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ヤッコチャ |
| よかった、111個で合ってた。電車の中はキツイです。 |
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4月23日（木） 0:38:45
43204 |
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算数大好き |
| 何年か前の海城(第2回)の問題に数値設定が全く同じ類題がありましたねぇ。 |
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4月23日（木） 0:41:23
43205 |
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!!! |
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東工大のAOでしょう元ネタは
http://izu-mix.com/math/exam/toukou/2008_ao3.html |
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宝塚
4月23日（木） 0:57:22
43206 |
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CRYING DOLPHIN |
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10年以上前にうちで出した問題とほぼ同じであることに、問題の正解を求め終えようとしてる時に気付きました(
http://cdcdcd.sansu.org/pika/G/G-q51.htm |
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誰もいない市街地
4月23日（木） 0:53:45
HomePage:ブログもある 43207 |
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ベルク・カッツェ |
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111で間違いないと思うのに名前出ないと思ったら、一覧が出てないだけでしたか。
まず底面に並行な面で切って６段に分ける。そして段ごとに考えていきます。 6段目は、次の面、その次の面に並行な面で切っていくと、1+2+3+4+5+6＝21に分割されます。 そして最後の面に並行に切っていくと、それぞれ1、3、5、7、9個の立体を切断するので、1+3+5+7+9で25個増えて、6段目は合計46個の立体に分かれます。 5段目も同様に考え、１+2+3+4+5+1+3+5+7＝31個。 6段目から1段目までまとめると48+31+19+10+4+1＝111個。 最初は何をしたらいいのか分からず、二度間違えて三度目でやっとできました。 |
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4月23日（木） 1:04:23
43208 |
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今年から高齢者 |
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6*6*6=216を送ったが、そんなことはないだろう．．．と考え直して．．．．
3層でも、切断方向がこんがらがって、うまく図が描けない。 あきらめて風呂に入って、TVをみて．．．いたら思いだした。 2層の場合正四面体4個と正八面体1個を参考に、 6層に切った各層の裏側を正三角形に分割して、交互に正八面体の面が出てくるとして、各層の正八面体の数を数えた。 端が正四面体なので、正八面体は、0+1+3+6+10+15=35個。 正八面体は正四面体の4倍の体積なので、6*6*6-4*35=76個が正四面体の数。 合計で111個と出した。かなりいい加減です。 |
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4月23日（木） 2:22:23
43209 |
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鯨鯢(Keigei) |
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1辺の長さが1の正四面体または正八面体に分割される。
正四面体をｘ個，正八面体をｙ個とすれば、 表面積の総和は 1辺の長さが1の正三角形の 4x＋8y＝4{2(1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2)＋6^2}＝4・146 個分だから、x＋2y＝146 、 体積の総和は 1辺の長さが1の正四面体の x＋4y＝6^3 個分だから、x＋4y＝216 、 x＝76，y＝35 となって、x＋y＝111 です。 一般化すると、n(n^2＋1)/2 になりました。 |
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4月23日（木） 7:39:56
43210 |
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今年から高齢者 |
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6*6*6=216を送ったが、そんなことはないだろう．．．と考え直して．．．．切ったあとどのような形の立体が混じるかを考えたかったが絵にならない。
ジャガイモを持ち出して、3層に切ってみた。なんとか形になるまでにジャガイモ3つほどをつぶした。 答えられる程にはうまく切れなかったが、八面体らしき大きいもの（切り方がうまくいかず10面なども残った）が4つできた。 四面体のような小さなものは10個前後であったので、2種類の立体になるらしいことが判った |
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4月23日（木） 8:31:57
43211 |
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Jママ |
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おはようございます
おー、Keigeiさんのスマートな解法に敬服しました。もっと原始的な解法ですが… 皆さん述べられているように、正四面体と正八面体に分かれます 底面に平行にn段の立体を重ねると考えました 正八面体は2段目に1つ 3段目に1+2=3つ 4段目に1+2+3=6つ…と出現します 2段で考えたとき、正四面体▲、正八面体●とすると 正八面体の体積は2^3-4=4より▲:●=1:4 n 総 n段目 総計 体積 (体積 ● ▲ 合計) 1 1 1 0 1-0×4=1 1 1 2 8 7 1 7-1×4=3 4 5 3 27 19 3 19-3×4=7 10 15 4 64 37 6 37-6×4=13 19 34 5 125 61 10 61-10×4=21 31 65 6 216 91 15 91-15×4=31 46 111 一般式を求めたらKeigeiさんと同じ、 n(n^2+1)/2 個になりました。 苦手な問題です… 追記 #43209の今年から高齢者さんと考え方が同じですね、 今年から高齢者さんの方が一括で答を出されていてスッキリしてますね♪ |
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4月23日（木） 11:56:16
43212 |
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みかん |
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（#43207）CRYING DOLPHINさん
わざわざ工作用紙を切って紙工作をしたのを思い出しました。 上から３段目からは逆さになった正四面体が出てくるけど、なかなかイメージしづらい。 結局、当時どんな解き方をしたかも思い出せず認証頼みでした・・・。 |
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4月23日（木） 16:16:13
43213 |
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CRYING DOLPHIN |
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#43213
出題した当時は、正四面体と正八面体の体積比が1:4であることを利用して解きましたが、今回はこんな感じのスライス図を書きました… どうやら出題者も解き方を忘れてたらしい( ttp://cdcdcd.sansu.org/pika/junkfoods/san1-q928-kirikiri48.png |
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誰もいない市街地
4月23日（木） 13:35:49
HomePage:ブログもある 43214 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うむ，久しぶりに解いたという感じがした問題でした。 最初どうするか少し迷いましたが，やはり断面図だよね，というわけで，こんな感じ。 ただ，これでいいと思っていたのですが，書き出してみるとこんがらがって来てしまい，自信がなくなってきました。 平面BCD 及びそれに平行な平面は 6 面ありますが， 上，つまり A，に近い方からその面を見ると， 1 段目，△の小正三角形が 1 個，▽の小正三角形が 0 個，合計 1 個， 2 段目，△の小正三角形が 3 個，▽の小正三角形が 1 個，合計 4 個， 3 段目，△の小正三角形が 6 個，▽の小正三角形が 3 個，合計 9 個， 4 段目，△の小正三角形が 10 個，▽の小正三角形が 6 個，合計 16 個， 5 段目，△の小正三角形が 15 個，▽の小正三角形が 10 個，合計 25 個， 6 段目，△の小正三角形が 21 個，▽の小正三角形が 15 個，合計 36 個， になっています。 ここで，各段の小正三角形の合計個数の分だけ段の上部に切断した部分があるのは間違いないので， 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91 個以上の部分があるのは間違いありません。 問題は各段の間がどうなっているかです。 上の段の小三角形が△の場合 下の段の▽とから正八面体が 1 個できるだけで，下の段から見たときと比べて個数は増えません。 上の段の小三角形が▽の場合 下の段とから隙間にひっくり返った正四面体が 1 個でき，下の段から見たときと比べて個数が 1 個増えます。 そこで，上の段の小三角形が▽の分，1 + 3 + 6 + 10 = 20 個，だけ個数が増えます。 これより，切断した部分は，91 + 20 = 111 個，になります。 いろいろあって，掲示板を読むのは少し遅くなりそうです。 n 等分の場合は，同様にして， ((1 + 3 + 6 + … + n(n+1)/2) + (1 + 3 + 6 + … + n(n-1)/2)) + (1 + 3 + 6 + … + (n-1)(n-2)/2) = (1 + 3 + 6 + … + n(n-1)/2) * 3 + n(n+1)/2 - n(n-1)/2 = (n+1)n(n-1)/6 * 3 + 2n/2 = n(n^2 + 1)/2 です。#43210と一致しているので大丈夫かな。 |
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ネコの住む家
4月24日（金） 11:59:47
43215 |
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uchinyan |
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掲示板を読みました。
ふむ，類題又はそのまんまが結構あるんですね。有名問題ということでしょうか。 #43208 平面BCD に平行な平面にのっている部分を規則性を考慮しながら数える解法。 #43209，#43212 切断した部分が正四面体と正八面体になることから， まず正八面体の個数を数え，体積経由で正四面体の個数を数えて，加える解法。 なかなか面白い解法だと思います。 #43210 切断した部分が正四面体と正八面体になることから， それらの個数について表面積と体積について方程式を作り求める解法。 これも面白い解法ですが，#43209などの方が算数でより簡単かなぁ。 #43214 平面BCD に平行な平面？の図を重ねた図をもとに考える解法。 #43215 平面BCD に平行な平面における切断状況をもとに，その上の段との間に， 上の段が△は下の段の切断の個数と同じ，上の段が▽は下の段との隙間にひっくり返った正四面体が 1 個増える， ことから求める解法。#43214の図を見ると状況が分かりやすいかも。 #43218 正四面体ABCD 内部の点 P が切断面の間のどこにあるかを体積をもとに特定し， その特定された範囲に P が存在することと一つの分割された部分とが１対１に対応することに注目し， 得られた切断面の範囲の情報から求める解法。 これは面白いです。というか発想がすごい！ どうしてこんな発想ができるんだろう。 そういえば，来週はお休みなんですね。 |
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ネコの住む家
4月24日（金） 12:02:49
43216 |
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ベルク・カッツェ |
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ふむ、正八面体ができるんですね。個数を出しただけで満足して、形まで考えていませんでした。
立体をイメージするのは難しい。 |
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4月23日（木） 21:38:28
43217 |
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たけちゃん |
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見に来たので足跡を．
BCDと平行な平面で切ったとき，四面体内部の点Pが平面BCDに近い方から何段目なのかは， 四面体PBCDが四面体全体の体積のどんな割合を占めるかで決まり， 1段目は1/6以下，2段目は1/6〜2/6などとなります． 他の平面に平行な平面に関しても同様で， 「BCDについてa+1段目，ACDについてb+1段目，ABDについてc+1段目，ABCについてd+1段目」 は，四面体全体に対する体積の割合が， a/6<PBCD<(a+1)/6,b/6<PACD<(b+1)/6,c/6<PABD<(c+1)/6,d/6<PABC<(d+1)/6 であることを意味し，a,b,c,dの条件は， (a+b+c+d)/6<1<(a+b+c+d+4)/6,すなわち 3≦a+b+c+d<6となります． 和が3,4,5の場合を考えて，求める数は，4H3+4H4+4H5=6C3+7C4+8C5=20+35+56=111ですね． |
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4月23日（木） 23:56:37
43218 |
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nama |
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上から順に、周辺から中心に向けて
四面体１ 四面体３、八面体１ 四面体６、八面体３、逆四面体１ 四面体９、八面体６、逆四面体３、四面体１ と増えていっているので、これを６段続けたら １×６＋３×５＋６×４＋９×３＋１２×２＋１５×１＝１１１ になるかな〜となんとなく思いました。（適当ですみません） |
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4月24日（金） 16:36:12
43219 |
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小西孝一 |
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５個になるのが１１個と１４個になるのが４個で
５×１１＋１４×４＝５５＋５６＝１１１と、面倒くさい やり方をしました。org |
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4月25日（土） 2:32:45
MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 43220 |
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小西孝一 |
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各辺は長さ２ずつにしました。
４面体が上向きが１０個と逆向きが１個で１１個。各５個ずつに分かれる から、５×１１＝５５個。 ８面体が４個。各１４個ずつに分かれるから、１４×４＝５６個。 ５５＋５６＝１１１ 分かりずらくて、ごめんなさい。(>_<) |
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4月25日（土） 3:06:34
MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 43221 |
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小西孝一 |
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眠い中でなんとなく、クリックしたら、今月２度目の大当たり(^^♪
でも、回答の方が当たって欲しい。Org |
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4月25日（土） 3:31:40
MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 43222 |
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小西孝一 |
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大きい（各辺２）の４面体は４面体４個と８面体１個になる。
１１個あるから、４面体４４個と８面体１１個。 大きい（各辺２）の８面体は上半分で３つの４面体と逆向きの４面体１個 の計４面体４個。８面体は３個。 上下同じだから、結局４面体８個。８面体６個 大きい８面体は４つあるから、４倍して、４面体３２個。８面体２４個。 あわせて、 ４面体４４＋３２＝７６個 ８面体１１＋２４＝３５個 あわせて、１１１個 ８面体は４面体の４倍の体積があるから、７６＋３５×４＝７６＋１４０ ＝２１６で、６×６×６＝２１６と一致する。 というわけで・・・うちわけでした。^^; |
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4月25日（土） 8:15:42
MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 43223 |
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小西孝一 |
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n分割なら
n/2(n*n+1) かな？ |
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4月25日（土） 9:40:39
43224 |
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小西孝一 |
| 既出でした。すみません。m(__)m |
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4月25日（土） 9:43:22
MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 43225 |
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あめい |
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はぁ〜、なんとか滑り込みセーフ。
各段に正8面体が何個できるかで求めました。（各段の正８面体は上の面の正三角形と下の面の正三角形が逆さに重なるときできる） 正8面体の体積４とすると、正4面体の体積1 各段の体積と正8面体の数、正４面体の数は、上から1段目とすると 段の体積 正8面体の数 正4面体の数（段の体積−正8面体の体積） １段目 １ ０ １ ２段目 ７ １ ３ ３段目 １９ ３ ７ ４段目 ３７ ６ １３ ５段目 ６１ １０ ２１ ６段目 ９１ １５ ３１ 合計 ３５ ＋ ７６ ＝１１１ になりました。 |
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お馬崎
4月27日（月） 7:29:00
43226 |
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あめい |
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朝、早く起きて時間があったので、チャレンジしてやっと解けた〜(バンザイ!!)・・・・で、他の方のを見ていなかったのですが、
Ｊママさん、今年から高齢者さんと同じ方法でした。（Ｊママさんとは書き方もほぼ一緒、二番煎じで場所取りしてすいませんでした。） |
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4月27日（月） 10:12:37
43227 |
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スモークマン |
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いまだにわからないわたし…^^;
４平面で切るからどれも正四面体になるとしか思えなかったんですけど…? 友人からのもの…#43210 の鯨鯢(Keigei)さんと同じよう☆…ですが…Orz 問題は6段であるが2段の場合でみると4つの正四面体と まん中に1個の正8面体が出来ている。 正三角形の正多面体であるが、正20面体は面の角度からあり得ない。 正四面体と正八面体が入り混ざっている。 (A) 面積から 小さい正4面体の1面の大きさを1とする ばらばらになった正四面体をx個 正八面体をy個とする 表面積の合計は4x+8y 一方、切断面は2回数え、表面は1回であるから、 (1+4+9+16+25)*2+36=146 これが4方向あるから146*4=584 よって4x+8y=584 (B) 体積から 公式によると 正四面体の体積は一辺をaとすると、√2/12*a^3、 正八面体は√2/3*a^3 だから √2/12*x+√2/3*y=√2/12*6^3 よってx+4y=216 これからx=76 y=35 合計111個 *わたしにゃ無理でしたわ…^^;; |
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金即是空 ^^;v
4月28日（火） 0:54:52
MAIL:crazy_tombp@yahoo.co.jp 43228 |
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fumio |
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やっと、解けました。（笑）ははは。
大阪オフミ楽しみにしています。 ではでは。 |
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4月30日（木） 5:59:19
43229 |
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切断してできた立体が「正四面体と正八面体の2つだけ」ということについて、気になっていました。
ｎ層に切断した正四面体を考える。 ｎ−１層分の正四面体を４つの頂点に合わせると、ｎが３以上であれば重なりはあるが全体を網羅できる。 ここから、ｎ層に切断した時の立体の種類は、ｎ−１層に切断した時の立体の種類と同じ。 ところがｎ＝２の時は、ｎ＝１（正四面体１個）の立体では網羅できす、正八面体が残る。 故に、ｎ＝３以上では、正四面体と正八面体の２種類に切断されていることが判る。 正四面体と正八面体の２種類しかないことが判れば、いくつずつあるかは、体積と面積からもとめることができます。 すみません。!!!さんの紹介されたページにおなじようなことが記載されていました。 |
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5月3日（日） 6:42:33
43230 |
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巷の夢 |
| 正四面体と正八面体になる事は分かったのですが、立体の切断イメージが浮かばず・・・、諦めておりましたが、本日子供の日、再度一段々の図を描き検討していくと綺麗な等差数列に・・・、そして111、よしこれだ!!!! |
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真白き富士の嶺
5月5日（火） 9:49:32
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