今年から高齢者
はじめは勘で288を送ったが沈没。（以下一部修正）
１２３４
２３４１
３４１２
４１２３
の縦（行の入れ替え４！）と横（列の入れ替え４！）。
上３行を決めれば４行目は１とおりにきまるので、上３行を選べばよいと．．．。
４！×４！＝５７６
【訂正 6/26 10:40】
ごめんなさい。この考え方は間違っていたようです。答えは偶然！？
どこが違っているのかな
#41983ゴンともさんのプログラムを借用・修正して、1〜3の2×3マスや1〜4の2×4マスを試してみましたが合いません。
1〜3の2×3マスで１２とおり、1〜4の2×4マスで216とおりとなりました。
　　 6月26日（木） 10:40:54　　 　　41981
ベルク・カッツェ
いろいろ間違えてやっと正解、相変わらずミス多すぎです。
上２段が1-4、4-1、2-3、3-2と2セットになるパターンと、1-2、2-3、3-4、4-1となるパターンで分けて考えました。
　　 6月26日（木） 0:18:50　　 　　41982
ゴンとも
十進basic で

問題文の図を

a,b,c,d
e,f,g/h
i/j/k/l

と置くと

for a=1 to 4
for b=1 to 4
for c=1 to 4
for d=1 to 4
if a+b+c+d<>10 or a*b*c*d<>24 then goto 90
for e=1 to 4
if e=a then goto 80
for f=1 to 4
if f=b then goto 70
for g=1 to 4
if g=c then goto 60
for h=1 to 4
if e+f+g+h<>10 or e*f*g*h<>24 then goto 50
if h=d then goto 50
for i=1 to 4
if i=a or i=e then goto 40
for j=1 to 4
if j=b or j=f then goto 30
for k=1 to 4
if k=c or k=g then goto 20
for l=1 to 4
if i+j+k+l<>10 or i*j*k*l<>24 then goto 10
if l=d or l=h then goto 10
let s=s+1
10 next l
20 next k
30 next j
40 next i
50 next h
60 next g
70 next f
80 next e
90 next d
100 next c
110 next b
120 next a
print s
end

f9押して　576・・・・・・(答え)
豊川市　　 6月26日（木） 0:26:56　　 　　41983
小西孝一
一番上を１２３４で固定して２４パターン
４！をかけて２４＊２４＝５７６
頭わる〜。
　　 6月26日（木） 1:42:32　　 　　41984
たけちゃん
1行目は4!=24(通り)可能で，「1234」の場合を調べればよい．
2行目は「完全順列」の9通り．うち3通りは2143と本質的に同じ，残りは2341と本質的に同じ．
2行目が2143なら，3行目は3412,3421,4312,4321の4通り．
2行目が2341なら，3行目は3412,4123の2通り．
よって，24*(3*4+6*2)=576(通り).

ベルク・カッツェさんと同じですかね．
　　 6月26日（木） 6:17:34　　 　　41985
あめい
1列目の並べ替えが２４通りなので２４×□通り、しかしこの□の見つけ方がわからず1列目をａｂｃｄと置いて、２列目、３列目を実際に作りました。
これが２４通りあったので、２４×２４＝５７６通りとしました。
□も２４なので何かあるんだろうと思いましたが浮かばず、#41981の今年から高齢者さんの説明でわかりました。
「そうかぁ〜」という目から鱗も私にとっての楽しみです。
お馬崎　　 6月26日（木） 6:32:15　　 　　41986
次郎長
私も同じような解き方です。
すっと２４×２４が求まり。
久しぶりに一発正解、「おおっ！」
こんな時だけ書き込み。
　　 6月26日（木） 8:04:17　　 　　41987
Mr.ダンディ
１□□■
□１□■
□□１■
右の■の列の決め方は　3!（通り）
右の■の列を決めた後、左の３列の□の入れ方は　2*2＝4（通り）ずつ　
縦の４列どうしの入れ替え方は４!（通り）
よって
3!*4*4!＝576（通り）としました。
　　 6月26日（木） 10:15:24　　 　　41989
スモークマン
よく分かりませんでした…^^;
4!の倍数ってことで…認証で…Orz
最初考えたのは...
4x4で考えても同じはずなので...
上横の並び…4!
左縦の並び…3!
残りは左上の数が残り3x3の縦横重複しないように並べればあとは一意に決まるから、3!
4!*3!*3! で駄目な理由が分かりません…^^;
金即是空 ^^;v　　 6月26日（木） 9:08:08　　 　　41991
あめい
う〜ん、今年から高齢者さんの間違えの理由がwかりません。
スモークマンさんのは、左縦の並びが(縦４つから３つ選ぶので)４×３×２なのではないでしょうか。
関係ないですけど、この問題の発展形が数独の表ですよね。９×９マスの数独の解答パターンって何通りあるのでしょう。９！×９！・・・縦横３マスの縛りがありますからもっと少ないんでしょうが…
　　 6月26日（木） 10:47:50　　 　　41992
まるケン
プログラムで違うサイズの場合を計算してみました。
１×２：２通り
２×３：１２通り
３×４：５７６通り
４×５：１６１２８０通り
５×６の計算中に、ここまでの結果を例の整数列大辞典で調べたら、、、
A002860
アホなプログラムでは４×５が限界なことがわかりました。
ないしょ　　 6月26日（木） 12:10:44　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　41993
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
こういう問題はいかにややこしくならないように数えるかがポイントですが，じっくり考えれば何とかなるでしょう。
ただ，試験場とかで時間に追われているとミスするだろうな，という気がします。
実際，最初どこで間違えたのか２倍になってしまいました (^^;
もう少しうまくできそうな気もしますが，一応，地道に，こんな感じで。

まず，１行目は単に 1 〜 4 が並べばいいので 4! = 24 通り。
２行目，３行目は１行目のそれぞれの並びに対して同数ずつの場合の数になるので，
以下，１行目を，１２３４，として考えます。

２行目の最初，１行目の１の下，は１以外なので 3 通り。
このどれでも以下の場合の数は同数なので，これを２として考えます。
すると，１行目の２の下は，１，３，４，のいずれかです。

(1) １行目の２の下が１の場合
２行目の残りは３と４ですが，１行目の３の下が４なので，２行目は 1 通りに決まります。
このとき，３行目は，
１行目が１で２行目が２，１行目が２で２行目が１，の下は３と４の入れ替え，
１行目が３で２行目が４，１行目が４で２行目が３，の下は１と２の入れ替え，
となって，2 * 2 = 4 通り。
そこで，この場合は，1 * 4 = 4 通り。

(2) １行目の２の下が３の場合
２行目の残りは１と４ですが，１行目の４の下が１なので，２行目は 1 通りに決まります。
このとき，３行目は，
１行目が１で２行目が２の下は３か４ですが，
３の場合は，
上２行の４の位置から１行目が２で２行目が３の下は４に決まり，２行目が１の下は２，と決まり，1 通り。
４の場合は，
１行目が２で２行目が３の下は１，１行目が３の下は２，１行目が４の下は３，と決まり，1 通り，
となって，1 + 1 = 2 通り。
そこで，この場合は，1 * 2 = 2 通り。

(3) １行目の２の下が４の場合
(2)と同様に，2 通り。

そこで，２行目の最初が２の場合は，4 + 2 + 2 = 8 通り。

以上より，２行目の最初の 3 通りと１行目の 24 通りを掛けて，
24 * 3 * 8 = 576 通り
になります。

もう少し考えてみました。こうする方が簡単そうです。

３行しかないので，右端の１列は，どれか１つの数字が抜け残り３つの数字が並びます。
これは 4 * 3 * 2 = 24 通りで，どの数字が抜けても左の３行３列の場合の数は同じです。
そこで，１が右端１列で抜けるとすると，左の３行３列での１の並びは 3 * 2 * 1 = 6 通り。
そのそれぞれの並びごとに，各行の，１と右端の数字以外の数字の並びは，例えば，
１□□４
□１□３
□□１２
の□を埋めればいいので，
１２３４　１２３４　１２３４　１３２４　
２１４３　２１４３　４１２３　２１４３　
３４１２　４３１２　３４１２　３４１２　
の 4 通り。
以上ですべてなので，24 * 6 * 4 = 576 通り，になります。

今ふと思い出したのですが，いつかは忘れましたが，類題がJMOの予選にあったような気がしてきました。
ネコの住む家　　 6月26日（木） 14:37:32　　 　　41994
「数学」小旅行
こういう問題を見ると、いつもプログラムを作りたくなるんです・・・
Ｒｉｓａ／Ａｓｉｒを使いました。

/* まず、１から４までの数を並べる並べ方をすべて作ります。*/
A=newmat(24,4);
X=0;C=0;
for (I=1;I<=4;I++){
for (J=1;J<=4;J++){
if(I!=J){
for (K=1;K<=4;K++){
if((I!=K) && (J!=K)){
for (L=1;L<=4;L++){
if((I!=L) && (J!=L) && (K!=L)) {A[X][0]=I;A[X][1]=J;A[X][2]=K;A[X][3]=L;X=X+1;}
}}}}}}

/* 次に、上で作った並べ方から異なる３つを選んで行とし、行列を作り、各列に等しい成分がない場合の数をカウントします。 */
/* 行の組み合わせ３通りの差を作り、ひとつでも０があるとだめなので、すべての成分の積が０でないことで判定します。*/
B=newmat(3,4);B0=newmat(3,4);
for (M=0;M<=23;M++){
for (N=0;N<=23;N++){
if(M!=N){
for (O=0;O<=23;O++){
if((M!=O) && (N!=O)){
B=mat(A[M],A[N],A[O]);B0=mat(A[N],A[O],A[M]);B0=B0-B;
D=1;
for(I=0;I<=2;I++) for(J=0;J<=3;J++) D=D*B0[I][J];
if(D!=0) C=C+1;
}}}}}

print(C);
　　 6月26日（木） 13:37:11　　 　　41995
今年から高齢者
#41981の方法では、（間違いの原因？の）重複の問題がスッキリしなかったので別解を．．．
説明の都合上、マスを埋める1,2,3,4をA,B,C,Dとする（対応は任意）。
マスの番地を下記のとおりとする。
(11) (12) (13) (14)
(21) (22) (23) (24)
(31) (32) (33) (34)
1行目 (11)(12)(13)(14) には1,2,3,4が任意の順で入れられるので、4!
1列目の (21)(31) には (11) に入れた数以外が任意に入れられるので、3P2
ここまでは独立。
(11)(12)(13)(14)に、A,B,C,Dの順に、(21)(31)にはB,Cの順に入った場合を考える。
残りの (22)〜(43) の入れ方を考えれば良い。
(11)(21)(31)に入れなかった数はDのみの1つ。Dは(12)(13)(14)のいずれかにはある。
故に、Dを (22)〜(43) 入れられる場所は4箇所だが、入れ替えのため2とおり。この1とおりに対してA,B,Cの配置が2とおりずつあるので、(22)〜(43) の入れ方は2*2=4とおり。
故に、総計で、4!*3P2*4=576とおり
#41981で間違った考え方4!*4!でも、(22)〜(43)入れる方法が4とおりのため、4!*3!*4で偶然同じ結果になったものでしょう。*4の4と#41981の4!の4は別物ですね
ちなみに、同様に計算して、1〜3で2×3マスの場合は、3!*2P1*1=12。1〜4で2×4マスの場合は、4!*3P1*3=216でした。
今度は間違っていないと思いますが．．．
3×4マス以上の一般化はどうしたらいいのでしょうネ。
　　 6月26日（木） 20:59:57　　 　　41996
uchinyan
掲示板を読みました。うーむ，今回は分類が難しい。

#41981，？#41991　間違っているようですが考え方自体はは面白いので一応
今回の問題は，縦×横 が ３×４ ですが，４×４ で考えても４行目は一意に決まりので場合の数は同じなので，
４×４ で考える，という解法。
アイディア自体は正しいと思います。ただ，
＞の縦（行の入れ替え４！）と横（列の入れ替え４！）。
＞上３行を決めれば４行目は１とおりにきまるので、上３行を選べばよいと．．．。
＞４！×４！＝５７６
この辺りはよく分かりません。
例えば，２×２ の場合，
１２　２１
２１　１２
の２通り，ですが，２！×２！とすると，
縦方向の
１　２
２　１
の２通りと，
横方向の
１２　２１
の２通りの，
すべて合体することになりますが，何をしようとしているのか意味が分かりません。例えば，
１２　？１　？２　２１
２？　２？　１？　１？
少なくとも，４！×４！の意味付けは考え直した方がいいように思います。

#41982，#41985
上２行が
１−４，４−１，２−３，３−２などと二つずつセットになる場合と，１−２，２−３，３−４，４−１となる場合に，
分けて考える解法。

#41984
＞一番上を１２３４で固定して２４パターン
＞４！をかけて２４＊２４＝５７６
という解法。詳細は不明。

#41986
＞1列目の並べ替えが２４通りなので２４×□通り、
とし，この後は実際に数える解法。

#41987
＞私も同じような解き方です。
＞すっと２４×２４が求まり。
という解法。詳細は不明。

#41989
まず１の入れ方を固定し，次に右端の１列を決め，残りの６マスの入れ方を数え，縦の４列を入れ替える，という解法。

#41994の前半
１行目は１２３４の順列で 24 通り，以下，２行目，３行目を地道に場合分けして数える解法。
場合分けの仕方が#41982などと同じになっており，実は同じだと思います。
ただ，#41982などは循環置換による分類の考え方が無意識にせよチラチラするのに対し，
この解法は場合分けを工夫した地道な解法，という感じなので，別分類にしました。

#41994の後半
まず右端の１列を決め，次に右端の１列で抜けた数字の入れ方を決め，残りの６マスの入れ方を数える，という解法。
#41989と似ていますが，考える手順はかなり異なるので，別分類にしました。

#41996
１行目は１２３４の順列で 24 通り，左端１列目の２行目３行目は１行目以外なので 6 通り，
後は，左端１列目に無い数字に注目して残りを数える解法。
#41994の後半に似ており考え方の基本は同じだと思いますが，手順がかなり違うので，別分類にしました。

#41983，#41993，#41995
プログラムによる解法。
確かにプログラムを組みたくなりますね。アルゴリズムを競うのにもいいかも知れません。
ネコの住む家　　 6月26日（木） 17:01:21　　 　　41997
まるケン
Ｎ×Ｎで考えます。
１行目は１、２、３、、、Ｎに固定、後でＮ！をかける。
１列目、１の下は２、３、、、Ｎに固定、後で（Ｎ−１）！をかける。
といった改造で、調べなければならない数がぐっと減り、６×７まで計算できました。
ないしょ　　 6月26日（木） 18:07:23　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　41998
ばち丸
昔、全く同じ問題を作って解いたのでした。
そういえば、モーツァルトの好きな曲（Ｋ５７６）と同じ番号だったよな
と思いだして。

どうでもいいがモーツァルト　ピアノソナタＫ５７６　名曲です
　　 6月26日（木） 19:23:01　　 　　41999
だいすけ
縦4マス、横4マスでも、結果的に答えは同じですね。

以前から気になっていた
『縦nマス、横nマスで、どの縦の列にも横の列にも1〜nまでの整数が書かれているようにマスを埋める方法は何通り？』
ト言う問題なのですが、これって算数的な考えで解けるものなのでしょうか？？
　　 6月26日（木） 22:02:16　　 　　42003
スモークマン
#41997 uchinyanさんへ ^^
間違っているにも関わらず取り上げて頂きグラッチェです Orz〜
いまだに、どうしてこの考え方では出せないのか分かっておりません…^^;…?
but...よく考えたら…3x3のなかの各行 or 各列の中それぞれ1カ所は使えないことに気付きました!!
けっきょく…2x2=4 で…4!*3!*4♪

#42003　だいすけさんへ ^^
調べてみました…
http://mathworld.wolfram.com/LatinSquare.html
ここには...コンピュータで計算させるしかないようなことが書かれてると理解しました ^^;

ちなみに…nxm　m<=n もnxnと同じになるはずですよね？
これは…m=1で、nx1になったら...明らかに合わないので嘘でしたね…Orz〜
金即是空 ^^;v　　 6月27日（金） 18:40:33　　 　　42004
だいすけ
#42004
そうなのですね！
ずっと気になっていな疑問が解決しました！
ありがとうございます！
　　 6月27日（金） 23:18:52　　 　　42005
pao
読んでいないので既出でしたら済みません。

とりあえず左上を１と固定すると上段は３！通り
最も左の列も　３！通り
次に残り9マスについて2を選択できる場所が4通り
他は自動的に決まるので
左上の選択が4通りであることを踏まえ
3!x3!x4x4=576通り
　　 6月28日（土） 1:32:09　　 　　42006
「数学」小旅行
wxMaxima で、１から５の場合をプログラムしてみました。（以下の通り）
実行結果、３１６．５秒で答えが出ました。
CPUはIntel(R)Core(TM)i5-4200M CPU @2.50GHz です。稼働率は２５％。

しかし、１から６の場合を計算するには、もっと工夫しないと・・・
数百時間もかかりそうです（＾＾；；

/* [wxMaxima: input start ] */
x:0;count:0;
y:5;k:matrix([0,0,0,0,0]);
for a:1 step 1 while a<=y do
for b:1 step 1 while b<=y do
if a#b then
for c:1 step 1 while c<=y do
if a#c and b#c then
for d:1 step 1 while d<=y do
if a#d and b#d and c#d then
for e:1 step 1 while e<=y do
if a#e and b#e and c#e and d#e then
(k:addrow(k,[a,b,c,d,e]),x:x+1);

x:x+1;
for a:2 step 1 while a<=x do
for b:2 step 1 while b<=x do
if a#b and
not member(0,(row(k,a)-row(k,b))[1]) then
for c:2 step 1 while c<=x do
if a#c and b#c and
not member(0,(row(k,b)-row(k,c))[1]) and
not member(0,(row(k,c)-row(k,a))[1]) then
for d:2 step 1 while d<=x do
if a#d and b#d and c#d then
if not member(0,(row(k,a)-row(k,d))[1]) and
not member(0,(row(k,b)-row(k,d))[1]) and
not member(0,(row(k,c)-row(k,d))[1]) then
count:count+1;
/* [wxMaxima: input end ] */
　　 6月28日（土） 10:33:15　　 　　42007
老算兵
もたもたして遅くなりました

一行目の２４通り、二行目の９通りはすぐ分りましたが
三行目が二行目のケースにより変わるのに気付くのが遅れました

集中力、忍耐力が落ちてますね
福岡県　　 6月28日（土） 10:35:46　　 　　42008
さいと散
　#41980　みかんさんの問題（３）得失点差は同じものとして
勝ち点（ABCD)が、4チーム対等(3333),(4444),
　3チーム対等(4443),(5550),(9222),(6660),(9333)
　2チーム対等(5332),(7441),(6443),(9440),の11通りになりました。
但し2チーム対等のとき(9440)以外は確定する場合もあります。
　　 6月29日（日） 1:43:54　　 　　42009
ばち丸
更新されなかったのは残念でした。きっと退屈しておられる方も多いとおもうのでなりかわって問題を出します。

鋭角三角形△ＡＢＣがありＡＢ＝１、ＡＣ＝５である。線分ＢＣ上に点ＤをとりＡＤ＝ＡＢとしたところ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤとなった。辺ＡＣ上に点Ｅをとり∠ＡＤＥ＝９０°としたとき△ＡＤＥの面積はいくつですか
　　 7月3日（木） 5:21:05　　 　　42010
baLLjugglermoka
#42010

△ＡＤＥ=2/3でしょうか?
　　 7月3日（木） 10:26:13　　 　　42011
Mr.ダンディ
#42011
△ADE＝2/3　に　1票！
　　 7月3日（木） 10:56:08　　 　　42012
uchinyan
#42010
同じく，2/3。
ネコの住む家　　 7月3日（木） 16:36:59　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42013
？
鋭角三角形△ABC、AB=1、AC=5。

かなり細い三角形ですね。BC=約5。∠C は 約10度。∠Aと∠Bは 約80度〜90度。

二等辺三角形ABD、底角(∠B=∠BDA)が約80度〜90度。頂角(∠BAD)は約20度〜0度。

∠CADは60度〜90度 (≠∠BAD) で不成立、となってしまいます。

どこがおかしいのでしょうか。
　　 7月3日（木） 18:33:44　　 　　42014
ばち丸
？さん。すみません。私は鋭角三角形だと思い込んでいましたが違っていました。180°−∠ＢＡＣの半分をθとするとtanθ＝3/4よってθ＜45°だから∠BAC＞90°でした。完全にうっかりしてました。
　　 7月3日（木） 20:39:19　　 　　42015
ばち丸
？さん。すみません。私は鋭角三角形だと思い込んでいましたが違っていました。180°−∠ＢＡＣの半分をθとするとtanθ＝3/4よってθ＜45°だから∠BAC＞90°でした。完全にうっかりしてました。
　　 7月3日（木） 20:39:25　　 　　42016
ばち丸
皆さん　正解です！
　　 7月3日（木） 20:40:04　　 　　42017
おすまん
仕事が忙しかったのと、数える以外の解法が解らず、今回は諦めてました。　

ところが、高校時代の同級生宅に宿泊すること機会があり、彼と一緒に考えました。

もう四半世紀も前ですが、彼の下宿で、某月刊の数学雑誌の問題をどちらがエレガントに解けるかを競ったことを懐かしく思い出しました。
somewhere in the world　　 7月9日（水） 12:07:04　　 　　42018