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拓パパ |
| 対角線の数（最大4本）で分けて数えました． |
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12月12日（木） 0:14:36
MAIL:dr-yasu@nifty.com 41220 |
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river_history |
| いつものことながら、書き出しです |
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12月12日（木） 0:15:17
41221 |
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数樂 |
| 4＋3＋2＋1＝10通り だったかな。 |
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徳島
12月12日（木） 0:16:45
HomePage:数樂 41222 |
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みかん |
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試行錯誤してダメだったので認証作戦。一発勝負で答えを出すのは難しいです。
１０通り探すにあたって、長短２種類の長さの対角線に注目して （１）全て辺 （２）短１か所 （３）長１か所 （４）短２か所 （５）長２か所 （６）長・短が各１か所…２種類可能 （７）短・長・長 （８）短・長・短 （９）短・長・長・短 以上のパターンが（６）は２通り、それ以外は１通り可能なので 全部で１０通り。 「六角形の場合で考えられるだけ図示せよ」なら入試問題で出そう。 こういう問題が好きな学校もあるし。 |
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12月12日（木） 0:36:32
41223 |
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ようせん |
| 認証頼りです。10で入れました |
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12月12日（木） 0:37:59
41224 |
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みかん |
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(#41223)
正六角形の場合は以下の６通りでしょうか？ （１）全て辺 （２）短１か所 （３）長１か所 （４）短２か所 （５）長・短が各１か所 （６）短・長・短 正八角形以上になると対角線の種類も増えてきてすごく面倒になる予感。 今回も一般項が出せるのでしょうか？ |
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12月12日（木） 0:45:38
41225 |
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スモークマン |
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やっとこさぁ ^^;
最初…2^4 かと思うも入れず… 図を描いて…尻尾(6番目)から枝分かれするものを順に… 1+1+2+3+7=14個 これは… 1+(2-1)+(2^2-1)+(2^3-1)個 という意味で… このうち、4種類(対角線1本が2種類、2、3本が1種類ずつ)は同じ形になるんですねぇ… けっきょく... 14-4=10種類 上手い方法ってあるんだろうか…? |
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12月12日（木） 1:13:37
41227 |
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abcba@baLLjugglermoka |
| 計算式を立てるより、実際に数え上げた方が早いですね。 |
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12月12日（木） 1:57:31
41228 |
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今年から高齢者 |
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交差しないためには、隣へ移るか、反対側へ移るか（ジャンプする）の2とおりしかない。
隣へ移る場合を1、反対側へ移る場合を2として、n角形の1,2の並びからn+1角形のの並びを作る場合には、最初に1を加えて、次の数を1のままと、2に変えた並びを作る。これを3角形から順に増やして行く。 3角---4角----5角---6角----7角 11----111---1111--11111--111111 ------------------12111--112111 ------------1211--11211--111211__× ------------------12211--112211 ------121---1121--11121--111121 ------------------12121--112121 ------------1221--11221--111221 ------------------12221--112221 11----111---1111--11111--121111__× ------------------12111--122111__× ------------1211--11211--121211__× ------------------12211--122211__× ------121---1121--11121--121121 ------------------12121--122121 ------------1221--11221--121221__× ------------------12221--122221 6角から7角への増加は対称であり、片方のみを表示した。 （同じ並びか）逆からみて同じ並びのものを省けば 111111, 112111, 112211, 111121, 112121, 111221, 112221, 121121, 122121, 122221 の10個となった。 |
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12月12日（木） 3:40:46
41229 |
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今年から高齢者 |
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#41229のように線の方向を1,2で表す。
N角形の場合、線の数はN-1。両端は1に決まっているので、N-3個の線の方向が1か2であり、2^(N-3)とおり。 逆からの並びで同じものがあるので1/2すればよいが、対称な並びのものは1種類しかないので補正する。 対称な並びのものは、(N-3)/2を切り上げて2倍しただけあるので、 2^(N-4)＋[(N-3)/2の切り上げ] ではいかがでしょう。 N=3の場合は妙なことになるのですが．．． |
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12月12日（木） 3:48:14
41230 |
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Jママ |
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nが奇数の場合、
正n角形では 2^(n-4)+2^{(n-5)/2}通り(n=5,7,9,…) ではないでしょうか… 同じ方おられませんか？ 偶数のときはまだ解を得ていません。 説明はあとで時間あるときトライしますm(__)m |
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12月12日（木） 7:44:52
41231 |
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Jママ |
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訂正しましたm(__)m
nが奇数のとき、 2^(n-4)+2^{(n-5)/2}通り (n=5,7,9,…) nが偶数の場合は 2^(n-4)+2^{(n-4)/2} 通りになりました。 (n=4,6,8…) n=7のとき はじめと終わりは必ず辺になり、残りを結ぶには (n-3)本の線が必要です この場合は4本。対角線になるか辺になるか、 対角線を○、辺を◆とすると、 左右対称になるものが重複しない並び方は ◆◆◆◆ ○◆◆◆ ◆○◆◆ ○○◆◆ ○◆○◆ ◆○○◆ ○○○◆ ○◆◆○ ○○◆○ ○○○○ の10通り。この考え方を一般化してみると nが奇数、偶数のときとで場合分けが必要で 上記のような結果になりましたが 自信はないです。 フォロー感謝します。 |
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12月12日（木） 10:11:04
41232 |
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今年から高齢者 |
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#41231Ｊママさんのが正しいですね。
#41230は対称な並びの数を間違えていました。 偶数の場合は、5のところを切り上げのために1ずらして4にすればよいのかな？ 奇数角形： 2^(N-4)＋2^{(N-5)/2} 偶数角形： 2^(N-4)＋2^{(N-4)/2} |
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12月12日（木） 9:30:05
41233 |
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Mr.ダンディ |
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1つの頂点からスタートして順に進むとき、辺上を進むか、まだ通過していない頂点と結ぶ対角線のうち
進んできた辺の角がもっとも小さい対角線を進むかです。（こういとき「対」と表す） すると 1頂点からのすべての進路が 「辺辺対辺対辺」のように表されます（初めと終わりは必ず「辺」となります） このような進路は 2＾4＝16（通り）あり、そのうち �〆険β仂里覆發里蓮�2＾2＝4 （通り） �↓＾奮阿痢�16-4＝12（通り）については、左右逆にすると同じになるものが2つずつ含まれています。 したがって 4+(16-4)/2＝10 としました。 |
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12月12日（木） 9:06:49
41234 |
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mz |
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「一度通った頂点は通らないで一筆書きでやると」みたいな条件いりませんか？
交わるのがダメだけなら、交差はダメでも線の分岐OKですよね？ 正七角形そのままの形に結んだりしたら、分岐なしでも、パターンが増えますし。 |
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12月12日（木） 16:54:50
41235 |
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ハラギャーテイ |
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認証だよりでした。30くらいから160まで頑張っておかしいともって10からやったらすぐ入れた。
栃木の娘のところへ女房ともども産後の世話に出かけました。男の孫が生まれました。 |
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山口
12月13日（金） 19:47:29
HomePage:制御工学にチャレンジ 41236 |
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さいと散 |
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頂点Ａから始めて辺上を進むか、最も近い対角線を進むかして頂点Ｂで終わるものとすると、初めと終わりは必ず「辺上」となるので
残りの4本の線で重複しないものを数えることになるのでΣ(2^2)=10 としました。 (2*n+3)角形なら Σ(2^n)＝2^n*(2^n+1)/2 通り (2*n+4)角形なら 2*Σ(2^n)＝2^n*(2^n+1) 通り になると思います。 |
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12月13日（金） 22:29:38
41237 |
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pao |
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回転を考えるとややこしい感じがしたので考えないでいいように
図の一番上の点を4番目に通る点と考え左右に3回進むことを考えると 片側4通り、左右で16通り そのうち左右対称となるのが4通りなので非対称は12通り 非対称なものは重複するので12/2=6通りとなり 4+6=10通り としてみました。 |
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12月14日（土） 2:34:23
41238 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うへ，やっと解けた。完全に勘違いしておりました．．．orz 「７つの頂点すべてを線分で結び」というのは，とにかく頂点がつながっていればいい，という意味だと思い， 一つの頂点から３本以上出ていたり，ループを許したり，正７角形が三角形と四角形に分離してもいい，とばかり思って， カタラン数っぽい漸化式とかも考えたけれどうまくいかず，「恐ろしい難問だ。全く手が付かない。。。」と頭を抱えておりました。 単に図２の例のようなパターンだけを考えればよかったんですね。それならば簡単です。 回転を考えないので，例えば，一番上の１点を固定してこれを始点にします。 すると，最初に対角線を通ると必ず交わってしまうので，辺を左に行くか右に行くかしかありませんが， 右に行くのは左に行くのと対称になってしまうので，左に行く場合だけを考えれば十分です。 さらに，この後も線分が交わらないためには，次の頂点は常に残っているものの両端だけが可能なので， 2 * 2 * 2 * 2 = 16 通り このうち適当に回転すれば自分自身で左右対称になるものが 2 * 2 = 4 通り あり，それ以外の回転したり裏返して同じになるものは除くので，結局， (16 - 4)/2 + 4 = 10 通り になります。 一般化などの議論もされているようですね。 掲示板を読んで勉強します。 |
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ネコの住む家
12月14日（土） 17:23:53
41239 |
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Jママ |
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#41232 一応説明を…
両端は辺なので、間の(n-3)本が辺◆か対角線○かを 左右対称が重複しないように並べその数を数える。 nが奇数、n-3=2k(k=1,2,3,…)のとき ┌─k個 ─┐ ┌─k個 ─┐ □□□…□□ □□…□□□ の並べ方を考える。 まず2k=(n-3)個の並べ方は2^(2k)=2^(n-3)とおり そのうちそれ自体左右対称な並び方は1回数えればよいが、 それ以外の並び方は、 左からと右からとで同じ(対称)になるので 重複して数えていることになるので半分でよい。 よって、{(全並び方)+(左右対称)}÷2を求めればよい。 左右対称な並び方は、左半分のk個=(n-3)/2個の並び方 と同じなので2^{(n-3)/2}通り。よって求める値は [2^(n-3)+2^{(n-3)/2}]/2=2^(n-4)+2^{(n-5)/2}通り (n=5,7,9,…)となる。 nが偶数、n-3=2k+1(k=0,1,2,…)のとき、 ┌─k個 ─┐1 ┌─k個 ─┐ □□□…□□■□□…□□□ の並べ方について考える。 考え方は奇数のときと一緒で {(全並び方)+(左右対称な並び方)}÷2を求めればよい。 全並び方は、2^(2k+1)=2^(n-3)通り。 左右対称な並び方は、左半分のk個の並び方に それぞれ■の部分が○(対角線)か◆(辺)かの2通りあるので 2^k×2=2^(k+1)=2^{(n-2)/2}通り。よって求める値は [2^(n-3)+2^{(n-2)/2}]/2=2^(n-4)+2^{(n-4)/2}通り(n=4,6,8,…) となります。 間違いご指摘歓迎しますm(__)m |
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12月15日（日） 13:37:40
41240 |
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pao |
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奇数の角形では私の解法でも同様の解を得ていましたので間違いないと思います。
偶数の角形では未検証です^^ >Jママ様 |
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12月15日（日） 9:24:47
41241 |
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uchinyan |
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#41240
Jママさん，詳しい解説をありがとうございます。 一応，正しい，と思います。ただ，説明上で若干気になる点が二つあります。 一つ目は，最初の辺ですが，左に行く，右に行く，を限定しているのか，いないのか，です。 限定しない場合には，さらに２倍になります。 もちろん，左右で裏返した図形になるので半分にし結果は変わりませんが，説明上は不明確で気になります。 二つ目は，一つ目とも関係しますが，例えば，正６角形で最初左に行くとした場合， ■の取り方によっては，図形としては自分自身で左右対称だけでなく回転対称の図形も現れます。 もちろん，計算の仕方は同じなので結果には影響しませんし， 左右対称の意味を実際の図形ではなく□の並びの意味だけに使っているのならば問題ないのですが， やはり説明上は気になります。 なお，奇数の場合は問題ないと思います。 少々細かいですが，ご検討ください。 |
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ネコの住む家
12月15日（日） 12:00:18
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 41242 |
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Jママ |
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#41241 paoさんフォロー感謝しますm(__)m
#41242 uchinyanさん、ご指摘ありがとうございますm(__)m ご指摘いただいたように、 この場合、最初の辺の位置と向きを固定して考えましたが 但し書きを添えればよかったですね。 偶数の回転対称も、あまりよく検討していなかったのですが 初めの辺の向きを固定して、 ○◆については純粋に記号の並び方の左右対称だけを考えれば 1カウントしかされないかと…？(^-^; スミマセン、的が外れていたら再度ご指摘ください |
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12月15日（日） 14:04:03
41243 |
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uchinyan |
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#41243
はい，それで問題ないと思います。要は，誤解のないような表現の話だけなので。 いずれにせよ，今回は一般化もうまくいきましたね。 |
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ネコの住む家
12月15日（日） 14:29:37
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 41244 |
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拓パパ |
| いろいろ解法がありそれなりに勉強になっておりますが、この問題を小学生が解くとしたら、どうやって解くのでしょうか？ やっぱり場合分けして数え上げるしかないような気がします．マサルさんに意見をうかがいたいです． |
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12月16日（月） 1:24:46
41245 |