第97回 “解答と解説”


 いくつかの解法が考えられる問題ですが、ここでは一風変わった方法を紹介します。

 10角形の内部に点が16個ある、ということですね。で、線を結べるだけ結んでいく....。すると、この10角形の内部にはいくつかの(多くの)三角形ができているハズです。この三角形の個数が分かれば、線の本数も分かるハズです。ちなみに、三角形でない場合というのは考えられません。なぜなら、四角形やそれ以上の多角形の場合、「できるだけ多くの線をひこう」とすると内部に対角線をひくハズだからです。

 さて三角形の個数を特定するのに有効な方法は、角度を考えることです。10角形の内部にできる三角形の角度の総和を求めるわけです。その方法ですが、非常に単純です。1つの点の周りの角度は360゜ですね。16個の点があるわけですから、それらの点の周りにできる角度は全部で360×16=5760゜ということになります。また、10角形の内角の和は、180×(10ー2)ですから、1440゜といことになります。この2つを合計すると、7200゜となり、これを利用して三角形の個数を考えることにします。

 1つの三角形の内角の和は180゜ですから、7200÷180=40(個)の三角形があることになります。すると、辺の数は40×3=120本、となりそうですがそう単純ではありません。10角形の内部にできる辺は、2つの三角形で共有していますよね。ですから、その分をひかなければならないのです。

 というわけで、

40×3=120
120−10=110
110÷2=55

となるわけですね。          解答:55本


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