ドリトル
奇数番目と偶数番目がともにつくかともに消えるかのどちらかなので、
1、3、5、7の中の点灯している電球の数と、
2、4、6、8の中の点灯している電球の数は等しい。
4C0^2+4C1^2+4C2^2+4C3^2+4C4^2=70通り
最初、「ともに点灯または消灯している」を見落としてました。
　　 5月25日（木） 0:14:46　　 　　52492
みかん
点灯する個数はいつも偶数なので、０・２・４・６・８個　を１列に並べると
単純に考えたのですが、そんなに簡単ではないのでしょうか・・・。
　　 5月25日（木） 1:00:36　　 　　52493
今年から高齢者
点灯または消灯を、隣り合わせの番号に対して操作するので、
奇数番と偶数番は同じ数だけ点灯している。
ここまでは早めに分かったが、奇数番と偶数番が離れた番号でも可能かどうかが判断できなかったかった。
いくつかを試したらできたので、任意の組合せで点灯が可能と判断し
奇数番と偶数番が、0個、1個、2個、3個、4個ずつ点灯する組合せは
奇数からの特定の個数の選び方×偶数から特定の個数のの選び方
＝4C0*4C0＋4C1*4C1＋4C2*4C2+4C3*4C3+4C4*4C4
＝1*1+4*4+6*6+4*4+1*1＝70とおり
#52492ドリトルさんと同じでした

　　 5月25日（木） 2:29:19　　 　　52494
ホタテ
電球がついてる状態を1、消えてる状態を0として問題を以下のようにいじります

最初に電球が01010101のように並んでいて
隣り合う電球のオンオフが異なる時にだけその二つの電球の状態を切り替えます
この操作を繰り返すと電球の点灯/消灯のパターンは何通りあるでしょうか

これは元の問題と本質的には同じで
こう変更することで、1の数は常に4つで、この条件での配置なら1の位置をうまくずらせば全て移行可能なので
求めるパターンの総数は、8C4=70
70通りです
　　 5月25日（木） 20:32:13　　 　　52495
名無し
ホタテさんの解答、大変エレガントですけど、自分には理解がしにくいが。
　　 5月26日（金） 11:08:58　　 　　52496
かずき0202
普通に8C4で求められました
　　 5月26日（金） 17:45:42　　 　　52497
かずき0202
奇数番と偶数番がつく数が0個、1個、2個、3個、4個で、それぞれの場合が1、4、6、4、1こなので1×1＋4×4＋6×6＋4×4＋1×1＝70で70通りと解くやり方もありました。
　　 5月26日（金） 17:50:28　　 　　52498
ホタテ
少し補足ですが、1の位置をずらすというのは

00101101
01001101
10001101
10001011

といった具合に0を空白とみなすと
01を10にすると1が左にずれたように見え
10を01にすると1が右にずれたように見えるので
0が4つ、1が4つの任意の状態を作ることが示せます
　　 5月27日（土） 23:39:32　　 　　52499
名無し
電球が４つオンの状態で題意の状態を網羅できるとはその発想はどうやって？
　　 5月30日（火） 19:47:58　　 　　52500
ドリトル
#52500
ホタテさんの解放を思いつくまでの
　　 5月30日（火） 19:53:30　　 　　52501
ドリトル
途中で送っちゃいました。
#52500
問題を見てからホタテさんの解法を思いつくまでのプロセスということですか？
「隣り合っている2数は必ず奇数と偶数が1個ずつだから奇数と偶数で完全に区別してやろう」と考えればこの解法にたどり着けると思います。
　　 5月30日（火） 19:56:06　　 　　52502
ベルク・カッツェ
今日水曜日なのに気づいて慌てて解きました。
当日に思いつかないで後回しにするとそのまま忘れがちですね。
奇数0，2、4，6で分けて12122のように書いて考えました。
　　 5月31日（水） 18:46:02　　 　　52503