ベルク・カッツェ
長方形ABDCになるように点Dをとり、PQとBRの交点をS、Cを通りBRに平行な直線とBDの交点をTとする。
三角形RSQ＝三角形CSQ、三角形CSR＝三角形TSRなので、10×3÷2＝15です。
　　 1月28日（木） 0:09:44　　 　　50061
ひだ弟
RとAが一致、QとCが一致 の特殊化です。
　　 1月28日（木） 0:12:22　　 　　50062
ひだ弟
QとCが一致 だけで十分なことに気付きました。
　　 1月28日（木） 0:14:27　　 　　50063
Mr.ダンディ
AB＝a ,AC＝b とすると
△ABC＝ab/2

△RBC＝△ABCｘRC/AC＝ab/2x(10/b)
△RBQ＝△RBCx(BQ/BC)＝ab/2x(10/b)x3/a＝15
このように求めました。
　　 1月28日（木） 0:17:58　　 　　50064
スモークマン
PQとBRとの交点をTとすると...
AB/3=10/QT
QT=30/AB
△=(30/AB)*AB/2=15
と求まるものなのねぇ ♪
　　 1月28日（木） 0:27:17　　 　　50065
げほげほ
ずばり、第311回と同じ出題ですね！
http://www.sansu.org/used-html/index311.html
プププランド　　 1月28日（木） 0:28:01　　 HomePage:正体不明（あんのうん）　　50066
今年から高齢者
BRとPQの交点をSとする
ABをBPのa倍とすれば、SQは10の1/a
面積＝AB*SQ/2＝(3a*10/a)/2=15
　　 1月28日（木） 0:28:06　　 　　50067
紫の薔薇の人
BRとPQの交点をSとすると、
△BRQ
＝△BSC
＝△BRC−△SRC
＝RC*AB/2-RC*AP/2
＝RC*(AB-BP)/2
＝RC*BP/2
＝10*3/2
＝15
　　 1月28日（木） 0:35:20　　 　　50068
紫の薔薇の人
訂正

BRとPQの交点をSとすると、
△BRQ
＝△BSC
＝△BRC−△SRC
＝RC*AB/2-RC*AP/2
＝RC*(AB-AP)/2
＝RC*BP/2
＝10*3/2
＝15
　　 1月28日（木） 0:36:40　　 　　50069
量子論
△QCR＝△PCRの等積変形を利用

△BRQ＝△BRCー△QCR＝△BRCー△PCR
＝10×(AP＋3)/2ー10×AP/2＝10×3/2＝15
　　 1月28日（木） 1:26:13　　 　　50070
ゴンとも
AR=a,AP=bとして座標で
A(0,0),B(0,b+3),c(a+10,0),P(0.b)とすると
直角三角形ABC-直角三角形ARB-△QRC
=(10+a)*(b+3)/2-a*(b+3)/2-10*b/2
=5*(b+3)-5*b=15・・・・・・(答え)
豊川市　　 1月28日（木） 2:03:04　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50071
くらげ
数値から答えはすぐに予想できますが、証明を考えると面白いですね。
別解もたくさんありそうですね。
　　 1月28日（木） 3:20:17　　 　　50072
「数学」小旅行
特殊化でとりあえず。何故なのかはこれからです。
　　 1月28日（木） 4:21:09　　 　　50073
ばち丸
よく見ると
三角形の面積＝底辺×高さ÷２
という普通の公式通りですねえ。

△ＢＣＲ＝ＲＣ×ＡＢ÷２・・・��
△ＱＣＲ＝ＲＣ×ＡＰ÷２・・・��
�　櫚△�
△ＢＱＲ＝ＲＣ×（ＡＢ−ＡＰ）÷２
　　　　＝１０×３÷２＝１５

#50060　巷の夢様
入試問題って気合を入れて考えると当たることがあります。
結構、気合が必要なのが難点。
しかも確約もできないので私のは大した能力ではないですけどね。
大昔、家庭教師をやっていて、ああ、こんなの東大で出そうだなあと
考えていたら本当に出たことがあります。
ちっとも出来ない今は亡き妹の高校入試の前日に、こんなのどうだ？
って出してやったら本当にその問題が出て合格しました。
京都大学も１年で２問当たったことがあります。

なかなかできない昔の自慢。あっと思うともう30年も前。
今じゃたぶんもう出来ないだろ
　　 1月28日（木） 4:44:47　　 MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 　　50074
巷の夢
#50074　ばち丸様

拝読致しました。正に霊感ともいうものですね。そんなことが
現実にあるとは・・・。勉強になりました。
真白き富士の嶺　　 1月28日（木） 7:34:20　　 　　50075
あやのりん
これだけの条件で、相似&比で解けるんですねー！
面白い！
AP=x として、 BRとPQの交点をSとすると、
求める△ＢＲＱの底面をSQ、高さをABとして
SQ=10×(3/3+x)
AB=3×(3+x/3)
面積は、10×(3/3+x)×3×(3+x/3)×1/2=15
海　　 1月28日（木） 11:06:10　　 HomePage:鈴木あやの　　50076
CE
平行四辺形 BCRS を用意して、等積変形をすると
△BRQ＝△BSQ＝10×3÷2＝15 cm^2 となりました。
　　 1月28日（木） 12:23:52　　 　　50077
岡本ボンバーズ
わからないところをχやYとおいて、計算したら１５しか残りませんでした。コロナはいつ収まるのでしょうか。オリンピックは…
　　 1月28日（木） 13:06:55　　 　　50078
にこたん
大きな三角形と中くらいの三角形の底辺が同じで１０で高さの差が３だ
から１０×３÷２＝１５でした。。。
超ど田舎　　 1月28日（木） 16:11:38　　 HomePage:気ままに　　50079
紫の薔薇の人
最近見たシンプルな設定の問題の紹介。
面積425の正方形ABCD内に、∠AEB＝90°、△AEB＝76、AE＞BEなる点Ｅをとる。このとき、AEの長さは？

ひらめき一発で、√も方程式も三角関数も使わない模範解だったけど、最近の小学生は、こんな問題の訓練もするんですね。
　　 1月28日（木） 17:51:10　　 　　50080
ばち丸
#50080紫の薔薇の人様

19でしょうか。和差算でした。
全く偶然でよく似た問題を作っていたところでした。
　　 1月28日（木） 20:06:12　　 　　50081
あやのりん
#50080 紫の薔薇の人さま
正方形ABCDの内側に△AEBと合同な直角三角形を4つ、中心に正方形が来るように並べて〜
小さな正方形が121=11×11になるので…と解けますね！

算数では解く途中によく見る図形ですね。
海　　 1月28日（木） 20:42:23　　 HomePage:鈴木あやの　　50082
蜻蛉
Rと通りBCと平行な直線とPQの延長との交点をSとすると四角形QCRSは平行四辺形になるので、QS=10
△BQSは底辺10高さ3なので面積15
求める三角形はこれと等積
　　 1月28日（木） 21:31:10　　 　　50083
にゃもー君（＞ω＜）ノシ
PQとBRの交点をSとして
△BRQ=SQ×AB/2 （SQを底辺 ABを高さとみる）

SQ:RC(=10) = BP(=3):ABより
SQ×AB=30

よって△BRQ=15

数字が入っているBPとRCをどのように結びつけるかがポイントでした。
浦和　　 1月28日（木） 21:56:07　　 　　50084
紫の薔薇の人
#50081,#50082
正解です。
内側に並べて正方形を作って、後は方程式に持ち込んで解いたのだが、
模範解では、さらに、外側にも並べて和差算に持ち込んで、方程式を回避して解いていたので驚いた次第です。
きちんと平方数が出るように作問すると、算数の守備範囲になる。

　　 1月28日（木） 23:03:09　　 　　50085
ベルク・カッツェ
#50080
425−76×4＝121
121＝11×11
76×2＝152
152＝19×8
19−8＝11
よって答えは19、あやのりんさんと同じですかね。
図形があって誘導がないと、知らない人はほぼ解けないでしょうね。
　　 1月29日（金） 0:10:07　　 　　50086
ばち丸
#50080, #50082, #50085, #50086
ということは平方根も、2次方程式の解と係数の関係も知らない小学生に
「整数しか使ってないんだからいいじゃんか」とか言って
うまく誘導して（たとえばやたら解が大きい、3桁の整数とかの）2次方程式を解かせるのも
中学入試の守備範囲にできますね。
おもしろい！
　　 1月29日（金） 0:45:34　　 MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 　　50087
くらげ
数学をやると「算数から見た数学」と「数学から見た算数」の両方を楽しめるようになるのが面白いですね。
　　 1月29日（金） 2:02:32　　 　　50088
くらげ
数学をやると「算数から見た数学」と「数学から見た算数」の両方を楽しめるようになるのが面白いですね。
　　 1月29日（金） 2:05:45　　 　　50089
くらげ
↓操作を間違えて連投してしまいました。ごめんなさい。。。
　　 1月29日（金） 2:06:49　　 　　50090
紫の薔薇の人
#50087
解と係数の関係を見つけさせるのは、さすがに、小学生範囲を超えるのでは。
(もっと小さい数ならば、出題あるかもしれないが、19と8を見つけるのは難しいかも)

模範解は、　#50086の76×2＝152 に出てくる長方形をあと３つ（計４つ）外に付け足すものです。

425+76*4＝729
729＝27*27
和27、差11だから、長辺は、(27+11)/2＝19
//
ほぼ作図だけで解いて見せていました。
和算の算額にありそうな感じ。

算数では、お馴染みの？図形が入れ子になっている図形を書けるのかが鍵。

　　 1月29日（金） 2:51:47　　 　　50091
あやのりん
なるほど！外側にもつけるのですね〜
元の正方形の一辺がルートでも、何でも数値大丈夫なのですね。
729＝27×27 はなかなか気が付かなそう（笑）
もう少し小さい数にしてあげたいところ〜
海　　 1月29日（金） 7:41:17　　 HomePage:鈴木あやの　　50092
あやのりん
なるほど！外側にもつけるのですね〜
元の正方形の一辺がルートでも、何でも数値大丈夫なのですね。
729＝27×27 はなかなか気が付かなそう（笑）
もう少し小さい数にしてあげたいところ〜
海　　 1月29日（金） 11:59:58　　 HomePage:鈴木あやの　　50093
あやのりん
なるほど！外側にもつけるのですね〜
元の正方形の一辺がルートでも、何でも数値大丈夫なのですね。
729＝27×27 はなかなか気が付かなそう（笑）
もう少し小さい数にしてあげたいところ〜
海　　 1月29日（金） 14:38:01　　 HomePage:鈴木あやの　　50094
紫の薔薇の人
#50092
AE=a,BE=b,AB=cとすると、
□ABCDの内側に△AEBと合同図形を4つ書く。c^2＝(a-b)^2+1/2ab*4＝a^2+b^2
□ABCDの外側に△AEBと合同図形を4つ書く。c^2＝(a+b)^2-1/2ab*4＝a^2+b^2
と三平方の定理の証明を２つ示してしまう図式なのでした。
　　 1月29日（金） 18:34:12　　 　　50095
ばち丸
あやのりんさん。ウイルスにやられたかな？
７２９は明らかに９の倍数だからあまり苦しくないだろうな。
しかし外側に直角三角形を書くと辺の和が出てくるのは良かった。
私もまねて作ってみたら５２９ってのが出てきた。こいつは
ちとかわいそう。
　　 1月29日（金） 18:38:53　　 MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 　　50096
くらげ
729はまだしも、529は気付きにくいですね......
倍数判定法のように平方数判定法みたいなものもあれば便利なんですが...
　　 1月30日（土） 2:57:38　　 　　50097
くらげ
いっそのこと√も算数に入れてもらえたら一気に出題の幅が広がるんですけどね
　　 1月30日（土） 2:58:54　　 　　50098
くらげ
以前「2乗の和の公式」の視覚的な証明を見て感激した記憶があります。
このように図形的な考え方を使えば高校数学も多くが算数範囲になるかもです。
　　 1月30日（土） 5:35:17　　 　　50099
ドリトル
2回連続で正解できなかったことによって心を折り、
しばらく放っておきましたが、解けたので元気出ました。
10×(3+AP)÷2×3/(3+AP)=15で出来ますね。
よく見たら等積変形も確かにできる。
　　 1月30日（土） 23:01:49　　 　　50100
くらげ
算数にチャレンジは場合の数の回が特に難しいイメージです。
算数的な考えがもうできない......
　　 1月31日（日） 6:05:21　　 　　50101
おすまん
解けていませんが、掲示板には入ることができました。正答率は高いですが、自分には難問でした…　出直してきます…orz
somewhere in the world　　 1月31日（日） 22:46:28　　 　　50102
くらげ
都内の中学入試が本格的に始まりますね。
面白そうな問題が出たらぜひ挑戦してみたいです。
頑張れ受験生！！
　　 2月1日（月） 6:10:32　　 　　50103
おすまん
解けていませんが、掲示板には入ることができました。正答率は高いですが、自分には難問でした…　出直してきます…orz
somewhere in the world　　 2月3日（水） 12:27:03　　 　　50104
あやのりん
#50096
書き込みを削除しようとしたら、なぜか削除されずに同じ投稿が更に書き込まれてしまいました！💦
はて？

今年の中学受験算数、立方体の切断がやたら多いですね〜
海　　 2月4日（木） 9:53:04　　 HomePage:鈴木あやの　　50105
Mr.ダンディ
シンプルな問題を見つけたので紹介してみます。

【暇つぶし問題】（皆さんには　暇つぶしにならないかも・・）
AB=19　cm ,面積が　60cm^2 の△ABCにおいて
AとBCの中点M　を結ぶと　∠AMB＝135°　となったという
ACの長さを求めてください。（算数の範囲外の解法も可）

　　 2月4日（木） 13:10:14　　 　　50106
ドリトル
算オリの問題ですよね。確か正答率0%の超難問でした。
1回やったことある(当時は不正解)ので反則ですが、
△ACMを反転させて、それを4つ合わせたら、2つ正方形ができるやつで、
ルート(19×19-60×4)=11cmと、算数でできるようです。
　　 2月4日（木） 15:47:11　　 　　50107
みかん
とりあえず麻布の算数問題を見てみました。問題は塾のホームページでどうぞ。

（１）図形の平行移動
直角三角形と台形の重なりの面積。正確な図を書けなければならないが、重なり
部分の図形が分かれば計算自体は楽。

（２）速さ
速さと時間の比を使って解くが、計算途中で分数が出るのがやや面倒。進行グラフを
書ければそんなに難しいものではないでしょう。

（３）規則性
紙の貼り合わせで重なる部分や空白部分の数に注意しながら解く問題。規則性も
分かりやすいし、計算も楽。

（４）整数条件の鶴亀算
「１．０７と書いてあるカードと２．１３と書いてあるカードが合わせて３２枚あり、
３２枚の和の値の求めたら小数部分が０．７８だった。この時の整数部分の値は？」
という問題。
小数部分だけを集めると　０．０７×３２＜？＜０．１３×３２　より、？として
考えられるのは２．７８か３．７８。２．７８のときに２３枚＋９枚で成立したから
答えを書き込んではい終わりではなく、３．７８では不成立ということを確認する必要が
あるでしょう。解法をきちんと書かせる入試問題だけに、ここでの減点は痛い。
後半は同様に「１６０枚の和の値の小数部分が０．３６」の場合を求めさせる問題。
整数解を持つという条件の鶴亀算なので、難易度は普通か。

（５）試行錯誤を伴うパズル
ボタンを押すと一定条件で点灯と消灯を繰り返すゲーム。徐々に右下へ追い込んでいけば
いいので地道に作業すればＯＫ。ちなみに、ボタンを押す順序は影響しない模様。
ところで、「縦横５つずつ（計２５個）のボタンがあり、押したボタンと上下左右に
隣接するボタンの点灯・消灯が入れ替わる（点灯しているところは消え、消えているところは
点灯する）」という玩具が売られていたのを御存じの方はいらっしゃるでしょうか？

（６）場合の数
小問１・２は最後の設問への誘導。センター試験でも出そうなネタですが、小学生で
３問めを解くのはきつそう。

というわけで、今年は高得点が取りやすそうだなぁと思いました。（４）の解法部分で
減点されないことがけっこう重要な気がします。（６）のラストの正解者は少ないんじゃ
ないかなぁ。（２）の進行グラフを書く問題は私が苦手だから手間取っただけで、難易度と
してはそれほどではないでしょう。
　　 2月4日（木） 15:59:02　　 　　50108
紫の薔薇の人
#50106
AC=x,AM=y,CM=zとおいて、
面積条件から、yz/√2＝60
余弦定理を2回使って、
x^2＝y^2+ｚ^2-2yz/√2＝(361-2yz/√2)-2yz/√2＝361-4yz/√2＝361-60*4＝121
x>0だから、x=11
//
最初、折り返したけど、その後が続かなかったんで、数学に頼りました。
#50167と同じ式になるんですね。
　　 2月4日（木） 21:35:31　　 　　50109
みかん
続いて武蔵中の感想。相変わらず問題文が手書きなのは「変える気がない」のでしょうね。
この伝統はいつまで続くんでしょ？

（１）前半　計算問題
ちょっと面倒だが、正解数値を見ると「お！」と楽しめる。
（１）後半　水槽の給水
線分図で十分な問題。分数の分母で５２や３１が出て不安がよぎるが、きれいに約分できる。

（２）速さ
２人とも同じ速さで移動するので「同じ人が１往復する」タイプの問題として考えれば上り・
下りの速さなどが分かる。休憩時間が挟まるために面倒そうに見えるけれど、気づいてしまえば
大したことはない問題。気付けないと大問２をまるまる捨てることになるのは痛い。

（３）平面図形
１問めは易しいんだけど、２問目以降で与えられた条件をどう使うかがポイント。ここの
２・３問めで点差が付きそう。

（４）調べ上げ
前半は立方体の展開図を選ぶだけ。正方形６面からなる立方体の展開図はたかだか１１通り、
なので、全部押さえておきたい。
後半は条件に合うサイコロの展開図を探し出すもの。ア・イ・ウと小問が３つあるのに、
「条件に合うのは全部で何通りか」を２つめにしているのが謎。条件に合う展開図のうち
いくつかはすぐ見つかるけれど、数え落とさないようにするのは難しい。

というわけで、（１）を完答するのは当然として、あとがなかなか。（２）を完答できれば
残りはほどほどでＯＫ、（２）を捨てるハメになると（３）と（４）で挽回するのは厳しいか。
　　 2月4日（木） 23:29:59　　 　　50110
ゴンとも
#50106

解法が3つできました!!1つ目は・・・

座標でA(0,0),B(19,0),C(a,120/19),M((19+a)/2,60/19)
AM=sqrt(((19+a)/2)^2+(60/19)^2)
BM=sqrt(((19+a)/2-19)^2+(60/19)^2)
△ABMで余弦定理より　Maxima で

sqrt(((19+a)/2)^2+(60/19)^2)$
sqrt(((19+a)/2-19)^2+(60/19)^2)$
rhs(part(solve(factor((19^2-%o1^2-%o2^2)^2-(sqrt(2)*%o1*%o2)^2),a),2))$
sqrt(%^2+(120/19)^2);11・・・・・・(答え)
豊川市　　 2月5日（金） 11:42:31　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50111
くらげ
私が参加した年の問題ですね。
４つ同じ図形をくっつける解法は今でこそ主流ですが当時はマイナーでした。。。
　　 2月5日（金） 12:10:10　　 　　50112
ゴンとも
#50106

2つ目は・・・

座標ですが余弦定理を使用せずに・・・

M(0,0),B(-b,0),C(b,0)
点B,Cを中心にそれぞれ長さ19,a(=答え)の円の交点で点Aを求め
Aのx,y座標が同じことと(後ほど∠AMB=45°を除外),BC(=2*b)掛けるAのy座標/2=60の
2式より答えがでる　Maxima で

part(solve([(x+b)^2+y^2=19^2,(x-b)^2+y^2=a^2],[x,y]),2)$
num(factor(rhs(part(%o1,1))-rhs(part(%o1,2))))$
factor(part(%,1)^2-(%-part(%,1))^2)/-2$
num(factor(2*b*rhs(part(%o1,2))/2-60))$
-factor(part(%,1)^2-(%-part(%,1))^2)$
factor(2*%o3-%o5);(a-11)*(a+11)*(a^2-601) より
a=11・・・・・・(答え)(ここで19<sqrt(601)で∠AMB=45°で不可)

3つ目は座標ででなく面積で・・・
豊川市　　 2月5日（金） 12:10:11　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50113
ゴンとも
#50106

3つ目は・・・

CA=a,BM=CM=b,AM=cとして
△AMB=b*c*sqrt(2)/4=30 より
c=120/sqrt(2)=60*sqrt(2)/b ここで
△ABM=30でヘロンの公式でbがもとまり
△ABC=60でヘロンの公式でaが求まる　Maxima で

a1:19$
b1:60*sqrt(2)/b$
c1:b$
expand((a1+b1+c1)*(-a1+b1+c1)*(a1-b1+c1)*(a1+b1-c1))$
num(factor(sqrt(%)/4-30))$
rhs(part(solve(factor(part(%,1)^2-(%-part(%,1))^2),b),2))$
a2:a$
b2:19$
c2:2*%o6$
expand((a2+b2+c2)*(-a2+b2+c2)*(a2-b2+c2)*(a2+b2-c2))$
num(factor(sqrt(%)/4-60))$
rhs(part(solve(factor(part(%,1)^2-(%-part(%,1))^2),a),4));
11・・・・・・(答え)
豊川市　　 2月5日（金） 12:46:35　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50114
ゴンとも
#50106

4つ目で・・・
座標で今までより計算が楽な解法が・・・

a,bを正の数としてM(0,0),A(-b,0),B(a,-a),C(-a,a)として
△ABC=60,AB=19,答えをxとして　Maxima で
rhs(part(part(solve([a*b=60,(a+b)^2+a^2=19^2,x=sqrt((b-a)^2+a^2)],[a,b,x]),1),3));
11・・・・・・(答え)
豊川市　　 2月5日（金） 13:31:13　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50115
Mr.ダンディ
#50106 みなさん取り組んでいただき有難うございます。
この問題は　河野玄斗さんのyoutubeにあった問題の長さを2倍して整数値に置
き換えたものです。（算数オリの問題と書いてあったように思います。）
差数により解法がそこで説明されてありましたので、知りたければ　そちらの
方を見てください（ここで書き込むにはあまりにも大変なので・・）
くらげさん　#50112 、ドリトルさん#50107が書かれておられるような手法でした。
私は算数では解けずに　紫の薔薇の人さんの#50109 と同じ方法で解きました。
ゴンともさん4通りの解法も考えられてすごいですね。
（さすがプログラム・座標に強いゴンともさんですね）
4つめが　最もスッキリしているように思いました。
　　 2月5日（金） 23:26:41　　 　　50116
くらげ
#50116
Mr.ダンディさん
これと同じような考え方を利用する問題が他にも出ていましたよね。四角形を４つくっつけて大小の正方形を構成して考える問題です。
数学を勉強するとすぐに辺の長さや角度を文字で置きたくなるので、あのような発想は小学生じゃないと出づらいかもですね。
　　 2月6日（土） 7:56:53　　 　　50117
くらげ
ゴンともさんの４つ目の解法、非常にシンプルで良いですね。
こういう方法を思いつけたらもっと算数を楽しめそうです（笑）
　　 2月6日（土） 7:59:21　　 　　50118
ばち丸
まさにひまつぶしになってしまった。あそんでやってください。

和が170、積が7189である整数の組み合わせを求めなさい
　　 2月7日（日） 20:17:24　　 　　50119
ごくつぶし
79×91
　　 2月7日（日） 21:05:24　　 　　50120
ばち丸
ごくつぶしさん。速すぎます！（もちろん正解です。ありがとうございます）

ひまつぶしの続き

ではこれを中学受験生にわかるように説明するにはどうすればよいでしょうか
　　 2月7日（日） 22:08:23　　 　　50121
紫の薔薇の人
#50121

>和が170、積が7189である整数の組み合わせを求めなさい
>79×91
>ではこれを中学受験生にわかるように説明するにはどうすればよいでしょうか

あたりをつけるためのヒントとして、次を教えます。
・和が一定の２数については、近い２数の積の方が大きい。(85*85が最大)
・１の位の和と積に注目すると、Ａ１*Ｂ９型しかない。

50*120＝6000＜7189
60*110＝6600＜7189
70*100＝7000＜7189
80*90＝7200＞7189
だから、候補は71*99か79*91
71*99＝7029＜7189
79*91＝7189

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　　 2月8日（月） 2:49:25　　 　　50122
fumio
こんにちはお久しぶりです。
　　 2月8日（月） 12:28:57　　 　　50123
くらげ
7189=7*1027=7*(1001+26)=7*13*(77+2)=7*13*79
よって、かけて7189になる組合せは(1,7189),(7,1027),(13,553),(79,91)
このうち和が170になる組合せは(79,91)
　　 2月8日（月） 13:01:28　　 　　50124
くらげ
素因数分解の問題だと一番好きなのは9991です。
　　 2月8日（月） 15:00:39　　 　　50125
みかん
今年の駒場東邦中の問題ですが、うまい解き方があるのでしょうか？

［問題］
２０２１や６５６４のように、連続する２つの２桁の整数を並べてできる
４桁の整数を考える。
（１）このような整数は何個あるか。
（２）このような整数すべての平均を求めろ。
（３）このような整数のうち、４７の倍数をすべて答えろ。

（１）と（２）は特に難しくないのですが、気になるのが（３）。

＜（３）の地道な？解法＞
（あ）上２桁＜下２桁の時　１０１１・１１１２・１２１３…→公差１０１の等差数列
（い）上２桁＞下２桁の時　１１１０・１２１１・１３１２…→公差１０１の等差数列

（あ）の時、４７で割った時の余りは
２４・３１・３８・４５・５・１２・１９・２６・３３・４０・０…となるので、
１１番目の数は２０２１（＝４７×４３）。
これに４７と１０１の公倍数である４７４７を加えた数　２０２１＋４７４７＝６７６８
も条件に合う。さらに４７４７を加えると４桁に収まらないので不可。

同様に（い）の時、４７で割った時の余りは
２９・３６・４３・３・１０・１７・２４・３１・３８・４５・
５・１２・１９・２６・３３・４０・０…となるので、
１７番目の数は２７２６（＝４７×５８）。
これに４７４７を加えた数　２７２６＋４７４７＝７４７３　も条件に合う。
さらに４７４７を加えると４桁に収まらないので不可。

以上より、４７の倍数は
２０２１・２７２６・６７６８・７４７３　の４つである。

――――――――――――
私の解き方だと（１）・（２）の小問の意味がないので、正攻法がありそうです。
うまい解き方、あるのかなぁ？
　　 2月8日（月） 16:59:15　　 　　50126
みかん
お次は駒場東邦の問題。

（１）小問集合　
１、四則計算　２、面積　３、覆面算　４、規則性　５、数え上げ
覆面算が思ったより手間取りますが、基本的に易しい問題ばかり。
５問目はペントミノの種類の数え上げ。いちおう誘導がついているけれど、パズルなどで
１２種類あるというのは知っているのでは？　ちなみに、ヘキソミノは３５種類。

（２）場合の数
１・２問目は組み合わせで計算しても、漸化式っぽく解いてもＯＫ。
３問目は場合分けが面倒で、けっこう難しそう。ちょっと段数を増やせば、算チャレでも
使えそうなネタです。

（３）立体図形
「立方体の積み木を積み上げたのを切断する」問題でおなじみ、断面に正三角形が並ぶのを
想像する問題。定番ネタなので難しくはないはず。

（４）数の性質？
（#50126）で書いたとおりですが、３問目が難問か。（上２桁＞下２桁）と（上２桁＜下２桁）の
２パターンに分けて考えるのがポイントだが、なかなか思いつかないかも。

手間をかけて調べなければならない問題が（１）−５、（２）−３、（４）−３と３問あるので、
楽ではありませんね。こういう問題は「解けた気にはなる（実際は不正解）」ことも多い、
やっかいな問題です。合格点は６割なので、難問と思われる（２）−３、（４）−３は捨てても
大丈夫。（３）−２、３と（４）−２あたりを正解しておけば、他科目に余裕ができそうです。
　　 2月8日（月） 22:34:06　　 　　50127
くらげ
駒場東邦さんの入試問題、難しいですね
結構な進学校なんですかね
　　 2月9日（火） 19:28:13　　 　　50128
ばち丸
みなさん。遊んで頂きどうもありがとうございます。#50122、#50124

今回は最近の紫の薔薇の人さんの問題（No.消えてしまって不明。正方形の周りと内側に直角三角形を書くやつ）
をもとに右のものを左に、左のものを右にといろいろ考えたのでした。
「二次方程式を中学受験生に解かせるにはどうすればよいか」

長方形の面積にして考えました。

長辺がａ、短辺がｂの長方形でａ＋ｂ=170でありかつ面積がａｂ＝7189であるもの4つを1辺の長さが170(＝a+b)の正方形の
内側に真ん中に正方形が出来るようにならべると、真ん中の正方形の1辺の長さはａ−ｂになる。
（ａ+ｂ)^2−４ａｂ＝（ａ−ｂ)^2ですから当然ですよね。
真ん中にできる正方形の面積は170×170−7189×4＝144だからａ−ｂ＝12。これとａ＋ｂ＝170から和差算で
ａ，ｂが求められる。

さらによく見るとａ、ｂはｘについての二次方程式ｘ(170-ｘ)=7189の解なので
これを整理すると
x^2−170x+7189＝０となり、a+b=170、ab＝7189だったから、あら不思議。小学生にわかるように
2次方程式の解と係数の関係が説明できた！
　　 2月9日（火） 21:07:03　　 MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 　　50129
紫の薔薇の人
#50129
面白い解き方ですね。
塾技とか言って定番化しそう。
　　 2月9日（火） 22:58:30　　 　　50130