茖絞��

ゴンとも

1+7+43+49+25+4+22+46+28=225

豊川市　　 10月1日（木） 0:16:36　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　43732

鯨鯢(Keigei)

認証すると150でしたが、
中央の25を残すことができるので、対称性から
100の倍数＋25　で表せる数しか答になりえませんね。
実際には、それぞれの数を３で割った余りを書き込むと、
０が16か所,１が17か所,２が16か所です。
図２の長方形を置けば、余りが０,１,２の３個の正方形が隠れることになり、
余りが１の所が１つ余ることになります。
左右対称の置き方を考えれば、左右対称な位置で余りが１の所だけしか該当しません。
実際には、１,４,７,22,25,28,43,46,49 で、そのいずれも残せますので、
その和は 225 です。

　　 10月1日（木） 7:44:12　　　　43733

マサル

すみません、認証用のファイルがずっと間違えたままでした...失礼しました。m(__)m

MacbookPro　　 10月1日（木） 12:21:00　　　　43734

今年から高齢者

はじめは2×1のブロックで「残ってしまう1マスの番号はいくつか」と読み間違えて、25を送った。更に「．．．あります。これらの番号の和を求めてください。」を読んで、625を送ったが、掲示板に入れず。よく読めば3×1のブロックだった。結局、225送って、念のため厚紙で3×1のブロックを作って試行錯誤。
中央の25は該当する場所であり、その他の場所に該当箇所があれば、対称性から100の倍数である。対称性から○25という値になることは容易にわかる。225～1225までで認証だより。でもなぜか、掲示板に入れず。
以前の円周率3.14の件もあり、マサルさんのいたずら心か！ということで、結局寝てしまった。

　　 10月1日（木） 12:54:23　　　　43735

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
最初は，対称性から勘で 1 + 4 + 7 + 22 + 25 + 28 + 43 + 46 + 49 = 225 かな，と思い認証したらアウト，
そんな甘くないか，と論理的に考えても同じでやはり正解者掲示板には入れず。
何度考え直しても 225 なので，ダメもとで答えを送ったら，正解者一覧に名前が載りました。
今はやっと正解者掲示板にも入れて，ひとまずはよかったです。解法はこんな感じで。

7 * 7 のマス目に 1 * 3 の長方形を置いたとき，
そのマス目の中の数の和は，長方形を縦にしても横にしても中央のマス目の数の 3 倍で常に 3 の倍数です。
そこで，残る１マス以外の数の総和も常に 3 の倍数です。
一方で，7 * 7 のマス目の中の数の総和は，1 + 2 + 3 + … + 49 = (49 * 50)/2 = 1225 = 408 * 3 + 1，なので，
１マスを除いて 3 の倍数になる必要があることより，残る１マスの候補は 3 で割って 1 余る次になります。
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49
ところが，図の対称性より，ある長方形の配置１つに対して，
4 のマス目の縦の列，22 のマス目の横の行，1 のマス目からの斜めの線，7 のマス目からの斜めの線，
のそれぞれに関して対称な配置も可能になります。
そこで，上記の残る１マスに対して，例えば，4 のマス目の縦の列で対称な次も可能なはずです。
7, 4, 1, 12, 9, 20, 17, 28, 25, 22, 33, 30, 41, 38, 49, 46, 43
しかし，もちろんこれらは先ほどの 3 の倍数の条件を満たさなければならないので，候補は，
1, 4, 7, 22, 25, 28, 43, 46, 49
に絞られます。そしてこれらは他の対称性の条件も満たし，また実際に実現可能なのも容易に分かります。
そこで，可能な残る１マスは，1, 4, 7, 22, 25, 28, 43, 46, 49，の 9 個，で，
求める和 = 1 + 4 + 7 + 22 + 25 + 28 + 43 + 46 + 49 = 50 * 4 + 25 = 225
になります。

ネコの住む家　　 10月1日（木） 14:05:44　　　　43736

uchinyan

掲示板を読みました。
今回は正解者掲示板への入室でトラブルがあったので書き込みが少ないですね。
今のところは，残る１マスは 3 で割って 1 余る数及び対称性，という解法のようです。

その後，少し書き込みが増えたので。

#43732
結果だけが与えられています。詳細は不明。

#43733，#43736
残る１マスは 3 で割って 1 余る数及び対称性，という解法。

#43735
対称性より 100 の倍数 + 25 と認証？，による解法。

#43738
7 * 7 のマス目を，(i,j)，i, j は 1 ～ 7 の整数，として， i，j のそれぞれの和が，
7 * 7 全体ではともに 3 で割って 1 余る数，残る1マスを除くとともに 3 の倍数，から，
残る１マスの (i,j) の i，j はともに 3 で割って 1 余る数になることから説く解法。
説明は数学になっていますが，説明次第で算数になると思います。
#43733などの対称性の部分を (i,j) の組を通してうまく扱っていると思います。

#43740，#43749
対称性と試行錯誤？，による解法。

#43748
プロゴラムによる解法。

ネコの住む家　　 10月2日（金） 14:02:42　　　　43737

かーちゃん

基本的には他の方と同じで、３の余りに着目。
配置した数字は無視し、格子を（ｉ，ｊ）で表すと、縦に足しても横に足しても、縦座標横座標ともに３の倍数。
一方、
1+2+3+4+5+6+7≡1(mod3)
7≡1(mod3)なので、
縦横座標ともに、１，４，７だけが生き残る
これら９個の格子に割り当てられた数字を合計して２２５

　　 10月1日（木） 15:27:54　　　　43738

ボーナス問題

今回の問題と同じように 7x7 の正方形に、15 個の1x3 の長方形と 1 個の面積 3 のかぎ形を敷き詰めると、どうなるでしょうか？

因みに、かぎ形は、以下のような形です。

□
□□

　　 10月1日（木） 16:42:06　　　　43739

あめい

いつものようにこちらで確認してから回答しようと２２５で蹴られ、・・・・半日以上たってしまいました。トラブルだったんですね。
対称型なので、（３×３マスは埋まるので、残りの）４×４マスに３マスのブロックを入れてどこに隙間ができるかで考えました。
これしかないだろうと思いながら、自信もって答えられないのが相変わらずの弱さです。
いろいろな名前で売られていますが、ブロックを移動させて奥のブロックを出口に導くパズル（もっていたのは「姫様救出ゲーム」と言う名前と絵だった）を思い出しました。

　　 10月1日（木） 18:38:43　　　　43740

あめい

#43739ボーナス問題さんの問題４００でしょうか。
4×４マスに1×3マス４つ、かぎ形１つ入れると、真ん中の4マスがＯＫだったので、反対側とセットで５０が４組、、左右対称なので２倍して５０×４×２＝４００

　　 10月1日（木） 19:14:42　　　　43741

今年から高齢者

#43733鯨鯢(Keigei)さんの、3で割った余りを考えるというのには「なるほど」と感心しました。3×1のカードの並び方の規則性を考えていましたが、マスの番号と関連づけるとは思いつきませんでした。
「左右対称の置き方を考えれば、左右対称な位置で余りが１の所だけしか該当しません。」の考えの根拠がわからないのですが、教えていただけないでしょうか。
見かけ上の左右対称といういうことなら、4隅の1も対称ではないのでは？と悩んでいます。

　　 10月1日（木） 19:39:51　　　　43742

鯨鯢(Keigei)

#43742 今年から高齢者さんへ
３で割った余りを書き込むと
１,２,０,１,２,０,１、
２,０,１,２,０,１,２、
０,１,２,０,１,２,０、
１,２,０,１,２,０,１、
２,０,１,２,０,１,２、
０,１,２,０,１,２,０、
１,２,０,１,２,０,１、
で、図２を16個被せると１が１個残ります。
左右逆にすると、
１,０,２,１,０,２,１、
２,１,０,２,１,０,２、
０,２,１,０,２,１,０、
１,０,２,１,０,２,１、
２,１,０,２,１,０,２、
０,２,１,０,２,１,０、
１,０,２,１,０,２,１、
ですが、これも図２を16個被せると１が１個残ります。
従って、１が共通な場所しか残る可能性はありません。

　　 10月1日（木） 20:20:11　　　　43743

スモークマン

#43739 ボーナス問題さんの問題…
元の問題で1*3が15個ではどうやっても、□□□□ の縦か横しか残らないということだから、
カギ型3個との組み合わせでは敷き詰められないような…?…^^;

金即是空 ^^;v　　 10月1日（木） 22:57:24　　　　43744

スモークマン

すんません…^^;;
じっさいに並べられるものがあることを知りました…
失礼しました…Orz～
↓

金即是空 ^^;v　　 10月2日（金） 0:05:25　　　　43745

ボーナス問題

　　 10月2日（金） 2:45:22　　　　43746

今年から高齢者

#43743鯨鯢(Keigei)さん、ありがとうございました。
すばらしい！！！
３で割った余りといい、この対称性で評価する方法といい、とても思いつきませんでした。
【追加質問】
くどくどと申し訳ありません。上記のあと、ウォーキングの最中にアレッ！っと思ったのは、
裏返しにしたものが、裏返す前と「ＡＮＤ」の条件になるのはなぜでしょうか？
「ＯＲ」の条件であって残るような候補位置が増えたようにも思えます。
確かに、実際にやってみると、９マス以外の１マスを残した場合にはどうやっても埋められないことは確かなようですが．．．
どうも、実際の３×１のブロックの置き方と、余り１の位置の関係がうまくつかめなせん。

　　 10月2日（金） 11:45:25　　　　43747

???

Dim a(17) As Integer
Sub Macro1()
Cells(1, 1).Value = 0
Call saiki(1)
Cells(2, 1).Value = "=SUM(B1:B" & strr(Cells(1, 1).Value) & ")"
End Sub
Sub saiki(ByVal n As Integer)
a(n) = 1
While a(n) <= 3
For j = 1 To 7 : For jj = 1 To 7 : b(j, jj) = 0 : Next jj : Next j
x = 1 : y = 1
For j = 1 To n - 1
Select Case a(j)
Case 1 : b(x, y) = 1 : b(x + 1, y) = 1 : b(x + 2, y) = 1
x = x + 3
Case 2 : b(x, y) = 1 : b(x, y + 1) = 1 : b(x, y + 2) = 1
x = x + 1
Case Else : b(x, y) = 1
x = x + 1
End Select
QX = 0
While QX = 0
If x = 8 Then x = 1 : y = y + 1
If b(x, y) = 0 Then
QX = 1
Else
x = x + 1
End If
Wend
Next j
QX = 1
Select Case a(n)
Case 1
If x + 2 > 7 Then
QX = 0
Else
If b(x + 1, y) + b(x + 2, y) > 0 Then
QX = 0
End If
End If
Case 2
If y + 2 > 7 Then
QX = 0
Else
If b(x, y + 1) + b(x, y + 2) > 0 Then
QX = 0
End If
End If
Case Else
wa = 0
For j = 1 To n
If a(j) = 3 Then wa = wa + 1
Next j
If wa > 1 Then QX = 0
End Select
If QX Then
If n < 17 Then
Call saiki(n + 1)
Else
For j = 1 To 7 : For jj = 1 To 7 : b(j, jj) = 0 : Next jj : Next j
x = 1 : y = 1
k = 0 : j = 1
While k = 0 And j <= 17
Select Case a(j)
Case 1 : b(x, y) = 1 : b(x + 1, y) = 1 : b(x + 2, y) = 1
x = x + 3
Case 2 : b(x, y) = 1 : b(x, y + 1) = 1 : b(x, y + 2) = 1
x = x + 1
Case Else
k = x + 7 * (y - 1)
End Select
If k = 0 Then
QX = 0
While QX = 0
If x = 8 Then x = 1 : y = y + 1
If b(x, y) = 0 Then
QX = 1
Else
x = x + 1
End If
Wend
End If
j = j + 1
Wend
QX = 1
j = 1
While QX And j <= Cells(1, 1).Value
If k = Cells(j, 2).Value Then
QX = 0
Else
j = j + 1
End If
Wend
If QX Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = k
End If
End If
End If
a(n) = a(n) + 1
Wend
End Sub
Private Function strr(ByVal n As Integer) As String
strr = Right(Str(n), Len(Str(n)) - 1)
End Function

　　 10月2日（金） 11:32:56　　　　43748

ベルク・カッツェ

マサルさん認証修正お疲れ様です。
今回は9箇所以外の場所に置けないことを確認するのが手間でしたが、鯨鯢(Keigei)さんの方法は上手いやり方ですね。私は残り7箇所について、実際に並べてこれは無理だろうと確認していました。
#43747今日から高齢者さん
横から失礼します。
縦列横列とも余り012が順番に並んでいるので、図2を1枚置くごとに余り012の場所が必ず各1箇所埋まる、従って最後に残るのは必ず余り1の場所であり、余り0、2になる場所が残ることはありえない。
この説明でいかがでしょうか。

　　 10月2日（金） 12:41:37　　　　43749

ベルク・カッツェ

#43735
良く見たらお仲間が。
私も最初2×1と勘違いして図を書き始めてしまい、途中で気づいて書き直しました。

　　 10月2日（金） 12:47:04　　　　43750

uchinyan

#43739(＝#43746)
私も#43741と同様に 400 だと思います。大体こんな感じ。

7 * 7 のマス目に 1 * 3 の長方形を置いた場合のマス目の数の和は常に 3 の倍数ですが，
かぎ形の場合はその向きによって決まりますが 3 で割った余りが 0，1，2 のすべてが可能です。具体的には，
□■ は 3 で割って 0 余る　＜－－－　タイプ０
□□
■□ は 3 で割って 1 余る　＜－－－　タイプ１
□□
□□ は 3 で割って 2 余る　＜－－－　タイプ２
□■
□□ は 3 で割って 0 余る　＜－－－　タイプ３
■□
また，図の対称性よりかぎ形の１つの向きが実現可能なら他の３つの向きも実現可能で，
４つの向きすべてがセットで実現可能です。　
このことと，1 ～ 49 の総和が 1225 で 3 で割った余りが 1 であることより，
残る１マスの数が 3 で割って 1 で余る場合とかぎ形が 3 で割って 0 余るの場合であって，
それらの対称な配置が実現可能なものが求めるものになります。例えば，
タイプ０と 1 <-----> タイプ１と 7，不可，
タイプ３と 1 <-----> タイプ２と 7，不可，
タイプ０と 4 <-----> タイプ１と 4，不可，
タイプ３と 4 <-----> タイプ２と 4，不可，
…
タイプ０と 10 <-----> タイプ１と 12，可，タイプ０と 10 <-----> タイプ２と 38，可，タイプ０と 10 <-----> タイプ３と 40，可，
タイプ３と 10 <-----> タイプ２と 12，不可，
タイプ０と 13 <-----> タイプ１と 9，可，タイプ０と 13 <-----> タイプ２と 41，可，タイプ０と 13 <-----> タイプ３と 37，可，
タイプ３と 13 <-----> タイプ２と 9，不可，
…
タイプ０と 16 <-----> タイプ１と 20，不可，
タイプ３と 16 <-----> タイプ２と 20，可，タイプ４と 16 <-----> タイプ１と 30，可，タイプ４と 16 <-----> タイプ０と 34，可，
タイプ０と 19 <-----> タイプ１と 17，不可，
タイプ３と 19 <-----> タイプ２と 17，可，タイプ４と 19 <-----> タイプ１と 33，可，タイプ４と 19 <-----> タイプ０と 31，可，
…
結局，9, 10, 12, 13, 16, 17, 19, 20, 30, 31, 33, 34, 37, 38, 40, 41 の 16 個，が候補です。
後，7 * 7 のマス目である正方形の対角線に関する対称性もありますが，これもクリアします。
さらに，これらは，各タイプの■に対になっている残る数を入れれば実際に実現可能です，
そこで，
求める和 = 50 * 8 = 400，
になります。

最後は少し詳しく例示しましたが，規則性と対称性よりほとんど明らかでしょう。

ネコの住む家　　 10月2日（金） 16:04:00　　　　43751

今年から高齢者

#43749ベルク・カッツェさん、ありがとうございます。
最近（前から？）どうも理解や考えの整理に時間がかかって仕方がありません。
少し、じっくりとかんがえてみます。またなにかせいりが付けばよろしく！

　　 10月2日（金） 13:46:34　　　　43752

鯨鯢(Keigei)

#43747 今日から高齢者さん
#43743 のどちらにおいても、０,２の場所は絶対に残らない
と考えれば分かり易いかも知れません。

　　 10月3日（土） 0:38:40　　　　43753

ボーナス問題

呑み会続きで、返事が遅れました。また、酔った勢いで、同じものを投稿してしまったようで、重ね重ね申し訳有りません。

あめいさん (#43741)、uchiyan (#43751) さん、正解です。少し詰めが甘いようです。また、スモークマンさん (#43744) のような回答も予想はしていました :-)

単純化のため 4x4 マスで考えます。敷き詰める図形が正方形 3 個でできているので、
各マスを 3 色で色分けします。便利なように色を、3 で割った余りの数、0、1、2 で表します。

各マスの座標を (0, 0) から (3, 3) で表し、その X 座標と Y 座標の和を 3 で割った余りの数が、そのマスの色します。そして、それを 90 度回転させたものの 2 つで考えます。

　０１２０　｜　０２１０
　１２０１　｜　１０２１
　２０１２　｜　２１０２
　０１２０｜　０２１０

すると、0 が 6 個、1 と 2 はそれぞれ 5 個ずつ。また、1x3 の長方形をどのように置いても、その置かれた 3 マスには必ず 0、1、2 が含まれます。

なので、1x3 の長方形 5 個 (元の問題) を敷き詰めると必ず 0 のマスが残ります。左右の図で両方とも 0 になるのは、4 隅の 0 マスだけ。よって、これら 4 つのマスのいずれかを残すことができます。

今年から高齢者さん (#43747)。なぜ、両方で 0 になるマスだけかというと、もし、左図で四隅以外の 0 のマスが残るように長方形を敷き詰められたとして、その状態で 4x4 の正方形を 90 度回転させると、残りのマスが元の左図で 0 でないマスの上に来るので、矛盾するためです。

次にボーナス問題ですが、以下のように色分けの方法を少し変えます。

　０１２０
　０１２０
　０１２０
　０１２０

1x3 の長方形 4 個を置いた後の残ったマスの数字の数を考えます。すると、最後に残る 1 マスの数字は、その残った 4 マスの数字のいずれか。そして、残る数字の組み合わせは、以下の 4 通りのいずれか。

a) ある数字が 4 個。これを {400} と表記 (以下同様)
b) ある数字が 3 個、違う数字が 1 個ずつ {310}
c) ある数字が 2 個、残る数字が各 1 個ずつ {211}
d) ある 2 つの数字が 2 個ずつ {220}

ところで、かぎ形は、必ずある数字が 2 個、それとは違う数字が 1 個 {210}。かぎ形を置くと残りは、ある数字が 1 個 {100}。

このことから、a) の {400} はありえません (そもそも、縦 1 列の直線上になるのでかぎ形は置けない)。また、1x3 の長方形を縦に置けば、置かれたマスの数字は同じ数字 3 個。横に置けば、置かれたマスには必ず 0、1、2 が含まれます。なので、{400} となる時、残った数字は 0 でしかありえません。同様に、b) の {310} のパターンもありえませんが、最後の 1 マスとは直接関係しません。

となると、最後の 1 マスは、中央縦 2 列のどこか。対称性を考える (90 度回転させる) と、結果、中央の 2x2 の正方形だけとなり、最終的に残るマスは、その 4 マスのいずれかとなります。

しかし、7x7 の正方形の場合、かぎ形を含む 2x2 の正方形に最後の 1 マスが存在するとは限りません。例えば、以下。A がかぎ形、X が最後の 1 マス。

　ＡＢＢＢＣＣＣ
　ＡＡＤＤＤＸＥ
　ＦＦＦＧＧＧＥ
　ＨＨＨＩＩＩＥ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ

なので、4x4 では不十分です。そこで 7x7 の正方形で同様に考えると、

　０１２０１２０
　０１２０１２０
　０１２０１２０
　０１２０１２０
　０１２０１２０
　０１２０１２０
　０１２０１２０

15 の長方形を置いた残りのパターンは、やはり、上の a) ～ d) の 4 通り。そして、かぎ形のパターンも {210} になるので、0 の列が除外。対称性を考えると、田の字の空白の部分だけに、最後の 1 マスが残ることになります。

注意）残った 4 マスにある数字の数だけに注目しているので、長方形を置いた後、残った 4 マスが連続している必要はありません。

さて、問題は、本当に、そのように長方形とかぎ形を置けるかです。7x7 の正方形のある角から、4x4 の正方形を切り出した時、残りの 33 マスは必ず 1x3 の長方形ですべて覆いつくせます。なので、4x4 で考えた時、その中央の 2x2 の正方形にかぎ型を置くことができるので、最後の 1 マスは必ず田の字の空白部分に存在することになります。

おまけ。7x7 の正方形において、2 個以上のかぎ形を使用した場合、3 個の場合を除き、すべてのマスを最後の 1 マスすることができます。3 個の場合、1、4、7、22、28、43、46、49 の 8 ヶ所以外のマスを最後の 1 マスにできます。

　　 10月3日（土） 14:10:26　　　　43754

今年から高齢者

#43753鯨鯢(Keigei)さん。せっかく教えていただきながら、どうもスッキリと理解できません。
しばらく考えてみます。

　　 10月3日（土） 21:36:23　　　　43755

uchinyan

#43754
ボーナス問題さんへ
詳しい解説をありがとうございます。一応，理解できたと思います。
ただ．．．

＞あめいさん (#43741)、uchiyan (#43751) さん、正解です。少し詰めが甘いようです。
私の#43751は，必要条件で候補を絞り，それらが実際に可能か＝十分条件，を確認しているので，
論理的に必要十分のはずで，「少し詰めが甘いようです。」というご指摘がよく分かりません。
どこが問題なのでしょうか？ご指摘いただけると幸いです。
(「タイプ０と 10」ではタイプ０の位置は指定しておらず，実例で ■ = 10 だけを言及していますが，ここ？
でも，例は一つで十分なので，ここではないですよね。)

＞おまけ。7x7 の正方形において、2 個以上のかぎ形を使用した場合、3 個の場合を除き、すべてのマスを最後の 1 マスすることができます。3 個の場合、1、4、7、22、28、43、46、49 の 8 ヶ所以外のマスを最後の 1 マスにできます。
確かに，必要条件では，２個以上の場合はすべてが候補になるようです。
じかし，実現可能かがよく分かりません。特に，３個の場合の除外される８個が。
ここらはどう考えるのですか？

ネコの住む家　　 10月4日（日） 12:03:33　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43756

uchinyan

#43755
今年から高齢者さんへ，横から失礼して恐縮ですが．．．

私の#43736は表現も説明の仕方もかなり違いますが，鯨鯢(Keigei)さんの#43733と考え方は同じです。
読み比べて頂けたらご理解の一助になるかも知れません。

それと，より数学的表現に抵抗がなければ，かーちゃんさんの#43738も簡潔でスッキリしていると思います。
個人的には，純粋に解法という意味ではこちらの方が優れていると思います。

老婆心ながら。

ネコの住む家　　 10月4日（日） 12:04:38　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43757

ボーナス問題

uchinyan さん (#43756)へ

私が詰めが甘いと感じた理由は、私が #43754 で示した以下の解を十分説明できていないと思うからです。

　ＡＢＢＢＣＣＣ
　ＡＡＤＤＤＸＥ
　ＦＦＦＧＧＧＥ
　ＨＨＨＩＩＩＥ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ

この解にて、どのような『タイプｔとｎ <---> ..., 可』という表現になるのか、私には想像できませんでした。これを、単に「対称性から」と言われても納得できません。

もう一つ、

> また，図の対称性よりかぎ形の１つの向きが実現可能なら他の３つの向きも実現可能
４つの向きすべてがセットで実現可能です。　

上に示した例からすると、左上の隅にＬ字形のかぎ形を置くことできるので、それを時計回りに 90 度回転したかぎ形 (「の角が左上の角に一致) を置くと、1 マスを残して 15 個の 1x3 の長方形を置くことはできません。

つまり、uchinyan さんが #43751 で述べられた必要十分条件というのは、最終的に残る 1 マスは常にかぎ形を含む 2x2 の正方形の中にあるということのようにに感じます。

また、私の説明 (#43754) を「一応，理解できたと思います」とうことは、私の説明のどこかに納得できないところがあるということですよね？できれば、自分としても説明を端折ったところがあるので、判らない部分をご教示いただけないでしょうか？

また、「おまけ」の部分ですが、かぎ形 1 個以上は、プログラムで確認しました。正直なところ、かぎ形 1 個の場合も、たまたま #43754 で示した解を知っていただけで、問題を投稿した時点では自分でも答えやその証明を知りませんでした。ある意味、皆さんとの競争でした。

2 個以上の場合ですが、2 個の場合は、7x7 の正方形から、かぎ形 2 つでできる 2x3 の長方形をを切り取った形で考えれば、答えはほぼ自明かと思います。それ以外も、同様にできるかと思います。自分でも、3 個の時の答えは、予想外でした（なんで、真ん中は良いの？）。

　　 10月4日（日） 19:21:05　　　　43758

今年から高齢者

#43743, #43753鯨鯢(Keigei)さん、#43749ベルク・カッツェさん、#43757uchinaynさん　ありがとうございました。
マスの数を変えて、調べてみました。
3N+1行×3N+1列の場合は端から行・列方向に3つ毎に、
3N+2行×3N+2列の場合には、最左右・最上下から2行・2列ずつを除いて、3M+1行×3M+1列の形にしておいて。端から行・列方向に3つ毎の位置になるようです。
4×4は4隅、5×5は中央、8×8は左右から2列、上下から2行を除いて4×4と同じ位置などでしょうか？
この位置は、4隅のどこから番号付けしても中心から回転対称に余り1が現れる場所です。その他の余り1の場所では試行錯誤の範囲では、はめ込むことができませんでした。
状態はよく解ったのですが、特定の非対称の場所を除いたとしても、他に非対称の場所はいっぱいあるのでうまくかみ合う場合があってもいいと思うのですが、なぜうまくかみ合うことがないのかがいまだにしっくりときていません。
私自身、まだ余り1,2,0の意味するところがよくわかっていないということなのでしょう。
興味深い問題でした。

　　 10月5日（月） 8:37:45　　　　43759

ベルク・カッツェ

多分ここを誤解されていると思うのですが、これは「残せるマスを判別すす方法」ではありません。
「残すことができないマスを判別する方法」であり、分かる事実は「余り0、2となるマスを残すことができない」です。
重ねてみたときに余りが常に1になる場所については別の方法、たとえば3×3の正方形を4つ置いて隙間を3×1の長方形を埋めるなどで、実際に残せるマスを確認することで、答えが確定します。

もし見当違いだったらすみません。
また、間違ってる点があればご指摘頂けると幸いです。

　　 10月5日（月） 11:00:20　　　　43760

tsk

#43758
ボーナス問題さんへ、横から失礼いたします。

unityanさん(#43756)は「タイプ０の位置は指定しておらず」とのことなので、その解の場合「タイプ０と 13 」になると思われます。
そして、「図の対称性より～」の部分に関しては７×７全体での話であり、同じく時計回りに90度回転の例を用いますと、

　ＪＪＪＨＦＡＡ
　ＫＫＫＨＦＡＢ
　ＬＬＬＨＦＤＢ
　ＭＭＭＩＧＤＢ
　ＮＮＮＩＧＤＣ
　ＯＯＯＩＧＸＣ
　ＰＰＰＥＥＥＣ　（＝タイプ２と 41 ）

となることを示しているのではないかと自分は解釈しました。これであれば問題のない解答と思われます。（間違っていたらすみません。）

また、「おまけ」に関して、かぎ型 2～14 個の偶数の場合のみですが 49 マスすべてにおいて実現可能な例を見つけました。

　ＡＡＡＢＣＣＣ
　ＥＦＢＢＤＤＤ
　ＥＦ□□ＪＪＪ
　ＥＦ□□ＫＫＫ
　ＧＨＬＬＬＯＰ
　ＧＨＭＭＭＯＰ
　ＧＨＮＮＮＯＰ

この図で右下の５×５（□およびＪ～Ｐ）と全体の７×７をそれぞれ回転させることですべてのマスに□を移動させることができ、
２個目のかぎ型を２×２の□に入れることで 4 箇所のうち任意の場所を残せるのですべての箇所を最後の１マスにできます。
また、ＣＤ・ＥＦ・ＧＨ・ＪＫ・ＬＭ・ＯＰをそれぞれかぎ型２つに入れ替えることでかぎ型を 14 個まで増やせます。
（ちなみに、「7x7 の正方形から、かぎ形 2 つでできる 2x3 の長方形を切り取った形で考え」ても１×３の長方形 2 つとほぼ同じなので当初の問題と同じ９マスしか残せません。）

　　 10月5日（月） 14:23:33　　　　43761

uchinyan

#43758
ボーナス問題さんへ

うーむ，残念ながら完全に誤解なさっているようです。
もちろん，その原因は私の稚拙な説明にあるので自業自得なわけですが。
考え方の基本は#43736と同じなのでそれを端折ったのも一因かも知れません。
まず，復習しておきます。

7 * 7 の正方形に書かれた数 1 ～ 49 の総和は 1225 で 3 で割って 1 余る数です。
これに長方形をかぶせるとそのマス目の数の和は常に 3 で割って 0 余る数です。
そこで，残る４マスの数の和は 3 で割って 1 余る数になります。
これより，かぎ形の数の和を 3 で割った余り，かぎ形のタイプ，によって残る１マスは絞られます。
ここで注意して欲しいのは，かぎ形と残る数の関係は余りでしか結びついておらず，
それらの位置関係には余り以上の何らの制約がないことです。
これに，正方形の対称性により，ある配置と，左右，上下，対角線に対称な配置も許されますが，
得られる配置も余りの条件に従うので，さらに候補が絞られます。ここまでが必要条件です。
(回転対称は軸対称の合成で可能なので省略しています。)
そして，それらが実現可能か，という十分条件を示します。
これは実例を一つ示せばいいので，幾つかの可能な配置の１つに言及することになります。

さて，本題です。

　ＡＢＢＢＣＣＣ
　ＡＡＤＤＤＸＥ
　ＦＦＦＧＧＧＥ
　ＨＨＨＩＩＩＥ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ

この例自体は，かぎ形がタイプ０，X = 13，なので，タイプ０と 13，余りは 0 + 1 = 1，です。
そして，対称性により，次のセットが構成できます。少し詳しく書きます。
タイプ０と 13 <--左右対称--> タイプ１と 9，余りは 1 + 0 = 1，可，
タイプ０と 13 <--上下対称--> タイプ２と 41，余りは 2 + 2 = 4 -> 1，可，
タイプ０と 13 <--左右＋上下対称--> タイプ３と 37，余りは 0 + 1 = 1，可，
本当は対角線対称がありますが，同様に容易にチェックできるので詳細は省略しています。
タイプ０と 13 <--左上から右下--> タイプ３と 37，余りは 0 + 1 = 1，可，
タイプ０と 13 <--右上から左下--> タイプ１と 13，余りは 0 + 1 = 1，可，
実際には，対角線対称で現れるものは，上下，左右，その組み合わせ，から現れるので不要です。

＞> また，図の対称性よりかぎ形の１つの向きが実現可能なら他の３つの向きも実現可能
＞４つの向きすべてがセットで実現可能です。　
上記の意味での１セットです。

＞上に示した例からすると、左上の隅にＬ字形のかぎ形を置くことできるので、
＞それを時計回りに 90 度回転したかぎ形 (「の角が左上の角に一致) を置くと、
＞1 マスを残して 15 個の 1x3 の長方形を置くことはできません。
これはおっしゃっている意味がいまひとつ伝わってこないのですが，
□□ の意味ならば，これはタイプ２で余り 2 なので 13 と組ませるのは無理です。
□■
この場合は，3 で割って 2 余る数と組むことになりますが，
これは必要条件に過ぎないので，実現可能かはまた別の話です。
ちょっと考えた範囲では，17，20，38，41 が候補ですが，長方形の置き方からして無理そう？
なお，上記の，
タイプ０と 13 <--上下対称--> タイプ２と 41，余りは 2 + 2 = 4 -> 1，可，
は，かぎ形の位置がご指摘，と思われる，位置とは違うので実現可能です。
つまり，セットの意味を完全に誤解なさっています。

＞つまり、uchinyan さんが #43751 で述べられた必要十分条件というのは、
＞最終的に残る 1 マスは常にかぎ形を含む 2x2 の正方形の中にあるということのようにに感じます。
というわけで，これは明らかに間違いです。私の解法はもっと一般的です。

＞また、私の説明 (#43754) を「一応，理解できたと思います」とうことは、
＞私の説明のどこかに納得できないところがあるということですよね？
＞できれば、自分としても説明を端折ったところがあるので、判らない部分をご教示いただけないでしょうか？
それなりに解釈してしまったのですが，そうおっしゃるなら。

まず，[400]，[310]，[211]，[220]，の記号の意味です。
例えば，０が４つで [400] ですが，１が４つでも２が４つでも [400] ですよね？
０と１又は２は個数が違うのですがいいのかな，と。でも，これは本質的ではなさそうです。
ただ，そう思ってしまうと，．．．
＞このことから、a) の {400} はありえません (そもそも、縦 1 列の直線上になるのでかぎ形は置けない)。
＞また、1x3 の長方形＞を縦に置けば、置かれたマスの数字は同じ数字 3 個。
＞横に置けば、置かれたマスには必ず 0、1、2 が含まれます。なので、
＞{400} となる時、残った数字は 0 でしかありえません。
ここまではOK。しかし，
＞同様に、b) の {310} のパターンもありえませんが、最後の 1 マスとは直接関係しません。
[310] のパターンはあるような気がします。例えば，２が３つで０が１つ。

　０１２０
　０１２０
　０１２０
　０１２０

　ＢＣＡＡ
　ＢＣＡＥ
　ＢＣＸＥ
　ＤＤＤＥ

これで記号の意味が分からなくなりました。まぁ，本筋ではないので無視して 7 * 7 に進むと，

＞15 の長方形を置いた残りのパターンは、やはり、上の a) ～ d) の 4 通り。
＞そして、かぎ形のパターンも {210} になるので、0 の列が除外。
「0 の列が除外」の理由がよく分かりません。先ほどの例，

　ＡＢＢＢＣＣＣ
　ＡＡＤＤＤＸＥ
　ＦＦＦＧＧＧＥ
　ＨＨＨＩＩＩＥ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ

多分このようにＸは０の列には来ない，ということでしょうが，ピンときません。
これは，０が２つ，１が１つ，２が１つ，の [211]，全体を 90°回転すれば [310]，もあります。
これらを使って議論するのでしょうか？

＞対称性を考えると、田の字の空白の部分だけに、最後の 1 マスが残ることになります。
これは結局は正しいのですが，さすがに端折り過ぎと思われ議論の流れが見えてきません。
最初に余りの話があるので，多分，それと絡めるのだろうと，勝手に解釈しました。
ここらは重要なので，折角導入した記号も使ってもう少しかみ砕いて欲しいです。

＞注意）残った 4 マスにある数字の数だけに注目しているので、長方形を置いた後、残った 4 マスが連続している必要はありません。
これは当然ですね。
おまけは，最後はプログラムなのですね。実現可能かを調べるにはこれしかないのかな。
らだ．．．
＞2 個の場合は、7x7 の正方形から、かぎ形 2 つでできる 2x3 の長方形をを切り取った形で考えれば、
＞答えはほぼ自明かと思います。
これはそうでもないと思いますよ。かぎ形が２個で 2 が残る１マスの場合を考えてみてください。

なお，必要条件だけですが，実は，ボーナス問題の場合も，かーちゃんさんの#43738の手法は有力で見通しもいいです。
既にかなり長くなってしまったので省略しますが，ご興味がある方は考えてみてください。

ネコの住む家　　 10月5日（月） 15:07:42　　　　43762

uchinyan

#43761
tskさん，考察をありがとうございます。

私の#43756の解釈は，対称は軸対称をベースにしましたが，結局は同じになるので，その通りです。
ご理解いただけてうれしいです ^o^

なるほど，面白い例を見つけられましたね。何か感激！

ネコの住む家　　 10月5日（月） 15:33:45　　　　43763

ボーナス問題

tsk さん (#43761) と uchinyanさん(#43756) へ。

tsk さん、「タイプ０と 13 」、その通りだと思います。なので、私の #43758 の「想像できませんでした」の部分は撤回。

そして、uchinyan さんには謝罪を致します。

ただ、「詰めが甘い」部分に関しては悪あがきととられてもしかたありませんが、uchinyan さんは可能性だけを示しただけで、実際にそれが実現できるか (つまり、かぎ形以外の長方形をすべて配置できるか) を説明されていないと思っています（これが、「詰めが甘い」と思った一番の理由です）。

そして、私の #43754 でも説明を端折ったところもあるので (例えば、{400} がダメなので 0 が全滅は正しくなく、{211} と {220} も含めて 0 が全滅になる）、私も責めを負って良いのかもしれません。

また、tsk さんには、すでに uchinyan さんが #43763 で発言されていますが、偶数のパターンには同様に感激しています。

ちゃんと間違いを示してくれる皆さまには感謝です。

　　 10月5日（月） 16:57:54　　　　43764

ボーナス問題

　　 10月5日（月） 18:34:48　　　　43765

tsk

uchinyanさん(#43762,#43763)、ボーナス問題さん(#43764)へ
解釈の相違が解消されたようでなによりです。自身の解釈も間違ってなかったようで安心しました。

また、おまけに関して、お褒めいただきありがとうございます。
奇数のパターンも見つけてきました。以下の図で偶数パターン(#43761)とほぼ同じ操作をします。
まずはかぎ型３個の場合。

　Ａ□□Ｂ
　Ａ□□Ｂ
　ＡＣＤＢ
　ＣＣＤＤ

Ｌ字部分は３×４と７×３の形なので省略、これで 40 マス埋まります。そして、

　ＡＡＡＢＣＣＣ
　ＥＦＢＢＤＤＤ
　ＥＦＫＫＫＪＩ
　ＥＦＬＸＭＪＩ
　ＧＨＬＭＭＪＩ
　ＧＨＬＮＯＯＯ
　ＧＨＮＮＰＰＰ

これで中央マスが埋まり、あとは残り８マスの不可能証明なのですが……自分は諦めたのでどなたかお願いします。m(_ _)m

そして５個以上の奇数の場合ですが、

　□□ＡＡ
　□□ＢＡ
　ＣＢＢＤ
　ＣＣＤＤ

これだけで 15 個まですべて証明できます。気付いてみればあっさりでした。

さて、これでかぎ型 16 個以外の実現可能な例が揃ったことになりますが、こちらはあえて残しておくことにします。
皆さんで綺麗なパターンが無いか探してみてください。

　　 10月5日（月） 22:23:58　　　　43766

ボーナス問題

uchinyan さん (#43762)、わざわざ丁寧な説明ありがとうございます。tsk さん (#43761) の指摘で、私の思い込み違いの誤解だったことが判ったので、申し訳ない限りです。

さて、私の #43754 についてですが、ほぼ思った通りところが指摘されているかと思います。ただ、お互い自分の主張 (誤解も含めて) があると思うので、なるべくまぎれのないように説明したいと思います。

> 例えば，０が４つで [400] ですが，１が４つでも２が４つでも [400] ですよね？

はい、表記上はそうです。が、残りの 4 マスを考えた時には、4 個となるのは○だけに限られます。この事実から、{400} で
0 が 4 個と、誤解されてしまうのは、私の表現のまずさだと痛感しています。

> [310] のパターンはあるような気がします。例えば，２が３つで０が１つ。

これも、その通りで、「{310}、{211}、{220} を含めて」と書くべきでした。そして、uchinyan さんも指摘されているように、ここが大きく説明を端折ったところです。

> 「0 の列が除外」の理由がよく分かりません。先ほどの例，

もう少しまぎれのない方法で、説明をしてみます。

最終的に残る 1 マスを、4x4 の正方形で考えます。その正方形の各マスに、記号○、△、□のいずれかを以下のパターンで書き入れた盤面で考えます。

　○△□○
　○△□○
　○△□○
　○△□○

記号 ○の個数は全部で 8 個。△、□の個数は、それぞれ 4 個ずつあることになります。

この盤面に 1x3 の長方形を 4 個置いた時、残るのは 4 マスです。そして、その残った 4 マスにかぎ形が置けるのなら、その 4 マスのいずれかが最後に残る 1 マスになります。

ここで、1x3 の長方形 1 個が覆う 3 マスの記号の個数を考えると、縦に置いた場合、同じ記号が 3 個。横に置いた場合、あい異なる記号が 3 個 (つまり、 ○、△、□が 1 個ずつ)。

このことから、長方形をいくつか配置した時、覆われている記号○、△、□の個数を、それぞれ a、b、c とすると、以下の関係が成り立ちます。

　a ≡b ≡c (mod 3)

まだ長方形が置かれていないマスにある記号○、△、□の個数を、それぞれ p、q、r とすると、上の合同式と盤面全体に書かれている記号の個数から、以下の関係が成り立つことが判ります。

　p+2 ≡q ≡r (mod 3)

ここで、以降の説明のため、ある記号が x 個、それ以外の 2 つの記号がそれぞれ y 個と z 個あることを示す表現 {xyz} を導入します。この表現においては、x、y、z がそれぞれどの記号の個数であるかは特定していません。

この表現を使用すると1x3 の長方形が覆う記号の個数は、{300} (縦) と {111} (横) と表現されます。

同様に、かぎ形はどのような向きに置いても、{210} となり、最後の 1 マスは {100} となります。そして、盤面全体では {844} で、8 個なのは○です。

盤面に 1x3 の長方形を 4 個置いた時、残った 4 マスは、{400}、{310}、{211}、{220} のいずれかになります。そして、上の 2 番目の合同式とかぎ形が {210} であることを考慮すると、以下のことが導かれます。

{400} の時、合同式から 4 個なのは○と特定できる。しかし、かぎ形が {210} であることから、かぎ形を置くことができない。

{310} の時、合同式から 1 個なのは○と特定できる。そして、かぎ形が {210} であることから、かぎ形を置けるなら必ず○を覆う。よって、最後の 1 マスの記号は○ではない。

{211} の時、合同式より 2 個あるのは○特定できる。そして、かぎ形は {210} であることから、かぎ形を置けるなら必ず 2 個の○を覆う。よって、最後の 1 マスの記号は○ではない。

{220} の時、合同式から 0 個なのは○と特定できる。よって、かぎ形を置けるならば、最後の 1 マスの記号は○ではない。

以上から、残った 4 マスにかぎ形を置けるすべての場合について、記号○と書かれたマスが、最後に残る 1 マスにはならないことが判ります。そして記号の書かれた盤面を 90 度回転させたもので考えると、最後に残る 1 マスは中央の 2x2 の正方形のいずれかのマスになることが判ります。

ここまで最後に残る 1 マスが存在しうる記号について可能性だけを述べてきたので、実際に長方形とかぎ形を隙間なく、敷き詰めることが実現可能であることを示す必要があります。

実際試してみると、長方形 4 個を口の字形に配置すると、中央の 2x2 の正方形を残すことができる。また、この 2x2 の正方形の中に、すべての向きのかぎ形を置くことができ、2x2 の正方形の 4 マスすべてを、最後の 1 マスにすることができます。

よって、最後の 1 マスは、中央の 2x2 の正方形に含まれる 4 マスになることになります。

7x7 の正方形の場合も、合同式も含めて上の議論が成り立ちますので、最後の 1 マスが存在する可能性があるマスは、田の字の空白部分にある 4 つの 2x2 の正方形に含まれることが判ります。

ただ、それが本当に実現可能かを、そのまま試すのは骨が折れるので、少し工夫をします。

7x7 の四隅の 1 つから、4x4 の正方形を切り出します。すると、残った図形には 11 個の長方形を隙間なく敷き詰められることが容易に判ります。一方、4x4 の正方形においては、4 個の長方形と 1 個のかぎ形を敷き詰めることができ、その中央の2x2 の正方形に含まれるすべてのマスを最後の 1 マスにすることが可能です。これを四隅のすべてで試せば、田の字の空白部分にある 4 つの 2x2 の正方形に含まれるいずれかのマスを最後の1 マスにすることができます。

2 個以上のかぎ形では、上の手法では場合分けが爆発的に増えて、実用的ではないかと思います。

比較的新しい分野なのですが、Analytic Combinatorics (該当する日本語は良くわかりません) というものがあります。爆発的に増える場合分けを、多項式と複素数を多用してスマートに処理する手法のようです。これについては、別途、書きます。

　　 10月6日（火） 6:12:55　　　　43767

uchinyan

#43764，#43767
ボーナス問題さんへ

ご理解いただけたようでよかったです。
また，詰めが甘い，の意味も理解しました。

これは私の問題文の理解もあるのですが，元の問題と同じで，残せる１マスを求める問題と理解し，
具体的な配置までは詳細に調べる問題とは認識していませんでした。
したがって，私の追求した必要十分は残せる１マスを同定するのに必要十分なだけでしかありません。
そこらにも認識のズレがあったと思います。
具体的な配置をすべて求めるとなると，なかなか大変な問題になりそうです。

いずれにせよ，面白い問題をありがとうございました。
行き違いはあったとはいえ，いろいろと議論ができてよかったです。
算チャレはマサルさんが出題される問題自体興味深いものが多いのですが，
まずそれを解くこと，そして解けた後も掲示板で皆さんの解法を見ること，それらや何らかの発展を議論すること，など，
楽しいこと，勉強になること，がたくさんあります。
まずはこういう場を提供してくださるマサルさんに感謝，そして参加し議論する皆さんに感謝，です。

また，#43767で詳しい追加の解説をありがとうございます。
残念ながら時間が取れずにまだ読めていないのですが，後でじっくりと読ませてください。

#43766
tskさんへ

また面白そうな具体例を見つけられましたね。
こちらもまだ読めていないのですが，後でじっくりと読ませていただきます。

皆さん，これからも宜しくお願い致します。

ネコの住む家　　 10月6日（火） 15:07:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43768

ボーナス問題

まず、tsk さん (#43766) へ。

万能パターン的なもの見つけられた洞察力に敬服します。

次に uchinyan さん (#43768) へ。

> 具体的な配置までは詳細に調べる問題とは認識していませんでした

私自身も、具体的な配置を詳細に調べる問題とは認識していません。なぜなら、uchinyan さんも仰るように、全ての解を求めるのは結構大変なので。

くどいと言われるかもしれませんが、もう少々お付き合いを。

私が拘った理由をもう少し説明します。かぎ形は、長方形とは異なり、最初から置けないところが存在します。私が最初に使った以下の図を見てください。

　０１２０
　１２０１
　２０１２
　０１２０

この図では、0 が 6 個、1 と 2 が 5 個ずつ。長方形は必ず 0、1、2 の 3 つの数字を覆います。このため、最初にかぎ形を 0 でない 2 つの同じ数字を覆うように置いてしまうと、長方形 4 個を配置することが不可能になります。

対称性 (図を 90 度回転) を考えると、この制約は思ったより厳しいものになることがわかるかと思います。

蛇足ですが、私が長方形だけの場合にこの図を使用したのは、かぎ形を配置できない場所があることへのヒントでもありました。

uchinyan さんが利用された余りの数字の関係では置けないかぎ形を排除できていないと思います。なので、「タイプｔとｎ …可」というのは、「タイプｔのかぎ形 1 個と長方形 15 個を置けた場合には、ｎを最後に残る 1 マスにすることは可能」と言っているに過ぎないと理解したためです。

このため、実際にそのような配置が可能であるかを検証する必要があると思った次第です。

私の解法でも同じで、置けたとしたら、あるマスが最後の 1 マスにならないことを言及しているだけなので、検証が必要です。

検証自体は、4x4 の場合から、ほぼ自明に近いので、単に割愛しただけとは思いましたが、あえて再度「詰めが甘い」と言わせて頂きました。

これも蛇足ですが、そもそもの私の誤解は uchinyan さんに非があるのではなく、私が例に示した解が「タイプ０と 12」になると勘違いしたためです (1 からではなく、0 から数えてしまった)。そのために混乱してしまい、ご迷惑をおかけしてしまったことを重ねてお詫び致します。

こちらこそ、uchinyan さん、tsk さんを始め、お付き合い頂いた皆さんありがとうございました。お陰様で楽しい時間を過ごすことができました。

ここからは算数の範囲から大きく逸脱しますが、先日触れた Analytic Combinatorics の手法を用いて、4x4 の正方形において 1x3 の長方形 5 個を敷き詰めた場合の残りの 1 マスを考えます。

まず、各マスに (0, 0) から (3, 3) の座標を振ります。ここでは、左下が (0, 0)、右下が (0, 3)、右上が (3, 3) になるようにします。

次に以下の多項式を考えます。

式 1) f(u, v) = (1 + u + u^2 + u^3) * (1 + v + v^2 + v^3)

この多項式を展開して得られる u^x*v^y の数は 16 となり、この (x, y) がマスの座標を表します (1 は、u^0*v^0 として表す)。

以降、u^x*v^y を {x,y} と表すことにします。

長方形を縦に置いた場合

{x,y} + {x,y+1} + {x,y+2} = {x,y} * ({0,0} + {0,1} + {0,2})
= {x,y} * (1 + v + v^2)

横に置いた場合、同様に、

{x,y} + {x+1,y) + {x+2,y} = {x,y} * (1 + u + u^2)

すると、最初の多項式は、

式 2) f(u,v) = (1 + u + u^2) * g(u,v) + (1 + v + v^2) * h(u,v) + {x,y}

と表せます。ここで、g と h は、u と v の多項式を値とする関数です。そして、最後の {x,y} が、最後に残る 1 マスの座標を表します。

次に w を、次の方程式の解とします (w は、1 の三乗根)。

　1 + w + w^2 = 0

この w をそれぞれ、式 1 と式 2 に与えます

f(w,w) = (w^3) * (w^3) = 1

f(w,w) = w^(x+y)

なので、

x + y ≡0 (mod 3)

同様に、w^2 と w を 2 つの式に与えます

f(w^2,w) = 1

f(w^2,w) = w^(2*x+y)

なので

2*x + y = 0 (mod 3)

この 2 つの合同式から、

x ≡0 (mod 3)

が得られて、x は 0 か 3。そして、y も 0 か 3 と判ります。

なので、最後に残るマスの座標は、(0,0)、(0,3)、(3,0)、(3,3) の 4 つ。

7x7 も同様にして、やはり同じ合同式が得られるので、x は、0、3、6 のいずれか。そして、y も 0、3、6 のいずれかと判ります。

また、NxN の場合、

N ≡1 (mod 3) であれば、式 1 が変わるだけで、得られる 2 つの合同式は 4x4 と同じものなので、残せるマスの座標は、常に x ≡y ≡0 (mod 3)。

N ≡2 (mod 3) であれば、得られる 2 つの合同式が、

x + y ≡1 (mod 3)
2*x + y ≡0 (mod 3)

となるので、残せるマスの座標は、常に x ≡y ≡2 (mod 2)。

これは、今年から高齢者さんが #43759 した予想とも一致します。

このように、Analytic Combinarorics のすごいところは、上の式 1 と 2 を上手に選べば、1 の羃乗根の性質を使って、すべての場合を求めることが一瞬でできてしまうことです。

トリッキーなところが多々ありますが、これをキチンと説明するには複素解析の領域に踏み込まないといけないので、ここでは割愛させて頂きます (というよりは、私自身がこの手法を完全に理解していないので、説明する自信がないのです)。単に、このような解法もあるのだと理解して下さい。

　　 10月7日（水） 7:17:20　　　　43769

ボーナス問題

今年から高齢者さんへ (#43759)。私も横から失礼します。

> 状態はよく解ったのですが、特定の非対称の場所を除いたとしても、
> 他に非対称の場所はいっぱいあるのでうまくかみ合う場合があって
> もいいと思うのですが、なぜうまくかみ合うことがないのかがいま
> だにしっくりときていません。

なぜかというと、3N+1行×3N+1列の場合は、すべて 4x4 に。
3N+2行×3N+2列の場合は、すべて 5x5 に帰着するからです。

例えば、7x7 は、四隅の一つから 4x4 を切り出すと、
切り取られた後の図形は、長方形ですべて覆うことができます。
その状態では 4x4 にて残せるマスしか、7x7 で残せるマスに
なりえません。

これを、四隅すべてについて考えると、7x7 の全てのマスを
チェックしたことになり、位置が回転対称になることが判ります。
同様に 10x10 の場合も、7x7 を切り出せば、同様のことが言えます。

8x8 の場合も、5x5 を切り出して考えれば同様になります。

また、残せる場所についての予想も正しいです。

NxN の正方形の各マスのX-Y 座標を、
左下が (0,0)、右上が (N-1,N-1) となるようにとると、

N ≡ 1 (mod 3) の時、
残せるマスの座標 (x,y) は、 x ≡ y ≡ 0 (mod 3)
N ≡ 2 (mod 3) の時は、x ≡ y ≡ 2 (mod 3) となります。

これからも、常に一定の回転対称のパターンになることが判ります。

もし、興味があれば、この証明が、私の #43769 の後半にあります
ので、ご覧ください (場合によっては、一層混乱するかもしれません。
その場合の責任は取りかねますので予めご了承ください)。

あと、余談ですが、私が大昔家庭教師をしていた時に、
AND をとる意味を理解できない生徒が多々いました。

その時には、背理法を使った次のような説明をしていました。

あるパターンがマスに書き込まれた正方形の上に
長方形を置いていき全部の長方形を最後の 1 マスを
残して置けたとします。

この後、下にあるパターンが書き込まれた正方形だけを
90 度回転させます。

この時の最後の 1 マスが、パターンが書かれた正方形で
置けないマスに移動したなら、矛盾します。

なので、回転 (あるいは、反転) したものとの共通点になります。

実際には、透明な下敷きかビニールに残せそうな場所のマスだけに
印を付けさせて、実演させるのが効果てきめんでした。

また、同時になぜ 180 度や 270 度回転させたものを調べ
なくても良いかの説明にもなり、一石二鳥でした。

　　 10月7日（水） 9:24:38　　　　43770

今年から高齢者

#43760ベルク・カッツェさん、#43770ボーナス問題さん、ありがとうございます。
4×4、5×5、8×8、10×10、11×11とやってきて、4×4、5×5に帰着することから何かあるのではというところまで来ましたが、その先がわかりませんでした。まだ理解できていないところもありますので、よく読ませていただきます。

　　 10月7日（水） 11:41:59　　　　43771

uchinyan

ボーナス問題さんへ

いろいろな考察をありがとうございます。
特に後半の議論は面白そうなので後でじっくりと読み勉強させてください。

なお，私の解法に関しては．．．

＞uchinyan さんが利用された余りの数字の関係では置けないかぎ形を排除できていないと思います。
＞なので、「タイプｔとｎ …可」というのは、
＞「タイプｔのかぎ形 1 個と長方形 15 個を置けた場合には、ｎを最後に残る 1 マスにすることは可能」
＞と言っているに過ぎないと理解したためです。
はい，これはおっしゃる通りで，必要条件に過ぎません。

＞このため、実際にそのような配置が可能であるかを検証する必要があると思った次第です。
はい，これもおっしゃる通りで，この十分条件のチェックが必要です。
ただ，ここで問題への考え方に違いがあって齟齬が生まれたと認識しています。
ここらは次のように集合の手法で説明するのがいいかも知れません。

実現可能な配置の集合を A，対称性も含めた余りの条件を満たす配置の集合を B，タイプ０と 13 の配置の集合を C，とします。
もちろん，A は B に含まれ，C も B に含まれます。ここまでが必要条件です。
しかし，これだけでは A と C の関係は分かりません。ここからが問題の十分条件です。
私は残せる１マスを同定することを目指したので，A と C の共通部分が空かどうかだけを判定しました。
空でなければ 13 が残せるからです。そして空かどうかは要素＝実例が１つでもあるかを示せば十分です。
私の言う十分条件はこの意味で，分かりやすい 2 * 2 の正方形にかぎ形と 13 がある例に言及しました。
こうした論理の流れで，詰めが甘い，というご批判には抵抗がありました。

ただ，2 * 2 の正方形にかぎ形と 13 が入らない例に言及する方がよかったのかも知れません。
また，おっしゃるように，C には A に含まれないものもあるので，それらを考察せず言及すらしなかったのは，
詰めが甘い，とご批判を受けても致し方ないかな，と反省もしております。

．．．

ここで，ちょっと時間が取れたので，後半の Analytic Combinarorics というのを見てみました。

＞N ≡2 (mod 3) であれば、得られる 2 つの合同式が、
＞　x + y ≡1 (mod 3)
＞　2*x + y ≡0 (mod 3)
＞となるので、残せるマスの座標は、常に x ≡y ≡2 (mod 2)。
最後は mod 3 ですね。

確かに，面白いし，すごい！，です。

ただ，同じ結果は，かーちゃんさんの#43738，でも特に道具立てなしに導けるようです。
(座標の入れ方が 1 だけズレているので要注意。)

多分，Analytic Combinarorics の方がより高度な発展があるのでしょうね。

ネコの住む家　　 10月8日（木） 11:14:14　　　　43772

物理好き

遅くなりました
100n+25総ぶつけです。

大阪　　 10月8日（木） 0:02:14　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:Math Labyrinth 第8回更新！　　43773

物理好き

試そうとも思いましたが総ぶつけの方が早い
と思い強行手段...

大阪　　 10月8日（木） 0:04:40　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:Math Labyrinth 第9回更新！　　43774

あめい

今回は休みか～と、何となくの習慣でこちらを見てみたら議論が発展していて（読んでみたのですが残念ながらほとんど理解できず・・・）、こうした議論を引き出すのは元の問題がいいのだろうとマサルさんにあらためて感謝、です。
ボーナス問題さんの問題への解答で私の名前も出していただいたので（４×４マスを調べるという単純な、全く論理的ではない方法）、みなさんの議論の中に含まれていたのかもわかっていないのですが、７×７マスを下図のようにおくと
ＡＡＡＡＢＢＢ
ＡＡＡＡＢＢＢ
ＡＡＡＡＢＢＢ
ＡＡＡＡＢＢＢ
ＢＢＢＢＢＢＢ
ＢＢＢＢＢＢＢ
ＢＢＢＢＢＢＢ
空白の１マスがどこにあっても回転させればＡの４×４マスに入り、Ｂの部分は１×３マスでカバーできるので、Ａの４×４マスさえ調べればいいと考えました（このあたり、必要十分とかあいまいですが）。

お馬崎　　 10月8日（木） 6:01:43　　　　43775

Mr.ダンディ

今週は出題なしということで、とあるところで見かけた問題を紹介します。
（場合分けが面倒になったので、よりスマートな解法はないものかと思っています）

【問題】３つのサイコロA,B,Cを振ったとき、目の積が12の倍数になる場合の数を求めて下さい。

　　 10月8日（木） 11:35:56　　　　43776

uchinyan

#43775
あめいさんへ
多分，基本的な考え方は，ボーナス問題さんと同じだと思います。

#43776
Mr.ダンディさん
答えは 91 通りかな。
コツコツ場合分けして数えれば難しくはないですが，確かにスッキリと解けそうにないなぁ。
うーむ。

ネコの住む家　　 10月8日（木） 12:39:53　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43777

Jママ

#43776
Mr.ダンディさん
結局スッキリいかなかったのですがuchinyanさんと答えが同じになったので解法を記します

12の倍数になるには(1)1つのサイコロの目が6、
(2)1つのサイコロの目が3になると考えました。
(1)残り2つの少なくとも1つの目が偶数であればよい
6×6-3×3=27
6の目はA,B,C３通りなりうるので27×3=81
そこから(6,6,6)の重複分2と
(6,6,a)(a=1to5)の重複分3×5=15を引くと
81-2-15=64通り
(2)(3,4,a)(a=1to6)の場合から(3,3,4)(4,4,3)の重複分を引くと
6×6-2×3=30
次に4が入らない場合残りの目は必ず2か6になるので
(3,2,6)=6、(3,a,a)=3×2=6(a=2,6)
よって30+6+6=42通り
(3)6も3も入る重複分を引くと
(3,4,6)=6、(3,2,6)=6、(3,6,6)=3　より
(1)+(2)-(3)=64+42-6-6-3=91通り
とはなりましたが…スマートなのは分かりませんでした

　　 10月8日（木） 13:54:08　　　　43778

あめい

#43776
Mr.ダンディさん
私も９１になりました。
１辺１の立方体が縦横高さ６つずつ積み重なった立方体をイメージし、１段目が１２、６，４，３，２の倍数のマスはそれぞれ６，３，２，１，１個の１２の倍数が乗っていると考えたのですが、・・・・・・全くの場合分けでした。

　　 10月8日（木） 17:40:23　　　　43779

スモークマン

#43776
Mr.ダンディさん
みなさんの91が...
6^3-5^3=91
なので...
意味付けを考えてみましたがわかりません…^^;;
たまたまなんでしょうかしらん?...

金即是空 ^^;v　　 10月8日（木） 19:17:51　　　　43780

今年から高齢者

#43776 Mr.ダンディさん
茶化すようですみません。色々な場合分けも試してみましたが、場合分けを考えているだけで時間がたってしまい、結局、総当たり戦が最も早かった。縦横１～６の３６マス（対称なので必要なのは２１マス）に要求似合う１～６の数を書き込んで数えた。

#43770ボーナス問題さん
しつこいようで申し訳ありませんが、やはりうまく理解できません。
＞なぜかというと、3N+1行×3N+1列の場合は、すべて 4x4 に。
＞3N+2行×3N+2列の場合は、すべて 5x5 に帰着するからです。
＞例えば、7x7 は、四隅の一つから 4x4 を切り出すと、
＞切り取られた後の図形は、長方形ですべて覆うことができます。
＞その状態では 4x4 にて残せるマスしか、7x7 で残せるマスになりえません。
この方法は十分条件ではあるかも知れませんが、必要十分条件といえるかどうか？
１つの現れは８×８です、隅から５×５を切り出して考えることももできますし、両側から２マスずつとって中央の４×４と考えることも出来ます。結果は同じになるので、何らかの関係があるとは思いますが、その因果関係の証明のわからところがしっくり来ない一部分です。
Give-Up!

　　 10月8日（木） 20:30:17　　　　43781

スモークマン

#43776 Mr.ダンディさん
大ウソでした ^^;;
以下に訂正...

最低２箱必要...
12=2^2*3=2*2*3 or 2*6 or 4*3
223が3通り
26xは262が3通り、266が３通り、26(1,3,4,5)が4*6通り=30通り
433,434が2*3=6通り、43(1,2,5,6)が4*6=24通り=30通り

24=4*6
464,466, 46(1,5)=3+3+2*6=18通り

36=6*6
666,66(1,3,5)=1+3*3=10通り
合計=3+30+30+18+10=91

でしたのね?… Orz～
計算間違いしそうで(したけど…)ややこしや...

金即是空 ^^;v　　 10月8日（木） 21:15:30　　　　43782

Mr.ダンディ

uchinyanさん、Jママさん、あめいさん、今年から高齢者さん、スモークマンさん　取り組んでいただき有り難うございます。
これから、みなさんの解法をゆっり読ましていただきたいと思いますが、とりあえず、私の解法も書き込んでおきます。
--------------------------------------
①　6が3個のとき・・・・・・(6,6,6)の1通り
②　6が2個のとき・・・・{6,6,●}（●:1～5）の並べ替え.....5*3＝15（通り）
③　6が　1個のとき・・・6のサイコロは3通り
他の2個は 1～5で、少なくとも1つは　2or4 ....5^2－3＾2＝16（通り）
計　3*16＝48（通り）
④　6が0個の場合
{3,3,4}{3,4,4}{3,2,2}を並べかえたもの　......3*3＝9（通り）
{3,4,▲}(▲：1,2,5）を並べ替えたもの　.......3*3!＝18（通り）
計　27通り

①～④より　1+15+48+27＝91（通り）
（この解法で精一杯でした）

　　 10月8日（木） 20:38:36　　　　43783

ボーナス問題

少し遅くなりましたが、uchinyan さん (#43772)、
あめいさん (#43775)、今年から高齢者さん (#43781) への返答です。

その前に、前置きがあります。

マサルさんの元の問題 (第９４７回) を、多くの皆さんが、余りを書
き込んだ正方形で答えを導き出しているかと思います。が、どなたも
実際に実現可能かに触れていないように見えます。

uchinyan さんは、私の問題に対しては、初めに可能性を示し、それが
実現可能であることを示そうとしています。

なのに、なぜ、皆さん、元の問題では、それをしてないのでしょう ?
どなたか、分かりやすく説明して頂けませんか ?

なお、私は、実現可能であることを示すには、実際に置ける例を示す
以外の方法が分かりませんでした。もっとスマートな方法があるの
でしょうか ?

ここまでが、前置きです。

最初に、uchinyan さんの #43772 に対する、私の返答です。

> ただ，ここで問題への考え方に違いがあって齟齬が生まれたと認識しています。

ケンカを売るようで申し訳ないのですが、私は、問題への考え方に
対する齟齬は無いと認識しています。

考え方こそ違え、私と uchinyan さんの解法は、最初に可能性を示し、
それが可能であることを示そうと試みています。

唯一の違いは、uchinyan はストレートに残せるマスを探したのに対し、
私は残せないマスを探したところです。

この点で、私の解法より uchinyan さんの解法が優れているいると、
私は感じています。

齟齬があるとしたら、別のところにあると思います。それを、説明さ
せて頂きたいと思います。

> ここらは次のように集合の手法で説明するのがいいかも知れません。

集合についての議論自体には、特に異論はありませんし、私の検証でも
同様な手法を使っています (後述参照)。

最初、私のとんでもない誤解があったので、わざわざ、お手間をとらせ
てしまったのではないかと、恐縮しています。

ただ、私が引っかかったの以下の部分。

> 私の言う十分条件はこの意味で，分かりやすい 2 * 2 の正方形にかぎ形
> と 13 がある例に言及しました。

この部分、意図は十分理解できます。元の #43751 でも同様です。が、

> こうした論理の流れで，詰めが甘い，というご批判には抵抗がありました。

お言葉を返すようなのですが、定義より、このパターンが「タイプ０と 13」
の集合Ｃに属することは明らかです。が、これが実現可能な集合Ａに含ま
れるかどうかの説明は、これまでなかったように思います。

これをもう少し説明すると、unchinya さんが、どのようにして 7x7 の正
方形において 1x3 の長方形を 15 個置いて、条件に合致する 2x2 の正方
形を残すことができると判断したのかが、私には理解できないのです。

もっとも、7x7 の四隅の一つの 4x4 の正方形と残り部分を考えれば、ほぼ
自明ですし、あめいさんがすでに #43741 で 4x4 で実現可能であること
に言及されていたこともあるので、今では自明なこととして説明を割愛さ
れたと理解しています。

これは、私自身が考えた解法でも同じで、本当にそのようなマスを残せる
配置があるのか自信はありませんでした。だから、プログラムを組んで検
証してみたのです。

そして、そこで初めて、4x4 に帰着すると気が付いた愚か者でもあります。

ここだけが、私が思う「詰めが甘い」部分です。
単に「詰めが甘い」というのではなく、私の疑問を直接的に書くべきだっ
たと、今は思っています。

私が考えるに、齟齬があるとすれば、これではないでしょうか ?

もし、私がまだ何か勘違いしているようであれば、
ご教示頂けるとありがたいです。

また、上でも触れましたが、私の #43767 の検証部分も同じです。

なぜなら、長方形を置いたあとの残りの 4 マスについて、
私の記法 {310} では、かぎ形が置けるのは、常に△が 3 個の時だけ
かもしれません (結果残せるのは△だけ)。
同様に {211} と {220} でも、残せるのは △だけなのかもしれません。

ところが、4x4 で考えると、位置的に条件を満たす {220} の 2x2 の正方形
を残すことができます。{220} が 2x2 の正方形に収まっているのなら、その
正方形のすべてのマスを最後に残すことが可能なことはほぼ自明です。

ここで、初めて証明ができたと私は考えています。

なお、上の検証では、{310} や {211} の場合の言及がありません。
これは、uchinyan さんと同じ理由 (と私が勝手に思っている) で、
不要と判断したためです。

求めているのは、残せるマスであって、どこにかぎ形を置けるかでは
ないので。

私の《まぎれのない》説明もまだまだ不十分でした。
まだまだ精進が足りませんね、反省。

> 最後は mod 3 ですね。

私も「詰めが甘い」ですね。どうか、ご容赦を。

> 確かに，面白いし，すごい！，です。

Analytic Combinatorics スゴイでしょ ?
私の感動に共感してくれる方がいて、非常に嬉しいです。

また、かーちゃんさんの #43738 については、3 で割った余りを
書き込んだパターンの正方形を使った説明と等価だと認識してい
ます。

> (座標の入れ方が 1 だけズレているので要注意。)

親切な注釈ありがとうございます。おかげで、変な誤解をしな
いで済みました。

次に、あめいさん (#43775)。考え方は、私も理解しているつもり
です。そして、結果的には正しいことが、uchinyan さんも示して
います。

ただ、あめいさんの方法では、4x4 に、かぎ形と長方形が 1 マス
だけ残して 4x4 からはみ出ることなく、配置した場合に限られま
す。

が、私が #43758 で示した、以下のかぎ形と最後に残る 1 マスが
4x4 の正方形に収まらない場合があります。

　ＡＢＢＢＣＣＣ
　ＡＡＤＤＤＸＥ
　ＦＦＦＧＧＧＥ
　ＨＨＨＩＩＩＥ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ

仮に、かぎ形と最後の 1 マスが、4x4 に収まるように DDDX を左
右反転しても、長方形のいくつかがはみ出してしまいます。

なので、4x4 から一足飛びに 7x7 でも同じとは、言い切れないと
私は思っています。

最後に、今年から高齢者さん (#43781) へ。

> この方法は十分条件ではあるかも知れませんが、必要十分条件といえるかどうか？

少し説明を端折り過ぎたようです。以下のように考えます。

ある型 (3N+1 か 3N+2) の正方形において、1x3 の長方形をいくつか
適当に配置して、元の正方形より小さい 3N+1 型か 3N+2 型の正方形
を残すこすことができたとします。その場合、もし、両者で残せるマ
スの位置が異なっていれば、矛盾します。なので、両者の残せるマス
の位置は必ず一致します。

また、3N+1 型も 3N+2 型の両方とも、自分と同じ型で、自分よりも
1 だけ小さい (N-1) 正方形をすべての四隅に残すことができます
(ただし、1 度に 1 つだけ)。

なぜなら、大きな正方形から、小さな正方形を除いた領域は、
3x(N-1)、(N-1)x3 の長方形 2 つと 3x3 の正方形 1 つに分解でき、
それらはすべて、1x3 の長方形で隙間なく覆うことができるので。

それら小さい正方形 4 つで、大きな正方形のすべてのマスを覆い尽
くします。

なので、必要十分であると、私は考えます。

> １つの現れは８×８です、隅から５×５を切り出して考えることももできますし、
> 両側から２マスずつとって中央の４×４と考えることも出来ます。結果は同じに
> なるので、何らかの関係があるとは思いますが、その因果関係の証明のわからと
> ころがしっくり来ない一部分です。

これも、上の説明で明らかだと思いますが、
いかがでしょうか ?

　　 10月9日（金） 7:47:05　　　　43784

Mr.ダンディ

わたしの書きこんだ問題（#43776）に対する回答を読ませていただきました。

あめいさん（#43779）、今年から高齢者さん（#43781）
(a,b,c)の各(a,b)に対して条件に合うｃが何通りずつあるかを数える方法ですね。まったく考えてもいなかった解法で勉強になりました。
(確かに機械的な計算ですみ、このような問題では有効ですね。）

Jママさん（#43778）さん
最も私の解法に近い解法と思います。わたしの①+②+③の計64通りをまとめて、重複分を引くとされたところと、
わたしの④がJママさんの(2)(3)となっているところが異なるところですね。

スモークマンさん（#43782）
12=2*2*3 を2つまたは3つのものの積に分けて、それぞれの場合について何通りずつ考えられるかとしたものですね。
納得です。（私もそのようなことを考え始めたのですが、場合分けがかなり細かくなりそうに思えて、あきらめました）

みなさんありがとうございました。大いに参考になりました。
uchinyanさんが#43777で書かれたように
「確かにスッキリと解けそうにない・・」ような問題かもしれませんね。

　　 10月9日（金） 10:59:19　　　　43785

uchinyan

#43784
ボーナス問題さんへ

更なるご意見をありがとうございます。

んーと，説明不足は否めないので，その点は申し訳なかったのですが．．．

元の問題では，#43736で，
＞しかし，もちろんこれらは先ほどの 3 の倍数の条件を満たさなければならないので，候補は，
＞1, 4, 7, 22, 25, 28, 43, 46, 49
＞に絞られます。そしてこれらは他の対称性の条件も満たし，また実際に実現可能なのも容易に分かります。
と，最後にちょっとだけですが実現可能性に触れています。
これは，議論するまでもなく実際にちょっとやってみれば簡単に実例が作れるので，明らか，と思ったからです。
例えば，これ。他も同様です。
　ＸＡＡＡＢＢＢ
　ＥＣＣＣＤＤＤ
　ＥＦＦＦＧＧＧ
　ＥＨＨＨＩＩＩ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
最初は言及するまでもないかな，とも思ったのですが，さすがに何も言わないのも気が引けたので一言触れました。

ボーナス問題では，#43751で，
＞□■ は 3 で割って 0 余る　＜－－－　タイプ０
＞□□
＞．．．
＞さらに，これらは，各タイプの■に対になっている残る数を入れれば実際に実現可能です，
と，やはり，最後にちょっとだけですが実現可能性に触れています。
これも，議論するまでもなく実際にちょっとやってみれば簡単に実例が作れるので，明らか，と思ったからです。
例えば，これ。他も同様です。
　ＧＢＢＢＣＣＣ
　ＧＤＤＤＡＸＥ
　ＧＦＦＦＡＡＥ
　ＨＨＨＩＩＩＥ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
こちらも，最初は言及するまでもないかな，とも思ったのですが，さすがに何も言わないのはマズイと思い一言触れました。

注意
　ＡＢＢＢＣＣＣ
　ＡＡＤＤＤＸＥ
　ＦＦＦＧＧＧＥ
　ＨＨＨＩＩＩＥ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
　ＪＫＬＭＮＯＰ
の例は，X = 13，■ = 2，の例で私が上で触れた例とは違います。
この点も説明不足で申し訳ありませんでしたが，
対称性を含む余りの条件を満たす「タイプ０と X」の X と■について，少なくとも私は論理的には何ら言及していません。
■ = X とし，かぎ形と X を 2 * 2 の正方形に収めれば，「実際にやってみる」ことで実例が作れる，とだけ，
上記の「＞」で引用した元の文では言っているつもりでした。

＞私が考えるに、齟齬があるとすれば、これではないでしょうか ?
結局は，そうなると思います。
私が，「実際にやってみれば」と言うか，実例を明確に図示すればよかった，ということになりそうですね。

ところで，Analytic Combinatorics，解析的組み合わせ論とでも訳すのかな？，を使って，
7 * 7 でかぎ形 3 個の場合，(0,0), (3,0), (6,0), (0,3), (6,3), (0,6), (3,6), (6,6)，の 8 個だけが残せない，
ことを証明できないのでしょうか？
真似をして少し考えてはみたのですが，よく分かっていないこともあり，(3,3) も不可になったりでうまくいきません。
どうなんでしょうか？

ネコの住む家　　 10月10日（土） 13:39:55　　　　43786

uchinyan

#43783，#43785
Mr.ダンディさんへ

詳しい解説をありがとうございます。

私もいくつか考えたのですが，どれもスッキリといかず解法を書きませんでした。
その中で，手間はかかりますが一番単純な解法を書いておきます。多分，あめいさんたちと同じかな。

３つのサイコロの出目を，A，B，C，A <= B <= C，とし，C，B，A の順に決めて条件を満たすか判定します。
このとき，A < B < C なら 6 通り，A = B < C 又は A < B = C なら 3 通り，A = B = C なら 1 通り，に注意して足し上げます。
真面目に場合分けを書きだすと大変なのですが，単純なのでほとんど頭の中でできてしまい，
C = 1：0
C = 2：0
C = 3：3
C = 4：15 + 3 = 18
C = 5：6
C = 6：9 + 6 + 21 + 12 + 16 = 64
合計：91 通り

スモークマンさんのおっしゃる通り，6^3 - 5^3 = 91，とか，3H12 = 14C2 = 91，なので，
何かないかな，と思ったものの，分からず。

ネコの住む家　　 10月9日（金） 13:09:37　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43787

今年から高齢者

#43784ボーナス問題さん！ご迷惑をおかけしています。ちょっと判りかけてきた気がします。

　　 10月9日（金） 20:16:42　　　　43788

Mr.ダンディ

#43787 uchinyanさんへ
回答有り難うございます。
最大の数が何かで分類していくことによりゴール１歩手前に引き寄せ、
地道に、計算していくのですね。納得です。
（結局、C＝1～5が　私の④に、C=6が　私の①～③に該当することになるのですね）

　　 10月9日（金） 22:26:53　　　　43790

ボーナス問題

パソコンを修理に出していたため、返事が遅れました。

今年から高齢者さん #43788。

お役に立てなら、うれしい限りです。

uchinyan さん #43786。

私の曖昧な記述による誤解が解けたようで、うれしいです。

なお、前置きについては、uchinyan さんにではなく、
実現可能性を示していない形への疑問でした。
これも、キチンと書くべきした。

私も「自明」は良く使うのですが、他人にとって必ずしも
それが「自明」であるとは限りません。

また、「自明」であると判断した過程も、人によってマチ
マチだったりします。そして、自分とは違う過程が、目か
らウロコだったりします。

なので、できれば、「自明」と判断するにいたった過程を
説明して頂きたかったのです。

Analytic Combinatorics の件ですが、うまい式があるとは
思うのですが、私もまだ答えを得ていません。私も知りたい
です。

少しずるいのですが、結果からすると、

(x ≡ 0 (mod 3) AND y ≡ 0 (mod 6)) OR (x ≡ 0 (mod 6) AND y ≡ 0 (mod 3))

になるので、1 の 6 乗根が絡むのではないかと想像できます。

また、1x1 の正方形 3 個で構成される形は、その方向を考え
ると 6 個。十字形の中心を起点とすれば、十字の端点 4 箇
所から、2 箇所を選ぶとすべての形が表現できます。

なので、あながち間違っているとは思えません。

そして、かぎ形の個数を考えると、基本となる関数 f は、
十字形の中心の座標 a、そこに置かれている形 t とかぎ型の
個数 c の 3 変数による多項式になるかと思います。

ただ、具体的な多項式の形が思い浮かびません。
どなたかに、答えを導き出して欲しいと思っています。

　　 10月14日（水） 8:40:45　　　　43791