ベルク・カッツェ
正方形の面積の公式2つより、イの対角線の半分がPEと等しくなるので、BPEと合同な直角三角形ができて、45÷2＝22.5になる。
説明かなり足りない気もしますが、解けた人にはわかるかと。
　　 9月25日（木） 0:08:51　　 　　42415
ぴくるす☆
こんばんは。
図より直感で「π/8じゃね？」と答えを導きましたが、結局それに自信が持てず時間が経ってしまい……orz
算数による解法は、どっかで折り返しが使えることを予想していますが、全く思いつかないのでもう少し考えてみようと思います。
　　 9月25日（木） 0:11:46　　 　　42416
ヤッコチャ
IB×IB÷2×2＝IP×IP　より
△IBPは二等辺三角形。平行線による錯角を利用して、
∠IBP＝∠PBE＝45÷2＝22.5度
　　 9月25日（木） 0:14:32　　 　　42417
今年から高齢者
BF:BE=FP:PEより、BPは∠FBE=45度の二等分線。∴45/2度
残念ながら算数ではなく、BF:BE=FP:PEのところで√(2)を用いて考えました。
　　 9月25日（木） 0:16:35　　 　　42418
物理好き
少し小学校の内容から離れるかもしれません。
対角線bfを引く。
jiの延長線を引いて辺abにあたる点をxとして
hiの延長線を引いて辺bcにあたる点をyとする。
xbyiは正方形。agqh、pecjと合同。
xbyiの1辺の長さを1とおくと、対角線ibの長さはルート2。辺ipの長さもルート2。
bipは2等辺三角形。角bipは90+45で135度。角ipbは22.5度。角bpeは67.5度。角ebpは22.5度。
大阪府　　 9月25日（木） 0:26:00　　 　　42419
CRYING DOLPHIN
今夜はもう詳しく説明するだけの体力は残ってない。。
とりあえず二等辺三角形見つけました。あとは画像参照(
ttp://cdcdcd.sansu.org/pika/junkfoods/san1-q903-godox3.png
誰もいない市街地　　 9月25日（木） 0:32:33　　 HomePage:ブログもある　　42420
物理好き
http://deadlinetimer.com/timer/92287
最近更新が少し早く行われている気がするので、ゼロになる時刻を本来の更新時刻よりすこし早くしてあります。
大阪府　　 9月25日（木） 0:32:46　　 　　42421
Mr.ダンディ
BE上に　PE=EK となる点Kを取り、PとK,Cとを結んで、PK,PCを２辺とする正方形を描くと
正方形PECJの面積の２倍となり、PK=PI
四角形IBKPはひし形となり　∠x=∠IBK/2=22.5°
としました。
（この問題は数多くの解法があるでしょうね）

〔追記〕記号のタイプミスがあったので、上記１部分を訂正しました。
　　 9月25日（木） 15:20:04　　 　　42422
Jママ
こんばんは♪
安心して算数で解けました。
多分ベルク・カッツェさんと同じ解法です。
　　 9月25日（木） 0:37:11　　 　　42423
スモークマン
みなさん速っ ^^;
左下の正方形で…
BP, BQ で△を折り返すと…QPに重なるので…
∠ＰＢＥ=90/4=45/2°
♪
金即是空 ^^;v　　 9月25日（木） 0:38:41　　 　　42424
あめい
中学校ならＩＢ＝ＩＰ＝√２の二等辺三角形でＯＫだと思うのですが、
小学校流にＩＢ＝ＩＰはこんなのでいいのでしょうか？（もっと簡単に言えると思うのですが・・・そこはセンスの悪さで）
ＱＣ，ＢＦを引き、交点をRとすると、
△ＲＩＰはイの１／４、△ＥＣＰはウの１／２の直角二等辺三角形なので、
△ＲＩＰと△ＥＣＰは合同、
よってＩＰ＝ＰＣ
またＩＢ＝ＰＣ
よってＩＰ＝ＩＢ

角度が書かれていない図から角度を求める問題の答は三角定規の角かその和、２等分、４等分・・・したもの(作図できるから)になるので山勘でもあってました。

お馬崎　　 9月25日（木） 7:04:05　　 　　42425
ゴンとも
BE=a,BC=1とするとPE=1-a,ア=ウ=(1-a)^2,イ=(1-2*(1-a))^2=(2*a-1)^2
ア+ウ=イ　より　2*(1-a)^2=(2*a-1)^2　この方程式を解き
tan∠BEP=PE/BE=(1-a)/a を　xmaixma で求めtanの2倍角の公式でtanの22.5°角も求めると

solve(2*(1-a)^2=(2*a-1)^2,a)$
a:rhs(part(%,2))$
factor((1-a)/a)$
trigexpand(tan(2*b))$
solve(%=tan(%pi/4),tan(b))$
rhs(part(%,2));%o3;

enter 押して
sqrt(2)-1,sqrt(2)-1 より同じで
45度の半分,45/2=22.5°・・・・・・(答え)
豊川市　　 9月25日（木） 1:21:44　　 　　42426
マサル
#42421（物理好きさん）
すみません、更新プログラムを修正しました。来週から、ほぼピタリに更新されるはず。m(__)m
iMac　　 9月25日（木） 1:59:37　　 HomePage:算チャレ　　42427
おすまん
「折り返し」と書いた引き出しを開けてみましたが、
「探し物」(＝解法）は見つからず… orz

（掲示板に入るまで）
BE上に　PE=CK となる点Kを取るところまでは、
#42422 Mr. ダンディさんと同じでしたが、
その後は、√2 の２等辺三角形を持ち出してゴール。

（掲示板に入ってから）
完全に後付ですし、√2は使うのですが…

△BEFにおいて、BE：BF = EP：PF = 1: √2
B,E,Fが一直線にあるので、角の2等分線の定理の逆で、
∠EBP = ∠FBP = 45÷2

（一番最初）
30°　入れず。　うーん、じゃ、45÷2 か…
#42425 あめい さんと同じ？（^^;
somewhere in the world　　 9月26日（金） 0:17:19　　 　　42428
数樂
面積ア＋ウ＝イより
2PE＝QP
これから、△BPQ≡△BPQ'(△BPE＋△BQG)
よって頂角45度二等辺三角形
したがって45÷2＝22.5
この解法は大丈夫？
なかなかリアルタイムで参加できないのが残念。
徳島県　　 9月25日（木） 3:49:49　　 HomePage:数樂　　42429
次郎長
当てちゃいました。
　　 9月25日（木） 7:27:03　　 　　42430
ハラギャーテイ
おはようございます。数式です。最後は三角関数です。
山口　　 9月25日（木） 7:36:24　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　42432
ハラギャーテイ
おはようございます。数式です。最後は三角関数です。
山口　　 9月25日（木） 7:36:24　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　42433
物理好き
http://deadlinetimer.com/timer/92310
これは本来の更新時刻にゼロになります。
大阪府　　 9月25日（木） 8:05:58　　 　　42436
石原ゼミ
五角形BGQPEは正八角形を4等分した形なので
∠PBE=45÷2=22.5°
　　 9月25日（木） 9:56:25　　 　　42437
みかん
正方形ＡＢＣＤの対角線の交点をＲと置く。

ＰＥの長さを１とすると、面積比の条件からＲＰ＝１。
三角形ＢＰＲと三角形ＢＰＥは合同（直角三角形の１辺の長さが等しいため）。
従って、角ＰＢＲ＝角ＰＢＥより、求める角度は４５度の半分＝２２．５度。

って、答えが２２．５度だと分かった後の後付け解法ですが。
　　 9月25日（木） 9:58:48　　 　　42438
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，図から直感でも 45°/2 = 22.5°かなぁ，と予想もできるし，世の中的にも標準的か易しめ，算チャレとしては易問でしょう。
こんな感じで。

まず，対称性より，□AGQH と □PECJ は合同な正方形，□QIPF は正方形，です。
そこで，PE = QG で，PQ と FI の交点を O とすると PO = QO，対称性より B，I，O，F は同一直線上にあり BP = BQ，です。
□AGQH = □PECJ，□PECJ = △PEC * 2，□QIPF = △POI * 4，なので，
□PECJ * 2 = □AGQH + □PECJ = ア + ウ = イ = □QIPF，(△PEC * 2) * 2 = △POI * 4，△PEC = △POI
ここで，△PEC と △POI はともに直角二等辺三角形で相似ですが，面積も等しいので相似比は 1：1，つまり合同です。
そこで，PE = PO がいえ，同様にして QG = QO もいえ，PE = PO = QO = QG，がいえます。
このことと，BP = BQ，∠PEB = ∠POB = ∠QOB = ∠QGB = 90°より，△PEB，△POB，△QOB，△QGB は合同になるので，
∠PBE = ∠PBO = ∠QBO = ∠QBG となって，これらの和が ∠ABC = 90°なので，
？ = ∠PBE = 90°/4 = (45/2)° = 22.5°
になります。
ネコの住む家　　 9月25日（木） 12:04:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42439
ましゃ
４５°の半分になるなあと直感で思いましたが、一応相似を使って求めました。
　　 9月25日（木） 13:34:47　　 　　42440
uchinyan
掲示板を読みました。
今回は，√2 を使っているので数学解法ですが，ちょっとした工夫で算数になる解法もあるので，
数学解法も分類しました。

#42415，#42423，#42424，#42429，#42438，#42439
□QIPF の対角線の交点を O とすると，△PEB，△POB，△QOB，△QGB が合同になることを使う解法。
もちろん，対称性よりこの半分でもいいので，半分のものも同じ分類にしてあります。

#42417，#42425
面積の条件より △IBP が二等辺三角形になることと IP//BC から求める解法。
□AGQH，□PECJ，IB を対角線とする正方形が合同なのがポイントだと思いますが，
IB = IP を示すのにはいろいろと工夫があるようです。
なお，#42425の
＞ＱＣ，ＢＦを引き、交点をRとすると、
の「QC」は QP の書き間違いかな。
この指摘は，#42443，#42446にあるように，私の理解不足でした。取り消します。
大変失礼致しました。

#42420
面積の条件より △ABP が二等辺三角形になることを使う解法。
なるほど，こんな手もあったか。

#42422
BE 上に PE = EK となる点 K を取り PK と PCを２辺とする正方形を描いて考える解法。
面積の条件より PK = PI がいえ，□IBKP がひし形となるのを利用します。
#42417などに非常に近い解法だろうと思います。
なお，#42422の
＞BE上に　PE=CK となる点Kを取り、PとCを結ぶとき、PK,PCを２辺とする正方形を描くと
の「PE=CK」は PE = CE = EK の書き間違いでしょうか。

#42437
五角形BGQPE が正八角形を４等分した形になっているのを利用する解法。
算数らしく？ (^^; その理由は書かれていませんが，多分，#42415などが背景にあるものと思います。
もっとも，正八角形への埋め込みとしてもよく，そう考えると算数解法としては一番スッキリしているかも知れませんね。

#42440
＞相似を使って求めました。
という解法ですが，詳細は不明。

#42445
□アを135度反時計回りに回転し，□ウを135度時計回りに回転して考える解法。
ごめんなさい。いまいち説明が分からないのですが，対称性と面積の条件から，
移動した二つの正方形の辺を合わせたものが QP と平行で長さが等しく，，
G と E の移動先を S とし，P の移動先を P'，QP の中点を M，とすると，
△BMP ≡ △BSP' ≡ △BEP となるので，∠PBE = 45/2 = 22.5°
というような流れなのでしょうか？

#42418，#42428の後半
数学による解法。
BF：BE = FP：PE を示し BP が ∠FBE = 45°の二等分線であることから解いています。
ただし，#42428の後半の
＞△BEFにおいて、BE:BF = EP:PE = 1 : √2
「BE:BF = EP:PE = 1 : √2」は BE：BF = EP：PF = 1: √2 の書き間違いでしょう。

#42419
数学による解法。
#42417などと同じアイディアですが途中でちょっとだけ √2 を使っています。

#42426，？#42432
数学による解法。
２次方程式と三角関数を使っています。

#42428の前半
数学による解法。
#42422と同じアイディアですが途中でちょっとだけ √2 を使っています。
ネコの住む家　　 9月26日（金） 11:37:05　　 　　42441
Mr.ダンディ
#42441uchinyanさん　タイプミスのご指摘ありがとうございます。
（さっそく訂正させていただきました）
　　 9月25日（木） 15:25:02　　 　　42442
あめい
今回は「△ＩＢＰが二等辺三角形」が(めずらしく)パッと浮かんだので、それ以外の方法は思い浮かべられませんでしたが、みなさんの解法を見ると・・・本当に楽しいです。
#42441uchinyanさん、いつも分類ありがとうございます。おかげでみなさんの考え方を効率よく追体験できます。(ご指摘の”「QC」は QPの間違い”は、線分ＰＣも説明に利用したのでＱＣにしました。わかりづらくてすいません)
お馬崎　　 9月25日（木） 19:33:38　　 　　42443
おすまん
#42441 uchinyanさん、いつもながらの分類・解説、お疲れ様でございます！

タイプミスのご指摘、ありがとうございますm(__)m
（訂正いたしました♪）

それにしても、いろいろな解法がありますねー　

第899回のようにマサルさんが降臨してきて、
ネタの画像がでてくるかなーと思っていました（笑）
somewhere in the world　　 9月26日（金） 0:25:34　　 　　42444
老算兵
皆さんの色々な解答を見ると楽しくなります

私は次の通りに解いてみました
□アを135度反時計回りに回転させます
□ウを135度時計回りに回転させます
ＧとＥの移動先をＳとします
△ＢＳＰ≡△ＢＥＰとなります
∠ＰＢＥ＝４５÷２＝２２．５となりました
福岡県　　 9月26日（金） 8:56:33　　 　　42445
uchinyan
#42443　あめいさん
＞ご指摘の”「QC」は QPの間違い”は、線分ＰＣも説明に利用したのでＱＣにしました。
Q，P，C は同一直線上にあるので，QC でも QP を含み PC も使うのでQC にした，というわけですね。
なるほど，納得です。大変失礼致しました。訂正しました。
ネコの住む家　　 9月26日（金） 11:41:58　　 　　42446
ペルソナ
気持ちの良い問題
　　 9月26日（金） 15:09:33　　 　　42448
ラジオネーム宗男
とりあえず二等辺三角形が出来たんでそれをいじいじしてたらできました。
　　 9月27日（土） 1:08:50　　 　　42449
てっちゃん
久しぶりの参加です。楽しかったです。
　　 9月30日（火） 1:30:39　　 　　42450