ベルク・カッツェ
各桁の数字を大きい順にＡＢＣＤとして、Ｄ＝0だとうまくいかなかったので、Ｄは1以上としてＡＢＣＤ-ＤＣＢＡがどうなるか考えてみました。
調べてみるとＡ−Ｄ＝ＢでないとだめなようなのでＡ＝Ｂ+Ｄ、Ｂ＝Ｃ+Ｄ+1となるようＡＢＣＤを求めると、7641-1467＝6174が求まりました。
ＡＢＤＣのうちに同じ数がくる場合はまだ調べていませんが、無理っぽい感じですかね。
　　 6月8日（木） 0:21:26　　 　　46402
ベルク・カッツェ
掲示板の認証がまだ前のままのような。
　　 6月8日（木） 0:34:10　　 　　46403
今年から高齢者
やっとできたと思ったら、4176と逆の数字を送っていた。
a>b>c>dとすると、差は、a-d, b-1-c, 10-1+c-b, 10+d-a
aになるのは、a-d, b-1-cは無理、10+d-aもaとdの間に余裕が無さそう。
9+c-b=a（9-a=b-c）とすると、a=8の時は0が現れてa-d=aでこの場合の条件に合わない。
aは7, 6のいずれか。a=7、b-c=2で、6174が見つかった。
　　 6月8日（木） 1:18:07　　 　　46404
Jママ
こんばんは
認証が更新されてませんが既に書き込みもあるので…(^_^;)
もとの整数PQRSとし各桁の数をA≦B≦C≦D (D≠0)とすれば
DCBA−ABCD＝PQRS　なので
S＝10＋A−D
R＝9＋B−C
Q＝C−B−1　or　B＝CでQ＝9
　　　　　　　　　　このときR＝9なのでB＝C＝D＝9となり解なしなので不適　
　　　　　　　　　　よってB≠C
P＝D−A

となるのでP＋S＝10, Q＋R＝8である
足して10→(1,9)(2,8)(3,7)(4,6)(5,5)
足して8→(0,8)(1,7)(2,6)(3,5)(4,4)

これらの組み合わせから、引き算をするとSになる数字がないもの、Pになりそうな数字がないものを除外すると
(A,B,C,D)＝(1,2,7,8)(0,2,8,8)(1,4,6,7)(2,4,6,6)(3,4,5,6)
が残ったのであとは実際に引き算して検証しました。

なにか巧い解法教えてくださいませOrz
　　 6月8日（木） 1:21:13　　 　　46405
ゴンとも
十進Basic でa<=b<=c<=dとして答えをeとして

FOR a=0 TO 9
FOR b=a TO 9
FOR c=b TO 9
FOR d=c TO 9
LET e=10^3*d+10^2*c+10*b+a-(10^3*a+10^2*b+10*c+d)
LET f=IP(e/10^3)
LET g=IP(e/10^2)-10*IP(e/10^3)
LET h=(10^2*FP(e/10^2)-10*FP(e/10))/10
LET i=10*FP(e/10)
IF a*b*c*d<>0 AND f+g+h+i=a+b+c+d AND f*g*h*i=a*b*c*d THEN PRINT e
NEXT d
NEXT c
NEXT b
NEXT a
END

f9押して　6174・・・・・・(答え)
豊川市　　 6月8日（木） 1:45:23　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　46406
にこたん
A≧B≧C≧Dで

ABCD-DCBA

10+D-A=C
10+C-1-B=A
B-1-C=D
A-D=B

で適する解が得られました。

超ど田舎　　 6月8日（木） 2:21:39　　 　　46408
ゴンとも
5桁の数字もプログラムで確かめたのですが無く3ケタは
十進Basic でa<=b<=cとして答えをdとして

FOR a=0 TO 9
FOR b=a TO 9
FOR c=b TO 9
LET d=10^2*c+10*b+a-(10^2*a+10*b+c)
LET e=IP(d/10^2)
LET f=IP(d/10)-10*IP(d/10^2)
LET g=10*FP(d/10)
IF a*b*c<>0 AND e+f+g=a+b+c AND e*f*g=a*b*c THEN PRINT d
NEXT c
NEXT b
NEXT a
END

f9押して　495・・・・・・(3ケタの答え)
豊川市　　 6月8日（木） 2:20:02　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　46409
鯨鯢(Keigei)
6174 が ４桁で唯一のカプレカ数であることは有名で、
これを知っていれば、問題を読んだ瞬間に答が出ます。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AB%E6%95%B0
　　 6月8日（木） 5:20:30　　 　　46410
あめい

皆さん（いつものことですが）信じられない速さで答えていらっしゃるので、何か方法が・・と思いながら・・・。
ＡＢＣＤ−ＤＣＢＡで差の
千の位・・・Ａ−Ｄ
百の位・・・Ｂ−Ｃ−１
十の位・・・１０＋Ｃ−Ｂ−１＝９＋Ｃ−Ｂ
一の位・・・１０＋Ｄ−Ａ
から差の千の位の数と一の位の数（ＢとＣ）の和が１０、Ｂ≧ＣなのでＢＣとそて８２，７３，６４を候補としました。
そこで上の関係から
○８２△−△２８○＝＊５３＊
○７３△ー△３７○＝＊３５＊
○６４△ー△４６○＝＊１７＊
の形になるので、１７が引いて７−１＝６、１０＋１−７＝４と元の６，４が作れるので７６４１−１４６７＝６１７４に辿り着きました。
カプレカ数か・・・・そうですね、これも毎週挑戦させていただいている
「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/の『執務室』に詳しい解説が載っていたのを今思い出しました。
お馬崎　　 6月8日（木） 21:57:44　　 　　46411
ハラギャーテイ
おはようございます

プログラムです
山口　　 6月8日（木） 8:20:16　　 HomePage:算数にチャレンジ　　46412
次郎長
一発正解だったので。（今回は誤答しようがないですね）
苦労しました。カプレカ数。初めて聞きました。１分後には忘れます。
　　 6月8日（木） 9:29:12　　 　　46413
みかん
並べ替えてできる最大の整数−最小の整数　は各位の数の和が９の倍数　なので、
「０を除く異なる４つの数字の和が９の倍数」の組み合わせを探すことに。
４つの数字の組み合わせはたかだか１２６通りだし、紙に書き出しで対応できると判断。

数字が小さい方から調べていったので、すぐに見つかったのはラッキーでした。
　　 6月8日（木） 10:55:01　　 　　46414
ゴンとも
オンライン整数列大辞典　A099009 が本問(カプレカ数)に相当して6桁までの　Mathematica のコードが

f[n_] := Block[{d = IntegerDigits@ n, a, b}, a = FromDigits@ Sort@ d; b = FromDigits@ Reverse@ Sort@ d; n == b - a]; Select[Range@ 1000000, f]

があり,これを自分の　Mathematica home edition 8.0.4 にコピペして　enter 押して　15秒くらいで　{495, 6174, 549945, 631764} がでました。自分も十進Basicで2,3,4,5,6桁まででるものを作りました。
　
FOR a=1 TO 9
FOR b=a TO 9
let c=10*b+a-(10*a+b)
let d=ip(c/10)
let e=c-10*ip(c/10)
if d+e=a+b and d*e=a*b then print c
FOR f=b TO 9
LET g=10^2*f+10*b+a-(10^2*a+10*b+f)
LET h=IP(g/10^2)
LET i=IP(g/10)-10*IP(g/10^2)
LET j=g-10*IP(g/10)
IF h+i+j=a+b+f AND h*i*j=a*b*f THEN PRINT g
FOR k=f TO 9
LET l=10^3*k+10^2*f+10*b+a-(10^3*a+10^2*b+10*f+k)
LET m=IP(l/10^3)
LET n=IP(l/10^2)-10*IP(l/10^3)
LET o=IP(l/10)-10*IP(l/10^2)
LET p=l-10*IP(l/10)
IF m+n+o+p=a+b+f+k AND m*n*o*p=a*b*f*k THEN PRINT l
FOR q=k TO 9
LET r=10^4*q+10^3*k+10^2*f+10*b+a-(10^4*a+10^3*b+10^2*f+10*k+q)
LET s=IP(r/10^4)
LET t=IP(r/10^3)-10*IP(r/10^4)
LET u=IP(r/10^2)-10*IP(r/10^3)
LET v=IP(r/10)-10*IP(r/10^2)
LET w=g-10*IP(r/10)
IF s+t+u+v+w=a+b+f+k+q AND s*t*u*v*w=a*b*f*k*q THEN PRINT r
FOR x=q TO 9
LET y=10^5*x+10^4*q+10^3*k+10^2*f+10*b+a-(10^5*a+10^4*b+10^3*f+10^2*k+10*q+x)
LET z1=IP(y/10^5)
LET z2=IP(y/10^4)-10*IP(y/10^5)
LET z3=IP(y/10^3)-10*IP(y/10^4)
LET z4=IP(y/10^2)-10*IP(y/10^3)
LET z5=IP(y/10)-10*IP(y/10^2)
LET z6=y-10*IP(y/10)
IF z1+z2+z3+z4+z5+z6=a+b+f+k+q+x AND z1*z2*z3*z4*z5*z6=a*b*f*k*q*x AND z1^2+z2^2+z3^2+z4^2+z5^2+z6^2=a^2+b^2+f^2+k^2+q^2+x^2 THEN PRINT y
next x
next q
NEXT k
NEXT f
NEXT b
NEXT a
END

f9押して
　
631764,6174,549945,495

1秒以下は計測できませんが十進Basicでだいたい押したと同時にMathematicaと同じ数字がでました。
豊川市　　 6月8日（木） 13:12:34　　 　　46415
baLLjugglermoka
N桁の場合の一般化は？
　　 6月8日（木） 15:01:47　　 　　46416
ヒロシ
4321-1234の場合で差を出すと3087になったので
今度は8730-378の差を出して8352になって
今度は8532-2358を試して・・・
と繰り返したら6174に収束しました

途中でループになるかなとも思いましたが
うまくいってよかったです
　　 6月8日（木） 15:37:14　　 　　46417
「数学」小旅行
abcd-dcba=bdacの虫食い算を解きました。
　　 6月8日（木） 16:09:03　　 　　46418
にゃもー君
こんばんわ。
カプレカ数とは初耳でした。
４桁の数字で１つしか無いというのが驚き。いやはや勉強になりました。

元の数をabcd
大小を並べ替えた数をＡＢＣＤ（Ａ≧Ｂ≧Ｃ≧Ｄ）として、

a　 Ａ−Ｄ
b　（Ｂ−Ｃ）−１
c　９−（Ｂ−Ｃ）
d　１０−（Ａ−Ｄ）

・aとbが決まればcとdが機械的に決まること
・a-1≧b　
を手掛かりとして、abcdを出し、検証していく作業を地道にやりました。
すると、a=6 b=1 c=7 d=4に当たったので、解答を６１７４と致しました。

今回、オフミに初参加させていただくことになりました。
どうぞ、宜しくお願い致します。
南蛮蹴鞠のまち　浦和　　 6月8日（木） 23:04:54　　 　　46419
fumio
こんにちは、なんとか解けました。ははは。
ではでは。
　　 6月11日（日） 8:49:50　　 　　46420
けーすけ
オフミ帰りです。
とても楽しかったです。
皆さんありがとうございました。
　　 6月11日（日） 21:58:08　　 　　46421
cocogoo
今回は私にとっては難問でアプローチが分からずくろうしました。結局最大、最小最小の一桁の値が2、3、4、5となる10種類の場合についてチェックしました。そして、1,7,4,？no組み合わせに行き当たり、?が6と判明しました。今回は解に到達するまでだいぶ時間がかかりました。早く解かれた皆さんが羨ましいです。
　　 6月12日（月） 8:34:01　　 　　46422
三九
#46415
確かに！10年前のPCでも瞬時に終了しました。
　　 6月14日（水） 1:04:24　　 　　46423
「数学」小旅行
今週はお休みですか。残念です。。。
　　 6月15日（木） 5:48:47　　 　　46424