トトロ＠Ｎ
博多に遊びに来てます。
地酒で酔っ払ってます。
計算力はありませんが、ひとつおきに見るとフィボナッチ数列
なので、この程度は計算できます。
　　 10月28日（木） 0:11:00　　 　　23921
あ〜く＠ぴかぴかの（略
正五角形の特性を生かせば（ア）=a , （イ）=b　とすると n回目(n≧1)の操作後の一辺の長さはF(n-1)a+F(n)b
（Ｆ(n)はFibonacci数列でF(0)=0,F(1)=1,F(n+1)=F(n)+F(n-1))

豊岡の水害・中越の地震・イラクでの拉致、当事者でないものが言うのも何ですが、災難続きですね。
どうしたものやら。
未完成の蜜柑星　　 10月28日（木） 0:12:48　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　23922
はなう
最初二重のカタラン数みたいになって、269,433などという勘違いな答えになり撃沈→そのあと34,56であってると思って待ってたら。。
待てども待てども載らないヾ(´・ω・`)ノ　計算間違ってました。とほほ

要するにA（n）=A（n-1）×3　−　A（n-2）で、カタラン数ですね
とーきょ　　 10月28日（木） 0:13:40　　 HomePage:http://hanau.daa.jp/blog2/　　23923
トトロ＠Ｎ
昼に食べた沖食堂の久留米ラーメンは大変うまかったですよ。
ボリュームたっぷりのやき飯が３８０円でラーメンが３２０円と驚きの安さ。
そのあと大宰府へお参りして生徒の合格祈願をしてきました。
　　 10月28日（木） 0:16:07　　 　　23924
はなう
アフォだ。。フィボナッチですね。なに勘違いしてんだろ。

私も年始に必ず合格祈願しに行きますね〜（近所に。。。
とーきょ　　 10月28日（木） 0:17:07　　 HomePage:http://hanau.daa.jp/blog2/　　23925
吉川　マサル
忘れたころのフィボナッチ、ということで....。(^^;;
MacOS X　　 10月28日（木） 0:23:16　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　23926
uchinyan
はい、こんばんは。
そう、フィボナッチ数列ですね。簡単といえば簡単 :-)
ネコの住む家　　 10月28日（木） 0:30:46　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23927
トトロ＠Ｎ
こんばんは、マサルさん。
明日は博多駅前の店で朝からスロってきます。
いまデータ眺めて何打つか考えてます。
18歳未満はダメよ!!
　　 10月28日（木） 0:33:00　　 　　23928
始 受験勉強君
ヤッター！！！この問題はフィボナッチ数列なんですね！！！なんか自分で書いた
図をにらんでいたらそのことに気が付きました。でも五角形ができるまでの作業を
10回だと思って、最初「1597,2584」だと思ってしまいました。でも後で考え直し
て気が付きました。とにかく、正解できてよかったです。ではさようなら。
算数大好き人間(後は数学)　　 10月28日（木） 0:37:02　　 　　23929
tomh
#23926
> 忘れたころのフィボナッチ、ということで....。(^^;;

忘れてました… (^^;
三角関数でゴリゴリとやっちゃいました。

＃次回は、忘れたころのカタラン…か? (^^;;
新潟市　　 10月28日（木） 0:38:05　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　23930
tomh
#23930
計算をはしょって説明すると、アとイの関係は、

　(イ) = [(1+√5)/2]x(ア).

求める長さは、[(123+55√5)/2]x(ア)なので、
NとMを自然数として、

　[(123+55√5)/2]x(ア) = Nx(ア)+Mx(イ) = [(2N+M +M√5)/2]x(ア)

となって、恒等式として比較すると、(N,M)=(34,55).
答えがわかると、馬鹿みたいなことしてるなぁと思います。 (^^;
新潟市　　 10月28日（木） 0:45:33　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　23931
呑
ただいま。結局終電１本前でした。
あ〜疲れた。風呂杯って寝よ。
（流石私のワ−プロ。入るが杯るになります）
では、みなさん。ごきげんよう。
ごめんやしておくれやしてごめんやっしゃ〜！
酔っぱらい天国　　 10月28日（木） 0:54:50　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:ＨＯＰＥＳ　　23932
cm
ペイントとエクセルを使って手作業で解きました。
　　 10月28日（木） 1:02:49　　 　　23933
ゴンとも
夜12時は眠いですね。以下自分なりの解答です。
先ず、題意の2回目の操作後の図形で
赤い五角形を左右対称に分ける線の上側をAとし反時計周りに順にB,C,D,E
青い図形の先端を赤い五角形を左右対称に分ける線の左側を
Fとして反時計周りに順にG,H,I,Jとする。
ここで△CGH,△CHDの三角形を考え
点Cから直線GHに垂線を下ろしその足をKとし
直線CDの中点をLとして
cos36°=CL/CH ∴　CL=CH*cos36°
sin18°=KH/CH ∴　KH=CH*sin18°
より
CL : KH = cos36°: sin18°
ここで18°=α　とすると
CL : KH = cos2*α　: sinα　=1-2*(sinα)^2 : sinα
ここで
sin18°=(√5-1)/4　より先のものは
CL : KH = 1-2*((√5-1)/4)^2 : (√5-1)/4
=1-2*(3-√5)/8 : (√5-1)/4 =(√5+1)/4 : (√5-1)/4
=√5+1 : √5-1
より題意の操作の順に出てくる5角形の1辺は
(√5+1)/(√5-1) =(6+2*√5)/4 =(3+√5)/2倍
ここで題意の最初の五角形の長さを1=ア・・・・・・�，箸垢襪�
10回目の五角形の長さは((3+√5)/2)^5=(55*√5+123)/2・・・・・・��
ここで先に1=アよりイは
sin18°=(√5-1)/4=(1/2)/イ=1/(2*イ)
(√5-1)/4=1/(2*イ)
√5-1=4/(2*イ)=2/イ
イ=2/((√5-1))=2*(√5+1)/4=(√5+1)/2
これと��,�△茲�
10回目の五角形の長さ=34*ア+55*イ・・・・・・(答え)
愛知県豊川市　　 10月28日（木） 1:31:39　　 MAIL:ｆｔｔnm528@ybb.ne.jp 　　23934
アヒーのおじさん
気合いで図を描いて長さを測ってやろうかなと考えまして
ある程度まで図を描いて長さを測っているうちにやっとフィボナッチ数列に気がつきました（＾＾；
結局は皆様と同じ解き方になるわけですが、
問題の答えよりも自分の鈍感さが身にしみて分かりました（笑）
アンドロメダ大星雲　　 10月28日（木） 1:35:29　　 　　23935
mhayashi
ア=a(0), イ=b(0) として，
1. a(n)=a(n-1)+b(n-1)
2. b(n)=a(n)*b(0)/a(0)
の関係から a(5) を求めました．
関西　　 10月28日（木） 1:42:30　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　23936
圭太
元をa0、b0とすると、
a2=a0+b0、b2=a0+2b0
a4=a2+b2、b4=a2+2b2
a6=a4+b4、b6=a4+2b4
a8=a6+b6、b8=a6+2b6
a10=a8+b8、b10=a8+2b8
これらを代入していけば・・・a10=34a0+55b0　となる。
米所〜♪　　 10月28日（木） 4:48:39　　 HomePage:圭太の研究所＠いれこみくん！＆役満縛り〜♪　　23937
なか
トリビアの泉　「・・・１辺は１２３ｃｍになる」

求める長さは、実際には１２３ｃｍになります。
# ほんとは　122.99 cm
そして、とても整数っぽいのは、偶然ではありません。
興味ある方は、２０回後の１辺の長さを計算してみてください。
北海道　　 10月28日（木） 7:56:49　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　23938
ハラギャーテイ
できた。三角関数と方程式など組み合わせ、Mathematicaで解いた。
ひらめいていないので面倒くさかった。
北九州　　 10月28日（木） 11:07:48　　 HomePage:信号処理に挑戦　　23939
kasama
おっかしいなぁ(?_?、おっかしいなぁ(?_?と思っていたら、あっ、一回分少なく数えていたぁ(^_^;)
えっと、最初のア、イの長さをa1、b1とすると、
　b1=a1/(2sin(π/10))
　a2=a1cos(π/5)/sin(π/10)
・・・
　b5=a5/(2sin(π/10))
　a6=a5cos(π/5)/sin(π/10)
なので、
　b1=a1(1+√5)/2
　a6=a1(123+55√5)/2
となって、
　a6=34a1+55b1
です。
出先　　 10月28日（木） 11:41:55　　 　　23940
uchinyan
#23927への自己レス：
フィボナッチ数列になることは、対角線又はその一部を辺にもつ平行四辺形を考えれば、明らか。
#23938：
ア = 1 とした場合ですね。より正確には、Windowsの電卓で、
122.99186938124421665125227589011 cm となりました。
イ = (1 + sqrt(5))/2 ですから、これを計算すれば．．．
＞そして、とても整数っぽいのは、偶然ではありません。
黄金比とかと関係あるのかな？

ネコの住む家　　 10月28日（木） 12:10:25　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23941
uchinyan
#23941にちょっと追加。(何故か訂正ができない．．．)
＞イ = (1 + sqrt(5))/2 ですから、これを計算すれば．．．
もちろん、(10回目) = (イ + 1)^5 です。
ネコの住む家　　 10月28日（木） 12:16:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23942
M.Hossie
　こんばんにゃ。アとイの関係は超有名な黄金分割比 (1 + √5)/2 ですね。
　この操作を１まわりすると、アを A、イを B とすれば
　A(n+1) = A (n) + B (n), B (n+1) = A (n) + 2B (n)
　てな訳で、行列の n 乗を求めて n = 5 を代入して 34, 55 を出しましたが、n = 5 だったら巾乗なんか求めんでもそのまま足し算すりゃいいってなことに今気付くほっしーでした。

　関係無いですが、新潟県民の皆さまにお見舞い申し上げます。超お気に入りの越後湯沢の山の湯は無事かしらん？
温泉のある場所　　 10月28日（木） 13:17:51　　 　　23943
n厨
・・・
　　 10月28日（木） 16:55:12　　 　　23944
小学名探偵
久しぶりのフィボナッチ数列ですね。

#23938
よく分かりませんが、
ア＝１ならば、イは黄金分割数φ（＝（１＋√５）／２）なので、
ア+イ＝イ＾２　（１＋φ＝φ＾２）
（ア＋イ）＾５＝イ＾１０＝φ＾１０　（＝３４＋５５φ）

フィボナッチ数列の初項＝１、第２項＝３に置き換えたときの
数列１，３，４，７，１１・・・・（リュカ数列）
の第１０項＝１２３

リュカ数列の第１０項＝φ＾１０＋１／φ＾１０
φ＝１．６１８・・・なので、１／φ＾１０は０に近い。

東京　　 10月28日（木） 17:21:39　　 　　23945
姉小路
できあがる正五角形の隅っこに存在する二等辺三角形と、
τを駆使して何とか解きました。
いやぁ、フィボナッチですか。フィボナッチですか……。
全く考えませんでした。　　　　orz
最初が「ア」、その後が「ア＋イ」……と、ココまでしか図を書いてませんでした。
算数の街　　 10月28日（木） 18:17:57　　 MAIL:pctakada@mail.goo.ne.jp HomePage:高田の呟き　　23946
小学名探偵
↓でも少し書いたのですが、
ア＝１、イ＝φとおくと、長さは１→φ→φ＾２・・・と変化します。
φ＾２＝φ＋１を満たすので、
φ＾３＝φ＾２＊φ＝（φ+１）φ＝２φ+１これを繰り返し使って、
φ＾１０＝３４+５５φ＝３４×ア+５５×イ
と求められます。
東京　　 10月28日（木） 18:24:50　　 　　23947
なか
#23945 小学名探偵さん

言いたかったことをすっきりと書いていただきました。
完璧です。ありがとうございます。

ａ１０＝　　　　　　１２２．９９１８６９３８１２４
ａ２０＝　　　　１５１２６．９９９９３３８９３０３
ａ３０＝　　１８６０４９７．９９９９９９４６２５０
ａ４０＝２２８８２６１２６．９９９９９９９９５６２
と、次第に整数に近づいていきます。

リュカ数列の第１０項＝φ＾１０＋１／φ＾１０
ここがまた、図形的な興味を誘うところです。
１／φ＾１０は内側５番目の正５角形の１辺なのですから。
これも、黄金数の神秘でしょうか。
Muroran　　 10月28日（木） 18:35:05　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　23948
うは
あー久しぶりに入れた
　　 10月28日（木） 21:35:36　　 　　23949
uchinyan
#23945 and #23948：
なるほど。面白いですね。というか、神秘的ですねぇ。
リュカ数列というのは知りませんでした。
勉強になりました :-)
ネコの住む家　　 10月28日（木） 21:42:55　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23950
DrK
今週もリアルタイムで参加したのに、何故？
この手の問題の場合は、数列が漸化式になっていることに気づけばすぐなのですが。
3回目の状態になったとき、五角形から星に延びる三角形2つと五角形が五角形の上の部分になることに気づきました。このときの底辺は、三角形の辺2つと五角形の辺の和となります。
三角形を折り返したとき、五角形の1つの頂点に三角形の頂点が重なり、この辺の長さはア1つ分とイ2つ分の和に相当する。
もう1度、3回目の処理の時にできた三角形に着目、五角形から三角形を1つ伸ばした部分は丁度次の段階の五角形の辺にに等しくなる。このとき、五角形と次の五角形の辺の関係は五角形の辺と三角形の辺1つ分の和となる。
ここから、数列をたどっていくと、10回目にできた五角形の辺は
アが34個分とイが55個分の和になる。
今は楽園かな?違うな。　　 10月28日（木） 22:47:26　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　23951
N.Nishi
A(n)=A(n-1)×3−A(n-2)　但し、ｎ＝ｋ/2　（ｋ回目でｋは偶数のみ考える。）
私もこの式を考えました。（いわゆる正五角形のときばっかりで考えている。）
10回目はｎ＝５　漸化式の解き方忘れて結局A(1)〜A(4)を求めて最後にA(5)を。そんなに苦ではなかったですね。50回目とか言われたら投げ出しそうでしたが(笑)
　　 10月28日（木） 22:48:03　　 　　23952
DD
地道に計算して出しましたが・・
面白いですねえ〜
　　 10月28日（木） 23:23:12　　 　　23953
DrK
昨日は空に正五角形ができたそうです。その日に五角形の問題が出るのも奇遇かなと思いました。
今は廃墟　　 10月29日（金） 12:18:17　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　23954
スモークマン
{(3+√5)/2}^5 = (123 + 55√5)/2
= A + B x {(1+ √5)/2}　と計算して求めた。
小学名探偵さんの解法に気づかなかった〜
寒くなると眠くなる・・・熊に近いのかなあ？
　　 10月29日（金） 16:56:59　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　23955
小学名探偵
#23948 なかさん、ありがとうございます。勉強になりました。
#23950 リュカ数（Lucas number）のことは、わたしも知りませんでした。
リュカが「ハノイの塔」の作者であることは知ってましたが。

本問でも、リュカ数L（ｎ）は現れます。
すなわち、ｎ回後の長さA（ｎ）は、
A（ｎ）＝｛L（ｎ）+F（ｎ）×√５｝／２
で与えられます（F（ｎ）はフィボナッチ数）。
たとえば、　A（１０）＝（１２３+５５√５）／２≒１２３

ある英語サイトに、リュカの木が紹介されてました。

「リュカの木（Lucas tree）
初めに、１つの黒い節（ノード）があります。
１年後に、黒い節から１つの青い節と２つの赤い節が出来ます。
赤い節は、１年経つと、青い節に変わります（１つの青い節が出来ます）。
青い節からは、１年後に、１つの青い節と１つの赤い節が出来ます。
Ｎ年後に出来る節の個数はＬ（Ｎ）になります。」
東京　　 10月29日（金） 18:38:20　　 　　23956
uchinyan
(済みません。つまらないミスがありました。訂正します。
A(n)は、n回後の長さなので、A(1) -> A(0), A(2) -> A(1) になります。)
#23956
＞リュカが「ハノイの塔」の作者であることは知ってましたが。
へぇー、これまた知りませんでした (^^;
＞すなわち、ｎ回後の長さA（ｎ）は、
＞A（ｎ）＝｛L（ｎ）+ F（ｎ）×√５｝／２
今回の問題では、正五角形の対角線又は対角線の一部を一辺にもつ平行四辺形を考えると、
A(n+2) = A(n+1) + A(n)
がいえるので、ア = A(0)、イ = A(1) = (1 + sqrt(5))/2 * A(0)、n >= 2 で、　<-----　ここを訂正
A(n) = F(n-1) * A(0) + F(n) * A(1) 　<-----　ここを訂正
A(0) = 1 とすると、　<-----　ここを訂正
A(n) = [{2 * F(n-1) + F(n)} + F(n) * sqrt(5)] / 2 = [{F(n-1) + F(n+1)} + F(n) * sqrt(5)] / 2
なので、
L(n) = F(n-1) + F(n+1)
とも書けますね。
まぁ、大したことではないのでしょうが、ちょっと面白いな、と思いました。
追加 or 蛇足 (^^;
この関係式は、A(n) の漸化式で、A(0) = 1, A(1) = 3 とした場合が、L(n) = A(n-1) であることからも、
L(n) = A(n-1) = F(n-2) * A(0) + F(n-1) * A(1) = F(n-2) + 3 * F(n-1) = F(n-1) + F(n+1)
と導けます。
ネコの住む家　　 10月30日（土） 11:29:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23957
小学名探偵
リュカ数列の一般項L(n)を求めてみました。
1，3，4，7，11，18，29，47，76，123・・・

ｎ＞２のとき、L(n)＝L(n-1)+L(n-2)
L(n+１)−αL(ｎ）＝β｛L(n）−αL(n−１）｝と置く。
L(n+1 )＝（α+β）L(n)−αβL(n-1 )　係数を比較して、
α+β＝１，αβ＝−１

L(n+１)−αL(ｎ）＝β｛L(n）−αL(n−１）｝
　　　　　　　　　＝β＾（ｎ−１）｛L(2) − αL(1)}）
　　　　　　　　　＝β＾（ｎ−１）（３−α）　
３−α＝（１−α）+２＝β+２＝（β+１）+１＝β＾２−αβ＝β（β−α）から
　　　　　　　　　＝β＾ｎ（β−α）　　　　　　��
同様にして、
L(n+１)−βL(ｎ）＝α｛L(n）−βL(n−１）｝
　　　　　　　　　＝α＾ｎ（α−β）　　　　　　��

�◆櫚�
（α−β）L(ｎ)＝（α−β）（α＾ｎ+β＾ｎ）
したがって、
L（ｎ）＝（α＾ｎ+β＾ｎ）
α＝φ、β＝−１／φと置くと、
L（ｎ）＝｛φ＾ｎ+（−１／φ＾ｎ）｝
で表されます。

#23957 uchinyanさんの発見された関係式を使うと、フィボナッチ数列の
一般項F（ｎ）＝（α＾ｎ−β＾ｎ）／（α−β）
から、すぐに、リュカ数列の一般項L(n)が求められますね。

#23947 自己レスです。
もう少し、上手い方法は、
φ＾ｎ＝F（ｎー１）+F（ｎ）φ　と予想することです。
（φ＾２＝φ+１を使って、数学的帰納法で証明されます）

φ＾ｎ＝φ＾（ｎ−１）+φ＾（ｎ−２）
ということで、２つのフィボナッチ数列の線形結合もフィボナッチ数列になるのでした。

東京　　 10月30日（土） 21:37:49　　 　　23958
uchinyan
一応、L(n) = F(n-1) + F(n+1), F(n) = (α^n - β^n)/(α-β) から、L(n) を求めておくと、
L(n) = (α^(n+1) - β^(n+1) + α^(n-1) - β^(n-1))/(α-β)
ここで、ちょっとトリッキーですが、αβ = -1 より、
L(n) = (α^n * α - β^n * β - α^n * β + α * β^n)/(α-β) = (α^n + β^n)(α-β)/(α-β) = α^n + β^n
α = φ, β = -1/φ として
L(n) = φ^n + (-1/φ)^n
ネコの住む家　　 10月30日（土） 23:04:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　23959
3秒の世界
このサイト初めて来ました。これから月1くらいで参加したいです。
フィボナッチ数列なんですね…そんな名前忘れてフツーに足していきましたよ。
次来る時はちゃんと問題出題時に解きたいです。それでは
　　 10月31日（日） 0:39:50　　 　　23960
emiko
代入の繰り返しで。
　　 11月1日（月） 19:35:27　　 　　23961