マツダ
四畳半切りでやってみました。
四畳半切りに並べて、大正方形が８×８÷２＝32、中正方形が５×５＝25、小正方形が32−(32−25)×２＝18より、小正方形の対角線が６。
あとは長さの比が１：１＋６＝１：７になるので、５×1/8＝5/8。
という感じですかね？
　　 11月22日（木） 0:12:06　　 　　40005
むらかみ
ようやく解けました。
2週間分、満を持した出題で難しかったです。

#40004
ありがとうございます。
全方位に喧嘩を売っている内容なので、いつか後ろから刺されるんじゃないかとドキドキしています。
意外と売れていてホッとしています。
　　 11月22日（木） 0:52:08　　 　　40006
ゴンとも
座標でやりました。

BC=a,AB=sqrt(25-a^2)とすると
直線PD:y=a*(x-a)/sqrt(25-a^2)+sqrt(25-a^2)
直線PB:y=x
この2直線の交点Pを求め,PB=8よりaを求め
直線AC:y=-sqrt(25-a^2)*(x-a)/aと直線PBとの交点Qを求め
AQの長さをmaxima で求めると

e1:y=x$
e2:y=a*(x-a)/sqrt(25-a^2)+sqrt(25-a^2)$
solve([e1,e2],[x,y])$
part(%,1)$
rhs(part(%,1))$
rhs(part(%th(2),2))$
factor(%^2+%th(2)^2-64)$
part(%,2)$
solve(part(%,1)^2=part(%,2)^2,a)$
part(%,4)$
a:rhs(%)$
factor(25-a^2)$
sqrt(%)$
factor(%/a)$
e3:y=-%*(x-a)$
solve([e1,e3],[x,y])$
part(%,1)$
factor((rhs(part(%,1))-%th(5))^2+rhs(part(%,1))^2)$
sqrt(%);5/8・・・・・・(答え)
豊川市　　 11月22日（木） 1:08:34　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　40007
CRYING DOLPHIN
BPの中点をM、ACとBDの交点をNとすると、BM＝MP＝4cm、BN＝ND＝5/2cm。
中点連結定理より、角MNA＝角PRA＝90度。
ここで角QPR＝角QMN＝☆とする…(甲)　△QMNと△QBAにおいて
角QMN＋角QNM＝角QBA＋角QAB → ☆＋90度＝角QAB＋45度 →角QAB＝☆＋45度
△NABにおいて角NAB＝角ABNより、角MBN＝角ABN−角QBC＝☆＋45−45＝☆…(乙)
よって、△MBNはMB＝4cm、NM＝NM＝5/2cmの二等辺三角形である。
これは、3：4：5の直角三角形を2つくっつけたものである。
このことから、△MQNも3：4：5の直角三角形なので、QN＝5/2×3/4＝15/8cm。
ゆえにAQ＝5/2−15/8＝5/8cm。

ひょっとして3：4：5を使わなくても解ける？？
誰もいない市街地　　 11月22日（木） 1:25:37　　 HomePage:ブログもある。　　40008
あめい
座標です。Bを原点、A(0,b)C(a,0)とおくと、a^2+b^2=25・・・(1)
P(4√2,4√2）が直線ＣＤ上の点であることからＣＤの式に代入整理してa+b=4√2・・・(2)。
(1)(2)よりa=7√2/2，b=√2/2。
AC,BPの交点からQ(7√2/16,7√2)。A(0,√2/2)なのでAQ=5/8
図形問題がなかなか算数で解けません。やっぱり算数の方が発想が豊かなんだと思いますが、発想が貧困だなぁ。
　　 11月22日（木） 5:43:12　　 　　40009
あめい
訂正です。Q(7√2/16,7√2/16)
　　 11月22日（木） 5:47:20　　 　　40010
数樂
ばりばり数学です。
さっき書いたの間違いでした。すいません。
ということは、、、たまたま正解して、間違った解法を載せてしまいました。
申し訳ありません。
今回は、たまたまあってしまったようです。…
もう一回解いてみます。
　　 11月22日（木） 11:57:23　　 HomePage:数樂　　40011
マサル
あれ？個人データが保存できない（しばらくすると消えちゃう）不具合が発生してます...かね？ちょっと調査したいので、同様の方がいらっしゃいましたら、ご報告くださると助かります。

今回の問題ですが、某高校の有名入試問題のアレンジ（パクリともいう...）です。何度も出題を試みたのですが、どうしても原題を越える出題にはならず...ううむ。
iMac　　 11月22日（木） 12:26:28　　 HomePage:算チャレ　　40012
ma-mu-ta
マツダさんと同じでした。図がないと分かりにくいかも知れませんが。。。

PからBCの延長に垂線PEを下して正方形BEPFを作り、その中にAC＝5を1辺とする正方形ACGHを作ります。
このとき、GはEP上の点、HはPF上の点となります。
BPとADの交点をI、BPと CDの延長の交点をJとし、HIとGJの延長の交点をKとすると、正方形IDJKとなります。
正方形BEPFの面積は　8×8÷2＝32
正方形ACGHの面積は　5×5＝25
正方形BEPF−正方形ACGH＝32−25＝7＝△ABC×4＝△ACD×4
正方形IDJKの面積は　正方形ACGH−△ACD×4＝25−7＝18　
18×2＝36＝6×6　より、正方形IDJKの対角線は　IJ＝6　
BI＝JP＝(BP−IJ)/2＝(8−6)/2＝1
△ABI∽△DJI より　AI：ID＝BI：IJ＝1：6
△AQI∽△CQB より、AQ：QC＝AI：BC＝AI：AD＝1：(1＋6)＝1：7
よって、AQ＝AC×1/(1＋7)＝5×1/8＝5/8
　　 11月22日（木） 12:39:52　　 　　40013
CRYING DOLPHIN
#40012
)ノ　１年以上前から個人データ消えてます
winXP(SP3)＋IE8.0
　　 11月22日（木） 12:47:35　　 　　40014
abcba@baLLjugglermoka
一辺が8の正方形の各辺に1:7で内分する点をとり、その４点を結んでできる正方形の面積は50になることを利用してBPを対角線とする正方形を作ったら、中に面積２５の正方形が出来たのでAB:BC=1:7と求めました。
これより5×1/8=5/8。

ちなみに上記の解法は算数といえるのでしょうか?

追伸：自分はブログを２つやっていますので、今回はもう一つの日記用ブログのリンクを順位表に張っておきます。
　　 11月22日（木） 12:57:47　　 　　40015
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，一週間ぶりなので勘が鈍っているのか難しいです。数学と，何とか，算数で。

(解法1)　数学
P から BC の延長に垂線を下ろしその足を H，AD の延長と PH の交点を E，AD と PB の交点を F，PR の延長と BC の交点を S，とします。
∠SPH = ∠SDC = ∠CAD = ∠ACB なので，△PDE ∽ △PSH ∽ △CAB，PE：DE = PH：SH = BC：AB，です。
一方で，△BFA，△PFE，△PBH は直角二等辺三角形なので，PE = FE，PH = BH，です。
そこで，これらを使うと，
BH = AE = AD + DE = BC + PE * DE/PE = BC + FE * AB/BC = BC + (AE - AF) * AB/BC = BC + (BH - AB) * AB/BC
(BC - AB) * BH = BC^2 - AB^2 = (BC - AB)(BC + AB)，BH = BC + AB
△PBH は直角二等辺三角形なので，
(BC + AB)^2 = BH^2 = PB を対角線とする正方形 = BP^2/2 = 8^2/2 = 32，AB + BC = 4√2
AB^2 + BC^2 + 2 * AB * BC = 32
ここで，三平方の定理より，AB^2 + BC^2 = 5^2 = 25，なので，
25 + 2 * AB * BC = 32，AB * BC = 7/2
これより，AB，BC は２次方程式 x^2 - 4√2 * x + 7/2 = 0 の解で，図より大小関係に注意して，
AB = √2/2，BC = 7√2/2
そこで，BP は ∠ABC の二等分線なので，
AQ：CQ = AB：BC = (√2/2)：(7√2/2) = 1：7，AQ = AC * 1/8 = 5/8
になります。

途中から数学になってしまうのが残念。何とかならないかしばし考えたのですが，うまくいかず。
仕方がないので，完全に方向転換して，5，8 = 4 * 2 から 3：4：5 が使えないかと考えて得たのが次の解法です。

(解法2)　多分，何とか，算数
BP の中点を M，AC と BD の交点を O とします。O は AC，BD の中点です。
中点連結定理より，MO//PD，∠QMO = ∠ARP = 90°です。
ここで，
∠OMB = ∠RPQ = (∠QAB + ∠QBA) - ∠QRP = (90°- ∠CAD + ∠QBA) - 90°= ∠PBC - ∠CAD = ∠PBC- ∠OBC = ∠OBM
なので，△OBM は OB = OM の二等辺三角形で，O から BM に下ろした垂線の足を H とすると，
OM = OB = BD/2 = AC/2 = 5/2，BH = MH = BM/2 = BP/4 = 8/4 = 2，∠OHB = ∠OHM = 90°
より，△OHB，△OHM は合同でともに 3：4：5 の直角三角形になります。
そこで，△QOM ∽ △OHM なので，△QOM も 3：4：5 の直角三角形になり，
QO：OM：MQ = 3：4：5，QO：(5/2) = 3：4，QO = 15/8，AQ = AO - QO = 5/2 - 15/8 = 5/8
になります。
ネコの住む家　　 11月22日（木） 13:23:21　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　40016
マサル
ちなみに原題は、AC=PDを証明せよ、でした。
iMac　　 11月22日（木） 13:33:32　　 HomePage:算チャレ　　40017
uchinyan
掲示板を読みました。

#40005，#40013，#40015
＞四畳半切りでやってみました。
という解法。「四畳半切り」というのが意味が分からないのですが，
「同じ」とおっしゃっている ma-mu-ta さんの解法を読んで，何となくイメージできたような。
要するに，正方形の入れ子を作って考える解法のようです。
なかなかすごいですが，算数らしくていいですね。
出だしは似ているけれど，私の#40016の数学の(解法1)にも通じるんだろうか？

#40008，#40016の(解法2)
BP の中点を M，AC と BD の交点を N とすると，
△MBN の半分，△MQN が 3：4：5 の直角三角形になることを使う解法。

#40007，#40009，#40011，#40016の(解法1)，#40020，#40022，#40023，#40025
数学による解法。

ちなみに，

#40012
＞今回の問題ですが、某高校の有名入試問題のアレンジ（パクリともいう...）です。
#40017
＞ちなみに原題は、AC=PDを証明せよ、でした。
なるほど。高校入試ならば数学が使えるので，試験場でも何とかなりそうですね。
ネコの住む家　　 11月23日（金） 16:39:36　　 　　40018
hirorisuu
何だか勘で当たりそうですね。とにかく頑張ったのですが…
　　 11月22日（木） 17:04:36　　 　　40019
スモークマン
算数じゃわからず...^^;

正方形を考えて...
a^2+b^2=5^2
8-√2*a=√2*b...8=√2(a+b)
2ab=7
x^2-(8/√2)*x+7/2=0
(x-1/√2)(x-7/√2)=0
PQ=5*a/(a+b)=5*(1/8)=5/8
Orz...
みなさんのでお勉強☆
　　 11月22日（木） 19:44:19　　 　　40020
きょろ文
結構すぐにピンときました
リアルタイムで参加したかったですね〜
　　 11月22日（木） 22:45:37　　 　　40021
ようせん
角DAC=θと置いて、ACとRPが直角だからACベクトル・RPベクトル=0となり、これを解く。因数分解と関数の合成を使ってsinθ+cosθ=5分の4√2を得る。ただし、途中sinθ=cosθの場合が考えられるが、三角形PQRが作れないので不適。cos^2+sin^2=1を使ってsinθcosθを求め、二次方程式を作る。これを解くとcosθ>sinθの場合はsinθ=10分の√2、cosθ=10分の7√2。sinθ:cosθが三角形QAS(SはADとBPの交点)と三角形QCBの相似比に等しいので、AQ=5*1/(1+7)=5/8。根性で解いた感がすごい。ところでこの問題、この解き方で行くとcosθ<sinθとなる場合が考えられませんか？違った図になりますが。
地球　　 11月23日（金） 2:01:54　　 　　40022
mukku
ピタゴラス使いました
　　 11月23日（金） 2:11:09　　 　　40023
鯨鯢(Keigei)
#40022
図は AB＜BC だけど、AB＞BC だったら答が違ってくるということでしょうか？
確かに、問題文に「 AB＜BC 」を加えておけば良いと思いますが、
図が丁寧に描かれているので、大目に見てもよいような気がします。
　　 11月23日（金） 11:44:52　　 　　40024
ばち丸
ちっとも解けず頭に来て三角関数を使いました。
∠ＤＢＣ＝θとおくとＰＤの延長線とＡＢの延長線のなす角もθになり、ＰＤ＝ＢＤ。ＰＤ＝ＢＤ＝５、ＢＰ＝８なので△ＰＢＤは２等辺三角形。よって∠ＰＢＤ＝ψとおくとｔａｎψ＝３／４．よってｔａｎの加法定理でｔａｎθ＝１／７．（中略）よってＡＱ：ＱＣ＝１：７。ＡＱ＝５×１／８＝５／８．とっても面白かったです。感謝。
　　 11月23日（金） 14:03:41　　 　　40025
uchinyan
#40022，#40024
私も鯨鯢(Keigei)さんに同意見です。
なお，このことは，私の#40016の(解法1)でも
＞これより，AB，BC は２次方程式 x^2 - 4√2 * x + 7/2 = 0 の解で，図より大小関係に注意して，
＞AB = √2/2，BC = 7√2/2
と，ちょっとだけ触れています。
ネコの住む家　　 11月23日（金） 16:43:33　　 　　40026
さいと散
#40022 ,#40024
図から算数で求めるときはAQの寸法が出ますが、
数学では、AQとQCの寸法が出て図に合うAQを選択する、と云うことだと思います。
　　 11月23日（金） 16:37:42　　 　　40027
ハラギャーテイ
方程式です。直交するものとの交点とか方程式向きに問題ができていることに驚きました。
長さも計算しやすいものが選ばれています。
山口　　 11月24日（土） 15:53:35　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　40028