algebra
△ＣＰＢに余弦定理を用いて，ＢＣ＝(√6＋√2)／2
相似から，ＡＣ＝2＋√3，ＡＰ＝1＋√3
ＱＲ＝1，∠ＱＡＣ＝∠ＲＣＡ＝15°，ＱＲ‖ＡＣより，ＡＱ＝√2
△ＡＰＱに余弦定理を用いて，ＰＱ＝4
　　 5月9日（木） 0:27:46　　 　　40504
algebra
訂正：ＰＱ＝4 誤 → ＰＱ＝2　正
　　 5月9日（木） 0:29:32　　 　　40505
ようせん
都合が良ければ行きたかったんですが、無理でしたorz

今回もしっかり解きたかったorz勘で当たってしまった・・・orz
　　 5月9日（木） 0:31:42　　 　　40506
Mr.ダンディ
とりあえず、三角関数を使って、答え２を出しました。（Mr.ダーティ　でした）
　　 5月9日（木） 0:43:12　　 　　40507
abcba@baLLjugglermoka
なんとなく∠PQR=60度、∠QRP=直角、になりそうだと思いました。
　　 5月9日（木） 1:22:41　　 　　40508
スモークマン
やっとこさぁ ^^;
BCに関してPと対称な点P'をとり...P'RとBCの交点をR'とすると、
△R'P'Cは二等辺三角形から、PB=BP'=R'C=1
△RR'Cは、正三角形の半分で、R'Cは底辺だから、RR'=2
四角形PQRR'は平行四辺形なので、PQ=RR'=2　♪
　　 5月9日（木） 1:31:31　　 　　40509
ゴンとも
A原点,ACx軸として座標において計算すると・・・
Q((3+sqrt(3))/2,-(sqrt(3)+1)/2),P((1+sqrt(3))/2,(-1+sqrt(3))/2) より
sqrt(factor(((3+sqrt(3))/2-(1+sqrt(3))/2)^2+(-(sqrt(3)+1)/2-(-1+sqrt(3))/2)^2));2・・・・・・(答え)
豊川市　　 5月9日（木） 2:20:51　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　40510
ma-mu-ta
こんな図ができて、正三角形と二等辺三角形のオンパレード。
面白くて線をいっぱい引いてしまいましたが、結局、PQ＝PB×2＝2cm

http://yahoo.jp/box/ydmxOZ
　　 5月9日（木） 4:13:44　　 　　40511
次郎長
ぼけて１時間早く起きてしまった。ネクタイを締めてから１時間間違っていることに気づいた。会社で取り組む積りだったが、自宅で朝早くから頭を使うことになった。今日は働けない。
　　 5月9日（木） 5:54:36　　 　　40512
マサル
私は正十二角形への埋め込みを想定（というか、そのようにして問題を作成）していました。（正十二角形は、１２個の正三角形と６つの正方形に分割できるので...）
iMac　　 5月9日（木） 11:06:18　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　40513
あめい
底角１５°の二等辺三角形と正三角形が合体したパターンをいくつか書いているうちにma-ru-taさんの青の正三角形が８の字になっている形ができました。今日もトータル３時間くらいかかっており、発想力のなさを「嘆く・なにくそ」ととに楽しませていただきました。
発想力といえば以前近くの高校の入試の面接で「３４５６／３４５７と３４５７／３４５８はどちらが大きいでしょう」といった問題が出たそうです。生徒は１−１／３４５７と１−１／３４５８だから小さい方を引く３４５７／３４５８が小さいと答えたそうですが、こういう出題のセンスや答え方のセンス好きです。
　　 5月9日（木） 11:06:45　　 　　40515
あめい
関係ない話の訂正ですいません。
３４５７／３４５８の方が大きいと答えた
　　 5月9日（木） 11:17:38　　 　　40516
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，あまりうまく算数では解けませんでした。

今朝問題を見たときは，例によって頭の中で折り返したり補助線をいろいろと引いてみて，こんな感じで。
図がないと何がなんだか分からないと思いますし，半ば直感なのでいい加減ですが，一応。

AQ と CR を延長し交点を S，A から BC に垂線を下ろしその足を H，AH に関して S と対称な点を T，とすると，
△AST は正三角形，□TBCS は正方形になってよく見る図になります。
この図で，△SAC は二等辺三角形，△CSP は正三角形，なので，△STP は △CBP と合同な二等辺三角形，となって，
PQ と TR の交点を M とすると，SM に関する対称性から，□QRPT は長方形，PQ = PM * 2，
さらに，AH に関する対称性から，△CMS と △BMT も △CBP と合同な二等辺三角形，となり，
やはり対称性などから，△PMT は正三角形，PM = PT = PB = 1 cm，となって，
結局，PQ = PM * 2 = 1 * 2 = 2 cm，かな，と思いました。

多分，これで合っているのでは，思いますが，
図がないと説明がしづらいし，一つ一つ証明するのもシンドそうなので，
今回はこんなところでご勘弁を (^^;

あ，もちろん，数学では 2 cm になることを確認しています。
ネコの住む家　　 5月10日（金） 11:24:20　　 　　40517
マサル
http://www.sansu.org/toi838NETA.gif

こんな感じで作った問題です。ちょっとダサい問題になってしまいました...
会社　　 5月9日（木） 15:29:52　　 HomePage:算チャレ　　40518
uchinyan
掲示板を読みました。
今回は皆さん苦戦しているようですね。

#40513，#40518
正12角形に埋め込んで考える解法。マサルさんの想定解です。
なるほど，これは分かりやすい。確かにその手はありますね。ただ，気付くのは難しいなぁ．．．
ちなみに，#40511などの ASC も異なる正12角形の一部になっていますが，想定解とは少し違いますね。

#40511，？#40515，#40517
AQ と CR を延長し交点を S，A から BC に垂線を下ろしその足を H，AH に関して S と対称な点を T，として考える解法。
詳しくは#40511の図をご覧ください。
そうそう，私の#40517はまさにこの図です。ということは正しそうですね。

#40509
＞BCに関してPと対称な点P'をとり...P'RとBCの交点をR'
として考える解法。ただ．．．
＞△R'P'Cは二等辺三角形から、PB=BP'=R'C=1
二等辺三角形になるのかな？ なったとしても，PB=BP'=1 はいいですが BP'=R'C=1 がいえるのかな．．．？
＞△RR'Cは、正三角形の半分で、
これも明らかではないような。
＞R'Cは底辺だから、RR'=2
＞四角形PQRR'は平行四辺形なので、
これもよく分からない．．．
＞PQ=RR'=2　♪
ちなみに，#40504にあるように，AQ = √2 なので CR = AQ = √2 です。
R'C = 1 だとすると，△RR'C は正三角形の半分にはなりません。
私が何か勘違いしているのかな？

#40506，#40508
勘による解法？

#40504，#40507，#40510，#40520
数学による解法。
ネコの住む家　　 5月10日（金） 11:35:55　　 　　40519
uchinyan
ちなみに，私は二つの数学解法で確認していますが，
三角関数を使わない方が#40509と少し似ているので，ご紹介しておきましょうか。

まず，△CBP ∽ △ABC で BC = a cm とおくと，AB = AC = a^2 です。
また，C から AB に垂線を下ろしその足を H とすると，∠CAB = 30°より，CH = AC/2 = a^2/2 です。
さらに，□QACR は等脚台形なので，R から AC に垂線を下ろしその足を I とすると，CI = (a^2 - 1)/2 で.
△CRI ∽ △CBH なので，RC = ((a^2 - 1)/2) * a/(a^2/2) = a - 1/a になります。
ただし，△CBH に三平方の定理を使って，
BH^2 + CH^2 = BC^2，(1/2)^2 + (a^2/2)^2 = a^2，a^2 + 1/a^2 = 4
一方で，BC 上に PD = PB = 1 cm となる点 D を取ると，△PBD ∽ △CBP なので，BD = 1/a となって，
DC = BC - BD = a - 1/a = RC がいえます。
そして，∠ACB = ∠ABC = 75°，∠RCA = ∠QAC = 15°，∠RCB = 90°となって，△CDR は直角二等辺三角形です。
また，P，Q から BC に垂線を下ろしその足を J，K とすると，
QK//RC，QR//AC，∠RQK = ∠RCA = 15°= ∠DPJ となって QR//PD，さらに PD = PB = QR より，
□PQRD は平行四辺形で，PQ = DR です。
そこで，
DC^2 = RC^2 = (a - 1/a)^2 = a^2 + 1/a^2 - 2 = 4 - 2 = 2
PQ^2 = DR^2 = DC^2 * 1/2 * 4 = 2 * 1/2 * 4 = 4
PQ = 2 cm
になります。
ネコの住む家　　 5月10日（金） 11:27:30　　 　　40520
ハラギャーテイ
三角関数を使いました。角度や長さが適当に与えられているので数学的方法なら簡単です。
でもこれを算数的に解くのはとても難しいと思いました。
山口　　 5月9日（木） 17:02:31　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　40521
zzzzzzzzzz
補助線かきまくってたらできました！
4時間かけて・・・w
　　 5月9日（木） 18:49:00　　 　　40523
スモークマン
#40519
uchinyanさんへ ^^

ご指摘の通りでした...^^;
マサルさんの図を見てて...嘘だったことを確認できた ^^;; ので...書き込みしようとしてたのですが...間に合いませんでした...申し訳ございません...〜m(_ _)m〜
いかにいい加減な図を考えてたかってことバレバレ...あな恥ずかし...Orz...
　　 5月9日（木） 20:20:32　　 　　40524
kurokori
#40517の図を使わせてもらうと、こんなふうに解けそうです。

まずATSが正三角形であり、ATBが二等辺三角形なのでAT=TS=TBからTBCSが正方形とわかります。するとPC=AT、RC=AQ、∠PCR=∠QATより△ATQ=△CRPであり、TQ=PRとなります。さらにTPとACとQRが並行であることから、TPRQは長方形であり、SUを軸にしてAとC、TとP、QとRが左右対称になるので、∠SAU=∠UCS=30度、よって∠UCB=60度であり、△UBSは正三角形となります。最後に∠PTB=∠TBP=∠PBU=∠BUP=15度からTP=PB=PU=UQとなって、PQ=PB×2=2(cm)となる。

TP//AC//QRからの左右対称に気付けるかどうかがポイントになりそうですね。
　　 5月9日（木） 21:06:16　　 　　40525
かっちゃん
むずかしいですね・・・
　　 5月9日（木） 22:13:39　　 　　40526
kurokori
間違えた、
#40511の図ですね
　　 5月10日（金） 4:38:19　　 　　40527
Mr.ダンディ
補助線を引きまくって悪戦苦闘していたのですが
#40518 のマサルさんの想定解の図をみると、大変シンプルなものであり　驚きです。
シンプルな図ですが、私の頭ではこのような図を思いつくことはとても無理ですね。
（正多角形へのはめ込みも、一瞬頭によぎったのですが・・・）
　　 5月10日（金） 18:55:01　　 　　40528
HARU
がんばったらできた^^
　　 5月10日（金） 19:22:32　　 　　40529
mukku
なんとか
　　 5月11日（土） 0:17:23　　 　　40530