ベルク・カッツェ
更新されたようですが、画像が出ていません。
　　 8月28日（木） 0:01:02　　 　　42259
マサル
スミマセン、画像ファイルをftpしそこねていたようです。申し訳ございませんでした。m(__)m
iMac　　 8月28日（木） 0:14:21　　 HomePage:算チャレ　　42260
あめい
画像が出ていなかったのを幸いに、三角形を直角二等辺三角形に特殊化して求めました。直角三角形の相似でAH=4,△DAB=５×２÷２、△ABCはその２倍なので１０。
図形に厳しい指定がないときは特殊な図形にすると楽ですね。図形が示されて、直角二等辺でないときの求め方は後で考えます。

お馬崎　　 8月28日（木） 0:29:07　　 　　42262
物理好き
画像が出てきてくれません。
辺hbをさらに延長した点をeとして
角eahを45度にしたら、辺ah:辺eh:辺bhは2:2:1。
(△aehは△abhの2倍の面積なので)
辺bh:ah=1:2
辺adは5cm、辺bhは2cm。
△abdと△acdは同じ面積なので
△abcは10cm2。
cm2の2が小さくなってくれませんでした。(笑)
今回は12分で終わりました！(#42258【898回】の時4日かかった)
{次回900回は2〜3分でときたい！}
大阪府　　 8月28日（木） 12:07:48　　 　　42263
物理好き
図が出てきた！！！
大阪府　　 8月28日（木） 0:29:17　　 　　42264
ベルク・カッツェ
図画出ましたね、そしてやっと作図で解けました。
　　 8月28日（木） 0:37:56　　 　　42265
今年から高齢者
図が見られず、あきらめていましたが、３０分ほどたって開いたら、見られました。
図の三角形を２つ（、対象にＢＣでくっつけて菱形にすると、
中に相似形の菱形ができた。
ここからＡＨ＝４ｃｍを得た。
【訂正】菱形でなく平行四辺形でした。

　　 8月28日（木） 1:13:39　　 　　42268
スモークマン
やっとこさ…
ACで折り返して考えると…BB'とAC直交から…交点をE…
△CDEは直角二等辺三角形から…角B=90°
あとは相似で...
△ABD=5*2/2
△ABC=2*△ABD=5*2=10
^^;v
金即是空 ^^;v　　 8月28日（木） 1:36:16　　 　　42269
ゴンとも
座標にD(0,0),B(-2,1),C(2,-1),A(0,a)とおき
余弦定理より
20=4+(a-1)^2+4+(a+1)^2-2*sqrt((a-1)^2+4)*sqrt((a+1)^2+4)*sqrt(2)/2
sqrt((a-1)^2+4)*sqrt((a+1)^2+4)*sqrt(2)=2*a^2-10 両辺正なので
2*a^2-10>=0 a^2>=5 a>=sqrt(5) として2乗して　xmaxima で
find_root(((a-1)^2+4)*((a+1)^2+4)*2=(2*a^2-10)^2,a,sqrt(5),100)$
float(sqrt((%-1)^2+4)*sqrt((%+1)^2+4)*sqrt(2)/4);10.0・・・・・・(答え)
豊川市　　 8月28日（木） 3:44:52　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　42270
fumio
おはようございます。おひさしぶりぶりです。
今朝はとっても涼しいです。
ではではまたね。
　　 8月28日（木） 6:19:16　　 　　42271
Mr.ダンディ
∠ABC=90°としてしまえば簡単なのですが、それがなかなかいえず苦労しました。
（結局、下記のように導きました）
-------------------------
BCに関してAと同じ側にBC=BA'、∠CBA'=90°である点A'をとると
△A'BCは直角二等辺三角形となり
∠BA'C＝∠BAC＝45°だから
4点A,A',B,Cは同一円周上にあります。..........��
BからA'Dに下した垂線をB'H'とすると
△A'BD∽△BH'D　
∴　BH':H'D=A'B:BD=2:1
△BHDにおいても　BH:HD＝2：1だから
△BH'D≡△BHD　となり　点Hと点H'は同一の点となります。.......��
�´△茲蝓�
点Aと点A'も同一の点となります。
よって
∠ABH=90°、△ABH∽△BHD　となり　
AH=BH*2=4　→　△ABD=△BDH*5=1*5＝5
△ABC=△ABD*2=10
　　 8月28日（木） 9:19:07　　 　　42272
typhoon
数学使うと解けるけど算数で閃く方が結果的に計算が楽・・・
最初問題を見たときどっちで解くか凄く迷ってしまうのはおそらく自分だけでしょう
　　 8月28日（木） 11:39:15　　 　　42273
物理好き
#42263の一部にミスがあったことに気付きました。訂正します。
角bahは22.5度より大きいです。
大阪府　　 8月28日（木） 12:12:29　　 　　42274
マサル
http://www.sansu.org/toi899motoneta.gif

今回の問題の元ネタはこれです...
会社　　 8月28日（木） 12:07:07　　 HomePage:算チャレ　　42275
あめい
#42275マサルさん、そうだったんですか。
元ネタの問題は私でも見たことがあるくらい有名(？)ですが、換骨奪胎(だったかな)して違ったものにしていくセンス、あらためてすごいですね。これからもよろしくお願いします。
　　 8月28日（木） 12:23:52　　 　　42276
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，今回は完敗。

算数では分からず，三角関数を持ち出して AH = 4 cm を出し，AD = 5 cm から，
△ABC = △ABD * 2 = AD * BH * 1/2 * 2 = 5 * 2 * 1/2 * 2 = 10 cm^2
としてしまいました。

∠ABC = 90°で △ABC は正方形の半分なんですね。ここらがポイントなんだろうか？
もう少し考えます。したがって，掲示板を読むのは明日以降にします。
ネコの住む家　　 8月28日（木） 13:00:32　　 　　42277
Jママ
私も算数では歯が立たず…
画像がまだ表示されていなかったので、
Aを原点、B(b,0)、C(c,c)として
Dの座標、直線ADを求め、これとBとの距離が2、という条件と、
BC=2√5との連立式により、
bcについての2次方程式となるのでこの正の解20を出し、
求める面積は1/2×bc=10cm＾2 　としました。

マサルさんの元ネタを見て、ほぅと感心しきりです(゜ロ゜)
　　 8月28日（木） 13:14:39　　 　　42278
Mr.ダンディ
《マサルさんの元ネタを使うとすれば》
Cから直線ADに下した垂線をCFとすると
△BDH≡△CDF
CF＝BH＝2
HF＝1+1＝2
直線AF上にHに関してAと同じ側に　HA’＝4　であるような点A'をとると
AH:BH=2：1、AF:CF=3:1
だから、元ネタにあるように　∠BA'C=45°
∠BAC=∠BA'C=45°　だから　点Aと点A'は一致する。
よって　AH=4　・・・・
となるのでしょうね。

この解法にせよ、私の#42272の解法にせよ　、A'という点をとっておいて、結果としてAとA'が一致するから・・・・
と持っていかねばならないように思えます。こういうところに、この問題の難しさがあるのではないでしょうか。
（HのところをEと間違えていたので修正いたしました）
　　 8月29日（金） 13:32:07　　 　　42279
ましゃ
う〜ん。
△ＢＤＨと△ＡＨＢを相似と決め込んで解いて、正解という納得のいかない解法でした。・・・・無念
　　 8月28日（木） 14:01:01　　 　　42280
「数学」小旅行
ベクトルを使ってみました。
ベクトルＡＢの大きさをｂ、ベクトルＡＣの大きさをｃとします。
また、ＡＨ＝ｋＡＤ（kは実数)と表されます。
ベクトルＡＢとベクトルＡＣのなす角は４５°なので、内積はｂｃcos４５°です。
ＡＤ⊥ＢＨから、内積が０より、（k-2)b^2+√2(k-1)bc+kc^2=0
ＢＨの大きさが２より、　(k-2)^2*b^2+√2k(k-2)bc+k^2*c^2=16
ＤＨの大きさが１より、　(k-1)^2(b^2+√2bc+c^2)=4
となりますので、この連立方程式を解くと良いことになります。

手計算では、しんどいので、maximaを使いました。以下の通りです。
/* [wxMaxima: input start ] */
solve([(k-2)*b^2+sqrt(2)*(k-1)*b*c+k*c^2=0,
(k-2)^2*b^2+sqrt(2)*k*(k-2)*b*c+k^2*c^2=16,
(k-1)^2*(b^2+sqrt(2)*b*c+c^2)=4], [b,c,k]);
/* [wxMaxima: input end ] */
(%o1)[[b=-2,c=2^(3/2),k=0],[b=2,c=-2^(3/2),k=0],[b=2*sqrt(5),c=2*sqrt(10),k=4/5],[b=-2*sqrt(5),c=
-2*sqrt(10),k=4/5],[b=3*sqrt(10)-sqrt(2)*sqrt(5),c=2*sqrt(5),k=6/5],[b=sqrt(2)*sqrt(5)-3*sqrt(10),c=-2*sqrt(5),k=6/5],[b=2^(3/2),c=
-2,k=2],[b=-2^(3/2),c=2,k=2]]

となりました。この中で、条件に合致するのは、k=4/5 です。
　　 8月28日（木） 15:47:53　　 　　42281
uchinyan
うーむ，こんなんでいいのかな。

AD を延長し C から垂線を下ろしその足を E，CE を延長し B から垂線を下ろしその足を F，とします。
BH//CF，DB = DC，△DBH ≡ △DCE，CE = BH = 2 cm，DE = DH = 1 cm，BF = HE = 2 cm，CF = 4 cm，
AE = AH + 2，∠BAH + ∠CAE = ∠BAC = 45°，です。
ここで，△CBF を B を中心に 90°回転し C の移動先を C' とします。
□BFEH は正方形なので，F は H に重なり C' は AE 又はその A の方の延長上に存在します。
さらに，∠C'BC = 90°BC = BC' なので △BCC' は直角二等辺三角形になり ∠BC'C = 45°です。
しかも，BC，AE を固定した状態で，
AE 又はその A の方の延長上に存在し ∠BC'C = 45°となる C' は明らかに一つしかありません。
ところが，同じ条件の下で ∠BAC = 45°なので，C' = A でなければなりません。
このとき，AH + 2 = AE = C'E = C'H + HE = CF + 2，AH = CF = 4 cm，AD = 5 cm
となって，
△ABC = △ABD * 2 = AD * BH * 1/2 * 2 = 5 * 2 * 1/2 * 2 = 10 cm^2
になります。

C' の一意性はもう少し議論した方がいいのかも，という気もしますが，
まぁ，算数としては，明らかに，でいいしょう。

実は，この解法は，先に述べた三角関数による解法，
tan(∠BAH) = 2/AH，tan(∠CAE) = 2/(AH + 2)，tan(∠BAH + ∠CAE) = tan(∠BAC) = tan(45°) = 1
から AH を求めるという解法，を若干強引に解釈し直したものです。

ちょっと下を見ると，マサルさんのヒントも出ているようですが，
掲示板を読むのは，上記の解法をもう少しチェックしてからにします。
ネコの住む家　　 8月28日（木） 16:38:31　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42282
マサル
蛇足だとは思いますがもう１つ。

http://www.sansu.org/toi899motoneta2.gif
会社　　 8月28日（木） 18:46:54　　 HomePage:算チャレ　　42283
ハラギャーテイ
MATHEMATICAと三角関数です。真岡市に行っていました。
山口　　 8月29日（金） 9:15:22　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　42284
スモークマン
#42283
Aha!!
有名な?この図で一発でしたのね☆
金即是空 ^^;v　　 8月29日（金） 12:01:23　　 　　42285
uchinyan
掲示板を読みました。これからは翌日以降にしようかな。

最初，図が表示されないという若干のトラブルはあったようですが，大した影響はなかったようですね。

さて，皆さんの解法ですが，答えを得るのはさすが常連の皆さんは問題ないようですが，
算数っぽい解法となるとなかなかの難問だったようです。

#42262
△ABC を直角二等辺三角形に特殊化して解く解法。
ただ，実は，実際に，△ABC は直角二等辺三角形だったわけですが。

#42263
HB を延長し ∠EAH = 45°となる点 E を取って考える解法。
ただ，結果としては正しいのですが，
＞角eahを45度にしたら、辺ah:辺eh:辺bhは2:2:1。
＞(△aehは△abhの2倍の面積なので)
ごめんなさい，この部分の論拠がよく分からないです。
論証としては，今回の問題はここをしっかりと示すことが重要だと思います。

#42265
作図による解法。

#42268
△ABC を D に関して 180°回転し平行四辺形を作ると内部に相似な平行四辺形ができることを利用する解法。
これは私も考えました。
ただ，内部にできる平行四辺形が相似になることをきちんと示すのは難しい気がします。

#42269
△ABC を AC に関して折り返し，B の移動先を B'，AC と BB' の交点を E，として考える解法。
これは私も考えました。
ただ，
＞△CDEは直角二等辺三角形から…
これは結果としては正しいのですが，その根拠は？

#42272
BC に関して A と同じ側に BC = BA'，∠CBA' = 90°である点 A' を取って考え A' = A を示す解法。
なるほど，よく考えられていると思います。さすが！

#42275，#42283，#42279，#42282
出題者マサルさんの元ネタ及びそれに類似した解法。図を参照のこと。
元ネタはよく知られた有名問題でしたね。そこからこの問題にするのはさすが。
#42283の図はさらに状況がよく見えます。
結局，#42283の図に当てはめる，といった感じの解法になります。
ただし，#42279の E は H かな？

#42280
△BDH ∽ △ABH と仮定して解く解法。

#42270，#42278
座標による数学解法。

#42277＋#42282の最後の辺り，#42284
三角関数による数学解法。

#42281
ベクトルによる数学解法。
ネコの住む家　　 8月29日（金） 12:32:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42286
Mr.ダンディ
uchinyanさん
#42279における記号ミスのご指摘　ありがとうございます。（仰る通りでした）
さっそく修正いたしました。
　　 8月29日（金） 13:34:02　　 　　42287
スモークマン
uchinyanさんへ ^^
#42269
再考してみましたら...おっしゃる通り...言えませんでした…^^;
いい加減なことで申し訳ございませんでした＆トレース＆ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜
金即是空 ^^;v　　 8月29日（金） 18:46:27　　 　　42288
今年から高齢者
#42286 uchinyanさん、ありがとうございます。
#42268で平行四辺形の相似の証明は確かに簡単ではありませんでした。
　対角線が互いに二等分する。
　対角線が2つの平行四辺形で同じ角度で交わる
　頂角（内角）が同じである。
ことから、相似には違いなく、簡単に説明できるだろうと高をくくって、書き込みましたが、いざやってみると難しい。
同じように難しいと判断された方があったというのは、私の力不足というだけではないことが判って心強い！？
　　 8月29日（金） 19:07:40　　 　　42289
数樂
元の画像はきっとこれだと思う。
http://www.mathtext.info/sanchare899k.pdf
徳島県　　 8月30日（土） 1:09:09　　 HomePage:数樂　　42290
中野雄太
45度を折り返して正方形を作って解きましたが、
まさか直角二等辺三角形だったとは・・・
　　 8月30日（土） 21:42:00　　 　　42291
大岡敏幸
力業(数学)でやりました。算数的に閃いた人は、スゴいですね。個人的には無理です。
　　 8月31日（日） 14:37:13　　 　　42293
おすまん
自己最高順位に目がくらみ、
#42280 ましゃ さま　と同じく
△ABH ∽ △BDHと「決め込んで」、
応募だけしておきました(^^;

掲示板に入るのを我慢して、なんとか自力で解けました♪

掲示板を拝見して、常連の皆さまもご苦労されていたようで、
ホッとしました（笑）　
それよりなりより、元ネタを拝見して、びっくり!! (　゜д゜)ポカーン

ADの延長線上に、HD = H'D となるようなH'を取る。
BH = H'H より ∠BH'H = 45°
また、□BH'CH は平行四辺形になるため（∵ 対角線が他を2等分する）
∠CH'D = 90°　よって、∠BH'C = 45°+ 90°= 135°
∠BH'C ＋ ∠BAC = 180°より、□ABH'C は同一円周上にある。

∠H'BC = ∠CAH' (∵同じ弧の上に立つ円周角）
∠DBH = ∠H'BH(= 45°) - ∠H'BC
∠BAH = ∠BAC(= 45°) - ∠CAH'　であるので、
∠DBH = ∠BAH
∴△ABH ∽ △BDH(∵二角相当）

＃算数というより、初等幾何ですねー
somewhere in the world　　 9月2日（火） 1:51:16　　 　　42294
Mr.ダンディ
#42294　なるほど！（いいですね〜）
　　 9月1日（月） 15:30:00　　 　　42295
あめい
#42294本当にすっきりしてていいですね。全く思いつけませんでした。

（火事場泥棒みたいで恐縮ですが）
＞∠H'BC = ∠CAH' (∵同じ弧の上に立つ円周角）
　∠DBH = ∠H'BH(= 45°) - ∠H'BC
　∠BAH = ∠BAC(= 45°) - ∠CAH'　であるので、
　∠DBH = ∠BAH
のところを
∠DBH＝∠DBH'＝∠BCH'（平行四辺形より錯角）
∠BAH＝∠BAH'＝∠BCH'（同じ弧の円周角）
∴∠DBH = ∠BAH
とすると１行省けました 　
　　 9月1日（月） 19:29:48　　 　　42296
おすまん
#42295 Mr.ダンディさま、#42296 あめいさま　に
お褒めのお言葉を頂き、天にも昇る気分です!!
（こんなことは、もう2度とないでしょうね…）

実は、「発想」というより、
「知っていた」というのが正直なところです。
→ 回転、折り返しかなとも思いましたが、
0.1秒後に思考停止（涙）

「中線は2倍せよ」今を去ること30年近く前に通っていた
塾の先生の声が聞えてきたので、
とりあえず延ばしてみました（苦笑）　

#42296 あめいさま
＞（火事場泥棒みたいで恐縮ですが）

いえいえ、幾何の証明とプログラム（って僕は書けませんが…）は
短ければ短いほどエレガントですからね！

ただ、
＞　∠DBH＝∠DBH'＝∠BCH'（平行四辺形より錯角）
ここは、∠DBH = ∠BCH' ですね（^^;

→ 僕のは、ちょっとエレファントでした… orz

＞換骨奪胎(だったかな)

国語の勉強になりました(^^

somewhere in the world　　 9月2日（火） 2:10:42　　 　　42297
おすまん
＃連投ですみません。。。　

自分の解答を見直していて、
今更、聞けないような疑問が…

「∴（ゆえに）」は、
最後の結論部（証明するべき内容）を
導く箇所のみで使うものでしょうか…？

somewhere in the world　　 9月2日（火） 2:03:58　　 　　42298