だいすけ　＠カレー好き
AからBCに垂線AHを下すと、CA：CH＝8:7になるんですね。
2倍角の定理使ってそうわかったんですけど、なんでなんだろう・・・
　　 2月25日（木） 0:13:33　　 　　50200
だいすけ　＠カレー好き
#50200
あ、△ABHが△ABCの半分と相似なんですね。なるほど！
　　 2月25日（木） 0:17:02　　 　　50201
だいすけ　＠カレー好き
まとめると、、
AからBCに垂線AHを下すと、△ABHが△ABCの半分と相似になって、BH＝1/4.
CH＝2-1/4＝7/8.
CA:CH＝8:7

QからACに垂線QIを下すと、△CQIと△CAHは相似。
CQ=CI×8/7＝8/7

AQ=CQ=8/7

△PAQと△PBCの相似比が、8/7：2＝4:7
PQ=CQ×4/3＝32/21
　　 2月25日（木） 0:23:10　　 　　50202
紫の薔薇の人
∠ACB＝θとおくと、余弦定理から、cosθ＝7/8
AQ=CQ=aとおくと、∠ACQ＝θに余弦定理を使い、a=8/7
PQ＝CQ*AQ/(BC-AQ)＝8/7*8/7/(6/7)＝32/21
//
　　 2月25日（木） 0:37:06　　 　　50203
いちごみるく
BC上にBとは異なるAX=1となる点Xをとる
角度などよりACXとPCAが相似なのがわかるのであとは計算
　　 2月25日（木） 0:45:38　　 　　50204
baLLjugglermoka
相似で解けましたが、計算が地味にめんどいから暗算は諦めて、フツーに紙とペンで(^^)
　　 2月25日（木） 0:47:20　　 　　50205
ゴンとも
座標でC(0,0),B(2,0)として
点C,Bを中心にそれぞれ長さ2,1の円の交点として
点Aを求め,すると直線AB,CP(それとtanの2倍角の公式より)
の方程式が求まり,この交点として点Pが求まり
点Aのy座標を直線CPのy座標に代入して点Qのx座標が求められ
点Aのy座標=点Qのy座標より点Qが求まり線分PQが三平方で求まる
Maxima で

part(solve([x^2+y^2=4,(x-2)^2+y^2=1],[x,y]),2)$
rhs(part(%o1,1))$rhs(part(%o1,2))$
trigexpand(tan(2*a))$ev(%,tan(a)=%o3/%o2)$
part(solve([y=%*x,y=-%o3*(x-2)/(2-%o2)],[x,y]),1)$
sqrt((rhs(part(solve(ev(y=%o5*x,y=%o3),x),1))-rhs(part(%o6,1)))^2+(rhs(part(%o6,2))-%o3)^2);
32/21・・・・・・(答え)
豊川市　　 2月25日（木） 1:11:11　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50206
ゴンとも
第2解法できました!!座標でないものが・・・

黒丸のcosは三角比とcosの2倍角より2*((sqrt(15)/2)/2)^2-1=7/8
角の2等分線の性質よりAP=a,PC=2*a
ここで△CPAで余弦定理よりa^2=4+4*a^2-2*2*2*a*7/8
これを解くとAP=a=4/3よりPC=8/3　ここで△QPA∽△QCD,AB=CD=1 より
AP(=4/3):CD(=1)より (8/3)*(4/3)/(1+4/3)=32/21・・・・・・(答え)
豊川市　　 2月25日（木） 1:51:34　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50207
ゴンとも
第2解法できました!!座標で最初の解法より少し短いものが・・・

座標でA(0,0),C(2,0)として
点A,Cを中心にそれぞれ長さ1,2の円の交点Bを求め
直線ABの方程式が求まりこの直線のx座標をaとして
点Pの座標が求まり角の2等分線の性質より
PA^2:PC^2=1:4でaが求まりそれを点Pの座標に代入
PA,PCが求まり△QPA∽△QDCでCD*PC/(AP+CD)で答え
Maxima で

part(solve([x^2+y^2=1,(x-2)^2+y^2=4],[x,y]),1)$
part(solve((a-2)^2+(rhs(part(%o1,2))*a/rhs(part(%o1,1)))^2=4*(a^2+(-rhs(part(%o1,2))*a/rhs(part(%o1,1)))^2),a),1)$
sqrt(ev((a-2)^2+(rhs(part(%o1,2))*a/rhs(part(%o1,1)))^2,%o2))$
(%/2)*%/(1+%/2);32/21・・・・・・(答え)
豊川市　　 2月25日（木） 2:41:35　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50208
ベルク・カッツェ
何も思いつかないうちに寝落ちしていて、先ほど目が覚めて改めて考えてなんとかわかりました。
PC上にPQ=2となる点Rをとり、PA上にAS=1となる点Sをとると、SR=1/2となり、三角形PSRと三角形PACの相似比が1：4となり、あとは辺の比を考えて32/21となりました。
まだ眠いのでまた寝ます。おやすみなさい。
　　 2月25日（木） 3:26:52　　 　　50209
「数学」小旅行
とりあえず、ｔａｎの倍角公式で△PBCの高さを出して、
△ABCの高さとの比を求めると7:3になりましたので………頑張って暗算しました。
　　 2月25日（木） 3:27:51　　 　　50210
ゴンとも
#50208
>第2解法できました!!座標で最初の解法より少し短いものが・・・

訂正で第3でしたね。第4解法が座標で

直線AP:y=-sqrt(15)*x
直線CP:y=-sqrt(15)*(x-2)/7
直線AD:y=sqrt(15)*x/7
直線AP,CPの交点P,直線AD,CPの交点Qを求め三平方で　Maxima で

part(solve([y=-sqrt(15)*x,y=-sqrt(15)*(x-2)/7],[x,y]),1)$
part(solve([y=sqrt(15)*x/7,y=-sqrt(15)*(x-2)/7],[x,y]),1)$
sqrt((rhs(part(%o1,1))-rhs(part(%o2,1)))^2+(rhs(part(%o1,2))-rhs(part(%o2,2)))^2);
32/21・・・・・・(答え)

これは短いんだけど直線を求める過程をはしょてしまって・・・
豊川市　　 2月25日（木） 3:51:24　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50211
ドリトル
やっぱ立体になると最弱…
寝坊も多いのでリアルタイムはしませんでしたが、
AからBCに、AP=1cmとなる点Pをとって
1:1.5:2の相似、2×4/3=8/3、4/3:7/3=4:7
8/3×4/7=32/21でいけました。
　　 2月25日（木） 7:40:01　　 　　50212
「数学」小旅行
国公立大学、入試日ですね。今年の問題はどんなんか。
早く見てみたいものです。
　　 2月25日（木） 8:02:46　　 　　50213
ゴンとも
#50211

>これは短いんだけど直線を求める過程をはしょてしまって・・・

座標でA(0,0),C(2,0)として
黒丸のcosは三角比とcosの2倍角より2*((sqrt(15)/2)/2)^2-1=7/8
より黒丸のtanはsqrt(1-(7/8)^2)/(7/8)=sqrt(15)/7・・・・・・(1)
∠PAC=(%pi-a)/2+a=a/2+%/2 より　
tan(a/2+%/2)=-1/tan(a/2)・・・・・・(2)
ここでtan(2*(a/2))=2*tan(a/2)/(1-tan(a/2)^2)=tan(a)=sqrt(15)/7
これを解いてtan(a/2)=1/sqrt(15) これと(2)とより　
tan(∠PAC)=tan(a/2+%/2)=-1/tan(a/2)=-sqrt(15)　これと(1)より

を解答のはじめとしてくっつける。
#50208
と座標軸は同じだが計算は楽になってると思います!!
豊川市　　 2月25日（木） 10:42:36　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50214
蜻蛉
ABCDが平行四辺形なので∠CAQ=∠BCDで問題の条件から∠ACQとも等しく、△QACは二等辺三角形。
BCのBの左に延長してその上にAE=2となる点をとると△ACEは二等辺三角形で△QACと相似。△ACEの底辺を三平方で求めて、相似の比からAQ=CQ=8/7。
このあとも相似の比で求めました。
三平方を使ってしまった……
　　 2月25日（木） 10:49:10　　 　　50215
ゴンとも
#50214

すみません自己レスで訂正で・・・

>∠PAC=(%pi-a)/2+a=a/2+%/2 より　
>tan(a/2+%/2)=-1/tan(a/2)・・・・・・(2)
>tan(∠PAC)=tan(a/2+%/2)=-1/tan(a/2)=-sqrt(15)

訂正で
∠PAC=(%pi-a)/2+a=a/2+%pi/2 より　
tan(a/2+%pi/2)=-1/tan(a/2)・・・・・・(2)
tan(∠PAC)=tan(a/2+%pi/2)=-1/tan(a/2)=-sqrt(15)

あと座標でない解法で先のものと違うものができそうで・・・
豊川市　　 2月25日（木） 11:11:11　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50216
次郎長
解き方は皆さんそれぞれですね。
私はＡＣに対するＢの対称点Ｂ’を取り、△ＰＡＢ’と△ＰＡＣの相似から、ＰＢ’＝２／３、ＰＡ＝４／３を求め、ＰＣ＝ＰＢ’＋Ｂ’Ｃ＝８／３
これをＰＡ対ＡＢ＝４：３割して、８／３×４／７＝３２／２１
見た目よりずいぶんとややこしかったです。
　　 2月25日（木） 12:25:53　　 　　50217
量子論
一見簡単そうに見えて、難しかった。
２等辺三角形と相似の組み合わせで解ける
良い問題だと思いました。
　　 2月25日（木） 12:45:22　　 　　50218
ゴンとも
#50216

>あと座標でない解法で先のものと違うものができそうで・・・

AP=a,AQ=QC=b,PQ=2*a-bとして
△QPA∽△QDCより　PQ:CQ=PA:CD=a:1=2*a-b:b
2*a-b=a*b・・・・・・(1)
△APC=sqrt(4-(1/2)^2)*a/2=(sqrt(15)/2)*a/2=sqrt(15)*a/4
sin(黒丸)=sqrt(15)/8 より
△ACQ=2*b*sqrt(15)/8/2=sqrt(15)*b/8
sin(2*黒丸)=2*(sqrt(15)/8)*(7/8)=7*sqrt(15)/32
△AQP=b*(2*a-b)*7*sqrt(15)/32/2 より
△APC=△ACQ+△AQP=sqrt(15)*a/4-(sqrt(15)*b/8+b*(2*a-b)*7*sqrt(15)/64)
=sqrt(15)*(b-2*a)*(7*b-8)/64 より　b=8/7
これと(1)とより　2*a-8/7=a*8/7これを解いて　a=4/3　より
PQ=2*a-b=2*4/3-8/7=32/21・・・・・・(答え)
豊川市　　 2月25日（木） 13:26:46　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50219
スモークマン
角の二等分線の長さの公式と相似を使っての数学で...Orz
空間図形は...形が全く想像できなかったです...^^;
囲碁の調子はいいってのに...冴えないわ ^^;;
　　 2月25日（木） 13:27:13　　 　　50220
Mr.ダンディ
（今回は算数で・・）
CP上に点Rを　CR＝2　となるようにとると
△CBA≡△CRA　となり　AR＝1
△PAR∽△PCA　で相似比は　1：2
よって
AP:PC:PR＝2：4：1
RC＝APｘ(3/2)
AP=2x(2/3)=4/3

AQ:BC=PA:PB=4:7
AQ=2x(4/7)=8/7
QC=QA=8/7
PQ=PC−QC＝2x(4/3)−8/7＝32/21
　　 2月25日（木） 13:46:06　　 　　50221
にこたん
とりあえず、数学を使ってしまいました。。。
超ど田舎　　 2月25日（木） 16:00:44　　 HomePage:気ままに　　50222
ばち丸
見た目よりずっと複雑なのでびっくりしました
　　 2月25日（木） 21:33:07　　 　　50223
Mr.ダンディ
#50222,#50223
同感です。
こういうシンプルでてこずる問題がいいですね。
とてもいい問題だと思いました。
　　 2月26日（金） 0:01:33　　 　　50224
カスプ
シンプルな問題でした
　　 2月26日（金） 0:53:48　　 　　50225
くらげ
三角形と角の二等分線の性質(x=√ab-cd)を利用しました。
　　 2月27日（土） 5:33:21　　 　　50226
卵ライオン
cosを求めてゴリ押ししました
　　 2月27日（土） 20:27:45　　 　　50227
くらげ
問題に与えられている数字から答えが予想できない良い問題ですね。
　　 2月28日（日） 1:53:17　　 　　50228
くらげ
2を4回かけたら16、2を5回かけたら32になります。
2をある回数かけたら下3桁が008になりました。
このとき、2をかけた回数として考えられる最小のものは何回でしょう。
ただし、2を4回以上かけるものとします。
　　 3月2日（火） 3:15:31　　 　　50229
くらげ
昔の算数オリンピックか広中杯の問題の改題(表なしバージョン)です。
もしよかったら解いてみてください。
　　 3月2日（火） 3:16:54　　 　　50230
岡本ボンバーズ
ＡからＢＣに垂線引いてＨ、△ＱＡＣは二等辺三角形で、ＱからＡＣに垂線引いてＫ、△ＱＫＣ∽△ＡＨＣを使いまして…垂線って大切ですね。入試前の中学生にもいい問題でした！ありがとうございました。
　　 3月2日（火） 9:58:39　　 　　50231