今年から高齢者
交点の数は9C4=126。線の数は9C2=36
交点で増える線分は、交点の数の2倍。
36+126*2=288としました
　　 6月18日（木） 0:11:42　　 　　43397
ベルク・カッツェ
対角線が6箇所で切られると７本なのに、うっかり+1するのを忘れて送ってしまい、慌てて送りなおしました。
対角線3本以上が一点で交わるところは多分ないはず・・・念のため再検討してみます。

と思ったらちゃんと条件ありましたね、失礼しました。寝呆けてるようなので今日はもう寝ます。
　　 6月18日（木） 0:20:11　　 　　43398
みかん
各対角線が何本と交差するか→それに１を加えたものが切断後の本数、ということに注目。
九角形の頂点にＡ〜Ｉの記号を振っておく。

（１）九角形の外周→切断されないのでそのまま１本
（２）ＡＣのように間に１つ頂点を含むもの→切断後は７本
（３）ＡＤのように間に２つ頂点を含むもの→切断後は１１本
（４）ＡＥのように間に３つ頂点を含むもの→切断後は１３本

（１）〜（４）はいずれも元の対角線（外周含む）が９本ずつあるので、
（１＋７＋１１＋１３）×９＝２８８本。
　　 6月18日（木） 0:20:44　　 　　43400
Mr.ダンディ
今年から高齢者さんの　#43397と同じように
9C2+2*(9C4)＝36+252=288
と求めました。
　　 6月18日（木） 0:25:02　　 　　43401
ヤッコチャ
9×1+9×7+9×11+9+13=288
単純にそれぞれの辺が何本に分かれたか考えて足しました
　　 6月18日（木） 0:21:48　　 　　43402
ヤッコチャ
間違えた。9と13の間が×でしたね。
　　 6月18日（木） 0:25:06　　 　　43403
スモークマン
今までにも類似問あったと思いますのに...やっとこさぁ…^^;
わたしも#43397 今年から高齢者さんと同じでしたぁ♪
金即是空 ^^;v　　 6月18日（木） 0:34:53　　 　　43404
baLLjugglermoka
>#43397、#43401
凄過ぎです。お二方とも秀才の秀の字が当てはまりますね。
　　 6月18日（木） 0:35:26　　 　　43405
今年から高齢者
９点が凸の配置になっていれば良いのですが、
凹みがあると、その部分を含む４点を選んだ時に、対角線が交差しないので、交点の数が減るのでは？
凹四角形を考えると、点を結ぶ線は6本ですが交点ができない。
「対角線を全て引き」と書いてあるので、凹みのある多角形は考えないのかも知れませんが．．．

　　 6月18日（木） 1:09:29　　 　　43406
Jママ
こんばんは♪
初めて大当たりの部屋に遭遇して寄り道してました。(^^;
スマートな解法を狙いましたが閃かず
対角線を3種類にわけて、
例えば7角形と4角形に分けるものは7角形の対角線と4角形の対角線とは交わらずその他全てと交わるから…と計算していきました
ダメダメでした(笑)
　　 6月18日（木） 1:24:09　　 　　43407
小西孝一
線分は9C2で３６
交点は9C4で１２６
交点１個で線分は２個増えるから
３６＋１２６×２＝２８８
　　 6月18日（木） 1:50:34　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　43408
あめい
ある頂点と他の点をつないだ線が他の線によっていくつに分けられるか求めました。
隣の点とつないだ場合、他と交わらないので・・・１
１つとばしの点とつないだ場合、隣の点と反対側の６点を結んだ６本の線で区切られるので・・・７
２つとばしの点とつないだ場合、（隣の点＋その隣の点）と反対側の５点を結んだ１０本の線で区切られるので・・・１１
３つとばしの点とつないだ場合、（隣の点＋その隣の点＋その隣の点）と反対側の４点を結んだ１２本の線で区切られるので・・・１３
これが２組あるので、一つの頂点から引いた線は（１＋７＋１１＋１３）×２＝６４に分けられる
９点なので９倍、２重に数えているので半分にして・・・６４×９÷２＝２８８となりました
長々書きましたが、・・・みかんさんがわかりやすく書かれていました。（説明力もないなぁ・・・）
お馬崎　　 6月18日（木） 1:51:50　　 　　43409
「数学」小旅行
ｎ個の点の時にできる線分の数をＡｎとして、漸化式をつくりました。
Ａｎ＋１＝Ａｎ＋１／３・ｎ（ｎ＾２−３ｎ＋５）　（ｎ＝４，５，６，・・）
Ａ４＝８
　　 6月18日（木） 8:37:48　　 　　43410
Mr.ダンディ
ｎ個の点の時にできる線分の数をＡｎとすると、#43401と同様に
An＝ｎC2＋2*(nC4)
＝n(n−１)(n^2−5n+12)/12

また、#43406の「凹四角形を考えると」では
9角形の頂点を結ぶ線分を延長させて、対角線およびそれらの延長線とででできる
交点と　もとの頂点をもとに考えなければ同じ結果にならないようですね。
　　 6月18日（木） 12:53:17　　 　　43411
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うむ，この問題もどこかで類題を解いたような気がします。算チャレだろうか？ まぁ，こんな感じで。

(解法1)
９角形の頂点に反時計回りに 1 〜 9 の番号を付けます。
まず，1 から出る対角線を考え，その対角線が他の対角線で分割されるときの線分の本数を地道に数えます。
対角線が 1-3 の場合，2-4，2-5，2-6，2-7，2-8，2-9 で分割されるので，6 * 1 + 1 = 7 本，
対角線が 1-4 の場合，2-5，2-6，2-7，2-8，2-9 と 3-5，3-6，3-7，3-8，3-9 で分割されるので，5 * 2 + 1 = 11 本，
対角線が 1-5 の場合，2-6，2-7，2-8，2-9 と 3-6，3-7，3-8，3-9 と 4-6，4-7，4-8，4-9 で分割されるので，4 * 3 + 1 = 13 本，
対角線が 1-6 の場合，2-7，2-8，2-9 と 3-7，3-8，3-9 と 4-7，4-8，4-9 と 5-7，5-8，5-9 で分割されるので，3 * 4 + 1 = 13 本，
対角線が 1-7 の場合，2-8，2-9 と 3-8，3-9 と 4-8，4-9 と 5-8，5-9 と 6-8，6-9 で分割されるので，2 * 5 + 1 = 11 本，
対角線が 1-8 の場合，2-9 と 3-9 と 4-9 と 5-9 と 6-9 と 7-9 で分割されるので，1 * 6 + 1 = 7 本，
そこで，合計，7 + 11 + 13 + 13 + 11 + 7 = 62 本，です。
これに，辺 1-2 と 1-9 があるので，1 からは全部で，1 + 62 + 1 = 64 本，になります。
これと同様に，頂点が 2 〜 9 も 64 本ずつですが，1 本の線分を 2 回数えてしまうので 2 で割って，
求める線分の本数 = 64 * 9 * 1/2 = 288 本，
になります。

(解法2)
９角形の頂点に反時計回りに 1 〜 9 の番号を付けます。
例えば，対角線 1-4 を考えると，対角線 2-6 と 1 点で交わり，線分が 1-4 と 2-6 の両方に 1 本ずつ増えます。
これに，対角線 3-8 を引くと，1-4 と 2-6 のそれぞれに交点が 1 個ずつ増え，線分も 1-4 と 2-6 の両方に 1 本ずつ増えます。
ちなみに，3-8 も 1-4 と 2-6 とで交点が 1 個ずつ増え，線分も 1 本ずつ増えます。
このように，対角線の交点 1 個に対して交点を作る 2 本の対角線に線分が 1 本ずつ増えます。
そして，対角線が閉じるときに線分はもう 1 本ありますが，これは元の対角線の残りです。
さらに，これに辺が加わります。そこで，
求める線分の本数 = 対角線の交点の個数 * 2 + 対角線の本数 + 辺の本数 本，
がいえます。
対角線の交点は，９角形の頂点から 4 点を選んで作る四角形 1 個に対して 1 個生じるので 9C4 = 126 個，
一方，対角線の本数 + 辺の本数 は９角形の頂点から 2 点を選べばいいので 9C2 = 36 本，より，
求める線分の本数 = 126 * 2 + 36 = 288 本，
になります。

一般の n 角形ならば，(解法1)でもできますが，(解法2)より容易に，
求める線分の本数 = nC4 * 2 + nC2 = n(n-1)(n^2 - 5n + 12)/12 本，
ですね。
ネコの住む家　　 6月18日（木） 12:51:23　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43412
uchinyan
掲示板を読みました。

#43397，#43401，#43404，#43408，#43412の(解法2)
対角線の交点 1 個に対して線分が 2 本増えることに注目して解く解法。

#43398(多分)，#43400，#43402，#43409，#43412の(解法1)
1 本の対角線が他の対角線で分割される本数を数えてそれを足し上げる解法。

#43407，#43414
９角形を二つの多角形に分けて考える解法。
着眼点は少し違いますが，実質は#43400などと同じになるようです。

#43410
漸化式による解法。

なお，問題文に明記がないですが，図のような凸多角形だけを考えるのだろう，という気がしています。
ネコの住む家　　 6月18日（木） 17:34:51　　 　　43413
Jママ
#43413
uchinyan 様
失礼しました
説明不足でしたので補足いたします。

まず９角形の対角線の総数=6・9/2=27本
(i)３角形と８角形に分ける1本の対角線について
　　　８角形の対角線5・8/2=20本以外の対角線とは必ず交わるので
　　　27-20-1(自分自身)+1=7本の線分ができる。
(ii)４角形と７角形に分ける1本の対角線について
　　　４角形の対角線2本及び
　　　７角形の対角線4・7/2=14本以外の対角線とは必ず交わるので
　　　27-(2+14)-1+1=11本の線分ができる。
(iii)５角形と６角形に分ける1本の対角線について
　　　５角形の対角線2・5/2=5本及び
　　　６角形の対角線3・6/2=9本以外の対角線と必ず交わるので
　　　27-(5+9)-1+1=13本の線分ができる。
1つの頂点からこれら3種が2本ずつ出ているので、全ての頂点について重複を除き、９角形の辺を合計して
(7+11+13)×2×9/2+9=288本
としました。
ちょっとまわりくどかったですかね(>_<)
遅くなり失礼しましたm(__)m
　　 6月18日（木） 15:19:41　　 　　43414
uchinyan
#43414
Jママさん
詳しい解説をありがとうございます。よく分かりました。
ネコの住む家　　 6月18日（木） 17:33:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43415
ハラギャーテイ
交点の数の公式から求めました。
山口　　 6月19日（金） 4:34:16　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　43416
おほむ
私もJママさんと同じ考えですね。私は一回計算ミスしてて？ってなってました(^_^;)
　　 6月20日（土） 9:56:57　　 　　43417
706
4角形×2=8本
5角形×2×2=20本
.
.
.
9角形×2×2×2×2=288本
宇宙　　 6月23日（火） 18:49:46　　 　　43418
ベルク・カッツェ
#43418
706さん

省略している・・・のところがよく分かりません。
その流れだと九角形は576本になってしまう気がします。
　　 6月22日（月） 7:54:01　　 　　43419
うさぎ
解答を送信する際に　名前欄に問題の答えを入力しているマナー知らずの愚か者がいます。どうにか利用停止にできないでしょうかね。
　　 6月23日（火） 1:52:52　　 　　43422
706
#43422
そうですね(&#9580; &#3232;益&#3232;)
宇宙　　 6月23日（火） 19:07:46　　 　　43423
今年から高齢者
#43412 uchinyanさん
過去問を見ていて見つけました。第748回が類似問題でした。
　　 6月23日（火） 22:16:39　　 　　43424
uchinyan
マサルさんへ
今日はお休みですか。
出題がないのは残念ですが，毎週の作問そして出題は大変なのでそんなこともあるでしょう。
あまりお気になさらずに。
来週の出題を楽しみにしていますね。

#43424
今年から高齢者さんへ
情報をありがとうございます。やはり類題，というか辺を除いただけか，がありましたね。
私は同じ解法を二つ書いていました (^^;
ネコの住む家　　 6月25日（木） 11:48:23　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43425
maple
対角線の数 27 交点 126 辺 9
27+126×2+9=288
　　 7月1日（水） 20:02:05　　 　　43426