ベルク・カッツェ
一回目、うっかり15と答えて間違ってしまいました。
15に1、2、4、8不足で考えても15通り出るんですね。

＞uchinyanさん
ありがとうございます。評価していただけると励みになります。
　　 4月17日（木） 0:11:00　　 　　41658
みかん
(♯41658)
私も同じく１・２・４・８→和が１５、でどこがおかしいんだろうと認証作戦。
答えの４５から７・１１・１３・１４にはたどり着けましたが・・・。

「１５」で答えを送った人は私だけではないはず（汗）
　　 4月17日（木） 0:22:10　　 　　41659
沢井ねむ・る
失礼します。ねむ・ると申します。

最小の組み合わせは，２進数の考え方から，「１，２，４，８」ですよね。
これで１〜15が作れます。
ここで15の補数(でしたっけ？)を考えて，
15−１＝14，15−２＝13，15−４＝11，15−８＝７
の組み合わせに変換。合計は，14＋13＋11＋７＝45
と考えました。
　　 4月17日（木） 0:33:38　　 　　41661
沢井ねむ・る
あれ，すいません。
＞41658
と同じ事書いてしまいました。ちゃんと読まずに失礼しました。
　　 4月17日（木） 0:36:10　　 　　41662
スモークマン
15の余りが15種類…0〜-14
0があっては駄目でしたのねぇ…^^; 0+(-1)=-1…
それに気付いて...
余りの小さいものからカウントすれば...
-1,-2,-4,-8
14+13+11+7=45
でしたのね…Orz
金即是空 ^^;v　　 4月17日（木） 0:38:20　　 　　41663
今年から高齢者
一眠りして、起きたら1時をまわっていました。しまった！。
４つの数を利用した１５種類の数の余りが１５種類ということで、すぐに１，２，４，８と関係していると考えられました。
大きい方ということで、それ以上の理由なしに、１５からそれぞれを引いて足しました。
　　 4月17日（木） 1:22:24　　 　　41664
Mr.ダンディ
一歩進めて
エ（最大の数）が　31以下で「この条件を満たす（ア、イ、ウ、エ）の４数の組み合わせ」
は何通りあるか」とするのも面白いですね。
　　 4月17日（木） 8:41:03　　 　　41665
石原ゼミ
ア≡0(mod 15)と仮定すると　ア＋イ≡イ(mod 15)となるので
ア≡0(mod 15)ではない。イ、ウ、エの場合も同様。
次にア＋イ≡0(mod 15)と仮定するとア＋イ＋ウ≡ウとなるので
ア＋イ≡0(mod 15)ではない。他の２つ選ぶ場合の組み合わせも同様。
次にア＋イ＋ウ≡0(mod 15)と仮定するとア＋イ＋ウ＋エ≡ア＋イ＋ウ(mod 15)となり、ア＋イ＋ウ≡0(mod 15)ではない。
つまり　15で割り切れるのはア＋イ＋ウ＋エのみ
条件を満たすア＋イ＋ウ＋エの最大値は45となる。
　　 4月17日（木） 10:21:44　　 　　41666
???
エクセルのマクロ
Option Explicit
Dim a(4) As Integer, b(14) As Integer, c(4) As Integer
Dim m As Integer
Sub Macro1()
Cells(1, 1).Value = 0
Call saiki1(1)
End Sub
Sub saiki1(ByVal n As Integer)
Dim dame As Integer, wa As Integer, j As Integer
If n = 1 Then a(1) = 1 Else a(n) = a(n - 1) + 1
While a(n) <= 15
If n < 4 Then
Call saiki1(n + 1)
Else
For j = 0 To 14: b(j) = 0: Next j
For m = 1 To 4: Call saiki2(1): Next m
For j = 0 To 14
If b(j) = 0 Then dame = 1
Next j
If dame = 0 Then
wa = 0: For j = 1 To 4: wa = wa + a(j): Next j
If Cells(1, 1).Value < wa Then
Cells(1, 1).Value = wa
For j = 1 To 4: Cells(1, j + 1).Value = a(j): Next j
End If
End If
End If
a(n) = a(n) + 1
Wend
End Sub
Sub saiki2(ByVal n As Integer)
Dim wa As Integer, j As Integer
If n = 1 Then c(1) = 1 Else c(n) = c(n - 1) + 1
While c(n) <= 4
If n < m Then
Call saiki2(n + 1)
Else
wa = 0: For j = 1 To m: wa = (wa + a(c(j))) Mod 15: Next j
b(wa) = 1
End If
c(n) = c(n) + 1
Wend
End Sub
　　 4月17日（木） 10:26:58　　 　　41667
abcba@baLLjugglermoka
この手の問題は２進数が絡んでいる事が多いので直ぐに分かりました。
　　 4月17日（木） 11:34:47　　 　　41668
まるケン
今日も朝から暇なので、総当たりで調べてみました。
エが１５以下だと、[1, 2, 4, 8]と[7, 11, 13, 14]の２通りしかないんですね。
上記２通りをベースに、4つの数字のどれか（複数可）に15を足しても題意は満たすので、
[1, 2, 4, 8+15=23]、[1, 2+15=17, 4+15=19, 8]、[7+15=22, 11, 13, 14]　など、いろいろなパターンができます。
エを３１以下にすると、全部で４０通りもありました。
合計の数は、15の倍数になり、重複するものも多数ありますが、最大なのは１通り（105）でした。

ないしょ　　 4月17日（木） 11:42:02　　 HomePage:まるケンの部屋　　41669
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは簡単でしたね。こんな感じで。

15 個の和それぞれを 15 で割った余りがすべて異なるので 0 〜 14 がすべて現れることになります。
ここで，特に 0 に注目し，ア + イ + ウ + エ 以外の和でで 0 になったとすると，
その和に含まれていない数の余りとその数を和に加えた和の余りが等しくなり題意を満たしません。
そこで，0 は ア + イ + ウ + エ の余りでなければなりません。つまり，ア + イ + ウ + エ は 15 の倍数です。
エ が 15 以下なので，ア + イ + ウ + エ は最大でも 12 + 13 + 14 + 15 = 54 となり，最大の 15 の倍数は 45 です。
後はこうなる ア，イ，ウ，エ が存在するかですが，エ = 15 はダメなので，
仮に，11，12，13，14 としてみると 11 + 12 + 13 + 14 = 50 となって 50 - 45 = 5 だけ多いので，
5 減らすようにいろいろとやってみると，7，11，13，14 でビンゴ！
そこで，答えは 45 になります。

算数ではこんな感じで最後はいろいろやってみるのが自然かな，と思いますが，
数学としては次のようにするのもいいでしょう。

余りを 0 〜 14 ではなく -1 〜 -15 と考えます。
すると，1 〜 15 は２進数の原理により 1，2，4，8 の最小の数で実現可能なので，
-1 〜 -15 は -1，-2，-4，-8 で実現可能です。
そこで，15 に対して余りが -1，-2，-4，-8 となる数 14，13，11，7 をもってくれば，
余りが -1 〜 -15 つまり 0 〜 14 と最大の数で実現することができます。
このとき，ア + イ + ウ + エ = 7 + 11 + 13 + 14 = 45 になり，これが最大になります。
ネコの住む家　　 4月17日（木） 12:48:09　　 　　41670
uchinyan
掲示板を読みました。

うーむ，掲示板を読む限りでは，皆さん，私が#41670で数学だと思った，
２進法をもとにした 1，2，4，8 を 15 から引く，という解法のようです，
負の数が表に出ないようにうまく説明すれば算数解法といってもいいのでしょうね。

なお，合同式，これは最近は高校数学らしい，を使って，私の#41670の前半のように考える解法，#41666，もありますが，
＞次にア＋イ＋ウ≡0(mod 15)と仮定するとア＋イ＋ウ＋エ≡ア＋イ＋ウ(mod 15)となり、ア＋イ＋ウ≡0(mod 15)ではない。
ここは，ア＋イ＋ウ＋エ≡エ (mod 15)となり，ア＋イ＋ウ≡0(mod 15)ではない ，では？
それと，一応，解，7，11，13，14，の存在について触れておく方がいいと思います。
ネコの住む家　　 4月17日（木） 12:44:36　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41671
ハラギャーテイ
苦手の問題が続きます。昔の問題で良いというのを再び出されてもうれしいです。
もうみんな覚えていません。
山口　　 4月17日（木） 14:14:14　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41672
スモークマン
#41669 まるけんさんへ ^^
45=6+12+13+14=8+10+13+14=...
30=1+4+12+13=1+5+11+13=...
など多数があるような…?
金即是空 ^^;v　　 4月17日（木） 14:46:05　　 　　41673
まるケン
#41674
6, 12, 13, 14 だと、
12÷15=0...12
(13+14)÷15=1..12
となり、同じ余りが重複するので条件を満たしませんね。
8, 10, 13, 14も、
8÷15=0...8
(10+13)÷15=1...8
でNGです。

エが31以下のケースを合計ごとに集計してみました。

15　1, 2, 4, 8

30　1, 2, 4, 23
　　1, 2, 8, 19
　　1, 4, 8, 17
　　2, 4, 8, 16

45　1, 2, 19, 23
　　1, 4, 17, 23
　　1, 8, 17, 19
　　2, 4, 16, 23
　　2, 4, 8, 31
　　2, 8, 16, 19
　　4, 8, 16, 17
　　7, 11, 13, 14

60　1, 17, 19, 23
　　11, 13, 14, 22
　　2, 16, 19, 23
　　2, 4, 23, 31
　　2, 8, 19, 31
　　4, 16, 17, 23
　　4, 8, 17, 31
　　7, 11, 13, 29
　　7, 11, 14, 28
　　7, 13, 14, 26
　　8, 16, 17, 19

75　11, 13, 22, 29
　　11, 14, 22, 28
　　13, 14, 22, 26
　　16, 17, 19, 23
　　2, 19, 23, 31
　　4, 17, 23, 31
　　7, 11, 28, 29
　　7, 13, 26, 29
　　7, 14, 26, 28
　　8, 17, 19, 31

90　11, 22, 28, 29
　　13, 22, 26, 29
　　14, 22, 26, 28
　　17, 19, 23, 31
　　7, 26, 28, 29

105　22, 26, 28, 29

ないしょ　　 4月17日（木） 15:30:38　　 HomePage:まるケンの部屋　　41674
まるケン
#41667 のマクロを試していて、うまく動かなかったので調べてみたら、、、
17行目のForの前あたりに、dame の初期化がいりますね。

こんなに暇にしていて、よいのだろうか、、、
ないしょ　　 4月17日（木） 15:43:11　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　41675
uchinyan
#41665，#41669，#41674
既に議論が尽くされていると思いますが，一応，私も考えてみました。

1，2，4，8 をもとに 15 を加えていくもの
最大が 31 = 1 + 15 + 15 がミソで，2^4 + 2^3 = 16 + 8 = 24 通り。
7，11，13，14 をもとに 15 を加えていくもの
これは単純に 2^4 = 16 通り。
以上ですべてなので，24 + 16 = 40 通り。

なお，四つの和の最大が 15 の倍数なのは，私の#41670より明らかで，
28 + 29 + 30 + 31 = 118 なので，105 が候補。
実際に実現可能なのは，-1，-2，-4，-8 を最大の数に加えればいいですが，
31 をもとにすると 30 が出てきて不可なので，30 をもとにして，22，26，28，29，です。
和が 105 になるのがこれしかないのは，構成方法からして明らかですね。
ネコの住む家　　 4月17日（木） 16:09:14　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41676
石原ゼミ
uchinyan　様

ご指摘ありがとうございます。
正しくは「ア＋イ＋ウ＋エ≡エ (mod 15)となり，ア＋イ＋ウ≡0(mod 15)ではない 」です。

＜それと，一応，解，7，11，13，14，の存在について触れておく方がいいと思います。

これは皆さんが書かれているように４ケタの２進数1000(2),0100(2),0010(2),0001(2)を10進数にした
8,4,2,1を15から引いて7,11,13,14とするのがよいと思います。
ここを合同式で説明すると長くなります。


　　 4月17日（木） 16:29:44　　 　　41677
Mr.ダンディ
まるケンさん、uchinyanさん　私の気まぐれな問題に取り組んでいただき有り難うございます。
私は
15で割った余りが 1,2,4,8 となる
A={1,16,31} B={2,17} C={4,19}　D={8,23} 考え
A,B,C,D から１つずつ取り出してつくった4数からなる組は　条件を満たすので　3*2*2*2＝24　（通り）

15で割った余りが -1,-2,-4,-8 となる
A'={29,14} B'={28,13} C'={26,11}　D'={22,7} 考え
A',B',C',D' から１つずつ取り出してつくった4数からなる組は　条件を満たすので　2*2*2*2＝16　（通り）

したがって　すべてで　24+16＝40（通り）
最大の数は　A',B',C',D'から大きい方をとって　29+28+26+22=105

このように考えていました。（uchinyanさんの#41676と殆んど同じでした）
　　 4月17日（木） 18:51:20　　 　　41679
スモークマン
#41674まるけんさんへ ^^
そっか…^^;
大変失礼しました〜m(_ _)m〜
30になるものがない理由が分からないんですが…
最小の1+15>15だからないってことなんでしょうか知らん…?…^^;;
金即是空 ^^;v　　 4月17日（木） 18:58:21　　 　　41680
あめい
中々答えに行き着かなかったのですが・・・算数的かな？
小さい方３つで余りが７パターン出来る。４つめの数で余り１パターン、最初の７パターンに４つめの数を加えることで残りの�Д僖拭璽鵑�出来ると考えました。
最大数が１５だと、最初の７パターンと後の７パターンはあまりが同じなので最大数１５は×（１５足して１５で割っても余りは変わらないから)。
最大数を１４とすると、後の７パターンは最初の７パターンよりあまりが１ずつ少なくなるので（１４＝１５−１なので１４を足すと余りが１減るから）、最初の７パターンの余りが１，３，５，７，９，１１，１３となる３つの数を見つければいけそう。
（最大が１３だと後の７つは最初の７つより２ずつ減るので、前の７つをどんな数にしても１５パターンにならない。最大１２以下も同様）
という流れで考えました。
（この３つの数を見つけるのに時間がかかってしまいましたが)
１，２，４，８は最初の３つで余りが１，２，３，４，５，６，７の７パターンなので８で１パターン、＋８で後の７つが９，１０，１１，１２，１３，１４，０の７パターンとなってＯＫでした。
そうすると、最大数１５以下という今回の問題の条件では最小１，２，４，８の１５，最大７，１１，１３，１４の４５の２つしか答えがないんでしょうか。，
　　 4月17日（木） 19:41:15　　 　　41681
ペルソナ
これはいい問題
　　 4月18日（金） 0:50:41　　 　　41682
数樂
二進数で考えて15で悩んでました。。。とほほ
15から引いて考えるのですね。
勉強になります。
Tokushima　　 4月18日（金） 2:36:11　　 HomePage:数樂　　41683
uchinyan
#41680，#41681
私もプログラムで確認しましたが，まるケンさんのプログラムの結果から分かるように，
エが 15 以下の場合の解は，
1，2，4，8，和 15 と　7，11，13，14，和 45
しかないようです。

和が 15 の倍数になり，候補は 15，30，45 しかないことは#41670にも示しましたし，
和が 15，45 の解が一つなのは２進法の原理から，又は実際に解いても，明らかですが，
和が 30 のときに解がないことの明解で論理的な理由は私には分かっていません。
何かありそうな気はするのですが．．．

なお，Mr.ダンディさんの問題を解く際にも，
エが 15 以下の場合で和が 30 に解がないことが重要になってきます。
ネコの住む家　　 4月18日（金） 12:48:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41684
大岡　敏幸
久しぶりに覗きにきました（＾＾）　１５以下という数字を見て、「１ｇ，２ｇ，４ｇ，８ｇのおもりで１５ｇまで作りなさい」という懐かしい問題を思い出しました。

今回はそれの類題ですね。　　楽しめました（＾＾）　　

上位陣のタイムが異様に早いので、問題を見て納得です。それにしても早い（＾＾；
石川県　　 4月18日（金） 16:57:47　　 　　41685
ryu
最初1+2+4+8=15かと思ったけどちがいました
いろいろ考えてそれぞれに同じ数字を足したけど違いました
同じ数字じゃなくそれぞれを2倍して見ると奇数がありませんでした
3倍すると8×3=24で15を超えました
けどどっかから引いてそれを別のところに足したりすると収まりました

つまりこういうことです
1,2,4,8
↓3倍（偶数倍だとあまりが奇数の数を作ることができない）
3,6,12,24
↓24-9,3+9,12-1,6+1（すべてを15以内に収まらせるため）
12,7,11,15

眠いので読みにくい文章だと思いますが書くだけ書いてみます
　　 4月19日（土） 2:09:37　　 　　41686
おすまん
久しぶりの挑戦でした。　正解したというより、「掲示板に入ることができただけ」という感じです…orz

uxhinyan様 #41670
「余りを 0 〜 14 ではなく -1 〜 -15 と考えます…」

石原ゼミ様 #41677
「４ケタの２進数1000(2),0100(2),0010(2),0001(2)を10進数にした…」

のところが理解できず、情けない限りですが、凹まずに頑張ります。
（沢井ねむ・る様 #41661 が言及されている「補数」を調べればよいのでしょうか？）

いずれにしろ、頑張ります♪

追
uchinyan様 お初にお目にかかります。くれぐれもご自愛くださいませm(_ _)m
somewhere in the world　　 4月21日（月） 2:35:44　　 　　41687
ジミネコ
4数a,b,c,dの合計の最小が15なので、
逆に最大は15-a,15-b,15-c,15-d
となり15×4-15＝45
　　 4月22日（火） 3:14:00　　 　　41688
ジミネコ
4数a,b,c,dの合計の最小が15になる数は
わからなかったですが、存在するだろうとの前提です。
　　 4月22日（火） 3:17:57　　 　　41689
マサル
大阪オフミについてー。

http://tabelog.com/osaka/A2701/A270101/27052565/

こちらで、17:30〜20:30での開催となりました。（その後どうなるかは未定...）現在12名のご参加表明のところ、最大14名までの部屋を予約しています。というわけで、申し訳ありませんが、あと２名で締め切りになっちゃいます。m(__)m

よろしくお願いいたします。
会社　　 4月22日（火） 15:39:01　　 HomePage:算チャレ　　41690