紫の薔薇の人
A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0)とおくと、
Q(2,0,-1),R(-1,2,0),S(0,-1,0),P(0,0,2)

ABCD=1/6

PQ=(2,0,-3),PR=(-1,2,-2),PS=(0,-1,-2)

PQRS=1/6*abs(
det(

2 -1 0
0 2 -1
-3 -2 -2

))=15/6

PQRS/ABCD=15
//
　　 11月3日（木） 0:37:34　　 　　51941
鉄老
四面体ABCDを正四面体として解きました。四面体ABCDは1辺1cmの立方体の1/3倍です。四面体PQRSは1辺3cmの立方体の(3×3-2×1÷2×4)/(3×3)=5/9倍である直方体の1/3倍です。なので四面体ABCDの体積は1/3㎤であり、四面体PQRSの体積は3×3×3×(5/9)×(1/3)=5㎤となります。よって四面体PQRSは四面体ABCDの5÷(1/3)=15倍となります。
　　 11月3日（木） 1:08:52　　 　　51943
ひだ弟
別の解き方をすると違う答えになってしまいます。√が外れません。
どこが間違っているのか教えてください。

ABCDを正四面体とするとPQRSも正四面体になる。
辺ABと辺PQの長さ比を求め、それを3乗すれば体積比が出る。
と考えました。

A,B,D,P,Q は同一平面上にある。△ABDは正三角形。
AB=2 とすると、
AQ=4、AP=2、角PAQ=120度
ABをAの方に伸ばし、Pからおろした垂線との交点をTとすると
AT=1、TQ=5、PT=√3、角PTQ=90度
PQ^2 = 5^2 + (√3)^2 = 28
PQ=2√7

辺ABと辺PQの長さ比は 2:2√7 = 1:√7
体積比は1:7√7
　　 11月3日（木） 1:08:54　　 　　51944
鉄老
掲示板に初めて書き込みました。不慣れなので、立方センチメートルの単位を書いたら文字化けしてしまいました。どうもすいません。私が書いた記事番号51943の1/3と5の後ろの文字化けしたものは、立方センチメートルです。そのつもりで読んでやって下さい。
　　 11月3日（木） 1:33:56　　 　　51945
ベルク・カッツェ
一辺1の立方体の4つの頂点を結んだ正四面体を元として、延長してできたものを一辺3の立方体に合わせて考えました。
9×9-1×2÷2×4＝5を底面として高さ3の直方体の4つの頂点を結んだ四面体になるので、四面体の体積も15倍。
　　 11月3日（木） 2:03:39　　 　　51946
CRYING DOLPHIN
四面体A-BCDの全頂点が直方体(もう少し緩く、底面が平行四辺形の四角柱)に
配置できる場合は15倍となることを確認しましたが、その配置が不可能な四面体
であっても答えはこのままなのだろうか？
顔上げた道の先　　 11月3日（木） 2:06:12　　 MAIL:ぴかー HomePage:ぴかぴかさんすう。　　51947
baLLjugglermoka
特殊化しないで目解き出来る問題でしたが、気付くのにに時間掛かりました。
　　 11月3日（木） 2:56:01　　 　　51948
CRYING DOLPHIN
任意の四面体が平行六面体に埋め込むことができれば答えは常に15倍ですが、
(少なくとも算数では)うまく説明できる方法が見つからない。。
顔上げた道の先　　 11月3日（木） 8:53:38　　 MAIL:ぴかー HomePage:ぴかぴかさんすう。　　51949
紫の薔薇の人
#51949
アフィン変換で体積比は変わりませんから、四面体のある頂点からの他の頂点への3方向のベクトルを、直交座標系の3方向の単位ベクトルに変換する変換と、その逆変換を考えることで、A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0)の場合を考えるだけで、特殊化でなく、一般の解になります。
　　 11月3日（木） 9:01:32　　 　　51950
ベルク・カッツェ
直方体の面の対角線が各辺となる場合なら算数の範囲で比で分かるんですが、そうでない場合が説明できないので別の方法を考え中です。

平行六面体は算数の範囲で説明は難しいですね。
　　 11月3日（木） 9:08:39　　 　　51951
名無し
「数学」小旅行様
またgeogebraお願いします。
　　 11月3日（木） 11:28:27　　 　　51952
みかん
小立方体の一部が四面体ＡＢＣＤになるとして、Ｐ・Ｑ・Ｒ・Ｓの位置を確定。
ルービックキューブをイメージしつつ考えました。

「元の四面体の底面積が２倍、高さは元と同じ」の四面体が７つできて、
元の四面体と合計して全部で１５倍、ってことなんだろうけどイメージしづらいですね。
　　 11月3日（木） 14:59:26　　 　　51953
いちごみるく
http://www.sansu.org/used-html/index396.html
　　 11月3日（木） 15:24:50　　 　　51954
吉川　マサル
#51954

あっ....。（完全に忘れていました）
Macbook　　 11月3日（木） 17:32:14　　 HomePage:算チャレ　　51955
ベルク・カッツェ
辺を伸ばすごとに高さが2倍になるので体積も2倍、四面体AQRSの体積はもとの8倍。
三角形QRSを底面としたときのAの高さを1とすると、BはAQの中点なので2：1の直角三角形の相似でBの高さは1/2、CはBRの中点なので高さは1/4、DはCSの中点なので高さは1/8、よってPの高さは（7/8）×2+（1/8）＝15/8、求める四面体の体積は8×（15/8）＝15で15倍となります。
　　 11月3日（木） 22:10:00　　 　　51956
巷の夢
#51956
ベルク・カッツェ様　
　算数の領域で非常に分かり易い解説、今一つ納得できないもやもや感が
一掃されました。どうもありがとうございました。

真白き富士の嶺　　 11月4日（金） 10:16:57　　 　　51957
ひだ弟
#51944自己解決しました。
>ABCDを正四面体とするとPQRSも正四面体になる。
いきなりここが間違ってましたね。お恥ずかしい。
　　 11月4日（金） 20:21:19　　 　　51958
今年から高齢者
一辺1の立方体に内接する正四面体（体積は立方体の1/3）を考えると、
PQRSは一辺3の立方体の辺上に位置する
PRの中点をMとして、
体積＝(1/3)*��MQS*PR＝(1/3){(1/2)*QS*高さ3}*PR＝(1/2)*PR*QS
PR*QS＝10なので、体積＝5
基準の正四面体の体積が1/3なので、その比は、15
　　 11月4日（金） 23:25:20　　 　　51959
「数学」小旅行
水曜日をすっかり忘れていて失礼しました。
　　 11月4日（金） 23:48:25　　 　　51960
ばち丸
#51954
しかも僕が昔、ここで出した問題と値まで同じだ。うろ覚えの答えを入れたらやっぱり入れた。同じ方が同じ過去事例があるよと教えて下さったような。いつぞやはありがとうございます。
　　 11月5日（土） 17:24:01　　 　　51961
KawadaT
高校数学での解法です。
PRとQSは、空間座標の距離から、√5、残り4辺は余弦定理で√7になります。あとは、底面積✖️高さ➗3で体積を求めました。

算数解法は、未だ理解できていません。
　　 11月5日（土） 19:15:45　　 　　51962
ドリトル
久しぶりにやってみましたが、#51944ひだ弟さんと同じように考えてしまい結局解けず、認証で入る羽目に…
算数解法としては、小四面体に立体を一つずつくっつけていくイメージでしょうか。
　　 11月5日（土） 20:41:20　　 　　51963
いちごみるく
#51954
1157回の過去ログですね。
このサイトで複数回は見た記憶があったのに396回のことしか思い出せなかったので、おかしいなぁと思っていたのでスッキリしました。
　　 11月5日（土） 23:30:35　　 　　51964
ドリトル
#51963の補足です。
ABCDを1とすると、
ACDR=ABCD=1、BDQR=ABDR=2、APQR=ADQR=4、DPQR=8
BCDQ=ABCD=1、CDQR=BCDQ=1、CDQR=DQRS=1
ACPQ=ACDQ=2、CDPQ=DPQS=4
ADRS=ACDR=1、APRS=ADRS=1、DPRS=2、
PQRS=DPQR+DQRS+DPQS+DPRS=15
よって答えは15倍となりますね。
　　 11月6日（日） 22:38:38　　 　　51965