第21問の解答


1.問題


1辺が2cmの正方形ABCD斜辺の長さ2cm直角2等辺三角形EFGがあります。

三角形EFG頂点E、F正方形ABCD周上にあるようにして1周動かしたとき、頂点G動く軌跡の長さ(頂点がたどる道のりの長さ)を求めて下さい。

 


2.解答例1


実際に動かしてみると図1のように、十字形を描くようです。

図1
参考図1

GがAD上、EがCD上にあるとします。

参考図2

∠EDF=∠EGF=∠R(直角)だから、四角形EGFD円に内接します。

すると、円周角より∠GDF=∠DEF=45°となり、対角線BD上にあることが分かります。

GDが最大になるのは、ちょうどGDが円の直径になるとき、すなわちAD中点∠GED=∠Rとなるときである。このとき、GD=EF=2cmとなります。

参考図3

また、OB上にありますので、GD最小になるのは、対角線の交点と重なるとき、すなわちまたはと重なるときである。このとき、GD=EG=√2cmとなります。

この間、(2−√2)の長さの線分往復しますので、△EFG正方形上を1周すると、たどる道のりは、(2−√2)×2×4=16−8√2cmとなります。

以上