第113回 “解答と解説”


 この問題、私の手違いで計算が大変な問題になってしまいました。スミマセン....。というわけで、少し長い説明になってしまいます....。

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 まずは上の図をご覧ください。この図は、問題の図の左右の辺を延長して、大きな三角形を作ったところを表しています。すると、もとの三角形と同じ形の三角形ができますね。また、辺の比は一番小さい三角形の10倍です。ということは、この三角形PQRの面積は、一番小さい三角形の10×10=100倍、ということになりますね。一番小さい三角形の面積は3cm2ですから、三角形PQRの面積は300cm2です。

 また、上の図でお分かりの通り、PX=PQ×6/10、PY=PR×9/10です。というわけで、三角形PXYの面積は、300×(6/10)×(9/10)=162cm2、さらに四角形XQRYの面積は300−162=138cm2です。

 ここで、黄色の部分を2つのグループに分けてみます。すなわち、小さい2つの部分と大きい3つの部分です。(分かります....よね?)すると、四角形XQRY−4つの相似な三角形=「大きい3つの部分−小さい2つの部分」ということになるんです。(実はここを出題するつもりでした...)

 というわけで、

大きい3つの部分−小さい2つの部分=138−(48+27+12+3)=48cm2

 となります。というわけで、後は「小さい2つの部分の面積」を求めることになります。

kai113B.GIF (3022bytes)

 さて、今度は上の図のようにQR、XYを延長し、その交点をSとしています。これを利用して小さい三角形の面積を求めます。(ちょっと簡略化して書きます....疲れてきたので(^^;;)

 RS=?とすると、

?:?+6=1:4 ですから、
    ?=2

となります。となると、RY=2とすると、CE=5となり、CA=6であることから、AE=1であることが分かります。つまり、AE=AC×1/6となります。同様にして、AD=AB×1/9であることが分かります。

すると、三角形ADEの面積は、三角形ABC×(1/9)×(1/6)=0.5となります。実は2つの小さい三角形は合同で(計算すると分かります...)すから、先ほどの「小さい2つの三角形の和」は0.5×2=1cm2と分かります。

ということは、「大きい3つの三角形−小さい2つの三角形」が48cm2でしたから、「大きい3つの三角形+小さい2つの三角形」は、48+1×2=50cm2と分かります。ふぅ〜。

      解答:50cm2


 ちなみにこちらに栗原英治さん作の素晴らしい解説があります。ぜひ、ご覧ください。

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