吉川　マサル
すみません、ヤッコチャさんの件、すっかり抜けていました...。

そしてベルク・カッツェさん、確かにおっしゃる通りでした。m(__)m
MBP　　 10月4日（木） 0:01:20　　 HomePage:算チャレ　　47608
吉川　マサル
今晩の、問題ですが、「一度出題したことがあるような...」と思いつつ、過去問を検索して見つからなかったので出題してしまいました。

「出題しようとして、出題しなかった」問題なのか、実際に出題してしまっている問題なのか、いずれかだとは思うのですが.....２回目の出題だったら、すみません。
MBP　　 10月4日（木） 0:02:35　　 HomePage:算チャレ　　47609
ゴンとも
十進Basic で

FOR a=1 TO 10
FOR b=a+1 TO 10
FOR c=b+1 TO 10
FOR d=c+1 TO 10
FOR e=d+1 TO 10
IF MOD(a+b+c+d+e,5)=0 THEN LET s=s+1
NEXT e
NEXT d
NEXT c
NEXT b
NEXT a
PRINT s
END

f9押して　52・・・・・・(答え)
豊川市　　 10月4日（木） 0:06:13　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　47610
kyorofumi
1066回の問題に類似できると思います。
　　 10月4日（木） 0:14:42　　 　　47611
ベルク・カッツェ
5で割った余りが0〜4のものが2枚ずつ。
樹形図で合計5、10、15になるものを数えて4+44+4＝52通りになりました。
　　 10月4日（木） 0:16:31　　 　　47612
ハラギャーテイ
久しぶりにプログラムの問題で嬉しかったです
Octaveを使いました

一発正解でした
山口　　 10月4日（木） 0:49:58　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　47613
Mr.ダンディ
5で割った余り(+1,+2,-1,-2,0)で5つのグループに分け
和が+5....(2,2,1,0,0)(2,2,1,1,-1)
和が-5...(-2,-2,-1,0,0)(-2,-2-,1-1+1)
和が0.....（0,1,2,-1,-2)...........��
(0,0,+1,+1,-2)(0,0,-,1-1,+2)
(0,1,1,-1,-1)(0,2,2,-2,-2)
(1,1,2,-2,-2)(-1,-1,-2,2,2)

�，蓮�2^5=32（通り）他は2通りずつ

合計　32+2*10＝52（通り）・・としました。
　　 10月4日（木） 1:39:04　　 　　47614
今年から高齢者
初めはbasicで求めました。
あとは、５と１０が含まれているかいないかを場合分けして。
１，２，３，４，５のみを２回まで使えることとして求める
５と１０の両方がある場合、残りの３つのうち同じ数が１組必要。８とおり。
５か１０の一方のみがある場合、残りの４つは全て異なるか、同じ数が２組必要。３６とおり。
５も１０もない場合、５つの中に、同じ数が２組必要。８とおり。
合計で５２とおり。
となりました。

　　 10月4日（木） 1:09:20　　 　　47615
紫の薔薇の人
５の剰余類、<0>、<1>、<2>、<3>、<4>のそれぞれの箱に区別のできる元が２個ずつ
あり、５個取り出して和をとると、0と合同となるのは何通りかという問題と同じ。

各箱には、2個ずつしか元がないので、2箱だけで、５個取り出すことはできず、
3箱、4箱、5箱のいずれかを使うことになります。

(I)5箱使う場合
これは、各箱から、1つずつ取り出す場合だから、2^5=32通り。

(��)4箱使う場合
この場合、3箱から1つずつ、1箱から2個取り出すことになりますが、
この5数の和は0と合同になりません。

各剰余類の代表元を、a,b,c,d,eとしたとき、
a+b+c+d+e≡0なので、例えば、a+b+c+2d≡0とすると、
a+b+c+2d＝(a+b+c+d+e)+(d-e)≡d-e≠0
となり矛盾だからです。

(��)３箱使う場合
この場合、２箱から２つずつ、1箱から１個取り出すことになりますが、
実は、2箱の組み合わせを一つ与えたら、残りの３箱の中の丁度１箱だけが、
５数の和が0と合同にできる関係にあります。(※)
したがって、この場合の組み合わせは、5C2*2＝20通り。

(I)〜(��)により、答えは32+20＝52通り//

(※)の理由
a,bを異なる剰余類の代表元とすると、
2(a+b)+x=0となるxは、x≡3(a+b)ですが、このとき、x≠aかつx≠bです。
何故ならば、例えば、x≡aとすると、
a≡3(a+b)
2a≡-3b≡2b
2(a-b)≡0
Z5は体だから、a≡bとなり、矛盾。

　　 10月4日（木） 2:30:22　　 　　47616
マサル
ちなみに原題は、pを素数とし、1〜2pからp個の整数を選ぶとき、それらの和がpの倍数であるような場合の数を求めよ、という趣旨のものでした。
iMac　　 10月4日（木） 3:14:18　　 HomePage:算チャレ　　47617
「数学」小旅行
５と１０は単独で５の倍数になる。｛２，３｝、｛１，４｝は２個で５の倍数になる。｛１，１，３｝、｛１，２，２｝、｛２，４，４｝、｛３，３，４｝は３個で５の倍数になる。これらの組み合わせを考えました。
　　 10月4日（木） 6:20:02　　 　　47618
巷の夢
色々考えても時間の無駄と、15,20,25,30,35および40の組み合わせを
数え上げることにして早速実施、個数は対称になるだろうと決めてしまい、
(1+7+18)×2=52としました。
真白き富士の嶺　　 10月4日（木） 7:10:58　　 　　47619
しおぱぱ
十進BASICに頼って求めました。その後、５と１０の組合せで確認しました。
　　 10月4日（木） 9:05:18　　 　　47620
今年から高齢者
#47617、山勘による解は、{(2*p)Cp-2}/p+2。3,5,7,11,13はbasicで確認済み。
（途中の説明は間違いのようでしたので削除）
なぜこれが成立するかは不明。
　　 10月4日（木） 21:37:01　　 　　47621
にこたん
面倒になってプログラムに頼りました。
#47614 Mr.ダンディさん。
#47616 紫の薔薇の人さん。
勉強になりました。m(__)m
超ど田舎　　 10月4日（木） 16:38:22　　 　　47622
九份
余りが 1,2,3,4 の場合も検証したところ、すべて 50通りとなった。
　52+50×4=252=10C5 であるから正しい。なぜ余りが0の場合だけ 2通り多いのか
わかる方いらっしゃいますか?
　　 10月4日（木） 18:19:28　　 　　47623
Jママ
わからないのですが、

(ここに書いてあった解法は不確かなため、削除しました)

1からkpまでからp枚選ぶとき、(中略)
{(kp)Cp-k}/p+k　種類
ではないでしょうか。
等分に配分できる説明が不足してる気がするのでご教授くださいますと
有り難いです。
　　 10月9日（火） 9:28:42　　 　　47624
Jママ
#47624　の、対称性という表現はkに一般化したときに
正しくないと思いますので、訂正しますと
k=2なら2倍存在し、3なら3倍になります。
素数pについて、自然数kとしてこんな関係式が成り立つことになりますね。
k×{(kp-1)C(p-1)}=(kp)Cp
本当かな?(^_^;)

等分に配分できる件はきちんと説明できないままです(。-ω-)
　　 10月5日（金） 2:01:37　　 　　47625
cocogoo
苦手なため、丹念に数えました。5,10を含まない場合と含む場合に分けました。先ず、最小、最大は1-4,6-10で2通り。次に5,10を含まないテ、3ケ、2ケ足して5の倍数になす組み合わせはそれぞれ8個、６個。したそれらの組み合わせは12通り。2ケ要素２個と5または10の組み合わせ30通り。最後に(5,10)と3ケの組み合わせ8通り。全て加算すると52通りとなります。
　　 10月5日（金） 11:23:32　　 　　47626
cocogoo
書込みミスがありましたので訂正します。最小は1-5の加算です。2ケ要素の個数は７個です。失礼しました。
　　 10月5日（金） 11:47:53　　 　　47629
者
#47625
k×{(kp-1)C(p-1)}=(kp)Cp
は、pが素数でないときにも一般に成り立つ関係式です。
　　 10月5日（金） 12:35:51　　 　　47630
者
例えば5で割った余りが1になる組と2になる組が同数あることは、次のように理解できるかと思います。
余り1の組があったとして、これに
1→2、2→4、3→1、4→3、5→5、
6→7、7→9、8→6、9→8、10→10
という置換を施すと、必ず余り2の組になる。
　　 10月5日（金） 12:50:39　　 　　47631
Jママ
者さま
#47630 ありがとうございます。あまり公式を記憶しておらず、
ちょっと調べればよかったですね。教えていただきありがとうございました。

余り1と4,2と3どうしについては、1組の5つの数字を、それぞれ和が一定、例えば11になるものを対応させれば、1対1で対応し同じになるといっていいでしょうか。
例えば(1,2,3,4,6)【余り1】⇔(10,9,8,7,
5)【余り4】
ここで者さんの#47631の魔法のような置換をとれば、
余り1=2=3=4まで示せたことになりますね。
あとはリングで繰り返す2組を除いた余り0をどうするのか…
私にはまだわかりません。
者さんのお示しくださった置換の考え方も私の理解の遥か上をいってらっしゃり、
手品を見せていただいたような感じですf(^_^)
また、素数pを一般化するときはどうするのかという課題もあったりして(^_^;)
うーん、どうしたものでしょう。。。

追記
#47631の置換の仕組みをやっと理解？しました！
それぞれの数字を２倍したのと同義ですね(^o^ゞ
　　 10月5日（金） 18:18:43　　 　　47632
kyorofumi
#47632 #47631
なるほど。

有限体GF(p)を考えたときに挙げられた操作σ(・2、・3…、・p−1)を施せば余りの数を任意に変えることができる。
このとき、pは素数でなければ巡回？にならない。たとえばp＝6なら・２で
1→2、2→4、3→6、4→2、5→4、6→6
体をなさない。

GF(2p)について、集合{x1、x2...xp}に#47631のような操作σを与えれば必ず違う集合に写像される。ただし、このとき{1，2、…p}と{p＋1、p＋2...2p}は自身に写される。

なので、(2pCp-2)/p+2

これって5個ではなくて3個とか4個とか選んだ時も式として与えられそうですね？
　　 10月5日（金） 20:47:28　　 　　47633
今年から高齢者
#47631 #47632 #47633と面白そうなことが記述してあるのですが
#47631の置換が任意のp個を選ぶこととどのような関係にあるのかが理解できません。
易しく教授頂けたらと思いますのでよろしく
#47621で書いた式は、2pＣpをpで割るとpが素数の場合、全て2が余ることから、
余りが1〜p-1の個数は全て同じとして計算したものです（根拠なしに）。
　　 10月6日（土） 0:38:03　　 　　47634
Jママ
p＝5での話ならば、
選んだ任意の5つの数字が例えば(1,4,6,7,8)=和が26で余りは1
を、(2,3,7,9,6)=和が27で余りは2、に変換できると理解しています。
要素を2倍にすれば、「和を」(←追記)同じ5で割った余りも2倍にできます。2倍を繰り返せば
余り1→余り2→余り4→余り3→余り1、となるので
組数は、余り1=2=3=4であることが言えるというのが私の理解です。
誤りはご指摘くださると幸いです。

私の理解は#47633で行き詰まっています。笑
＞有限体GF(p)を考えたときに挙げられた操作σ(・2、・3…、・p−1)を施せば余りの数を任意に変えることができる。
ガロア体を知らないのですが、{0}はここでどう考えるのかが解らないのです…(^_^;)

　　 10月6日（土） 1:19:04　　 　　47635
kyorofumi
#47635
たしかに、余り1＝2＝3＝4は示せてますが、割り切れる場合は示せてませんね…
　　 10月6日（土） 0:45:47　　 　　47636
Jママ
kyorofumiさま
写像も{1,2,3,4,5}と{6,7,8,9,10}を除いた、和が5で割りきれる組は、それぞれまた別の5で割りきれる組へ写されるのですが、
その組数を例えば余り1の組数と同じと言い切ることができず、pで割っていいのかな?となってしまうのです。
今年から高齢者さんが推測されたように、「2を引けば割りきれるんなら、割っちゃいなYO!」(笑)と何処からか何者かの囁きが聞こえるようですがw
　　 10月6日（土） 1:31:34　　 　　47637
今年から高齢者
#47635。ありがとうございます
2倍するという意味は判りましたが、これらの置換が全ての場合を含んでいるということはどのように考えるのでしょうか？ 出発の組に5や10を含んでいても同じ事は言えそうなので、多分そうだろうなという感じはするのですが．．．。
　　 10月6日（土） 1:40:11　　 　　47638
Jママ
今年から高齢者さま
うまく言えるかわからないのですが…
2倍の置換を適当ですがZとすると
要素に奇数があるものもあるのでZの逆向き(2で割る)はできません。
そこでZを繰り返し、
50組の全ての余り1→Z→50組の相異なる余り2→Z→50組の相異なる余り4→Z→50組(同左)の余り3→Z→50組(同左)の余り1
この過程で途中に例えば余り2の組に実は51組あったとしたら
余り4も51組→Z→余り3も51組→Z→余り1が実は51組だった
ということになりスタートの「50組の全ての余り1」に矛盾します。
相異なる50組がZにより相異なる50組になることは、
5→5,10→10を含んでいても他に3つないし4つの数字があり、
{1〜4,6〜9}は1対1で対応する他の数字に置換されるので、
組全体としては1対1対応で、相異なる組み合わせはZにより相異なる組み合わせへ
変換されると言えてないでしょうか？(自信なさげ…)
　　 10月6日（土） 2:42:02　　 　　47639
Jママ
また、別の考えとして3倍の置換Y, 4倍の置換Xも同様に作れますので、
余り1→Z→余り2→Y→余り1
余り1→Y→余り3→Z→余り1
余り1→X→余り4→X→余り1
したがって余り1=2=3=4
で言えてるかな?という気がします
　　 10月6日（土） 3:04:43　　 　　47640
今年から高齢者
Jママ様#47639,#47640、お手数をかけます。感謝！
よく考えもしないで質問していましたので、今までの内容をしっかりと考えてみたいと思います。
　　 10月6日（土） 8:07:56　　 　　47641
Jママ
今年から高齢者さま
もしもご質問の主旨にお応え出来ていなかったとしたらごめんなさい！
　　 10月6日（土） 15:10:57　　 　　47642
おすまん
数え上げるも漏れがあって、解けずじまい…orz
和が15と40、20と35、25と30の時は同じことくらいしか気づかず。
適当に数字を入れて、こちらにやってきました。

問題の背景や本質は、想像を遥かに超える高度なもので、
ビックリしております(^^;

これから掲示板を拝見して勉強します♪
somewhere in the world　　 10月6日（土） 18:42:01　　 　　47643
ぽっぽ
お久しぶりです！

なんとこの問題、一般のpの場合に1995年の国際数学オリンピックの最終問題に出たみたいです笑（近年の数学オリンピックの問題はもっと難易度が高めですが）

以下の解法が最も自然でしょう：

{1,2,…,2p}のp個の元からなる部分集合全体をAとおきます。
Aの元に対して
1→2,2→3,…,(p-1)→p,p→1,(p+1)→(p+1),…,2p→2pで置き換えるという操作を考えます。Aの元Sに対してこの操作をk回施したものをS_kと書きましょう。
まず容易に分かるようにS_0=S_pです。
次にSが{1,2,…,p},{p+1,p+2,…,2p}と異なるとき,
S_0,S_1,…,S_(p-1)の各集合の元の総和をpで割った余りが互いに相異なることがわかります。(Sに含まれる{1,2,…,p}の元の数をlとしたとき,mod pで項差がlの等差数列になるので)
したがって,Aの{1,2,…,p},{p+1,p+2,…,2p}と異なる元について、その総和がpの倍数になる確率が1/pになることがわかります。以上より求める結果を得ます。

他にも(x^p-1)^2を複素数の範囲で因数分解するというとてもエレガントな証明もあるようです。この方針は強力で直ちに「{1,2,…,kp}のn元部分集合」に変えた一般化も証明します。（実は最初の方針でも少し工夫するとこれを示すことが出来ます）

以下のページが参考になると思います(英語ですが)

https://math.stackexchange.com/questions/314788/let-p-be-an-odd-prime-number-how-many-p-element-subsets-of-1-2-3-4-ldo
　　 10月7日（日） 12:49:20　　 　　47644
おすまん
数え上げる方法を変えて、無事正解（^^;

#47612 ベルク・カッツェさま
#47614 Mr. ダンディさま
の解法あたりから、勉強します。

#47644 ぽっぽさま
数オリに類題ですか！
でも、さすがに、問題の背景・本質がわかる小学生はいない！ので、
今回は、「もれなく・ダブりなく」キチンと数えられるようになりましょう、
といったところでしょうか(^^;

#それにしても、マサルさんの出題能力（＆ご努力）には、
ただただ、脱帽でございます。
somewhere in the world　　 10月7日（日） 20:08:30　　 　　47645
おすまん
#47611 kyorofumiさま
おお、なるほど第1066回と通底するのですね！
と、問題を見直したら、自分が正解していたことも
すっかり忘れている体たらく…号泣　
バーンサイドの補題も、忘却の彼方…号泣ｘ１００
somewhere in the world　　 10月7日（日） 20:20:31　　 　　47646
Jママ
#47644ぽっぽさま
とても興味深く拝読しました。置換を利用する解法、複素数平面を利用する解法、一応把握いたしました。
個人的にはどちらの解法でも最終段階が、そこまで厳密に言い切れる確証が解らないのですが、いつか納得できるような気づきや閃きが起こるかもしれないですし、無知のせいかもしれず、気長に構えようと思います。ありがとうございました。
(追記、たった今、置換の解法は解決しました。気づくの遅い…。(；゜∀゜)改めてよくできていますね!)

勘が良いことも含めて、皆様のセンスは本当に素晴らしいです。
お陰様でとても勉強になりましたので、これが先々役に立つのが楽しみです。
長々と板を消費し失礼しました。ありがとうございました！(^o^)
　　 10月7日（日） 23:51:02　　 　　47647
ばち丸
まず、1〜10のカードを5で割った余りで1,2,-1,-2,0の5種類に分類すると
それぞれ2枚ずつになる
そのカードの和が0,5,-5のどれかになるようにすればよい
1,1、-2,0,0→選び方は2通り
1,2、-2、-1,0→32通り
1,1,2、-2、-2→2通り
2,2、-1、-1、-2→2通り
2,2、-2、-2,0→2通り
1,2,2,0,0→2通り
1,1,2,2,-1→2通り
-1,-2,-2,0,0→2通り
-1,-1,-2,-2,1→2通り
1,1,-1,-1,0→2通り
2,-1,-1,0,0→2通り
を全部合わせると52通りでした
　　 10月10日（水） 6:07:19　　 MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 　　47648