あ〜く＠ジューク
最初一辺の長さが6cmと仮定したままの答え「３」を送ってしまったorz
未完成の蜜柑星　　 6月9日（木） 0:06:25　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　25222
taku
久しぶりに勘が冴えてた。
折り紙みたい。
　　 6月9日（木） 0:08:46　　 MAIL:takuo@kcv.ne.jp 　　25223
はなう
私も、１分で、「３」と解答。なんで違うんだろーってずーっと悩んでました

Σ(￣Д￣|||)

おっちょこちょいよくないですね

ＡＦＤとＡＢＥを折り返すとぴったりなので、それから、
ＢＥ＋ＦＤ＝５（比の５）
ＦＤ−ＢＥ＝１

それからＦＤ＝３　ＢＥ＝２

この時点で答えの見当がついたので「３」と回答。あとは相似比つかってゴリゴリ。。。

とーきょ　　 6月9日（木） 0:10:44　　 HomePage:http://hanau.daa.jp/blog2/　　25224
みかん
元の正方形を１辺６ｃｍ、Ｆを中点に置いた図を書いていたら偶然解けたみたい…。
与えられた図に惑わされずにきちんと図を書いたのが勝因か？！
　　 6月9日（木） 0:16:21　　 　　25225
ひろぼうず
中に折り返して、辺の比はすべて求められたものの、
三角形AEFの面積を求めるところで、計算ミス！
そのミスに気づくも、今度は三角形APOの面積でも計算ミス！
ああ、ぼけてきたか・・・とほほ・・・
　　 6月9日（木） 0:17:46　　 　　25226
吉川@京ぽん
もうすぐ帰宅ですー。m(_ _)m

ちと慌ただしくて、北朝鮮戦の試合の結果も知らなかったりします。:-)
　　 6月9日（木） 0:21:20　　 　　25227
CRYING DOLPHIN
△ＰＱＲと△ＥＦＣが相似
ＢＱ＝ＱＲ　ＰＲ＝ＰＤ
ＢＤ＝６cm
より、
1.5×2÷2＝1.5
としました。。ちかれた

出題者の想定する解法を探そうとして
泥沼に嵌ってしまったようです。（
１年ピカチュウ組　　 6月9日（木） 0:33:47　　 HomePage:算数の限界ってどのくらい？　　25228
吉川　マサル
帰宅しました。ワールドカップ出場決めたんですね。(^^;;
PowerBook G4　　 6月9日（木） 0:53:47　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25229
みめこ
http://mediaserver.hp.infoseek.co.jp/source/up1604.jpg
http://mediaserver.hp.infoseek.co.jp/source/up1602.jpg
　　 6月9日（木） 1:57:00　　 　　25230
みめこ
http://mediaserver.hp.infoseek.co.jp/source/up1604.jpg
http://mediaserver.hp.infoseek.co.jp/source/up1602.jpg
　　 6月9日（木） 2:00:01　　 　　25231
ゴンとも
何も考えず座標におくもこんな時間に・・・2時ですか!
先ず、題意の図は正方形の面積が18,3:4:5の条件から
B(0,0),A(0,3*sqrt(2)),C(3*sqrt(2),0),D(3*sqrt(2),3*sqrt(2))
E(3*sqrt(2)-4*a,0),F(3*sqrt(2),3*a)とおけ
また∠EAF=45°の条件より
ベクトルEA:A(0,3*sqrt(2)) E(3*sqrt(2)-4*a,0)
|EA|=sqrt((4*a-3*sqrt(2))^2+(3*sqrt(2))^2)=sqrt(16*a^2-24*sqrt(2)*a+36)・・・・・・��
ベクトルFA:A(0,3*sqrt(2)) F(3*sqrt(2),3*a)
|FA|=sqrt((-3*sqrt(2))^2+(3*sqrt(2)-3*a)^2)=sqrt(9*a^2-18*sqrt(2)*a+36)
これと�，尿�EAFで余弦定理を用いて
cos(45°)=sqrt(2)/2
=(16*a^2-24*sqrt(2)*a+36+9*a^2-18*sqrt(2)*a+36-25*a^2)/(2*sqrt(16*a^2-24*sqrt(2)*a+36)*sqrt(9*a^2-18*sqrt(2)*a+36))
このaについての方程式を解くと
solve((16*a^2-24*sqrt(2)*a+36+9*a^2-18*sqrt(2)*a+36-25*a^2)/(2*sqrt(16*a^2-24*sqrt(2)*a+36)*sqrt(9*a^2-18*sqrt(2)*a+36))=sqrt(2)/2,a);
a=sqrt(2)/2(但しaは長さでマイナスでないのでそれは省いた)
より最初においたE,FはE(sqrt(2),0)・・・・・・��
F(3*sqrt(2),3*sqrt(2)/2)
より以上の座標より
直線EA:e1:y=-3*x+3*sqrt(2)$
直線FA:e2:y=-x/2+3*sqrt(2)$
直線EF:e3:y=3*x/4-3*sqrt(2)/4$・・・・・・��
直線BD:e4:y=x$
e4,e1との交点Qは
solve([e4,e1],[x,y]);Q=(3*sqrt(2)/4,3*sqrt(2)/4)・・・・・・��
e4,e2との交点Qは
solve([e4,e2],[x,y]);P(2*sqrt(2),2*sqrt(2))・・・・・・��
ここで��上の点RをR(b,3*b/4+3*sqrt(2)/4)・・・・・・��
とおくと
|ER|=sqrt((b-sqrt(2))^2+(3*b/4-3*sqrt(2)/4)^2)=5*sqrt(b^2-2*sqrt(2)*b+2)/4
条件sqrt(2)=BE=ER=5*sqrt(b^2-2*sqrt(2)*b+2)/4より
bについてのこの方程式を解いて
solve(sqrt(2)=5*sqrt(b^2-2*sqrt(2)*b+2)/4,b);b=9*sqrt(2)/5(但し図から不適なものは除いた)
これと�Δ箸茲�R(9*sqrt(2)/5,3*sqrt(2)/5)・・・・・・��
これとe4:y-x=0との距離を点と直線の公式より求めて
|3*sqrt(2)/5-9*sqrt(2)/5|/sqrt(2)=|-6*sqrt(2)/5|/sqrt(2)=6/5・・・・・・��
これは高さであと底辺としてQPだがこれはBD=3*sqrt(2)*sqrt(2)=6と��,�イ任�x座標の差とより
QP=6*(2*sqrt(2)-3*sqrt(2)/4)/(3*sqrt(2))=5/2
これと�┐箸茲蝣�PQR=(5/2)*(6/5)/2=3/2・・・・・・(答え)
時間がかかるも楽しかったです。では。
豊川市　　 6月9日（木） 2:07:44　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　25232
ぷー太郎
計算間違いをしてしまった。折り返しで後は隣辺比でごちゃとちゃと・・・
　　 6月9日（木） 2:54:33　　 　　25233
はなう
#25231　みめこさん
右下の三角形は30°60°90°にならないと思います。

実際、BQ:QP:PD＝3:5:4　はそうなんですよねー
つまり、右下の三角形の比がa:b:c(a<b<c)　である時点で、
求める三角形は、

9×(a+b-c)/(a+b+c)
にかならずなりますね
（例えば、右下の直角三角形が5:12:13だと、答えは1.2になりますね。）

証明は難しくないですが、結構楽しいので、是非考えてみてください☆

とーきょ　　 6月9日（木） 7:11:14　　 HomePage:http://hanau.daa.jp/blog2/　　25234
kasama
おはようございます。
私もみかんさん(#25225)のように、『Ｆを中点に置いた図』をCADに描かせたら問題の図形になりました。偶然でした(^_^;)
出先　　 6月9日（木） 9:23:46　　 　　25235
uchinyan
はい、こんにちは。今回の問題、面白かったです ^^/
図が正確なので、答えは、半ば勘で分かりましたが、それを整理した解法です。
△ABE を AE に関して、△ADF を AF に関して、それぞれ折り返してみます。B の移動先を G、D の移動先を H とします。
∠GAE + ∠HAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = 90 - 45 = 45 = ∠EAF、AG = AB = AD = AH なので、G と H とは一致します。
さらに、∠AGE + ∠AHF = ∠ABE + ∠ADF = 90 + 90 = 180 なので、E, G (= H), F はこの順に一直線上にあり、
GE = BE = ER より、G は R に一致します！　
このことから、BQ = RQ、DP = RP、∠QRE = ∠QBE = 45 = ∠PDF = ∠PRF、∠BEQ = ∠REQ、∠DPF = ∠RPF などもいえます。
したがって、角度の関係から、△AEF、△REQ、△RPF は、相似になります。
△PQR、△EFC において。∠QRP = 180 - ∠QRE - ∠PRF = 180 - 45 - 45 = 90 です。また、
∠QPR = 180 - ∠QPA - ∠RPF = 180 - ∠DPF - ∠RPF = 180 - 2 * ∠RPF = 180 - 2 * ∠REQ = 180 - ∠BEQ - ∠REQ = ∠FEC
そこで、△PQR と △EFC は、相似になります。よって、QR：RP：PQ = FC：CE：EF = 3：4：5 です。
BQ = RQ、DP = RP だったので、これから、BQ：QP：PD = 3：5：4 です。
一方、BD は、正方形ABCDの対角線なので、面積の関係から、1/2 * BD * BD = □ABCD = 18 で、BD = 6cm です。
よって、BQ = 6 * 3/(3+4+5) = 3/2cm、QP = 6 * 5/(3+4+5) = 5/2cm、PD = 6 * 4/(3+4+5) = 2cm になります。
これから、RQ = BQ = 3/2、RP = DP = 2 で、△PQR = 1/2 * RQ * RP = 1/2 * 3/2 * 2 = 3/2 cm^2 です。
ネコの住む家　　 6月9日（木） 11:30:51　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25236
エルク
なんか合同っぽい三角形が二組あったので
それを決め付けてたら解けちゃいました（汗

これからもっとまじめに考えてくるかな・・・
魔法の国　　 6月9日（木） 15:59:51　　 HomePage:迷いの森　　25237
uchinyan
今日はいろいろと忙しく、今やっと掲示板を読みました。
自己レスですが、#25236に追加。
∠EAF = 45度である限り、#25236より明らかですが、
QR = BQ = BD * FC/(FC+CE+EF)、RP = DP = BD * CE/(FC+CE+EF)、PQ = BD * EF/(FC+CE+EF)
になります。これは、#25234の一般解のヒントですね。
なお、いつもより書き込みが少ないかなと思いました。考え方が限られてしまうのでしょうか。
ネコの住む家　　 6月9日（木） 19:01:18　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25238
M.Hossie
　こんばんにゃ。昨夜は仕事が長引いて２４時を過ぎてしまったので、ついでに実時間で解きました。大方の皆さんと同じく、折り返して一辺６で考えました。求める図形も３：４：５ですね。最近疲れ切っているのでまったりと温泉療養したいところです。
温泉地　　 6月9日（木） 20:32:11　　 　　25239
dis-
三角形が合同になる証明ですが、補助線を引くと分かりやすいです。

CDの延長線上にDE'=BEとなる点E'をとります。△ABEを移動させてADにくっつけるイメージ。
よって明らかにAE=AE'。また、AF共通で ∠EAF＝∠E'AF=45°なので△AFE=△AFE'。
さらに∠AFR＝∠AFD,AR=AD,AF共通で△AFR=△AFD。

こんな感じで、連鎖的に三角形の合同が証明できます。
　　 6月9日（木） 21:19:13　　 　　25240
uchinyan
(間違いではないのですが、一部、あいまいでした。修正しました。)
掲示板で、「正方形の一辺を 6cm として」というような記述が多く見られ、よく分からなかったのですが、
「あぁ、こんな感じかな」と思ったので、まとめておきます。一部、比を使った別解にもなっています。
今、計算を簡便にするために、正方形の面積 18cm^2 を二倍の 36 の割合と仮定します。すると、一辺は 6 になります。
#25236の解法、又は dis- さんの#25240、と同様に考えると、△BEQ ≡ △REQ、△DFP ≡ △RFP になります。
このとき、CE = 4、CF = 3 とすると、BE = 2、DF = 3 となり、EF = ER + RF = BE + DF = 5 となって、題意を満たします。
A と C とを結び、AC と BD との交点を O とします。
△AEC にメネラウスの定理を使うと、AQ/QE * EB/BC * CO/OA = 1 で、AQ/QE = 6/2 = 3/1 です。
△AFC にメネラウスの定理を使うと、AP/PF * FD/DC * CO/OA = 1 で、AP/PF = 6/3 = 2/1 です。
そこで、
△BCD = 1/2 * □ABCD = 1/2 * 36 = 18
△ECF = 1/2 * 4 * 3 = 6
△BEQ = △REQ = 1/4 * △ABE = 1/4 * (1/2 * 2 * 6) = 3/2
△DFP = △RFP = 1/3 * △ADF = 1/3 * (1/2 * 3 * 6) = 3
となり、
△PQR = △BCD - △ECF - △BEQ - △REQ - △DFP - △RFP = 18 - 6 - 2 * 3/2 - 2 * 3 = 3
ここで、最初に、正方形ABCDの面積を二倍にして考えていたので、実際の面積は、
△PQR = 3/2 cm^2 になります。
結局は、比の関係だけが本質なので、正方形の一辺を 6 とするのは、全くの計算の便宜上ですね。
ネコの住む家　　 6月10日（金） 8:50:20　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25241
独和辞典
やさしそうなのに決め手を欠き、やむを得ずへロン先生の力を借りました。
Bを（０，０）とすると、P（４、４）、Q（1.5、1,5）、R（3.6、1.2）が得られます。
ここからPQ＝2.5、QR＝1.5、RP＝２　という歯切れのいい３辺の長さが算出されます。後はでへロンで1.5。
昭和一桁が生まれて初めて、もっとも利用されない公式といわれるペロンの公式のお世話になりました。
　　 6月10日（金） 0:33:07　　 MAIL:tedksya@r02.itscom.net 　　25242
きょろ文
あ、PW書いてなかったからはいれなかったのか…
角で相似を示してやりました。
3：5にしてもよかったんじゃないですか…？
√2の隣　　 6月10日（金） 9:18:45　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　25243
トトロ＠Ｎ
皆さんと同じで折り返して辺の比を求めて解きました。
すっかり忘れていたよん。年はとりたくないもんです。
兵庫県明石市　　 6月10日（金） 11:42:01　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　25244
さいと散
3:4:5の相似を探しました.疲れた
　　 6月10日（金） 17:57:54　　 　　25245
HERO
基本は対角線が６ｃｍの正方形ってこと
仮に６×６マスの図を描いて
で，AEとAFを内側に折り返せば
PQRの直角をはさむ　２辺が対角線とぴったり重なる
PR=対角線1.5マス分=1.5cm
QR=対角線２マス分=2cm
1.5×2÷2=
　　 6月11日（土） 4:43:11　　 　　25246
makokon
折り返して簡単までは思ったのですが，なかなか長さに変換できなかった．
結局，３：４：５と言う結論を普通には導けず周辺の三角形の高さを求めて，
引き算しました．
　　 6月12日（日） 7:32:14　　 　　25247
shin koba
折り返し、または回転の合同（2005女子学院）から、正方形の一辺�Δ魑瓩瓩董△△箸蓮△燭討伐�に、それぞれクロス型の相似を見つければ、底辺比の計算で周辺の三角形等々の面積が、あっという間に求められるようにも思うのですが・・・。
　　 6月12日（日） 11:34:18　　 MAIL:shinchankobayashi@ybb.ne.jp 　　25248
航空アニマル
今回の問題は結構難しかったです。でも、面白い問題でした。(今日は学校はお休みです。)
東京都　　 6月13日（月） 12:41:01　　 　　25249
ハラギャーテイ
座標ですが、まだ解けていません。
北九州　　 6月13日（月） 20:12:43　　 HomePage:信号処理に挑戦　　25250
Holly
僕も女子学院の問題を思い出しました。
東京出版のところであの問題を見つけましたが、結構悩んだなぁ……。
K地方のK県K市　　 6月14日（火） 22:24:00　　 MAIL:s-bun@fw.catv.ne.jp 　　25251