ベルク・カッツェ
1×2+1＝3　1
3×2+1＝7　2
中略
127+1＝255　8
よって8となりました。
　　 10月21日（木） 0:06:28　　 　　50946
ベルク・カッツェ
補足。
数を増やすのが+1しかないのでそれを繰り返すものを考えました。

後から思ったけど、２進法だと1桁増やして1の位に1を入れるので1、11、111、1111、・・・となってわかりやすいですね。
　　 10月21日（木） 0:09:12　　 　　50947
ベルク・カッツェ
数学だと漸化式で一般項2〜ｎ-1ですかね。
2進法なら桁数、漸化式ならｎがそのまま答えです。
　　 10月21日（木） 0:13:00　　 　　50948
スモークマン
地道に計算してみると...
(1番目は...1になると考えました...)
1
1,2
1,2,2,3
1,2,2,3,2,3,2,3,3,4
つまり...
1^0+2^1+2^2+2^3+...の累乗+1の数がそれまでの最大数
2^8<300<2^9
so...1+2+2^2+...+2^7
so...7+1=8
と考えました。
　　 10月21日（木） 0:23:05　　 　　50949
みかん
（２のｎ乗）番目はいつも１。
（２のｎ乗−１）番目はｎになり、そこまでで最大の数。

２のｎ乗かつ３００以下　で最大のものは、２の８乗＝２５６。
この時、（２の８乗−１）＝２５５　番目となり、最大の数は８　が答え。
　　 10月21日（木） 0:27:59　　 　　50950
紫の薔薇の人
題意の数列をAnとすると、

A1＝1
A2n＝An
A(2n+1)＝An+1

A(2^x）＝A1＝1

数列を書き出してみると、

1≦k≦2^(i+1)とすると、
A(2^(i+1)+k)＝A(k)+1の関係になっていて、

1≦n≦2^xの中では、n＝2^x-1の時にA(n)＝xで最大になるのがわかる。

1≦ｎ≦256では、A255＝8で最大になり、次にAn=9となるのは、n=511までかかるので、
1≦ｎ≦300での最大値は８になります。
　　 10月21日（木） 0:30:36　　 　　50951
今年から高齢者
数が大きくなるのは、カード番号が奇数の時であり、
その番号を2で割って0.5を引いたカード番号が、その前に大きくなったカード番号になる時が一番大きくなる。
小さい方から数えて、1番、3番、7番、15番、31番、63番、127番、255番
で一つずつ大きくなる。1番=1なので、255番=8
　　 10月21日（木） 0:53:01　　 　　50952
「数学」小旅行
2^8=256　ですから
　　 10月21日（木） 1:18:41　　 　　50953
ことりちゅん(・8・)
2^n-1系の番号であれば数が最大になり。その数はnになる。
300までの数だと2^8-1 255番が最大値で８。
埼玉県さいたま市　　 10月21日（木） 2:29:19　　 　　50954
鯨鯢(Keigei)
カードに書かれるのは、
番号を２進法で表したときの
１の個数ですね。
　　 10月21日（木） 6:14:53　　 　　50955
巷の夢
　皆様と同じやり方で・・・・。
2進法は全く気づきませんでした。
　　 10月21日（木） 8:07:00　　 　　50956
だいすけ　＠カレー好き
1,3,7,15,31,63,127,255
と考えました。
　　 10月22日（金） 20:51:39　　 　　50957
やまさん
僕は賢くないからExelでゴリ押ししました(笑
　　 10月24日（日） 12:42:46　　 　　50958
やまさん
僕は賢くないからExelでゴリ押ししました(笑
　　 10月24日（日） 12:47:45　　 　　50959
みきひろひと
二十数年ぶりに回答しました。(^^;
　　 10月26日（火） 16:40:39　　 MAIL:mogmogland@gmail.com 　　50960
syokyuhsya
Pythonで、プログラムを作ってみました。
k=[]
for i in range(0,301):
k.append(i)
print(k)
max_k=max(k)
print(max_k)
for j in range(0,301):
if j%2==0:
k[j]=k[j//2]
else:
k[j]=k[j//2]+1
print(list(k))
max_k1=max(k)
print(max_k1)
　　 10月26日（火） 17:53:33　　 MAIL:syokyuhsya@gmail.com 　　50961
syokyuhsya
プログラムで10000まで、やってみましたが10000だと13ですね。
　　 10月27日（水） 18:54:12　　 MAIL:syokyuhsya@gmail.com 　　50962