/28 - 803/29 = 803/(28 * 29) = 803/812 < 1
で，○ は 28 に決定します。
そこで，出力される整数は 28 + 27 = 55 種類 になります。

数学としては，
803/○ - 803/(○ + 1) < 1，○^2 + ○ - 803 > 0，○ > (- 1 + √3213)/2 = 27.84…，○ = 28
ですね。
ネコの住む家　　 8月9日（木） 12:07:30　　 　　39681
uchinyan
掲示板を読みました。
皆さん表現は様々，数学表現が多いかな，ですが，結局は，
803/○ が反比例のグラフで単調減少するのを利用して，803/○ の整数部分が同じになる辺りを探す，
という解法だと思います。
まぁ，これぐらいしかなさそうな気はしますね。
ネコの住む家　　 8月9日（木） 12:04:44　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39682
???
DSのbasicで。
FOR N=1 TO 803
Q=FLOOR(803/N)
IF N==1 THEN K=1:P=Q ELSE IF P>Q THEN K=K+1:P=Q
NEXT
PRINT K
END
　　 8月9日（木） 12:26:47　　 　　39683
あめい
excelで表示してしまいました。803,○,=INT(803/○)として表示した結果、803÷26が３０，803÷25が３２となり商が１〜３０になる場合は抜け落ちがないので３０通り、割る数が１〜２５の場合は商はとびとびになりますが割る数の２５通り、３０＋２５＝５５となりました。算数・数学的な要素が全くない出し方で、今回もウ〜ンでした。
　　 8月9日（木） 13:32:30　　 　　39684
HirotakaUEDA
全部手計算で割り出しました。美しい解き方が見たいですね
　　 8月9日（木） 18:43:23　　 　　39685
塚本文生
またエクセルを使用。算数のセンス不足が、悲しい。
　　 8月9日（木） 23:02:43　　 　　39686
せ
エクセルで計算して関数で小数点以下を切り捨てて、フィルターをかけてＢＯＸに表示される数値の種類を数えました。
　　 8月10日（金） 9:24:53　　 　　39687
hide
803÷27＝29.74　↑ここまでは商の差が1以上なので商の整数部分は重複が無く27種
803÷28＝28.68
803÷29＝27.69　↓以降は商の差が1未満なので商の整数部分は1〜27の27種

よって27+1+27=55
エンドール　　 8月10日（金） 20:31:50　　 　　39688
大岡　敏幸
手計算です。３０まで計算した後、数字を確認。２６以上で割ると商が１減る。（それ以上大きい数字で割ると同じ整数の商が続きますが）よって３０種。２５以下で割ると商が２５種　　

よって５５種。くどくどすみません（＾＾；
石川県　　 8月11日（土） 20:51:56　　 　　39690
おかひで博士
28×28以上28×29未満　55種類
28×29以上29×29未満　56種類
29×29以上29×30未満　57種類
・・・・
・・・・
ということですね
　　 8月12日（日） 9:39:35　　 　　39691
まるケン
今回は、perl、Excel、basic等、プログラムも活躍したようですね。
じゃ、rubyのワンライナーで。
% ruby -e 'p (1..803).to_a.map{|i|803/i}.uniq.size'
おうち　　 8月13日（月） 21:48:13　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 　　39692
HYF
もしかして正解？！
　　 8月14日（火） 13:36:01　　 　　39693