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紫の薔薇の人

４回目の操作の直前には2x1の長方形になっています。
これを(2,1)と表し、横または縦に拡張しながら、３世代前まで遡ります。

これには、
(a,b)→(a,b+a)
または、
(a,b)→(a+b,b)
を行えばよい。

(2,1)→(2,3)→(2,5)→(2,7)
　│　　│　　　└─→(7,5)
　│　　└─→(5,3)→(5,8)
　│　　　　　　└─→(8,3)
　└─→(3,1)→(3,4)→(3,7)
　　　　│　　　└─→(7,4)
　　　　└─→(4,1)→(4,5)
　　　　　　　　└─→(5,1)

そして、８種類の3世代前候補の、長辺/短辺を計算すると、
上から順に
3.5、1.4、1.66、2.66、2.33、1.75、1.25、5
となるので、４番目に小さい1.75が答えになります。

　　 5月25日（木） 0:42:12　　　　46368

ベルク・カッツェ

やっと入れた。
正解設定が7/4になっているようですが、これは長方形が横長の場合ですよね。
小さいほうから順に1/5、2/7、3/8、3/7で答えは3/7なのでは。

　　 5月25日（木） 0:44:21　　　　46369

紫の薔薇の人

#46368

1.66=>1.6

　　 5月25日（木） 0:58:18　　　　46370

kasama

#46369
私もやっと入れました。小さいものから並べると、
1/5,2/7,3/8,3/7,4/7,5/8,5/7,4/5,5/4,7/5,8/5,7/4,7/3,8/3,7/2,5
なので、3/7が正解かと？

和歌山　　 5月25日（木） 1:14:32　　　　46371

baLLjugglermoka

すみません。横長でしたら、7/4が正解ですが、問題文んには横長とは限らないと書いてあるので、3/7を送信しました。

　　 5月25日（木） 1:22:33　　　　46372

ゴンとも

?=aとして
1回目:1<aのとき(a-1,1)・・・・・・(1)
1回目:1>aのとき(1-a,a)・・・・・・(2)
(1)より2回目:1<a-1 2<aのとき (a-2,1)・・・・・・(3)　
(1)より2回目:1>a-1 2>aのとき (2-a,a-1)・・・・・・(4)
(2)より2回目:1-a<a 1/2<aのとき(2*a-1,1-a)・・・・・・(5)
(2)より2回目:1-a>a 1/2>aのとき(1-2*a,a)・・・・・・(6)
(3)より3回目:1<a-2 3<aのとき(a-3,1)・・・・・・(7)
(3)より3回目:1>a-2 3>aのとき(3-a,a-2)・・・・・・(8)
(4)より3回目:a-1<2-a a<3/2のとき(3-2*a,a-1)・・・・・・(9)
(4)より3回目:a-1>2-a a>3/2のとき(2*a-3,2-a)・・・・・・(10)
(5)より3回目:1-a<2*a-1 2/3<aのとき(3*a-2,1-a)・・・・・・(11)
(5)より3回目:1-a>2*a-1 2/3>aのとき(2-3*a,2*a-1)・・・・・・(12)
(6)より3回目:a<1-2*a a<1/3のとき(1-3*a,a)・・・・・・(13)
(6)より3回目:a>1-2*a a>1/3のとき(3*a-1,1-2*a)・・・・・・(14)
(7)より4回目:1<a-3 4<aのとき(a-4,1) a=5
(7)より4回目:1>a-3 4>aのとき(4-a,a-3) a=7/2
(8)より4回目:a-2<3-a a<5/2のとき(5-2*a,a-2) a=7/3
(8)より4回目:a-2>3-a a>5/2のとき(2*a-5,3-a) a=8/3
(9)より4回目:a-1<3-2*a a<4/3のとき(4-3*a,a-1) a=5/4
(9)より4回目:a-1>3-2*a a>4/3のとき(3*a-4,3-2*a) a=7/5
(10)より4回目:2-a<2*a-3 a<5/3のとき(3*a-5,2-a) a=7/4
(10)より4回目:2-a>2*a-3 a>5/3のとき(5-3*a,2*a-3) a=8/5
(11)より4回目:1-a<3*a-2 3/4<aのとき(4*a-3,1-a) a=4/5
(11)より4回目:1-a>3*a-2 3/4>aのとき(3-4*a,3*a-2) a=5/7
(12)より4回目:2*a-1<2-3*a a<3/5のとき(3-5*a,2*a-1) a=4/7
(12)より4回目:2*a-1>2-3*a a>3/5のとき(5*a-3,2-3*a) a=5/8
(13)より4回目:a<1-3*a a<1/4のとき(1-4*a,a) a=1/5
(13)より4回目:a>1-3*a a>1/4のとき(4*a-1,1-3*a) a=2/7
(14)より4回目:1-2*a<3*a-1 2/5<aのとき(5*a-2,1-2*a) a=3/7
(14)より4回目:1-2*a>3*a-1 2/5>aのとき(2-5*a,3*a-1) a=3/8
ここで　XMaxima で4番目のものを取り出すと
fourth(sort([5,7/2,7/3,8/3,5/4,7/5,7/4,8/5,4/5,5/7,4/7,5/8,1/5,2/7,3/7,3/8]));3/7・・・・・・(答え)

豊川市　　 5月25日（木） 3:10:24　　　　46373

マサル

すみません、いろいろあって、今、帰宅しました...。

またミスがあり、すみません。横長のみにするか、両方認めるか、出題時に迷って決定したのですが、答えが違うほうになってしまっていました...すみません。ご迷惑をおかけし、申し訳ございませんでした。m(_ _)m

iMac　　 5月25日（木） 3:03:09　　 HomePage:算チャレ　　46374

ベルク・カッツェ

マサルさんお疲れ様です。
解法ですが、1×1の正方形から一方の辺を他方の辺に加算する作業を4回繰り返して8通りの縦横比を出し、小さいほうから4番目を答えました。

　　 5月25日（木） 3:38:57　　　　46375

にこたん

横をxとして、普通にx<1から始めて４番目に小さいのを求めました。

超ど田舎　　 5月25日（木） 4:25:20　　　　46376

「数学」小旅行

a/(a+b)またはb/(a+b)で、最初はa=bなので、全部で2^(4-1)=8通り。
全部書き出して、小さい値から4番目を答えました。

　　 5月25日（木） 6:00:32　　　　46377

今年から高齢者

3/7を送信．．．ダメ！．．．他の切断はないはずだが．．．送ってないのかと再送信。　
最後の正方形に、正方形を3回くっつけて求めた（横が短い＝縦長　なので、最後は縦方向にくっつける）。
2^3＝8通りを確認。最後の正方形の一辺の倍数で、横／縦。小さい方から、1/2、2/7、3/8、3/7、．．．
#46375など皆さんと同じですね

　　 5月25日（木） 7:50:19　　　　46378

Mr.ダンディ

3/7 に間違いなしと思いつつ認証されないので、いずれ設定値が改善されるであろうと、昨夜は床に就きました。
今朝になって正解者欄に名前がが載っており一安心。
＞「実際には横長であるとは限りません」との注釈により、横長は全く考えませんでした。

　　 5月25日（木） 8:46:17　　　　46379

ccocogoo

逆に戻っていくのに気づくのに時間がかかりました。

　　 5月25日（木） 11:04:50　　　　46380

cocogoo

補足。最後が1:2の比になる長方形から逆算するという意味です。

　　 5月25日（木） 11:07:37　　　　46381

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
持病の関係で目がうまく開かず，縦 1 cm，が，縦 5 cm，に見え，何故 15/7 cm ではないのだろう，と首を傾げておりました。
縦 1 cm，ならば，15/7 * 1/5 = 3/7 cm，ですね。
ただ，いずれにせよ，あまりうまく解けず結局は試行錯誤。こんな感じで。

？が無理数ということはあり得ないので，A，B を互いに素な正の整数として，？ = A/B，とします。
また，小さめのものを求めるので，A/B < 1，と仮定します。
すると，縦 1 cm，横 A/B cm，ですが，これは明らかに，縦 B cm，横 A cm，の場合と同じです。
後は，４回の操作で終わるものを探します。
A = 1 のとき
5 = 4 * 1 + 1，しかあり得ないので，B = 5，？ = A/B = 1/5 cm。
A = 2 のとき
7 = 3 * 2 + 1，2 = 1 * 1 + 1，しかあり得ないので，B = 7，？ = A/B = 2/7 cm。
A = 3 のとき
7 = 2 * 3 + 1，3 = 2 * 1 + 1，B = 7，？ = A/B = 3/7 cm，
又は
8 = 2 * 3 + 2，3 = 1 * 2 + 1，2 = 1 * 1 + 1，B = 8，？ = A/B = 3/8 cm，
のいずれか。
A = 4 のとき
5 = 1 * 4 + 1，4 = 3 * 1 + 1，B = 5，？ = A/B = 4/5 cm，
又は
7 = 1 * 4 + 3，4 = 1 * 3 + 1，3 = 2 * 1 + 1，B = 7，？ = A/B = 4/7 cm，
で，9 以上の，B = 4q + r，q >= 2，r = 1 又は 3，はあり得ません。
A = 5 のとき
7 = 1 * 5 + 2，5 = 2 * 2 + 1，2 = 1 * 1 + 1，B = 7，？ = A/B = 5/7 cm，
又は
8 = 1 * 5 + 3，5 = 1 * 3 + 2，3 = 1 * 2 + 1，2 = 1 * 1 + 1，B = 8，？ = A/B = 5/8 cm，
で，9 以上の，B = 5q + r，q >= 1，r = 1, 2, 3, 4，はあり得ません。
A >= 6 のときも，同様にして，より小さなものはあり得ません。
以上より，？は小さい順に，1/5，2/7，3/8，3/7，...，となり，
小さい方から４番目は，3/7，になります。

　　 5月25日（木） 21:24:02　　　　46382

uchinyan

あ，そうか。１×１又は１×２から逆にたどればよかったのか。
これはまいったな。どうもさえない。

　　 5月25日（木） 14:36:16　　　　46383

みかん

なるべく横の長さが短くなるようにするには、最初の切断が横方向にすればよい。
あとは残り３回の切断方向を縦（た）・横（よ）それぞれの場合の８通りを考える。

４回の切断方向→横の長さ　と表せば
よよたよ→３／８（０．３７５）
よよたた→３／７（０．４３ぐらい）
よよよた→２／７（０．２９ぐらい）
よよよよ→１／５（０．２）
よたよた→５／８（０．６２５）
よたよよ→４／７（０．５７ぐらい）
よたたた→４／５（０．８）
よたたよ→５／７（０．７１ぐらい）

これらを比較して、短い方から４番目は横横縦縦の順に切断した３／７ｃｍ　の時
が答え。

　　 5月25日（木） 19:50:01　　　　46384

にゃもー君

こんばんは。今回は答えを書いても掲示板に入室できなかったり
正解者に名前が記載されなかったりで、おや？と思ったのですが
一夜明けたら正解者リストに載って、ホッとしました。

解き方は、ここに既に載っていると思いますが・・・
回りくどい書き方で恐縮ですが、一応書きます。

後ろ向きに考えて、切り取った正方形を復元していき、元の長方形を割り出す
というのが、一番わかりやすいでしょうか。

最後に残った正方形を①として、辺の長さを１とする。
その前に切り取られた正方形を②、③、④、⑤と定めていく。
元の長方形は①～⑤の組み合わせ。

①から始まって、②～⑤が、「縦」「横」どちらに付くかを考える。

（１）横の長さが最小になるのは、②～⑤がすべて「縦」
元の長方形の縦：横＝５：１　よって、横の長さ＝1/5（0.2）

（２）横の長さが２番目に短いのは
　　　②横　③縦　④縦　⑤縦　の場合。
　　　元の長方形の縦：横＝７：２　よって、横の長さ＝2/7（0.285714…）　

（３）横の長さが３番目に短いのは
　　　②縦　③横　④縦　⑤縦　の場合。
　　　元の長方形の縦：横＝８：３　よって、横の長さ＝3/8（0.375）　　　　　

（４）横の長さが４番目に短いのは
　　　②横　③横　④縦　⑤縦　の場合。
　　　元の長方形の縦：横＝７：３　よって、横の長さ＝2/7（0.4285714…）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
以上

※大阪オフミ、12日月曜日に有休が取れそうなので、
埼玉浦和から参加しようかなと考えています。関西旅行も兼ねて。
正式な連絡は明日になりますが…

南蛮蹴鞠のまち　浦和　　 5月25日（木） 21:53:41　　　　46385