算数星人
△ABDをAを中心に回転させて考えました。
　　 10月11日（木） 0:32:05　　 　　39880
すぐる学習会
ごめんなさい。
長年の感覚で送信してしまいました。
高田馬場　　 10月11日（木） 0:45:33　　 MAIL:kishimotoakihisa@hotmail.com HomePage:すぐるホームページ　　39881
だいすけ
勘で正解者掲示板に入ろうとしてみたら、一発で当たってしまいました
大阪府吹田市　　 10月11日（木） 0:57:08　　 　　39882
すぐる学習会
ごめんなさい。
長年の感覚で送信してしまいました。
高田馬場　　 10月11日（木） 0:59:45　　 MAIL:kishimotoakihisa@hotmail.com HomePage:すぐるホームページ　　39883
むらかみ
難しかったです。
25秒って...
　　 10月11日（木） 1:02:28　　 　　39884
数樂
あえて語らず…
　　 10月11日（木） 3:31:13　　 HomePage:数樂　　39885
ma-mu-ta
ACとPDの交点をQとすると、△PCQ∽△ADQより、∠PCQ＝∠ADQだから、
△ABDをADがACに重なるようにAを中心として回転させると、BDはPCと重なります。
Bの移動先をEとして、EBを結びます。
EC＝BD＝PC×2より　EP＝PC　だから、EC：PC＝BC：MC＝2：1，EB//PM
よって、EB：PM＝2：1となり、EB＝PM×2＝2×2＝4
△AEBと△ACDは相似な二等辺三角形だから、
AB：AD＝EB：CD＝4：6＝2：3
したがって、AB＝AD×2/3＝5×2/3＝10/3 (cm)
　　 10月11日（木） 5:40:59　　 　　39886
CRYING DOLPHIN
昨晩考えてわからなかったので、朝起きてから試しに「花子」で作図したら、一発で正確な図を描けた。
長さを算出したら「3.33333...」と出てきたので10/3と入力、そして正解。

というわけで、真面目に考えていませんorz
誰もいない市街地　　 10月11日（木） 10:46:19　　 HomePage:ブログもやってる　　39887
通りすがり
(´ヘ｀;)　う〜ん・・・今回はムズ過ぎ。運がよければ当勘で答えを出せますが(まっ、それも実力のうちと思うけど)、まともに解けた人は何人いるのでしょうねσ(^_^;) かく言う私も手も足も出ませんでした。

こんな問題は算数でやるのをあきらめ、いつもゴンともさんがやっているように、座標を使って難易度を下げてアプローチするのがいいですね。頭を使わずに必ず解けるやり方ですが、恐ろしい数式が出てきます。でも、そこは数式ソフトでゴリ押して解くのであります。

解法ですが、△ABDの外接円(半径R=25/8)の中心を原点とすると、
　A={0,25/8}、C={-3,-7/8}、D={3,-7/8}、P={x,√(R^2-x^2)}
なので、
　B=P+t*(P-D)、M=(PtB+PtC)/2
となって、PM=2の条件を当てはめると、
　25*t^4*x^2-2696*t^3*x^2+3480*t^2*x^2-1568*t*x^2+784*x^2-3750*t^4*x+15588*t^3*x-21192*t^2*x+10032*t*x+5625*t^4-22500*t^3+33236*t^2-19904*t+3264=0・・・��
また、BD=2PCから
　25*t^2*x-28*t*x+100*x-75*t^2+300・・・��
となる。これを解いて、
　x=(3*2^(5/2)*sqrt(7)-121)/54
　t=(96*sqrt(14)+718)/773
となるから、AB=10/3。何かぁ〜解が他にもありそうな気もするけど、まぁ算数でとける範囲内が有効ということで。。。
　　 10月11日（木） 11:06:02　　 　　39888
doba
PCがBDの半分、MがBCの中点ということと、
PMというへんな所の長さがわかっていることから、
中線連結が使えるようにPCのP側の延長上にQをQP=PCとなるようにとる、
ということに気付けば、そこから先はすぐですが、
その補助線を描かずに三角比や座標で計算しようすると、
壮絶な計算を強いられるという、なんともよくできた問題ですね。

後で気になって、AB=10/3を使って他の長さを手計算してみたら、
BC=(√(1485+168√14))/9
PC=(20√6+5√21)/18
PB=(-4√6+11√21)/18
とかになりました(^^;
（計算が合っている保証はないですが検算する根性もありません…）
　　 10月11日（木） 14:25:13　　 　　39889
ハラギャーテイ
三角関数による解法でMATHEMATICAを利用しました。
山口　　 10月11日（木） 14:56:53　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　39890
マサル
今回のは、布団に入ったけれど眠れない日に、ふと思いついた問題です。「あ、この図形の、この部分を表示しないようにしたら、難しい問題になるんじゃ？」ってな感じで。すぐに起きてメモ用紙をとりだして数値設定して寝ました。

　こういうことってそれなりの頻度であるんですが、大抵は「実は楽な解法があった」とか「図形が成立しない」とかでほとんどはポシャるのですが、まぁ今回は偶然うまくいきました。...って、これから不具合が発見される可能性もありますが。(^^;
会社のMac mini　　 10月11日（木） 15:13:02　　 HomePage:ブログ　　39891
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，すごく難しかった。
最初，算数で考えても分からず。
仕方がないので三角関数でトライするも，すごい式がでてきて「こりゃダメだ」と思ったものの，ちょっとしたきっかけで解けました。
その後，算数で再度トライ。三角関数の解法がある意味ヒントになって，かなりの時間を費やしましたが，何とか。
今回は，数学も含めて，苦戦の履歴を書いておきます (^^;

(解法1)　三平方の定理＋三角関数
BD の中点を Q とし，BD 上で BP = PR となる点 R を取り，A から BD に垂線を下ろしその足を H とします。。
明らかに ∠ADQ = ∠ACP，△ADQ ≡ △ACP なので，
A を中心に △ACP を反時計回りに回転し AC を AD に重ねると，△ACP は △ADQ に重なります。
これより，AP = AQ，∠PAQ = ∠CAD = ∠CPD，△APQ ∽ △ACD がいえ，k > 0，a > 0 として，
AP = AQ = 5k，PQ = 6k，PH = QH = 3k，AH = 4k，BP = a，BH = a + 3k，BQ = a + 6k = DQ = CP，DH = a + 9k，PD = a + 12k
がいえます。そこで，三平方の定理より，
AB^2 = AH^2 + BH^2 = (4k)^2 + (a + 3k)^2 = a^2 + 6ak + 25k^2
一方で，∠PAQ = ∠CAD = ∠CPD = 2α とすれば，
cosα = 4/5，sinα = 3/5，cos(2α) = 2(cosα)^2 - 1 = 7/25
さらに，BP = BR = a，BM = MC なので，中点連結定理より，RC = PM * 2 = 4 cm がいえ，
△PCR に余弦定理を使って，
PR^2 + PC^2 - 2 * PR * PC * cos(2α) = RC^2
a^2 + (a + 6k)^2 - 2a(a + 6k) * 7/25 = 4^2
2a^2 + 12ak + 36k^2 - 14a(a + 6k)/25 = 16
a^2 + 6ak + 18k^2 - 7a(a + 6k)/25 = 8
25a^2 + 150ak + 450k^2 - 7a^2 - 42ak = 200
18a^2 + 108ak + 450k^2 = 200
9a^2 + 54ak + 225k^2 = 100
そこで，
AB^2 = a^2 + 6ak + 25k^2 = (9a^2 + 54ak + 225k^2)/9 = 100/9
AB = 10/3 cm
になります。

(解法2)　何とか算数　(解法1)の回転を少し変えたらできました！
BD の中点を Q とします。
明らかに ∠ADQ = ∠ACP，△ADQ ≡ △ACP なので，
A を中心に △ADQ を時計回りに回転し AD を AC に重ねると，△ADQ は △ACP に重なります。
そこで，改めて，△ABD を A を中心に時計回りに回転し AD を AC に重ね，B の移動先を E とします。
明らかに，∠EAB = ∠CAD，AE = AB なので，△AEB ∽ △ACD，です。
さらに，CE = BD = CP * 2，CB = CM * 2 なので，中点連結定理より，EB = PM * 2 = 4 cm，です。
そこで，△AEB ∽ △ACD より，AB：EB = AC：CD，AB：4 = 5：6，AB = 10/3 cm，になります。

分かってしまえば，恐ろしく簡単ですね。でも，苦労した．．．
ネコの住む家　　 10月11日（木） 16:39:27　　 　　39892
uchinyan
掲示板を読みました。
気付いた人は割りとあっさり，そうでない人は，まぁ勘はおいといて (^^;，苦労した，という感じでしょうか。

#39880，#39886，#39889(表現は違いますが実質同じ)，#39892の(解法2)，#39898
△ABD を A を中心に時計回りに回転し AD を AC に重ね，B の移動先を E として，△AEB で考える解法。

#39897
#39892の(解法1)を算数にアレンジし直した解法。
BD の中点を Q とし，BD 上で BP = PR となる点 R を取り，PC 上に PS = BP = PR となる点 S をとると，
△ABP ∽ △CRS がいえることを使う解法。

#39881，#39882，#39896
勘による解法？

#39892の(解法1)
数学，三角関数，で，プログラムは使わない，解法。

#39887，#39888，#39890
プログラム，作図ソフトも含む，による解法。
ネコの住む家　　 10月12日（金） 12:33:25　　 　　39893
呑ちゃん
でちた
　　 10月11日（木） 18:11:29　　 　　39894
uchinyan
私の#39892の(解法1)は，初等幾何で，そして多分，算数で，できそうです。
もう一度検討して，詳細はまた明日にでも。
ネコの住む家　　 10月11日（木） 21:55:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39895
abcba@baLLjugglermoka
自分は勘で答えを当ててしまいました。
　　 10月12日（金） 8:52:16　　 　　39896
uchinyan
私の#39892の(解法1)を，算数にアレンジした解法です。

(解法3)
BD の中点を Q とし，BD 上で BP = PR となる点 R を取ります。
明らかに ∠ADQ = ∠ACP，△ADQ ≡ △ACP なので，
A を中心に △ACP を反時計回りに回転し AC を AD に重ねると，△ACP は △ADQ に重なります。
これより，AP = AQ，∠PAQ = ∠CAD = ∠CPD，△APQ ∽ △ACD がいえ，AP：PQ = 5：6，BQ = BP + PQ = DQ = CP がいえます。
さらに，BP = BR，BM = MC なので，中点連結定理より，RC = PM * 2 = 4 cm です。
ここで，PC 上に PS = BP = PR となる点 S をとると，△APQ ∽ △PSR がいえ，
∠APQ = ∠PSR，∠APB = ∠CSR，PQ = CS，AP：CS = AP：PQ = 5：6，BP：RS = PS：RS = 5：6，となって，
△ABP ∽ △CRS がいえ，相似比は 5：6 なので，
AB：CR = 5：6，AB：4 = 5：6，AB = 10/3 cm
になります。

要は，△ABP ∽ △CRS が本質で，#39892の(解法1)で
AB^2 = a^2 + 6ak + 25k^2 = (9a^2 + 54ak + 225k^2)/9 = 100/9
とうまくいったのは，このせいだったんですね。
ネコの住む家　　 10月12日（金） 12:27:27　　 　　39897
Ｍｒ.ダンディ
ようやく算数で解けました。（同じ解法が書かれてあるかもしれませんが、とりあえず書き込んでみます）

△ＡＢＤを　ＡＤがＡＣに重なるように、Ａを中心に回転させ
Ｂの移った先をＢ’としＢ’とＢを結びます。
すると、∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＰ　となるから、ＢＤ＝Ｂ’Ｐ＝2*ＰＣ　よりＰはＢ’Ｃの中点となります。
ＣＰ：ＣＢ’＝ＣＭ：ＣＢ＝1：2　より、ＡＢ＝2*ＰＭ＝4
△ＡＢ’Ｂと△ＡＣＤは　相似となり相似比は　ＡＢ：ＣＤ＝2：3
したがって
ＡＢ＝ＡＢ’＝5*（2/3）＝10/3

ＡからＣＤに垂線を下ろすと3：4：5　の三角形ができるので、それにこだわり、かなりの遠回りをしました。
（大変難しい問題でした）
　　 10月12日（金） 12:28:25　　 　　39898
ゴンとも
座標でやりました。mathematicaのsolveでしかできない方程式を解きました。解答中の・・・は計算を略したということです。
(二重根号はずしや分母の有理化を手でやりました。)

座標にB(0,0),D(2*a,0),P(b,0),PC=aとおき
赤丸のcos,sinはそれぞれ7/25,24/25より
直線PC:y=24*(x-b)/7　ここでPC=aよりこの直線のx座標をcとしてMP=2,CD=6からxmaximaで
solve((c-b)^2+(24*(c-b)/7)^2=a^2,c)$
rhs(part(%,2))$
factor(24*(%-b)/7)$
num(factor((%th(2)/2-b)^2+(%/2)^2-4));25*b^2-14*a*b+25*a^2-400
num(factor((%th(3)-2*a)^2+%th(2)^2-36));25*b^2-86*a*b+97*a^2-900
この方程式をmathematica 8.0 home edition で解くと
Solve[25 b^2 - 86 a b + 97 a^2 - 900 == 0 && 25 b^2 - 14 a b + 25 a^2 - 400 == 0, {a, b}]
・・・a=5*(sqrt(21)+4*sqrt(6))/18,b=(-4*sqrt(6)+11*sqrt(21))/18　より
点C,Dから半径5の円はxmaximaで
b:(-4*sqrt(6)+11*sqrt(21))/18$
a:5*(sqrt(21)+4*sqrt(6))/18$
factor((25*b+7*a)/25)$
factor(24*a/25)$
factor(2*a)$
(x-%th(3))^2+(y-%th(2))^2-25;(y-(4*sqrt(21)+16*sqrt(6))/15)^2+(x-(31*sqrt(21)+4*sqrt(69)/45)^2=25
(x-%th(2))^2+y^2-25;y^2+(x-5*(sqrt(21)+4*sqrt(6))/9)^2=25
この2式を連立方程式としてmathematica 8.0 home edition で解いて点Aの座標は
Solve[(y - (4 Sqrt[21] + 16 Sqrt[6])/15)^2 + (x - (31 Sqrt[21] + 4 Sqrt[6])/45)^2 == 25 && y^2 + (x - 5 (Sqrt[21] + 4 Sqrt[6])/9)^2 == 25, {x, y}]
・・・x=4*(sqrt(21)+sqrt(6))/9,y=-2*(4*sqrt(6)-sqrt(21))/9 これとB(0,0)との距離は
expand((4*(sqrt(21)+sqrt(6))/9)^2+(-2*(4*sqrt(6)-sqrt(21))/9)^2)$
sqrt(%);10/3・・・・・・(答え)
豊川市　　 10月15日（月） 0:29:35　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　39899
晴れ
最近、問題の印刷ができないが、私だけかな。
　　 10月15日（月） 8:06:12　　 　　39900
のり
△ＡＢＤを点Ａを中心として回転，ＡＤをＡＣに重ねて△ＡＢ’Ｃを作ると，ＣＰ＝Ｂ’ＰとなることからＢＢ’＝４となりました。
　　 10月17日（水） 17:54:11　　 　　39901