前週（第９７８回）分の過去ログ

今年から高齢者

（大きい方から９個の和－小さい方から９個の和）×２＝１８０
１０は大きい方と小さい方の間のどこに入れても、Ａ－１０－Ｂの差の和はＡ－Ｂと同じ

　　 6月23日（木） 0:10:34　　　　44661

ベルク・カッツェ

1-9（小）と11-19（大）を交互に置いて、1と19の間に10を入れて180、ある程度入れ替えも可能ですね。

　　 6月23日（木） 0:14:49　　　　44663

新中2N.K.

#44661
僕もそのように考えました！

??????????????????????????????????????????????????　　 6月23日（木） 0:14:51　　　　44664

ベルク・カッツェ

#44661
なるほど、確かに10はどこでも一緒ですね。そこまで考えていませんでした。

　　 6月23日（木） 0:17:48　　　　44665

通りすがりの中1

こんばんは！
計算ミスってて遅れました…((言い訳乙
今回の問題ですが、僕は規則を見つけて解きました。
1～Aまでの数を円卓に並べる時、その差の合計の最大値はAが19に限らず、Aが奇数のときは「1～Aまでの全ての整数の和－(A＋1)÷2となる」というものです。
これに当てはめ、190－10で180と出したわけです。

#44660
正解です！

算数王国　　 6月23日（木） 0:39:28　　　　44666

通りすがりの中1

さらに調べてみたところ、Aが偶数のときは1～Aまでの数の和＋(A÷2＋1)となりました。

算数王国　　 6月23日（木） 0:29:06　　　　44667

ほむまん

1,19,2,18...
のように配置すれば最大値になることはすぐ分かるので、あとは図を書いて計算するだけ。
結果的に10*2+20*8=180となりました。

　　 6月23日（木） 0:43:40　　　　44668

ほむまん

1,19,2,18...
のように配置すれば最大値になることはすぐ分かるので、あとは図を書いて計算するだけ。
結果的に10*2+20*8=180となりました。

　　 6月23日（木） 0:43:46　　　　44669

今年から高齢者

この問題を拡張すると
N個の任意の数を円状に並べると、その隣合う数の差の合計は、
Nが偶数の時、(大きい方から半分の個数の和－小さい方から半分の個数の和)×2
Nが奇数の時、大きさの真ん中の数（中央値）を除いて、
(大きい方から半分の個数の和－小さい方から半分の個数の和)×2
となる。
偶数の場合は容易に判る。大－小－大－小－大－小－と並べれば順番は問わない。大きい数の順番を入れ替えても、小さい数の順番を入れ替えても同じ。
奇数の場合は、偶数の場合に1つの数を加える。これで中央値となる数が使われていることになる。加えた数が中央値よりも大きければ、大きい方の一番小さいのが中央値になるのでこれと入れ替える。加えた数が中央値よりも小さければ、小さい方の一番大きいのが中央値になるのでこれと入れ替える。いずれにしても中央値は手元に残る。この中央値はどこに入れても差の合計は変わらない。

　　 6月23日（木） 1:42:03　　　　44670

Jママ

おはようございます
この頃起きているのもつらく…(苦笑)
#44661と全く同じでした
理屈はとても明快でいい問題ですね

　　 6月23日（木） 6:27:17　　　　44671

「数学」小旅行

#44670　ありがとうございました。スッキリです。
不等式　｜a-b｜＜＝｜a｜＋｜b｜　が関係ありそうな気がしました。

　　 6月23日（木） 8:19:14　　　　44672

通りすがりの中1

広島市警報解除されやがった…学校行かなきゃw

算数王国　　 6月23日（木） 8:39:52　　　　44673

新中2N.K.

#44666+#44667
なるほど、規則性もありますね！

ワーイ今日は学校休みだ＾＿＾

??????????????????????????????????????????????????　　 6月23日（木） 10:57:48　　　　44674

ミミズクはくず耳

大きい数はプラス、小さい数はマイナスで、真ん中の10はプラマイゼロ。
で合計しましたが、2倍するのを忘れました。

　　 6月23日（木） 10:09:18　　　　44675

uchinyan

(ごめんなさい。最初の説明はゴチャゴチャしていたので，皆さんのも参考にして整理し書き直しました。)

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは直感的に解き方が分かる問題かなぁ。算チャレとしては標準的，ただし常連さんには易，という気がします。
大体こんな感じで。

差の和が最大になるには，できるだけ大きな番号とできるだけ小さな番号とが隣り合えばいいです。
こう考えると一例として次が考えられます。
09 12 07 14 05 16 03 18 01 19 02 17 04 15 06 13 08 11 10 (左端の 09 とつながって円になる。)，
この並びの差の和は，
(19 - 1) + (18 - 1) + (19 - 2) + (17 - 2) + + (18 - 3) + (16 - 3) + (17 - 4) + (15 - 4) + (16 - 5) + (14 - 5)
+ (15 - 6) + (13 - 6) + (14 - 7) + (12 - 7) + (13 - 8) + (11 - 8) + (12 - 9) + (10 - 9) + (11 - 10) + (10 - 9)
= ((19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11) * 2 + 10) - ((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) * 2 + 10)
= (19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11) * 2 - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) * 2
= ((19 - 9) + (18 - 8) + (17 - 7) + (16 - 6) + (15 - 5) + (14 - 4) + (13 - 3) + (12 - 2) + (11 - 1)) * 2
= 10 * 9 * 2 = 180，
この式の２行目と３行目から分かるように，これが最大値で，中央値の 10 は結果に影響しません。
そこで，中央値の 10 より，大きい数を大，小さい数を小，として，
中央値の 10 以外を大小大小… の順に自由に並べて中央値の 10 を適当に挟み込むという並べ方，
で，最大値 180 になる，と分かります。
つまり，差の和の最大値は 180，になります。

ちなみに，01 ～ 18 ならば，同様にして，
09 11 07 13 05 15 03 17 01 18 02 16 04 14 06 12 08 10 (左端の 09 とつながって円になる。)，
この並びの差の和が，
(18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10) * 2 - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) * 2，
と書けることに注意すると，10 ～ 18 を大，1 ～ 9 を小，として，
大小大小… の順に自由に並べるという並べ方，
で，差の和は最大値になる，と分かります。

以上の話は一般化も容易で，1 ～ n の場合，
n が奇数のときは (n + 1)/2 * (n - 1)/2 * 2 = (n^2 - 1)/2，
n が偶数のときは n/2 * n/2 * 2 = n^2/2，
になります。いわゆるガウス記号を使えばまとめて，[n^2/2]，ですね。

　　 6月24日（金） 12:57:58　　　　44676

uchinyan

掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

今回も皆さん基本的には同じで，
中央値の 10 以外を大小大小… の順に自由に並べて中央値の 10 を適当に挟み込むという並べ方が最大，
と考える解法のようですね。

なかなか面白い問題でした。

ちなみに，最小だったら 36 かな。

　　 6月23日（木） 13:46:36　　　　44677

スモークマン

勘でしたが…^^;
直線で考えると…
間化できるだけ重なる時なので…
1-19-2-18-…
or
19-1-19-2-…
の場合で、
最後の10からの差は10-1=19-10=9 が最大だから…
このループがMaxですよね ^^

金即是空 ^^;v　　 6月23日（木） 14:13:45　　　　44678

通りすがりの中1

#44676
そちらの一般化した式のほうがコンパクトですね…！ぐふっ(意味深)
この問題、最大値となる配列は何通りあるか(但し、回転して重なるものは同じ)。でも面白かったですね^_^
因みに最初値は2A－2で求められます。

算数王国　　 6月23日（木） 18:30:32　　　　44679

スモークマン

#44679
回転したものが同じなら…反対方向のものとの2通りしかありませんよね?
Minは出来るだけ重ならないように…
1～19までループが往復するだけの...2*18
ですね ^^

金即是空 ^^;v　　 6月23日（木） 23:39:38　　　　44680

たけちゃん

#44655
「凸15角形」とは書かれていませんね．
すると，
「正12角形の12頂点(時計の文字盤を摸して，P1～P12とする)
および，その外接円のもう1つの直径の両端(Q1,Q2とする)，
円の中心(Oとする)」を順に結んだ15角形
(例えばOQ1P1P2P3P4P5P6Q2P7P8P9P10P11P12)はどうでしょうか．
全部で15*14*13通りのA,B,Cの決め方があり，そのうち，
円周上に点A，ACが直径となるように点C，円周上に他の点B
を定めた14*1*12通りと，
P1～P12のいずれかをA，OをBとし，∠ABC=90°となるように点C
を定めた12*1*2通りが適して，
確率は(12*16)/(15*14*13)=1/15*96/91(>1/15)となりませんか?

　　 6月24日（金） 0:59:22　　　　44681

たけちゃん

　　 6月24日（金） 1:18:32　　　　44682

ハラギャーテイ

やっと出来ました

数列を調べて規則を見つけました。

山口　　 6月24日（金） 3:08:02　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　44683

ハラギャーテイ

規則は
floor(n^2/2)
でした

山口　　 6月24日（金） 3:13:51　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　44684

通りすがりの中1

#44682
あ、すいません！説明不足でした。
凸十五角形にしておいて下さい。

算数王国　　 6月24日（金） 7:42:08　　　　44685

今年から高齢者

#44655, #44682。何の問題かな？と興味を持ちました。
正14角形からスタートしては．．．。
正14角形の外接円上に1点を加えると、中心を通る対角線が7本なので、7*(15-2)種類の直角三角形ができる。
15点から3点を選ぶ選び方で割ると1/5。直角三角形のカウントに重複はないと思いますが。

　　 6月24日（金） 9:21:45　　　　44686

uchinyan

#44655，#44682，#44685，#44686
確かに，ただ十五角形とあって，凸十五角形とは断っていなかったので，
#44682のような指摘が出ても仕方ないと思いますが，出題時の話の流れでは，凸十五角形だろうな，と思っていました。
それと，凸十五角形としてこの問題は#44656で一応の決着を得ていますが，
#44686でご指摘のように，確率は 1/15 ではなく 1/5 ではないかな，という気はしています。
どうなんでしょう？

　　 6月24日（金） 13:21:58　　　　44687

通りすがりの中1

#44686、#44687
答えは1/15です。
というのも、3点のうち直角を成しているのは1つのみなので、1/5に1/3をかける必要があるからです。

算数王国　　 6月24日（金） 14:10:58　　　　44688

uchinyan

#44688
＞答えは1/15です。
＞というのも、3点のうち直角を成しているのは1つのみなので、1/5に1/3をかける必要があるからです。
？
三角形は，凸十五角形の 15 個の頂点から 3 点を選んで 15C3 個。
正十四角形＋１点の場合の直角三角形は，正十四角形の外接円の直径の両端点＋１点なので，
直径を選ぶのに 7 通り，それぞれの直径ごとに 13 通りずつ，で，7 * 13 個。
そこで，確率は，(7 * 13)/15C3 = (7 * 13) * (3 * 2 * 1)/(15 * 14 * 13) = 1/5，です。
これを 1/3 倍するということは，直角三角形が (7 * 13)/3 個ということで，おかしいです。

　　 6月24日（金） 15:25:06　　　　44689

たけちゃん

問題文は「三点ABCを選ぶ」，「角ABCが直角」となっていますね．
すると，直角三角形を指定しても，∠A,∠B,∠Cのどれが直角かはわからないので，
ある意味，「直角三角形が (7 * 13)/3 個」でよいことになると思います．
尤も，三角形を数えず，点の指定のしかたを数えて，分母は15P3とする方がよい気はしますが．．．

なお，少し気になったので元の指摘をしましたが，些細な点をとりあげたものであり，
あえて指摘するのは失礼かもしれないとも思っていました．改めて，失礼の段はお詫びします．
更に，操作ミスで同じコメントを2回UPしてしまったのも失態でした．どうも失礼しました．

　　 6月24日（金） 16:03:24　　　　44690

uchinyan

#44690
解説をありがとうございます。
なるほど，問題文を読み返したら，単に直角三角形ではなく点及び直角の位置が指定されているのですね。
納得。問題文をよく読まないといけません，反省。
位置が指定されているならば，確かに組み合わせではなく順列で考えるべきで，
確率は，(14 * 13)/(15 * 14 * 13) = 1/15，ですね。

　　 6月24日（金） 16:35:30　　　　44691

通りすがりの中1

#44690
補足ありがとうございます。あと、間違いの指摘に関しては、むしろありがたく思っております。今後あのようなことの無いよう気を付けます。

算数王国　　 6月24日（金） 17:30:48　　　　44692

今年から高齢者

#44688,#44690,#44691
なるほど。直角三角形のできる確率としか考えていませんでした。
直接的に直角のできる確率を求めるなら、
三角形の1点として、正14角形の1点を選んだ時そこが直角になる確率は、6／14C2、
追加した1点を選んだ場合、そこが直角になる確率は7／14C2。
これを荷重平均して、(14*6/14C2+1*7/14C2)/(14+1)=1/15

　　 6月24日（金） 17:37:48　　　　44693

鯨鯢(Keigei)

#44690
「些細な点をとりあげた」と書かれていますが、些細とはいえないと思います。
「凸十五角形」と書かれていなかったので、私は全然別の図形を考えていました。
なるべく多くの直角を作ろうと、座標平面上の
(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(3,0),(2,1),(3,2),(3,3),(2,3),(2,2),(1,3),(0,3),(0,2),(1,2),(0,1),(0,0)
をつなぐような凹十五角形です。
さらに、縦横に拡大・縮小することも考えられ、手に負えないので放置していました。
やはり問題文は正確に書かれている必要があります。

なお、「凸十五角形」の場合、
「角ABCが直角」を「ACが直径」と解釈して 7/(15Ｃ2) と計算するのが早いです。

　　 6月24日（金） 18:55:56　　　　44694

通りすがりの中1

#44694
説明不足ですいませんでした。今後気をつけます。

算数王国　　 6月24日（金） 21:58:32　　　　44697

にゃもー君

このところ深夜までの勤務とミス続きで、満身創痍状態で解答しました。
出題者には申し訳ないけど、今回殆どノー思考状態で解答しました。
何となく、大きい数字と小さい数字が交互になればいいのかと思って
1,19,2,18,3,17…8,12,9,11,10,1　の並び方にしました。

さいたま市浦和区（自称）　　 6月26日（日） 3:23:36　　　　44698

uchinyan

#44690，#44692，#44694，#44697
私自身は出題当時の話の流れは正多角形が多かったので凸十五角形と思って何の違和感も感じませんでしたが，
鯨鯢(Keigei)さんがおしゃっているように，確かに，ただの十五角形と凸十五角形では意味が全く違うので，
たけちゃんさんのご指摘は自然ですし，問題の解の可能性を広げたという意味でも大きな意義があると思います。
ただ，なかなかの難問になってしまう様子で，私にはちょっと考える気力がないです (^^;

問題文をきちんと示すことはもちろん重要ですが，あいまいだからこそ考え直して発展する，そんな怪我の功名？の効果もあるのかも。
マサルさんには申し訳ないですが，算チャレでもたまにあって，それで掲示板が大いに盛り上がる，なんてこともあったような (^^;
数学の，だけでもないですが，歴史上でも，あいまいとか誤りが契機になって大いに発展した例も多いですね。

一方で，確率の話は私の完全な問題文の読み間違い解釈誤りで，大変申し訳ない。
通りすがりの中1さん，たけちゃんさん，ご迷惑をおかけしました。
昔からおっちょこちょいなところがあり，気を付けているのですがなかなか治らないです。
もう大分昔の学生の頃，模試だったのでよかったのですが，全問解答でき答え合わせをしたら正解だったのですが，
０点で戻ってきて「おかしい」と予備校に文句を言ったら「名前が書いてないから０点」と言われ，
そう言われるまで気付かない自分に腹が立つやら情けないやら恥ずかしいやらで散々だったことがあります。

というわけで，十分に気を付けますが，たまに変なことを言うかも知れませんが，ご容赦のほどを。

　　 6月26日（日） 12:33:02　　　　44699

大岡　敏幸

久しぶり来ました（＾＾）やはり気分転換に算チャレは良いですね。

　　 6月26日（日） 13:18:10　　　　44700

通りすがりの中1

#44699
な、なんかフォローありがとうございます！
ちなみに、あの問題はあえて1/5と解答してしまうように仕向けてあり、少し表現的にも曖昧なところがあったので、お気になさらずに(^^)

算数王国　　 6月27日（月） 17:50:26　　　　44701

2357

広島県民です。
ぐるスク観ました。
広学で中一が出てたのは全編のみでしたので、あの四人のうちの誰かとなりますね。
誰なんでしょうかね．．．

　　 6月27日（月） 18:03:01　　　　44702

通りすがりの中1

#44702
ぐるスクご視聴ありがとうございます。
僕が誰かは個人情報となるのでここでは言わないでおきますwあの4人のうちの誰かなのは確かですがね。
あと、細かいようですが、全編ではなくて前編では？

算数王国　　 6月27日（月） 21:12:40　　　　44703