�������裴�������ʬ�β�����

吉川　マサル
　今回の問題は、難易度はともかくちょっと答えが不安です。想定している解答通りに分割できることは分かるのですが、それが最小かどうかがちょっと・・・。
MacOS X　　 8月5日（木） 0:03:16　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　23416
吉川　マサル
http://www.sansu.org/bbs2/room2/toi413_zu.gif

これが想定した解答図です。
MacOS X　　 8月5日（木） 0:20:59　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　23417
姉小路
２位だ〜！　今までこんな事なかったのでスゴク嬉しいです。
快挙です。次回も頑張りたいと思います！

えっと、問題の解法ですが、数列で
四角形の時……１つ、六角形の時……３つ、八角形の時……６、十角形の時……１０
となるので、2,3,4……と１ずつ増える数が大きくなって行っている。
そして、今十六角形では28。
こんな感じです。
算数の街　　 8月5日（木） 0:38:01　　 MAIL:pctakada@mail.goo.ne.jp HomePage:高田の呟き　　23418
uchinyan
うーむ、取り敢えず掲示板には入れましたが、まだ、解法としては類推のレベル？です。
要は、#23418の姉小路さんと同じ。ただし、
4角形: 1, 6角形: 3 = 1+2, 8角形: 6 = 3+3, 10角形: 10 = 6+4, 12角形: 15 = 10+5, 14角形: 21 = 15+6, 16角形; 28 = 21+7
実際の図は、#23417のまさるさんと同じものを書きました。
もう少し考えてみます。
ネコの住む家　　 8月5日（木） 0:40:28　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23419
拓パパ
久々にリアルタイムで参加しました．
元の6角形の分割に心を奪われ、元の二辺を含む菱形に分割していきましたが、
残りは凹凸の激しい図形になってしまい、収束しそうにないのに線を引きまくっていました（笑）．相変わらずセンスないです．
結局は「姉小路」さんと同じく、数列に持ち込みました．無駄な時間多すぎです．
　　 8月5日（木） 0:32:27　　 MAIL:dr-yasu@nifty.com 　　23420
takaisa
1+2+3+4+5+6+7=28
　　 8月5日（木） 0:33:44　　 　　23421
拓パパ
ちなみにボーッ考えていたことが、マサルさんの図を見て氷解、目から鱗でした．
　　 8月5日（木） 0:33:56　　 MAIL:dr-yasu@nifty.com 　　23422
みかん
私も「なんとなく」で掲示板に入ったのですが、これでいいのだろうか…

#23418（姉小路さん）
正六角形以降のひし形の個数がずれていますよ→その後修正されています。（0時40分追記）
　　 8月5日（木） 0:40:54　　 　　23423
DIDDYKONG
できるとこまで書き出して後は頭の中での想像でした。なんかとても卑怯な解き方をしたような気がします。
兵庫県　　 8月5日（木） 0:34:55　　 　　23424
まるケン
#23417
あ、僕の作ったのと一緒だ。角度まで、、、
空に上がった気球に見えたので、色、つけてみました。

http://www.ne.jp/asahi/room/maruken/sansu/fig/v1_413.gif
　　 8月5日（木） 0:35:13　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　23425
姉小路
マサルさんの図によると
図形の種類が７つあって、個数が7,6,5,4,3,2,1なので、
そこから1+2+3+4+5+6+7=28なのかなぁ、と思いますが……。
まだ検討中です（汗
算数の街　　 8月5日（木） 0:36:44　　 MAIL:pctakada@mail.goo.ne.jp HomePage:高田の呟き　　23426
チラ
ん？六角形のときは３つだし、八角形も６つで出来るんだけど
数列ならおかしいのでは？まだ少なくなるのかな？
　　 8月5日（木） 0:39:00　　 　　23427
姉小路
あ、訂正しておきました。
みかんさん有り難う御座います。
算数の街　　 8月5日（木） 0:39:37　　 MAIL:pctakada@mail.goo.ne.jp HomePage:高田の呟き　　23428
吉川　マサル
#23425
　気球ってのは大きなヒントになると思うのですが、この問題が載っていた本には、

・正方形を１つ、頂点が上にくるように描く
・その正方形の下のほうの２辺に正方形を辺が重なるように描く→このとき、下のほうに出来た２つの頂点がくっつくように引っ張ると、正六角形の場合のパターンが出来上がり。
・以下同じようにして、正方形をくっつけては引っ張ると、八角形のパターン、１０角形のパターン、・・・と順に出来上がる

　という感じで解説されてました。う〜ん、図なしで伝わるかなぁ？
MacOS X　　 8月5日（木） 1:05:22　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　23429
DIDDYKONG
http://www.sansu.org/bbs2/room2/toi413_zu.gif について

ひし形で22.5°157.5°のやつが8個。
45°135°のやつが8個。
67.5°117.5°のやつが8個。
正方形が4個ありますが…
兵庫県　　 8月5日（木） 1:06:08　　 　　23430
あ〜く＠ぴかぴかの（略
・・・「同じ大きさ」なんですね（汗

卑怯なことに数学を使って30個よりは少ないな、と分かったので後は図を書きまくってマサルさんや他の方が書いたような図に至りました。

それと私の理解不足だと思うが、正16角形において28個が最小であることの証明は出来るのでしょうか？
未完成の蜜柑星　　 8月5日（木） 1:11:22　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　23431
tomh
私のやり方は、間違っていることが判明! (^^;
偶然できたに過ぎなかった… (^^;;
新潟市　　 8月5日（木） 1:14:53　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp 　　23432
拓パパ
最初に1コ菱形を描いて、その各辺に菱形を1コずつ書き加えて凹凸のない閉じた図形を作るには、
もう一つ菱形が必要で、できたのは8角形．この8角形に同じ操作を加えると（9コの菱形をくっつけると）、できるのは12角形．で、次は16角形になり、
（付け加えていった菱形）=(4+1)+(8+1)+(12+1)=27コ
初めの1コを加えて　計28コ　ですが、最少かどうか分かりませんでした．
　　 8月5日（木） 1:17:34　　 MAIL:dr-yasu 　　23433
tomh
正2n角形では、C(n,2)個に分割できるのかな?
＃"C"は組み合わせの記号.
新潟市　　 8月5日（木） 1:22:28　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp 　　23434
ゴンとも
この答えは数学的に正しいです。19世紀のロシアの数学者チェビシェフが
正2n角形をn(n-1)/2に分割することができるとあります。
証明もあるんですがピーター・フランクル氏の科学朝日の
ひらめき発想パズルです。眠くないならカキコしたですが・・・。
眠いです。では。
愛知県豊川市　　 8月5日（木） 1:23:42　　 MAIL:ｆｔｔnm528@ybb.ne.jp 　　23435
吉川　マサル
#23431
　最小であることの証明は出来てません。その点が、「ちょっと不安」な点でして...。うーむ。
MacOS X　　 8月5日（木） 1:28:26　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　23436
ゴンとも
#23435 すいませんでした。正2n角形をn(n-1)/2に分割できる証明であり
最小である証明じゃあありませんでした。しかし正16角形でそれ以下が
あるならでてると思います。では。
愛知県豊川市　　 8月5日（木） 1:48:01　　 MAIL:ｆｔｔnm528@ybb.ne.jp 　　23437
n厨
他にこれ以外は無い模様
正１６角形への菱形のパッキング
性質�＼喫�形の両隣の菱形は同型
性質��45°/2をもつ菱型の両隣の菱形は同型
性質��正１６角形の１辺に対してひとつ菱形を決めれば、順次１辺に対して１通りの菱形が決まる。
これは内角の１つが315°/2で一定なことからわかります

#23417以外にはできないことを示す
これ以外にパッキングできたとすると#23417のうちの菱形がひとつも含まれないように構成されている(∵性質��)
ex正１６角形の隣合う２辺をもつような菱形が存在できない。
正１６角形の１辺に対し(Aとする)一つ菱形を決め順次外から決めていく操作をする。
さらに性質�　↓�から外側を構成する菱形はすべて異なる。すなわち１６種類の菱形で構成されることになる。(∵内角の１つは一定)
よって内角の一つをα(315°/2)とすし、Ａの角をθとおけば菱形なのでもう一方は180-θこれを(θ,180-θ)と表す。Ａの隣の菱形は(α-θ,180-α+θ),(2α-180-θ,360+θ-2α),
(3α-360-θ,540+θ-3α),…,(15α-180×14-θ,180×15+θ-15α)
15α-180×14-θ=15(315/2)-180×14-θ=(4725-5040)2-θ<0よってこれはありえないことが示された。

さらに菱形という条件から部分的にみれば二等辺三角形なので性質��からひとつ決まれば全部きまるということがわかります。
　　 8月5日（木） 5:24:27　　 　　23438
N.Nishi
私も類推なのですが、正八角形を描き、なんとなく辺にそってひし形(正方形も含む(^^;))に分けていき、３つ目のひし形(^^;)を区切ったときに眺めた図形が、正六角柱の見取り図(作った３つのひし形が側面)になったので、底面の正六角形？は問題にあるように３つに分けられる・・・！　ということは描かずとも正１６角形を分けていくと途中で正１４角柱の見取り図に・・・と順に考えられる。３＋３＋４＋５＋６＋７＝２８　正方形という反則はありますが・・・ここに入れたのは偶然ですね(笑)
　　 8月5日（木） 8:53:21　　 　　23439
ハラギャーテイ
おはようございます。

よくわからなかった。
北九州　　 8月5日（木） 9:26:12　　 HomePage:ハラギャーテイの制御工学にチャレンジ　　23440
吉川　マサル
んと、正方形は「ひし形の特殊な場合」ということで問題ナシと判断したんですが、やっぱこれも脚注を付けるべきですかねぇ...？
MacOS X　　 8月5日（木） 10:01:22　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　23441
BossF
普通、{菱形}⊃｛正方形｝でいいのでは？
(^^　　 8月5日（木） 10:48:00　　 MAIL:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp HomePage:ＢｏｓｓＦ’Ｓ　Ｔｏｙ　Ｂｏｘ　　23442
uchinyan
こんにちは。うーむ、あまりスッキリする証明は思い付いていません。
どなたかが思いつかれたかと思って、また来ました。
私(及び姉小路さん他)の類推#23419は、まさるさんの解説#23429の作り方と対応していますね。その意味では正しいようです。
#23435、#23437、#23438、特に最後のが、答えなのかな。ごめんなさい。まだよく理解できていなくて (^^;
#23441、#23442。ひし形は正方形を含むので、注意書きは不要と思います。
ネコの住む家　　 8月5日（木） 11:34:12　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23443
なか
りんごの皮むき

不器用なひとが皮をむくと図のようになります。
http://www3.sansu.org/tables/san0805_28.gif

このとき、正１６角形の場合で１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝２８個です。
正２ｎ角形のとき、ｎ（ｎ−１）／２個に分割できることも、図より明らかでしょう。

ただ、これが最小か、ということについては、まだ納得できていません。
これ未満の分割などとてもできそうにない、とは感じています。
Muroran　　 8月5日（木） 12:39:58　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　23446
小西孝一
すいません。図を描いて適当で勘で当りました。
九州の山奥　　 8月5日（木） 12:56:22　　 MAIL:ウイルスがよく来ます（涙 　　23447
長野　美光
取り急ぎ作りました。
http://yosshy.sansu.org/junk/san4131.gif
１６〜９４角形です。

#23446
なかさんの図のようなのは、描くの難しいですね。
てんしん　　 8月5日（木） 13:00:41　　 HomePage:ヨッシーの八方美人　　23448
ゴンとも
#23438 素晴らしいです。その方法で2nのときもできそうに思いますが
(よくわかりません)まだ解説を完全に理解してないので自分では示せない感じです。自分の見た本のn(n-1)/2(個)構成方としては図がないと非常にわかりにくいですが個数として　(n-1)+(n-2)+・・・+1=n(n-1)/2(個)
2n角形を(2n-2)角形にして菱形が(n-1)個できて
(2n-2)角形を(2n-4)角形にして菱形が(n-2)個できて
あと同様でなんとも図がないと説明しずらいですが
実際構成するにしてもガンガンできそうです。では。　　
愛知県豊川市　　 8月5日（木） 13:01:12　　 MAIL:ｆｔｔnm528@ybb.ne.jp 　　23449
ゴンとも
#23446 を見ました。自分の見た構成法に対応してると思います。
番号がついてて一目瞭然でいいし色合いも果物みたいでいいです。
昨日の夜はソフトのシンデレラで紙に書かないで考えたんですが
操作に慣れず違う最初に答え32を出しました。はやく図を
コンピュータを書き考えたいですがプログラミングとともに
できてません。では。
愛知県豊川市　　 8月5日（木） 13:32:29　　 MAIL:ｆｔｔnm528@ybb.ne.jp 　　23450
ミミズクはくず耳
超〜ご無沙汰です。

久しぶりに問題を見たら、解きたくなって、
4角形、6角形、8角形と書いていくと、1, 3, 6になるし、
n+2角形を分割した図を、立体的(?)に見ると、n角柱になるので、
これは、1+2+3+4+...だなと。

まるケンさんの塗り絵もきれいだけど、
長野さんのアニメには感激しました。
あっちこっち3号　　 8月5日（木） 18:06:40　　 MAIL:mae02130@nifty.com 　　23451
始 受験勉強君
オー！！！入れた！！！それにしても今回の問題はいい問題でしたね！！！考え方としては
正n角形 4 8 12 16 20
個数 1 6 15 28 45
差 5 9 13 17

と差が4ずつ増えて言っている、ということを使いました。今回はあまり順位が良くないと思うので次回はがんばりたいと思います。
算数大好き人間(後は数学)　　 8月5日（木） 18:13:34　　 　　23452
吉川　マサル
今回の問題、

「ただし、ひし形の一辺の長さはすべて正１６角形の一辺の長さと等しいものとします。」

の条件がなければ、答えは変わりますかねぇ？いえ、実は最初に問題文を作成したときにはこれは無かったんですが、答えの最小性に対する不安から、「やや条件をきつくしておいたほうがいいかな」と思って追加したもので。
MacOS X　　 8月5日（木） 21:58:30　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　23453
なか
>ひし形の一辺の条件
おそらく不要でしょう。
ダブルサイズのひし形が１個あると、その周りに配置されるシングルサイズひし形は、
非常にきゅうくつな制約を受けることになり、とても納まる気配がありません。
北海道　　 8月5日（木） 22:54:45　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　23454
算太郎
昔参加していたものです．算数トライアスロンにも参加していました．懐かしい......
久しぶりに参加してみました．難しかったです．
ところで，吉川さんの条件に対する不安はいらないと思います．
完璧に検証したわけではありませんが，略証としては，
正n角形の内側に入っている任意のひし形Aに対して，隣り合っているひし形の4辺は全てAの辺と長さが等しい訳です．これを外に向かって繰り返せば一番外側にあるひし形にたどり着きますが，一番外側のひし形は正n角形の1辺の長さに等しくなります．

例外はないと思うのですが.......
ちょっと心配．
　　 8月6日（金） 1:54:14　　 　　23455
なか
ひし形の一辺の条件

不要であることを確認しました。
証明はこちら。
http://www3.sansu.org/tables/san0805_wsize.gif
北海道　　 8月6日（金） 6:25:34　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　23456
なか
必ず２８個であること

#23456 を考えるうちに、菱形の個数は多くても２８、少なくても２８である
ことを結構シンプルに証明できました。
http://www3.sansu.org/tables/san0805_28p.gif
Muroran　　 8月6日（金） 12:12:25　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　23458
uchinyan
なかさんの#23458へ：
なるほど。そういうことか。面白い考え方ですね。
ただちょっと気になるのですが．．．
一組の対辺を決めたときのそれらを結ぶ連鎖又は帯が一意に決まるのは、連鎖の長さが最短、正16角形では７かな、の場合ですね。
又は、対辺同士は平行だから、一つの対辺に平行な辺をもつひし形をつなげていくと言ってもいいですね。それが一番無駄がないですから。
そうしないと、交差で決定するひし形が異なったり、二つ以上決まったりしますね。
最短連鎖が一意なのは、一つの最短連鎖があって、もしそれから枝分かれするものがあるとすると、
結局は対辺では合流しているから、分かれたものはどこかで戻って来なくてはならず、行って戻ってで、少なくとも一つ多くなる。
平行なひし形をつなげていく、と考えれば、明らかか。
直感的には、こういうことでしょうか。
うーむ、さすが。スッキリしました :-)
なお、ひし形の一辺の条件が不要なことは、算太郎さんの#23455、なかさんの#23456、より明らかなようですね。
ネコの住む家　　 8月6日（金） 13:27:52　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23459
なか
#23459 uchinyan さん

ご指摘ありがとうございます。
対辺を「対辺に平行な辺を持つひし形の連鎖で」つなぐ、と言わなくてはいけませんでした。
訂正しておきました。
Muroran　　 8月6日（金） 14:53:10　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　23460
uchinyan
(かなりミスがあったので修正しました。)
(更に修正...8/7)
ふと思ったのですが、帯を持ち出さなくてもいいですね。
まぁ、同じことですが．．．
皆さんのアイディアをまとめるとこんな感じかな。

分割された状態でひし形を一つ取ります。それは、二組の同じ長さの平行な辺で構成されています。

このひし形の辺が正2n角形の辺の長さより大きいときには、分割してもしなくても、なかさんの#23456と同様のロジックで、
ひし形をつなげていき正2n角形の辺に到達したときに、正2n角形の辺の長さより長さの総和が大きな平行な線分の集まりが残ってしまい、
題意に矛盾します。
ひし形の辺が正2n角形の辺の長さ以下のときには一般には題意に矛盾しませんが、個数を最小にする条件からひし形の辺は可能な限り大きく、
それぞれのひし形で分割されずに共有されていることが望ましいことになります。

この場合、正2n角形の辺の長さになることが望ましいわけですが、算太郎さんの#23455のロジックから、次のとおり可能であることが分かります。
ひし形の辺は分割されずに隣のひし形と共有されるので、その隣のひし形も同じ長さの二組の平行な辺を持つことになります。
元のひし形の一組の平行な辺と平行な辺を持つひし形をたどりながら外側に向けて続けていけば、いつかは必ず正2n角形の辺に到達します。
この末端のひし形は、正2n角形の辺を辺として共有しているので、その辺の長さは、正2n角形の辺の長さと同じでなければなりません。
したがって、この末端のひし形に到達するまでの辺を共有しているすべてのひし形の辺も、正2n角形の辺と同じ長さになります。
どのひし形でも同じロジックがいえて、すべてのひし形の辺の長さは、正2n角形の辺の長さに一致します。

次に、ひし形の個数を考えます。これは、なかさんの#23458のロジックです。
先ほどの操作によって得られた、正2n角形の辺と辺を共有する末端のひし形の辺は、最初のひし形の辺と平行なので、
結局、それらの平行な(一組の)辺は、正2n角形の平行な辺、つまり対辺と平行になります。
逆に、正2n角形の平行な一組の対辺を与えれば、逆の方向にひし形をたどることで最初のひし形の一組の平行な辺を与えることができ、
正2n角形の平行な二組の対辺を与えれば、ひし形を一つ決定できます。
したがって、ひし形の個数は、正2n角形の平行な二組の対辺を与えることに対応し、対辺はn組あり、それから2組を選べばいいので、
(n)C(2) = n(n-1)/2 個
正16角形の場合は、2n = 16, n = 8 で、28個。
これが実際に可能なことは、例えば、マサルさんの作成法#23429や、なかさんの作成法#23446から保証されます。

最後の部分は、BossFさんの#23463のご指摘です。BossFさん、ありがとうございます。

もっとも、帯を導入した方が分かりやすいですね。
ネコの住む家　　 8月7日（土） 22:54:37　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23461
BossF
なるほど、2n角形を分割できるなら、nC2こですね、
分割できる保証は？

あ、そうか#23446の不器用なひとが皮をむく図
　
http://www3.sansu.org/tables/san0805_28.gif

みたいにすれば、必ずできますね、(^^;;

すると、対辺が等しく平行な2N角形は平行四辺形で分割できるのかな？
(^^　　 8月7日（土） 6:34:32　　 MAIL:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp HomePage:ＢｏｓｓＦ’Ｓ　Ｔｏｙ　Ｂｏｘ　　23463
吉川　マサル
なかさん、uchiyanさんの証明にちょっと感動しました。言われてみれば簡単ですが、こんな証明法、私にはとても来づきそうにありません。
MacOS X　　 8月7日（土） 12:36:04　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　23464
uchinyan
#23463
＞　すると、対辺が等しく平行な2N角形は平行四辺形で分割できるのかな？
深く考えていないので間違っているかもしれませんが、自然に拡張できるように思います。

いずれにせよ、なかさんの#23458には感動しました。
いつも思うのですが、皆さん、すごいですよねぇ。
算チャレは、結構、奥の深い問題が出題されるので、個人的には、掲示板に入ってから皆さんの解法を見たり、
その発展問題を考えたりするのが楽しいです。
そうそう、さっき気付いたのですが、来週はお休みなんですね。
夏休みかな？
ネコの住む家　　 8月7日（土） 12:37:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23465
uchinyan
#23464
あ、これは、なかさんのお手柄です。
私も感動しているだけで、言ってみれば、伝道師のようなものです (^^;
ネコの住む家　　 8月7日（土） 12:39:54　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23466
すてっぷ
なかさんの解法(#23458)にただため息をつくばかりです。
井の中　　 8月7日（土） 21:18:04　　 　　23467
うのたかはる
#23418
と同じく、類推のみで、やっちゃいました〜。
久々のポイントゲットがこんなんでいいのだろうか。(^^;
　　 8月7日（土） 21:41:35　　 　　23468
uchinyan
(8/9:最初の投稿　8/10:若干修正)
今週は、私の働いている会社が夏休みなので、改めて、マサルさんの図、なかさんの図を眺めていて、ふと、次のようなグラフを考えると、
問題が簡単化されるかな、と思い付きました。
ご参考までに、紹介しておきます。
以下では、#23461で示したとおり、ひし形の個数を最小にするにはひし形の辺の長さを正16角形の辺の長さにすればいいことが分かるので、
その場合だけを考察します。
例によって、少し長くなります。悪い癖．．．:-(

正16角形がひし形で分割されている場合、それぞれのひし形の中心に点をとり、その点から各辺に交差する4本の線を引きます。
すべてのひし形に対してこれを行い、得られるグラフを考察します。(グラフ理論のことはよく知りませんが、双対グラフというのかな？)
明らかに、正16角形の各辺に対してそれと交差する1本の線が外側に出ています。その線の正16角形の外側の適当な箇所に点をうっておきます。
また、各ひし形の向かい合う辺に対応して1本の線が点に入り出て行きます。向かい合う辺は平行ですから、この入って出て行く線は、
辺の平行な関係を表しています。より正確には、入ってくる(又は出て行く)線に対して、その隣の隣の線が平行関係を示します。
隣り合うひし形は辺を共有し、その辺を通じて平行な辺の連鎖を生じますが、これは、グラフでは上記の関係をもつ線のつながりを意味します。
この際、平行を表す線のつながりは、一般には、点で折れ曲がった折れ線になります。
しかし、このグラフにおいて重要なのは、点と線とのつながりの関係だけであって、線の長さとか角度とかは意味がありません。
そこで、点の相互の位置関係や点と線とのつながりを変えずに点の位置をずらし、線のつながりを直線として表現してもOKです。
以下では、簡単のために、このようにして直線化した場合をイメージしています。
なお、お気付きのように、この線のつながりは、なかさんの帯に対応しています。
そして、ひし形で分割するということは、今説明したようなグラフを作成することに対応します。

さて、分割する前の段階では、正16角形の辺に対応する16個の点だけが円、もしくは楕円、を描くように存在しています。
正16角形はその対辺が平行なので、16個の各点とそれの向かい側の点との間に、平行関係を示す線を8本を引くことができます。
すると、一般に、8C2 = 28 個の交点ができます。
このとき注意しなければなりませんが、各交点は一つのひし形を表し、4本の線、平行関係にある2組の線、を持っていなければならないので、
たとえ、グラフ上の点が重なって見えても、2組の線ごとに一つの点、と考える必要があります。
例えば、平行関係の線8本が一点で交わったグラフを書いてしまったら、それは書き方が悪いのであって、8本のうちの2本、平行関係の2組、
ごとに点が一つあると考えなければなりません。要は、どの三つの線も1点では交わらないようにグラフを書く、ということです。
したがって、常に、8C2 = 28 個の交点があることになります。
交点ごとに1個のひし形が対応するので、28 個のひし形が存在します。
結局、なかさんのアイディアと同じなのですが、グラフの条件を明確にしてしまえば、特に頭を使わずとも、単に、
平行関係にある正16角形の対辺に対応する点を結ぶだけで、ひし形の個数が求まる点が、ちょっと面白いと思います。

このグラフを見ていると、もう少し情報が得られます。
今、平行関係にある正16角形の対辺に対応する点(の組み)を、順番に、反時計回りに、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 と番号をつけます。
線1は、線2から線8と交差しているので、7個のひし形が存在します。これを、(1,2), (1,3), ..., (1,8) と書きます。
すると、各ひし形について、辺の関係を調べると、常に、次の関係が言えることが分かります。
(1,2) (1,8) : 角度が、157.5度及び22.5度のひし形 : A 型とします。
(1,3) (1,7) : 角度が、135 度及び45 度のひし形 : B 型とします。
(1,4) (1,6) : 角度が、112.5度及び67.5度のひし形 : C 型とします。
(1,5) : 角度が、 90 度及び90 度のひし形 = 正方形 : D 型とします。
同様なことは、線2などに対してもいえて、一般に、m < n として、(明らかに、(m,n) = (n,m) で、m と n とは等しくありません。)
(m,n) :
n = m + 1 or m + 7 => A 型
n = m + 2 or m + 6 => B 型
n = m + 3 or m + 5 => C 型
n = m + 4 => D 型
線は、なかさんの帯に、交点(m,n)は、帯の交差するひし形に、それぞれ対応するので、グラフ上の交点の出現する順番に、
帯上に上記の角度のひし形が出現することになります。
例えばなかさんの#23458の図では、Aを1、gを3として、ひし形は、
(1,7) (1,2) (1,3) (1,8) (1,4) (1,6) (1,5) => B, A, B, A, C, C, D : 黄色の帯
(2,7) (2,1) (2,8) (2,3) (2,4) (2,6) (2,5) => C, A, B, A, B, D, C
(3,7) (3,1) (3,8) (3,2) (3,4) (3,6) (3,5) => D, B, C, A, A, C, B : 桃色の帯
(4,7) (4,8) (4,1) (4,2) (4,3) (4,6) (4,5) => C, D, C, B, A, B, A
(5,6) (5,7) (5,8) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) => A, B, C, D, C, B, A
(6,5) (6,7) (6,8) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) => A, A, B, C, D, C, B
(7,5) (7,6) (7,4) (7,3) (7,2) (7,1) (7,8) => B, A, C, D, C, B, A
(8,5) (8,6) (8,4) (8,1) (8,3) (8,2) (8,7) => C, B, D, A, C, B, A
となっています。
つまり、一般に、線の交点からひし形分割の形状が予測できるというわけです。
交点は、ナイーブには、線の両端が、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 の順番に円周上、又はこれと同相な図形、
楕円など、に並んでいる場合に限定されそうですが、線1の両端を無限遠点に引っ張って、残りの線の両端が線1の両側にある
線1に平行な線上に順番に並んでいてもよさそうです。これらがどの程度の制限になるのかは、把握できていません。
また、番号の振り方には余分な自由度があるので、実際のひし形分割では等価なものが含まれてしまいます。
ひし形分割自体も、正多角形の対称性の分だけ等価なものが存在し得ます。
ちゃんと考えるには、ここらをどうするか整理する必要があります。
さらに、必要条件であっても十分条件かどうか、つまり、すべての場合に本当に実現可能かどうかまでは、調べていません :-)
大丈夫そうな気はするのですが．．．
ネコの住む家　　 8月10日（火） 11:23:19　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23469
uchinyan
マサルさんの図、及びなかさんの不器用な人の皮むきの図、の場合です。
ただし、交点は、どの辺に数字の1を割当てるかによって、ズレが生じます。

#23417のマサルさんの図：一番上の左側を1とし、反時計回りに、2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 としています。
(1,8) (1,7) (1,6) (1,5) (1,4) (1,3) (1,2) => A, B, C, D, C, B, A
(2,8) (2,7) (2,6) (2,5) (2,4) (2,3) (2,1) => B, C, D, C, B, A, A
(3,8) (3,7) (3,6) (3,5) (3,4) (3,2) (3,1) => C, D, C, B, A, A, B
(4,8) (4,7) (4,6) (4,5) (4,3) (4,2) (4,1) => D, C, B, A, A, B, C
(5,8) (5,7) (5,6) (5,4) (5,3) (5,2) (5,1) => C, B, A, A, B, C, D
(6,8) (6,7) (6,5) (6,4) (6,3) (6,2) (6,1) => B, A, A, B, C, D, C
(7,8) (7,6) (7,5) (7,4) (7,3) (7,2) (7,1) => A, A, B, C, D, C, B
(8,7) (8,6) (8,5) (8,4) (8,3) (8,2) (8,1) => A, B, C, D, C, B, A

#23446のなかさんの図：一番上の平らな所を1として、反時計回りに、2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 としています。
(1,2) (1,8) (1,3) (1,7) (1,4) (1,6) (1,5) => A, A, B, B, C, C, D
(2,1) (2,8) (2,3) (2,7) (2,4) (2,6) (2,5) => A, B, A, C, B, D, C
(3,8) (3,1) (3,2) (3,7) (3,4) (3,6) (3,5) => C, B, A, D, A, C, B
(4,7) (4,8) (4,1) (4,2) (4,3) (4,6) (4,5) => C, D, C, B, A, B, A
(5,6) (5,7) (5,8) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) => A, B, C, D, C, B, A
(6,5) (6,7) (6,8) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) => A, A, B, C, D, C, B
(7,5) (7,6) (7,4) (7,8) (7,1) (7,2) (7,3) => B, A, C, A, B, C, D
(8,5) (8,6) (8,4) (8,7) (8,3) (8,1) (8,2) => C, B, D, A, C, A, B

ネコの住む家　　 8月9日（月） 16:03:20　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23470
小西孝一
なかさん、uchiyanさんの証明に感心しました。
不真面目なので他のことばかりしてます。
九州の山奥　　 8月10日（火） 16:50:49　　 MAIL:ウイルスがよく来ます（涙 　　23471
ハラギャーテイ
井戸水に水道水！

これに比べれば草津の湯の素！　まだましか？

今の世の中、自分で見分けられなければ
何を与えられているかわからん。

北九州　　 8月11日（水） 21:44:55　　 HomePage:ハラギャーテイの制御工学にチャレンジ　　23472
あーく＠頭も夏休み
次回が8/18だということを今知りました（爆死
前もこんなことあったな・・・

夏休みはゆっくり自分の勉強ができるかと思えば、部活やらバイトやら何やらで、そう思うようには行きそうになさそうです（汗
　　 8月12日（木） 0:02:33　　 　　23473
DIDDYKONG
実は僕も間違えました！びっくり！？
兵庫県　　 8月12日（木） 0:04:44　　 　　23474
みかん
うん？　今週はお休みなのね。昨夜は寝てしまったけど、な〜んだ。

#23472
学研の『○年の科学』の付録に環境調査セット（酸性雨・大気汚染）が
ついているけど、温泉成分検出キットはないのだろうか。水を採取して
試薬をたらすと温泉の成分に反応して赤く染まるとか。夏休みの自由研究
に「水道水の偽装温泉を探せ」なんてやったら絶対面白そうだけど。
　　 8月12日（木） 11:43:23　　 　　23475
uchinyan
今週は出題が夏休みなので、#23469で問題にしたひし形分割のパターンの数について、分かったことを報告しておきます。
結論から言うと、難しそうで、正16角形の場合には答は得られていません。
#23469のグラフの交点、正2n角形の平行な対辺の一つを1とし反時計回りに2, 3,..., nと番号付けた場合は、
正2(n-1)角形の場合に線を一本加え、その交点を過ぎるごとに新しいパターンが増えることを利用すればいいのですが、
交点の過ぎ方が一意でない場合があるので、その考慮が難しそうです。
次に対称性を考慮した場合ですが、正2n角形はその中心の回りに180/n度の回転対称性があるので、それをグラフにも適用します。
計算のアルゴリズムは見つけたのですが、書き下せる式は得られていません。手計算の結果は次のとおり。
対称性を考慮しない場合：正4角形で1、正6角形で2、正8角形で8、正10角形で62。
対称性を考慮した場合　：正4角形で1、正6角形で1、正8角形で1、正10角形で7。
特に、正10角形の場合は興味深く、10個の同等なものを含む組6つと、2個の同等なものを含む組1つとからなるようです。
正16角形の場合は、コンピュータに頼るか、より強力な手法を考案するかしないとダメそうです。
まぁ、先週の問題とは直接には関係ないので、ひとまず、これで。
ネコの住む家　　 8月12日（木） 17:49:19　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23476
吉川　マサル
[本日の更新について]

　えと、私は現在、香川県に来ています。先ほど「松屋」といううどん屋に行きました。ウマー。
　ところで今晩なんですが、私は粟島という離島にある祖母の家に泊まることになります。離島であるが故に、PHSの電波は入らないことが予想されます。（DポケのWebページによるとエリア外でした）更新は自動で行いますが、順位表の更新（メイルで送ってくださる方の登録や、順位の確定等）は明日以降になってしまうと思います。また、問題に不備があった場合の対応も翌日以降になってしまいますので、（もちろんそういうことのないよう、注意しますが）その場合はなにとぞご容赦いただければ幸いです。m(__)m
MacOS X　　 8月18日（水） 12:51:24　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　23477

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