ベルク・カッツェ

正解者一覧出てないけど、眠いので書いちゃいます。 ABをACと同じ長さに延長してADとして、正三角形ADCを作り、APを延長してDCとの交点をQとします。 面積と辺の比からDQ:QC＝2：1となるので、BC＝AQ。 面積と辺の比でAP：AQ＝6：1とわかるので、5×（7/6）＝35/6となります。

7月30日（木） 0:16:42　　 　　43550

ベルク・カッツェ

面積と辺の比について補足。 三角形ADP、APC、PDCをア、イ、ウとします。 AB：BC＝2：1よりイ：ウ＝2：1、BP:PC＝4：3よりア：（イ＋ウ）＝4：3となるのでア：イ：ウ＝4：2：1。 ア：イ＝2：1よりDQ:QC＝2：1、（ア＋イ）：ウ＝6：1よりAP：PQ＝6：1 チェックしてないので間違ってたらごめんなさい。

7月30日（木） 0:21:44　　 　　43551

ゴンとも

座標にA(0,0),B(4*a/3,0),C(a,sqrt(3)*a),P(b,-3*sqrt(3)*(b-4*a/3))とおけ AP=5,3:4と答えのBC^2=(a-4*a/3)^2+3*a^2として3連立方程式がたちそれを　 XMaxima で解くと rhs(part(part(solve([b^2+27*(b-4*a/3)^2=25,4*(b-a)=3*(4*a/3-b),(a-4*a/3)^2+3*a^2=BC^2],[a,b,BC]),1),3));35/6・・・・・・(答え)

豊川市　　 7月30日（木） 1:26:20　　 　　43552

スモークマン

やっとこさぁ…^^; ベルク・カッツェさんと同じでしたわ…☆ 正三角形で考えて… (y/(x+y))/2=(3-7*(y/(x+y))/4 x+y=3, y=1 つまり… APの延長が残りの正三角形を2:1に分割している(その点をQとすると)ので… PQ=5*(1/3)/2=5/6 BC=AQなので...=5+5/6=35/6 分割点のQの比率がなかなか求められず…撃沈…^^;

金即是空 ^^;v　　 7月30日（木） 1:33:57　　 　　43554

今年から高齢者

最初、製図で一旦は35/6を求めたのですが、掲示板に入れず。 なんとかして図形でと頑張ったのですが、#43551のような解き方も見つけられず、 思いっきり三平方の定理を使いました。 B、PからACに垂線を下ろし、その足をQ、Rとしてから、AB=2aとして、 三角形APRよりaを求めて、BC=a√(7)=35/6

7月30日（木） 1:39:22　　 　　43555

数樂

今回は比較的楽だったというか、思いついたので良かった。 場合の数は相変わらずたまにしかできない・・・ 今回のはABを延長して1辺がACとなる正三角形AQC(QはABの延長線と∠AQC=60°となる点)をつくって、APの延長線とQCの交点をRとする。 このときPRはメネラウスの定理より PR=5/6で このとき△ACR≡△CQB(2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい) よってBC＝AR＝5＋5/6＝35/6 でした。

徳島県　　 7月30日（木） 2:10:02　　 HomePage:数樂webtest公開中　　43556

数樂

↓メネラウスの定理でまずQR：RC=2:1を出してから 再度メネラウスで、PR=5/6を出すという過程をかくのを忘れていました。m(_)m

徳島県　　 7月30日（木） 2:12:16　　 HomePage:数樂webtest公開中　　43557

ハラギャーテイ

おはようございます。三角関数です。

山口　　 7月30日（木） 3:33:10　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　43558

小西孝一

おはようございます。 正解者がでなかったので寝ました。 とりあえず AB→＝aベクトル、AC→＝bベクトルとしてベクトルで表し。 |b|＝3/2|a| 長さの２乗＝同一ベクトルの内積で求めました。 算数は書き込みを見て勉強します。

7月30日（木） 5:07:02　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　43559

とまぴょん

正三角形を作って、メネラウス。5x7/6=35/6を出して、図形の対称性から、THEEND

7月30日（木） 5:39:55　　 　　43560

駒田陽太

正三角形->メネラウスで解きました。 数樂さん、とまぴょんさんと同じです。

7月30日（木） 10:25:45　　 　　43561

k

出題後1時間ぐらいたっても、正解者一覧表が出ず、掲示板も35/6で入れず、という状況でした。 0時台に書き込んでいる人がいるのはどうやったのか？　それとも、自分のPCがおかしかったのか？ ABを延長して正三角形ADCを作り、APの延長とDCの交点をEとする。 メネラウスの定理で (AE/EP)*(PC/CB)*(BD/DA)=1　,　(AE/EP)*(3/7)*(1/3)=1 ,　AE/EP=7/1 AE:EP=7:1　から、AE:AP=7:6　で、BC=AE=5*7/6=35/6

7月30日（木） 10:52:06　　 　　43562

ゴンとも

#43562 >0時台に書き込んでいる人がいるのはどうやったのか？　それとも、自分のPCがおかしかったのか？ 前回の答えの数値(13860)で入れました。 正解掲示板が35/6で入れるようになったのは1時20分頃でした。

豊川市　　 7月30日（木） 11:10:45　　 　　43565

k

ゴンともさん、返信ありがとうございます。そういうことだったんですね。

7月30日（木） 11:23:18　　 　　43566

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． これは算チャレとしては標準的でしょうか。常連さんには易しめかな。 いろいろな解法があると思います。例えば，こんな感じで。 (解法1) AB の延長上に AD = AC となるように点 D を取り，AP の延長と DC との交点を E とします。 ∠DAC = 60°なので △ADC は正三角形で，AB：AD = AB：AC = 2：3，AB：BD = 2：1，DC = AB = AC，です。 また，P から DC に平行に線を引き AD との交点を I，E から BC に平行な線を引き AD との交点を J，とします。 IP//DC，BI：ID = BP：PC = 4：3，AB：BI：ID = 14：4：3，AP：PE = AI：ID = 18：3 = 6：1，AE = AP * (6 + 1)/6 = 5 * 7/6 = 35/6 cm， JE//BC，AB：BJ = AP：PE = 6：1，AB：BJ：JD = 6：1：2，DE：EC = DJ：JB = 2：1，で， DB = AD * 1/3 = CD * 1/3 = CE，DC = CA，∠CDB = 60°= ∠ACE，△DBC ≡ △CAE，BC = AE = 35/6 cm，になります。 (解法2) △ADC を作るまでは(解法1)と同じ。 ここで，DC の中点を O とし，△ADC を O を中心に 180°回転し D を C に C を D に重ね，A の移動先を F とし， AE の延長と CF との交点を G とします。明らかに，□ADFC はひし形です。さらに，CF//AD，より， △PGC ∽ △PBA，GC：AB = PG：PA = PC：PB = 3：4，GC：CF = GC：AD = GC：(AB * 3/2) = 1：2，G は CF の中点， △EAD ∽ △EGC，EA：EG = ED：EC = AD：GC = CF：GC = 2：1，AP：PE：EG = 12：2：7，AE = AP * (12 + 2)/12 = 5 * 7/6 = 35/6 cm， AC = DA，AB = AD * 2/3 = DC * 2/3 = DE，∠BAC = 60°= ∠ADE，△ABC ≡ △DEA，BC = EA = AE = 35/6 cm，になります。 (解法3) △ABP を 3/2 倍し，A を中心に反時計回りに回転し AB を 3/2 倍したときの B を C に重ね，AP を 3/2 倍したときの P の移動先を Q とします。 さらに，∠PAQ = ∠PAC + ∠CAQ = ∠PAC + ∠BAP = ∠BAC = 60°なので，AQ 上に点 R を △APR が正三角形となるように取ります。 PR = AR = AP = 5 cm，AQ = AP * 3/2 = 5 * 3/2 = 15/2 cm，RQ = AQ - AR = 5/2 cm，です。 そして，CP：CQ = PC：(BP * 3/2) = 3：6 = 1：2，RQ：RP = (5/2)：5 = 1：2，CP：CQ = RQ：RP， ∠PCQ = ∠ACP + ∠ACQ = ∠ACP + ∠ABP = 180°- ∠BAC = 120°，∠QRP = 180°- ∠ARP = 120°，∠PCQ = ∠QRP，△CPQ ∽ △RQP，ですが， PQ が共通なので，実は，△CPQ ≡ △RQP，となり，CP = RQ = 5/2 cm，です。 そこで，BC = CP * (4 + 3)/3 = 5/2 * 7/3 = 35/6 cm，になります。 (解法1)は，メネラウスの定理を使えばもう少し記述が簡単になりますが，過去に，メネラウスの定理は算数ではない，というご意見があったので， 補助線を引いて一つずつ記述しておきました。面積比を使う手もありそうです。 (解法2)も，メネラウスの定理を使わずにひし形を作って考える解法です。 (解法3)は，少し違う発想の解法です。 もっとも，いずれの解法でも正三角形がポイントになりますね。

ネコの住む家　　 7月30日（木） 14:08:28　　 　　43567

uchinyan

掲示板を読みました。正解者一覧の表示と正解者掲示板の入室に若干のトラブルがあったようですね。 個人的には，やや易しめかも知れないな，と思ったのですが，そこそこ苦労なされた方もいたようです。 また，いろいろな解法がありそうだと思ったのですが，詳細のバリエーションはあるものの， ほとんどが AB を延長して一辺 AC の正三角形を作って考える解法のようです。 多分，パッと見，これが一番思い付きやすいからでしょう。 #43550＋#43551，#43554(一部数学ですが)，#43556，#43560，#43561，#43562，#43567の(解法1) AB を AC に等しくなるまで延長し正三角形を作って考える解法。 詳細の計算では，面積比を使うもの，適宜平行な補助線を引くもの，メネラウスの定理を使うもの， などのバリエーションがあります。 #43567の(解法2) AB を AC に等しくなるまで延長し正三角形を作り，さらにその正三角形を 180°回転したものと合わせひし形を作って考える解法。 #43567の(解法3) △ABP を 3/2 倍し A を中心に反時計回りに回転し AB を 3/2 倍したときの B を C に重ねて四角形を作り， さらにその内部の ∠A のところに一辺 AP の正三角形を作って，考える解法。 #43552，#43555，#43558，#43559 数学による解法。詳細は様々のようです。

ネコの住む家　　 7月30日（木） 15:01:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43568

ますた~

初書き込みです。 ベルク・カッツェさんの方法はいいですね。メネラウスとかBC=AQに気付かなくて三角関数まで使ってしまったのが非常に恥ずかしいです、、、。でも図形の回はごり押しでも解けるので若干安牌ですよね。

7月30日（木） 15:10:42　　 　　43569

物理好き

辺ABを①伸ばして正三角形をつくる。 (伸ばした点をPと名付ける) (辺BCを4:3に分ける点をQと名付ける) 辺AQを辺PCにつくまで伸ばす。 (ついた点をRと名付ける) 三角形の面積の比を考えると、 ABQ:BQP:AQC= 4:2:3 つまり AB:BP=PR:RC=2:1 AR=BC AQC:PQR:CQR=6:3:1 AR=35/6cm BC=35/6cm (言葉が下手ですが...)

大阪　　 7月30日（木） 19:01:24　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:twitter　　43570

物理好き

&#9312というのは#9312ではなく○1のことです。

大阪　　 7月30日（木） 19:02:56　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:twitter　　43571

次郎長

一発正解したので嬉しくて書き込み。 朝から大阪へ行く用事があったので。問題印刷して阪急電車の中で考えました。よく分からないまま、正三角形を描いているうちに35/6 何故か阪急電車に座ると難問が解けます、おまじない。 でも、そのために電車に乗るのはあほらしい。

7月30日（木） 19:41:09　　 　　43572

ベルク・カッツェ

0時台は掲示板のパスワードが先週のままだったので、そのまま入れました。寝不足で眠かったので正解確認せずに書き込みしてしまいました。

7月30日（木） 21:55:24　　 　　43574

あめい

掲示板トラブルだったんですね。 いつも掲示板で正答か確認してから解答を送る小心者としては、また誤答かぁ・・・と悩みつつも、３０分たっても正答０％、みなさんが３０分たっても答えられないはずもないと、解答を送りました。（私パターンの方も何人かいらっしゃるようで、いつもより順位が上でした）

7月31日（金） 8:39:47　　 　　43575

uchinyan

似たり寄ったりではありますが，こんな解法もありますね。 (解法4) △ADC を作り点 E を取るまでは，#43567の(解法1)と同じ。 さらに，B から AP に平行な線を引き CD との交点を K，とします。 BK//AP，DK：KE = DB：BA = 1：2，KE：EC = BP：PC = 4：3，DK：KE：EC = 2：4：3，DE：EC = 2：1， そこで，△ACE と △CDB は合同ですが 60°回転した位置にあり，∠APB = 60°= ∠BAC です。 これより，△PBA ∽ △ABC，PB：PA = AB：AC，BP：5 = 2：3，BP = 10/3 cm，となって， BC = BP * (4 + 3)/4 = 10/3 * 7/4 = 35/6 cm，になります。 (解法5) B を通り AP に平行な線を引き CA の延長との交点を S とし，AC 上に点 T を取って △ABT が正三角形になるようにします。 AP//SB，AP：SB = CP：CB，5：SB = 3：(3 + 4) = 3：7，SB = 35/3 cm， ∠BTC = 180°- ∠ATB = 120°，∠SAB = 180°- ∠BAC = 120°，∠BTC = ∠SAB， TB：TC = AB：(AC - AB) = 2：(3 - 2) = 2：1，AS：AB = (CA * BP/CP)：AB = (3 * 4/3)：2 = 2：1，TB：TC = AS：AB， △TBC ∽ △ASB，相似比は 1：2，BC：SB = TC：AB，BC：(35/3) = 1：2，BC = 35/6 cm，になります。 昨日はちょっとうっかりしましたが， 正三角形の各頂点とそれぞれの対辺を 2：1 に内分する点を順次結ぶと， 中央に正三角形ができその面積は元の正三角形の 1/7 になります。 これはそこそこ知られた事実ですが，今回の問題はこれと関係していますね。 #43567の(解法1)＝#43550などはこれと関係の深い解法と言えます。 (解法4)は，この事実とより密接に関係した解法です。 また，そこそこの説明は必要と思いますが，正三角形格子上に置くのも図的には美しいかも知れません。 一方，(解法5)は，少し違うアプローチですが，#43567の(解法3)と少し似た感じです。 ただ，それよりも単純でスッキリしている印象を，少なくとも私は，受けます。 (解法5)にもいくつかのバリエーションがあるのですが， こういった感じの書き込みがなかったのは，少し意外な気もします。

ネコの住む家　　 7月31日（金） 12:52:30　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43576

今年から高齢者

なぜこのような条件がBCの長さを有理数にするのか、他のどのような条件があるのかが気になった。 結局は、��BDCと��AQCが合同になることがこの問題を解く鍵。 DはABの延長線上で��ADCが正三角形、EはAC上の点で��ABEが正三角形。QはAPの延長線とDCとの交点、RはBEとAPとの交点。 合同にするための条件は、BD=QC。 AB:BD=1:a（AB:AC=1:1+a）、BP:PC=1:bとして、QC=xとすると、BR=x/bとなり、DQ=(1+a)*BR=(1+a)*x/b。 DQ:QC=AB:BDであれば、��BDCと��AQCが合同となる。 (1+a)*x/b:x=1:aなので、a*a+a-b=0。この二次方程式の判別式1+4bが有理数kの平方k^2になれば、a,bは有理数となる。 また、BC=AQ=AP*(1+a)*(1+b)/(1+a+b)なのでAP,a,bが有理数ならば、BCも有理数となる。 本問題では、b=3/4でk=2、a=1/2である。k=3なら、b=2、a=1でBCはABへの垂線となる。 k=5/2や5/3でも有理数解が得られるがやや煩雑な数となる。

8月1日（土） 7:55:09　　 　　43577

塚本文生

第２余弦定理使ってシマッタ。

8月5日（水） 21:58:51　　 　　43578