裴〓β

数楽者

「正五角形の中に正三角形を書いて半分にした」でしょうか

横浜　　 9月8日（木） 0:07:30　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　25743

吉川　マサル

ふぅ、帰宅しました。これから順位表更新します。

PowerBook G4　　 9月8日（木） 0:21:43　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25744

mhayashi

等脚台形を作りました

関西　　 9月8日（木） 0:23:35　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　25745

Shin Koba

１０８°から、正五角形を真っ先に想像できなくては、ダメですね。ましてや４８－３６＝７２－６０の存在が見えないようでは・・・。いつもいつも、情けないほど時間を費やしてしまいます。

　　 9月8日（木） 0:36:27　　　　25746

aaa

数楽者さんの考え方にいつ気づくかの勝負でしたね

　　 9月8日（木） 0:40:27　　　　25747

みけ

いつもここに来ては、「こんな解き方があったのか」と、ただただ感心させられてばかりです・・・

みけかど　　 9月8日（木） 1:13:10　　　　25748

ハラギャーテイ

作図でした。台風で休みになりました。

北九州　　 9月8日（木） 7:49:03　　 HomePage:信号処理に挑戦　　25749

kasama

おはようございます。CADにやらせました(^_^;)

出先　　 9月8日（木） 9:08:59　　　　25750

kasama

#25743 あぁ…なるほど、こんな感じですかねぇ(*^_^*)
http://wind.ap.teacup.com/kasama/img/1126140368.gif

出先　　 9月8日（木） 9:48:01　　　　25751

みかん

諦めが早い私は作図ということで…

私は見たことがないですけど、おなじみ問題なんでしょか？

　　 9月8日（木） 11:35:40　　　　25752

ちこりん

てきとーに点を対称移動とかしてたら正五角形と正三角形ができました。
１０８度の時点で気付くべきだったけど・・・。

ふしぎ星　　 9月8日（木） 12:10:01　　　　25753

吉川　マサル

#25752

　私もコレを作ったときに「おなじみ問題か？」「どっかで出題されてなかったっけ？（もしかして自分で？）」とか思っていろいろ検索してしまいました。でまぁ、とりあえず見つからなかったので出題してみたワケですが....。こういう問題は、作るほうは簡単なので「もしかすると瞬殺されて、簡単すぎるとか言われるかも」という不安がなかなか拭えないのですが、意外と楽しんで頂けたようで良かったです。何よりもミスがなかったのが良かったですけど...。(^^;;

PowerBook G4　　 9月8日（木） 14:22:47　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25754

uchinyan

はい、こんにちは。久しぶりの平面幾何なので、頭が固くなっているようで苦労しました。
ただ、ひらめいたら、思わずニンヤリでした (^^;
ポイントは、皆さんと同様に正三角形＆正五角形です。
ただ、ちゃんと書き下した証明は、どうももう一つで、まだうまくできていません。
もう少し考えてみます。

ネコの住む家　　 9月8日（木） 15:10:30　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25755

ゴンとも

はじめて一位でものすごくうれしかったです。ここが1番人が多く
集まるので一位は永遠に無理と思いましたが・・・。
うれしすぎで過去問の1位をすべて(466回)見て(リンク切れでみれずも
ありました。)1分かかってない問は37問で
第414回　2004.8. 19　AM 0:00:22 が最速でした。
今回自分としては分度器ではかり正解掲示板で確認せずに
150をおくりました。これから三角関数を使った解法を
カキコしたいところですがまだちゃんとできてないです。
毎回楽しい問題ありがとうございます。では。

豊川市　　 9月8日（木） 16:00:52　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　25756

大岡　敏幸

今回、久しぶりに来ました（＾＾）
正五角形を考えて、新しく出来た頂点をＥ，Ｆとします。ＡＢ＝ＡＤ＝ＥＤ＝ＦＤ＝ＢＦ、∠ＣＤＦ＝６０より△ＣＤＦは正三角形
△ＣＥＦ≡△ＡＤＣ（二等辺三角形）が分かる
よって、△ＡＢＣ≡△ＢＦＣ　　∠ＡＣＤ＝∠ＦＣＤ＝６６°　∠ＤＣＥ＝６０°より
（３６０°－６６°×２－６０°）÷２＝８４°　したがって求める角度は

８４°＋６６°＝１５０°　　何だか回りくどいやり方ですが、久しぶりに頭を使いました。

石川県　　 9月8日（木） 17:50:07　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　25757

uchinyan

#25757：この解法ですが、正五角形を仮定して、それに埋め込んでいますよね。
うーむ、図の四角形ABCDは一意に決定するので、間違いではないと思いますが、
証明したいことを仮定しているような気がして、私の#25755で、
＞ただ、ちゃんと書き下した証明は、どうももう一つで、まだうまくできていません。
と書いたように、個人的には、ちょっとすっきりしていません。
少なくとも、正五角形に埋め込むならば、正三角形を導いた後は、対称性から、
∠BCD = 1/2 * (360 - 60) = 150度
としていいような気もします。ただ、ここらが、論理的にすっきりしないのです。
まぁ、これは個人的な感じなので、私の方がおかしいのかもしれませんね (^^;
なお、どうもすっきりしないので、三角関数ででもトライしてみました。
ただ、これもかなり難しい．．．
∠BCD = x とします。∠ABD = ∠ADB = 36度、∠CDB = 12度、を使います。
△ABD に正弦定理を使って、AB/sin(36) = BD/sin(108) です。
△CDB に正弦定理を使って、CD/sin(180-x-12) = BD/sin(x) です。
これらから、AB = CD なので、
sin(x)sin(36) = sin(x+12)sin(108)
sin(x+12) を加法定理を使って展開し、cos(x) で両辺を割って整理すると、
tan(x) = sin(12)sin(108)/(sin(36) - cos(12)sin(108))
この後が大変ですが、加法定理などの諸定理を駆使して、右辺を sin(18)、cos(18) で表すと、
tan(x)
= sin(30-18)sin(90+18)/(sin(2*18)- cos(30-18)sin(90+18))
= (1/2 * cos(18) - sqrt(3)/2 * sin(18))cos(18)/(2sin(18)cos(18) - (sqrt(3)/2 * cos(18) + 1/2 * sin(18))cos(18))
= (cos(18) - sqrt(3) * sin(18))/(3sin(18) - sqrt(3) * cos(18))
= (cos(18) - sqrt(3) * sin(18))/(-sqrt(3))(cos(18) - sqrt(3) * sin(18))
= - 1/sqrt(3)
ここで、
tan(150) = tan(180-30) = - tan(30) = - 1/sqrt(3)
なので、
tan(x) = tan(150)
0 < x < 180 なので、x = 150 になります。フー．．．
この問題は、結局の所、よく知られたラングレーの問題の変種ですね。

ネコの住む家　　 9月8日（木） 21:06:53　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25758

２７０９　6年生

僕も作図しました。分度器がなかったのでわざわざ買いに行くはめになり、塾から帰ってからのアクセスになりこんなに遅れてしまいました。

　　 9月9日（金） 0:24:54　　　　25759

ちこりん

最近、作図が一番分かりやすい解法なんじゃないかと思ってきた・・・

ふしぎ星　　 9月9日（金） 5:51:00　　　　25760

スモークマン

たまたま当たりました。いい加減なやつですよねえ～
図形問題は正三角形絡みが多い（特に難問は）って言われているようですね？
ところでこんな問題みなさんはどんな風に考えられますでしょうか？
問題
半径10^3kmの小惑星が宇宙空間にいくつか存在している。（2個以上）。
それぞれの小惑星の表面上の点集合で、他の小惑星のどれからも観察不可能な領域の面積を合計すると、何平方kmになるか。

金光　　 9月9日（金） 9:04:56　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25761

uchinyan

#25758で述べたように、論理的にすっきりした証明を思いついていないのですが、
取り敢えず、あまりいい解法とは思いませんが、#25757を改良して、私なりに論理的に納得できる解法を書いておきます。
まず、題意の図ですが、AB = AD = a、∠BAD = 108度となるように点を与えることで、△ABD が確定します。
さらに、CD = AD = a、∠ADC = 48度となるように点を与えることで、△ACD が確定します。
この二つのことから、□ABCD は確定することが分かります。
そこで、題意の図と同じ条件の図を作図できれば、二つの図は完全に一致します。つまり、合同になります。
さて、ここで、AB = AD = a、∠BAD = 108度に注目して、PQ = a となる正五角形PQRSTを考えます。
正五角形の性質から、∠PQR = ∠QRS = ... = ∠STP = 108度です。
P から対辺 RS に垂線を下ろしこの垂線上の点 U を ∠UST = 48度となるようにとります。
(このとき、US = a は仮定していないことに注意。)
すると、∠USR = ∠RST - ∠UST = 108 - 48 = 60度になります。U と R とを結んでも同様で、∠URS = 60度です。
したがって、△URS は正三角形です。そこで、US = RS = a になります。
ここで、□TPUS に注目すると、TP = US = TS = a で、∠PTS = 108度、∠TSU = 48度となっており、
これは、題意の図の □ABCD の条件と同じで、最初に注意したように、□TPUS は □ABCD と完全に一致します。
つまり、今回の問題は、□TPUS で考えればいいことになります。そこで、∠BCD = ∠PUS です。
∠PUS は、正五角形の対称性から、∠PUS = (360 - ∠RUS)/2 = (360 - 60)/2 = 150度なので、
∠BCD = 150度になります。

ネコの住む家　　 9月9日（金） 9:27:09　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25762

大岡　敏幸

#25758
私自身あまり深く考えずに解答を出しましたので、簡単に書きすぎた感じですか（＾＾；
△ＡＣＤ≡△ＦＣＥより　（△ＣＦＤ正三角形、ＡＢＣＤＥを正五角形として）
△ＡＢＣ、△ＦＢＣについて
ＡＢ＝ＦＢ、ＡＣ＝ＦＣ、ＢＣ共通（三辺合同）
よって　△ＡＢＣ≡△ＦＢＣ　　∠ＡＣＢ＝∠ＦＣＢ
∠ＡＣＤ＝∠ＦＣＥ＝６６°、∠ＤＣＦ＝６０°なので＃２５７５７の式で求めました。
証明的なものではないかもしれませんがuchinyanさん、こんな感じで書きました（＾＾；

石川県　　 9月9日（金） 12:55:06　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　25763

uchinyan

#25763：
大岡さん、気を使わせてしまってごめんなさい。
要は、私が物分りが悪いだけなので、あまり気になさらないでくださいね ^^

ネコの住む家　　 9月9日（金） 15:29:26　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25764

英ちゃん

この問題は作図をすれば正解できる問題でしたがそれは俺のポリシーではないので
試行錯誤をして納得のいける答えを出したら正解でした。

　　 9月9日（金） 19:14:28　　　　25765

mhayashi

#25754
浮浪さんの第１９６回ですね．
http://www.geocities.jp/hagure874/math/m196.html
（↑あちらのほうが正五角形を想像しやすい？）

でもみかんさん(#25752)同様すっかり忘れてたので再度楽しめました (^^;

関西　　 9月10日（土） 1:47:22　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　25766

uchinyan

#25763, #25758, and #25757：
やっと、大岡さんの証明に納得がいきました。ご迷惑をおかけしました。
結局何が引っかかっていたかというと、題意の図の □ABCD から、どうやって、正五角形を作るか、点 E、F の具体的な与え方でした。
気付けば簡単で、アホな話です。申し訳ありません。
AB、AD それぞれの垂直二等分線を引き、その交点を O とします。
明らかに、OA = OB = OD で、△OAB ≡ △OAD なので、
∠OAB = ∠OBA = ∠OAD = ∠ODA = 108/2 = 54度、∠AOB = ∠AOD = 72度です。
そこで、この O を中心にし半径 OA の円を描き、優弧DB(弧DBのうち長い方)上に中心角が72度となる点 E, F をとります。
すると、ABDEF は正五角形になります。
このとき、点 O が、BC 又はその延長上にあるかどうかは分かりません。
この後は、大岡さんの証明のとおりです。
なお、この証明を通して、点 O が BC の延長上にあることも分かります。
やっと、スッキリしました (^^;
いろいろとご迷惑をおかけしました m(__)m
#25766：
あ、やっぱり、既に出題されていたのですね。
もっとも、この頃は、私はまだ参加していませんでした ^^;
なお、私が拘ったのは、このサイトの解法で、正五角形が与えられた条件だけから矛盾なく一意に書けるか、という点でした。
例えば、このサイトの解説では、対称性を当然としていますが、大岡さんの#25757の証明のように、必ずしも明らかではないと思います。
反対に、対称性を前提にするならば、私の#25762の証明のように、一意性を気にすべきです。
いずれにせよ、角度を少なくとも一つ求めるだけならば、ここらは気にしなくてもいいですね。

ネコの住む家　　 9月10日（土） 12:43:15　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25767

uchinyan

#25761：
＞問題
＞半径10^3kmの小惑星が宇宙空間にいくつか存在している。（2個以上）。
＞それぞれの小惑星の表面上の点集合で、他の小惑星のどれからも観察不可能な領域の面積を合計すると、何平方kmになるか。
あまり自信がないのですが、半径を r として、4πr^2、つまり、一つの小惑星の表面積でしょうか？
証明は．．．それこそ直感的ですが．．．
まず、二つの小惑星同士が向き合っている場合、図を書いてみると、半分ずつを見ることができます。
次に、すべての小惑星を点と思い、それらの点をすべて結びます。
そうしてできた立体の辺上、辺に囲まれた三角形上、及び辺に囲まれた立体の内部にある小惑星は、
360度、ではないか、立体だから何と言うのか分からないのですが、四方八方を囲まれているので、
見えない部分はないものと思われます。
(本当は、立体の場合、あまり明らかではなさそうですが．．．基本の正四面体ではそうなるので、多分．．．)
したがって、小惑星全体で出来上がった一番外部の立体、一般に多面体？、の頂点にある小惑星に関して考えれば十分です。
ところが、これらの見えない部分を集めると全天四方八方になるので、ちょうど、小惑星一個分の表面積になります。
(これも、実は、あまり明らかではないです。
ただ、二次元の場合は、見えない部分が多角形の外角に対応するので、総和が360度になります。それの類推です。)
間違ってるかな．．．？

ネコの住む家　　 9月10日（土） 12:31:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25768

スモークマン

#25768
uchinyan さん、ご考察ありがとうございます。
そういうことだと思いますが、それをすっきりと言い放つ証明があります。
解答
3次元空間に適当に1つの方向を決めて（これを上とする）
各惑星の中心を通り、それぞれの表面との交点をA1、A2、ノノ..、Anとする。
1番上にあるのをたとえばA1とすると、A1の接平面より上に星はないから
点A1はだれにもみられない。A2以下すべて上に星があるから、どれかにみられる。よって、この方向で見られないのはA1のみ。
方向は任意だから。よってあらゆる方向で見られないのはどれかの星の1点のみで、合計すると1個の惑星となり4ケ*10^6

点を無限こ集めたら面積になるんでしたかしら・・・？

金光　　 9月10日（土） 13:54:10　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25769

uchinyan

#25769：ちょっと追加。結果はいいと思いますが、証明に疑問が出てきました．．．
なるほど、面白い証明ですね。勉強になります。
[疑問]
と、先ほど書いたのですが、例えば、一個の小惑星が上の方にあって、他のが下の方に固まっている場合、
真下から見上げる方向で、一番上の小惑星の半分近くは見えないではないのでしょうか？
＞よって、この方向で見られないのはA1のみ。
というのは、何か変な気がします。勘違いしているのかな？　
多分、「この方向で」という解釈が微妙な気がしています。確か、小惑星の中心を通る場合に限っていますよね。
この限定は、妥当なのでしょうか？
それと、A1 が一個でない場合もありますよね。その場合は、最上位の A1 同士は見えるような気がします。これはどうするのでしょうか？
もっとも、広がりがある領域が見えなくても、すべての方向を考える際に重なりが出てくるし、
逆に見えても高々加算無限個ならば、すべての方向は連続無限なので、結果は正しくなりそうですが。
[疑問終]
ただ．．．
＞点を無限こ集めたら面積になるんでしたかしら・・・？
これはうるさいことを言うと、必ずしも正しくないかもしれません。
大学で解析学を習ったときに、位相の入れ方によっては、変なことも起こる話を聞いた気がします。
ただ、今の場合は、普通の3次元ユークリッド空間と考えていいのでしょうから、
多分なると思うのでしょう。
そうでないと、三角形も四角形も面積はもたない、というような議論も展開できそうな気もしますしね ^^;
私の方法も、詰めていけば厳密に証明できそうな気がします、が、今は、する気はないです (^^;

ネコの住む家　　 9月10日（土） 23:16:57　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25770

仮面ランナーサブスリー

じっくり掲示板を読む時間ができたので、久しぶりに書き込みします。

#25756 ゴンともさん：
初の一位獲得おめでとうございます。（私には真似できそうにないなー）
じつは問題図がほぼ正確に描かれていたなどとは、まったく想像もしませんでした。
なるほど、「図はかならずしも正確とはかぎりません」とは書かれていないですね。
まだまだ修行が足りません。いずれにしても出題者のお茶目な仕掛け(？)に気づく
ことができて、いつもの二倍楽しめました。

#25761スモークマンさんからの問題：
#25768 の説明については uchinyanさん #25770 と同じ疑問を抱きました。
答については、二次元の場合の考察の類推から、直観的に小惑星1個分の表面積、
4πr^2＝4π*10^6 を導きだしました(スモークマンさん、uchinyanさんに同じ)。
もう少し具体的に説明を加えると、以下のとおりです。
(#25768 の考え方を別の言い方で表現しただけにすぎないですね)
[説明---ここから]
　宇宙空間(3次元ユークリッド空間と仮定)の中にある小惑星(半径r=10^3の球体)の集合
　を巨大なサラン○ップですっぽりと弛みなく覆う。このサ○ンラップの形状は、
　　(1)小惑星の表面のうち、複数の測地線(大円の一部)で囲まれてできる領域
　　(2)線織面
を複数個貼り合わせてできる曲面になる(？)。
どの小惑星からも見えない部分は、この曲面のうち、ちょうど(1)に該当する部分。
(1)に該当する部分だけを取り出して貼り合わせ直すと、小惑星1個分の球面になる(？)。
[説明---ここまで]

上の説明で十分に論証できていない微妙な箇所は、「？」をつけた２点です。
(後者の命題の方は、帰納法を用いて厳密に証明できそうな気もしますが。)

寝床　　 9月11日（日） 4:50:22　　　　25771

仮面ランナーサブスリー

閑話休題。少し前にスモークマンさんから出された別の問題 #25727について。
スモークマンさん、なかさん、uchinyanさんのコメントを興味深く拝読しました。
各氏のコメントの通り、この問題の答は (n+1)/2(2n-1) ですが、
さらに n→∞ とすると、この確率は1/4に近づきます。
じつは、容易に分かるように、この事実は次の小問1、小問2の答が1/4であること
と等価です。

　　[小問1]
　　与えられた円周上に3つの異なる点A,B,Cをランダムに選ぶ。
　　また、点A(B)から一番遠い円周上の点をA'(B')とする。
　　このとき、点A,B,Cが次の条件を満たす確率はいくらか。
　　　　<条件>
　　　　点CはA',B'を両端とする円弧(２つあるが、つねに短い方を選ぶ)
　　　　の上にくる。

　　[小問2]
　　円周の長さが１の円がある。この円の周上に2つの異なる点
　　をランダムに選ぶ。選んだ2点を両端とする円弧(２つあるが、
　　つねに短い方を選ぶ)の長さの期待値はいくらか。

さて、ここから先が私が興味を持った疑問です：
『上の小問を三次元化すると、答はいくらか？』
つまり、
　　[本題]
　　表面(球面)の表面積が１の球がある。球面上に3つの異なる点
　　をランダムに選ぶ。これらの3点のうち2点ずつを測地線(大円)
　　(ただし短い方)で結ぶと、3本の測地線で囲まれた領域(曲面三角形)ができる。
　　この領域の表面積の期待値はいくらか。

感覚的には、1/8あるいはそれに近い値となりそうな気がしますが、
解き方がわかりません。
球面座標系や三角関数を駆使して数学的に解こうとすると、少し複雑
な積分式が出てきたところで挫折...計算機で数値計算させる手も
ありますが、まだ試していません。はたして算数的に解くのは無理？
もしも、三次元の場合でも算数的に解けるのであれば、n次元球面(n≧4)
に拡張させた場合はどうなるのでしょう。興味が尽きません。

寝床　　 9月11日（日） 5:20:42　　　　25772

仮面ランナーサブスリー

#25772
前半のコメントを理解された方にとっては蛇足になりますが、
[本題]は以下の問題を解くのと等価です。

　問題
　与えられた球の表面上に、4つの異なる点をランダムに選ぶ。
　与えられた球の中心が、4つの点により決まる4面体の内部に
　ある確率はいくつか。

寝床　　 9月11日（日） 6:04:38　　　　25773

uchinyan

#25771：
仮面ランナーサブスリーさん、ご説明ありがとうございます。
もっとも、不勉強なので言葉が難しくて、最初、なかなか理解できませんでした．．．(^^;
＞(#25768 の考え方を別の言い方で表現しただけにすぎないですね)
確かにそのようですが、サラン○ップをかぶせるアイディアはいいですね。気に入りました。
最初の？が、私の考え方の最初の甘い部分、二番目の？が、私の二番目の甘い部分、に対応しますね。
＞上の説明で十分に論証できていない微妙な箇所は、「？」をつけた２点です。
＞(後者の命題の方は、帰納法を用いて厳密に証明できそうな気もしますが。)
はい、私もそう思っています。前者も、何とかなるだろうという気がします。
算数的なニュアンスでは、どちらも、明らか、でいいレベルかな、という気もします。

ネコの住む家　　 9月11日（日） 11:08:11　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25774

uchinyan

#25772：
再び、仮面ランナーサブスリーさん、興味深い考察、ありがとうございます。
[小問1]の等価性は、私の#25733の考え方から、ほぼ明らかだと思います。
「ほぼ」と書いたのは、[小問1]の点の取り方が正多角形でなくてもいいので、そこらの詰めがいるかなぁ、というニュアンスです。
[小問2]の方ですが、長さの期待値は、π/2 ではないでしょうか？これを円周２πで割ったものが 1/4 かな、と思います。
ただ、そこらを考慮すれば、[小問1]と[小問2]の等価性は明らかですね。
3次元以上の拡張は、面白そうですが、確かに大変そうですね。
いずれにせよ、今週の問題とは直接に関係ないので、今はここまでにしようか、と思いますが、私も暇をみて考えてみます。
(ちょっと追加)
とは言ったものの、確かに、複雑な積分が出てきそうです。発想の転換が必要かなぁ．．．

ネコの住む家　　 9月11日（日） 13:05:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25775

スモークマン

#25773
仮面ランナーサブスリーさんへ。
>問題
　与えられた球の表面上に、4つの異なる点をランダムに選ぶ。
　与えられた球の中心が、4つの点により決まる4面体の内部に
　ある確率はいくつか。

考えてみました・・・

2次元の時、円周上に1点を取り、2点目の取り方は最初の点を通る直径で分けられる２つの部分の片方にある場合をまず考えると、残りの3点目は、それら2点と中心を結んだ直線が切り取る対則の円弧で、長さは、最初の2点間の距離と同じ。
つまり3点目の取れる範囲は、0～2πr/2 まで同じ確率で動く。
3点目の取り方は、1/2πr なので、
確率的には、0/2πr～2πr/2*2πr
つまり、0～1/2 まで、同じ確率で動くので、平均は1/4
円周のもう片側に2点目を取る時も同じ確率なので、
円周の一方に2点目を取る確率は1/2 なので、
合計では、2*(1/2*1/4)=1/4

3次元の時、球上に3点を取ると、4点目は、球の中心とそれら3点を結んだ線の点対称の3点が中心の反対側にでき、それらの3点で囲まれる範囲内に4点目が取れる。
最初の3点で囲まれる面積は、0～4πr/2 の範囲を同じ確率で取る。（半球分）
つまり、確率的には、0～4πr/2*4πr
すなわち、0～1/2 まで、同じ確率で動くので、やはり平均は、1/4
3点の取り方は、もう半球分あるので、同じく、2*(1/2*1/4)=1/4

これからしたら、一般にn次元でもつねに1/4 か？

金光　　 9月11日（日） 15:48:09　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25776

スモークマン

#25770
uchinyan さんへ。

わたしも同様な疑問を持ったので友人に尋ねたのですが、以下のような回答でした。
「先頭にいくつか並んでも当然n以下で有限個。
ある方向で並んだものが別の方向で並ぶことはないから
よこに並んでしまう方向は有限個。
つまりよこに並んでしまう個数は有限*有限で有限個。
点に面積はないから有限個集めてもなし。
もっとも数学では一定の面積に1点を引いたり、付け加え
た集合は面積は存在しないから、この場合、星1個+無限小
or面積は存在しない、というのがいいのでは？。」

で、そぼくに、逆に1点ずつを無限こ集めたら面積になるといえるのかな～って思ったわけでした。。。

金光　　 9月11日（日） 15:57:42　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25777

uchinyan

(ちょっと追加。)
#25777：
うーむ、やはり、私が#25770で書いたように、
＞もっとも、広がりがある領域が見えなくても、すべての方向を考える際に重なりが出てくるし、
＞逆に見えても高々加算無限個ならば、すべての方向は連続無限なので、結果は正しくなりそうですが。
という感じの考え方のようですね。
多分、それでいいのだろうと思いますが、そのレベルの議論でよしとするならば、
私や仮面ランナーサブスリーさんの解法でもよさそうな気がしますし、自然な気もします。
#25776の方は、うーむ．．．どうなんだろう．．．
＞最初の3点で囲まれる面積は、0～4πr/2 の範囲を同じ確率で取る。（半球分）
ホント？
仮面ランナーサブスリーさんのお考えをお聞きたいところです．．．

ネコの住む家　　 9月12日（月） 8:13:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25778

仮面ランナーサブスリー

とりあえずお詫びを。。。

#25775
> いずれにせよ、今週の問題とは直接に関係ないので、今はここまでにしようか、と思いますが、私も暇をみて考えてみます。

私のきまぐれな書き込みがきっかけで、今週の問題とは直接関係ない話が正解
者掲示板の中でどんどんふくれあがってしまいました。マサルさんにご迷惑を
おかけしていますよね、きっと。 m(__)m
この続きはFree Talkの部屋の方に引っ越して展開するほうがいいかな、と思い
ますが、いかがでしょう？
(ただ、私の方はあとは他の方のお知恵を拝借したいばかりで、これ以上書き
足せることはあまりないのですが)
もし必要なら、私の書いた記事内容(#25771, #25772, #25773)はFree Talkの
部屋に転載していただいてもかまいません。
ただし、#25771 を転載するとき、前半部分(↓)はもちろんカットしてください (^^;
> じつは問題図がほぼ正確に描かれていたなどとは、まったく想像もしませんでした。
> なるほど、「図はかならずしも正確とはかぎりません」とは書かれていないですね。

追伸:
#25776, #25777, #25778
uchinyanさん、スモークマンさん、さっそくのご返事ありがとうございます。
新しい見解にインスパイアされ、再考中です。

　　 9月11日（日） 21:48:32　　　　25779

吉川　マサル

#25779
　いえ、こちらでどうぞ。(^^;;　私も楽しく読ませていただいておりますので。

# 実は最初にちょこっとだけ考えて、「あぁ、惑星１個分だな」とは思ったのですが、ちゃんとした説明・証明が難しくて書きこみしませんでした...。orz

PowerBook G4　　 9月12日（月） 12:03:55　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25781

スモークマン

マサル様へ。
ここでの直接関係ないことの議論のお許しをいただきありがとうございます。優秀なみなさんのお考えをいろいろお聞きしたくって、つい。
この場を勝手に使わせていただきまして感謝申し上げます。（ありがたや～）

#25778
uchinyanさんへ。

＞最初の3点で囲まれる面積は、0～4πr/2 の範囲を同じ確率で取る。（半球分）
ホント？

球条での点の取り方は任意だから確率的には同じと考えましたが。。。？
おかしい？

　　 9月12日（月） 12:20:06　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25783

uchinyan

マサルさんの寛大なご配慮に甘えて．．．m(__)m
#25783：
＞＞＞最初の3点で囲まれる面積は、0～4πr/2 の範囲を同じ確率で取る。（半球分）
＞＞ホント？
＞球条での点の取り方は任意だから確率的には同じと考えましたが。。。？
＞おかしい？
いや、お恥ずかしい話ですが、よく分からなくなってしまって．．．^^;
取り敢えず、北極に1点を置くとして．．．
例えば、2πr の場合は、球面の半分ですが、この場合、残りの2点はどう置くのかな。
二つとも南極、一方は南極もう一方は北極、というのもありそうですし、
1点を南極に置いて、もう1点はどこでもいい、というのもあるのかな、とか。
(この場合、3点を通る大円を考えればいい？)
0 の場合は、もっとよく分からなくて、2点が一致していればいいんでしょうか。
でも、二つとも南極に置いたら、0 なのか、それともさっきの 2πr なのかなぁ。両方？
両極に点を置くと、大円を自由に取れてしまうから、置いてはいけないのかな。
でも、両極に置かない場合でも、いろいろの置き方があるよなぁ。
面積が小さい方が、点と点の距離が小さくてもいいから、同じ球面上ならばたくさんの置き方があるような気もするし．．．
いや、一点を固定していれば同じなのかなぁ．．．
それらが本当に証明なしに「同じ確率を取る」と言い切れるのだろうか．．．
とか考えているうちに、よく分からなくなってしまって、思わず、
「ホント？」
と書いてしまいました。
平均を取るところも、実は、ちょっと引っかかってます。
2次元では、実際に確率密度を求めて計算すると確かにそうなりますが、3次元でも本当に同じなのかな、とか。
どうなんでしょうか．．．？_？．．．

ネコの住む家　　 9月12日（月） 16:31:54　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25785

仮面ランナーサブスリー

マサル様:
寛大なご配慮ありがとうございます。同じくお言葉に甘えさせていただきます。

#25778
| ＞もっとも、広がりがある領域が見えなくても、すべての方向を考える際に重なりが出てくるし、
| ＞逆に見えても高々加算無限個ならば、すべての方向は連続無限なので、結果は正しくなりそうですが。
| という感じの考え方のようですね。
| 多分、それでいいのだろうと思いますが、そのレベルの議論でよしとするならば、
| 私や仮面ランナーサブスリーさんの解法でもよさそうな気がしますし、自然な気もします。

異論ありません。こちらの問題の議論は、これくらいにしておくとして．．．

| #25776の方は、うーむ．．．どうなんだろう．．．
| ＞最初の3点で囲まれる面積は、0～4πr/2 の範囲を同じ確率で取る。（半球分）
| ホント？

私にとって "確率・場合の数" は昔からとくに苦手な分野ですので、
先に書いたように、有識者の方々のご意見をうかがう側にそろそろ
回りたいと思います。ただ、uchiyanさん(#25778)に話を振られた
ので、最後に僭越ながら私の見解を述べてみます。

★2次元のとき、
>　　円周の長さが１の円がある。この円の周上に2つの異なる点
>　　をランダムに選ぶ。選んだ2点を両端とする円弧(２つあるが、
>　　つねに短い方を選ぶ)の長さの期待値はいくらか。

lim (n+1)/2(2n-1) として1/4を求めるのとは別に、
n→∞
以下のような考え方もあると思います：

円弧の長さは2点の相対的な位置によって決定されるので、2点のうち
の一方の位置をあらかじめ固定しておき、残りの1点をランダムに
選ぶ場合について考察しても、答は変わらない。
この場合、円弧の長さは残りの1点の選び方に応じて0～1/2の範囲で
変動する。この範囲でどの値をとる確からしさも等しいと考えられる
から、題意の期待値は1/2の半分、つまり1/4。 (答案おわり)

上の説明の最後の部分はもう少し厳密に議論するなら、たとえば
以下のように述べることができそうです：

残りの1点の相対的な位置、つまり固定された片方の点からの
円周に沿った道のりを x (0≦x≦1/2) とする。
(注意：ここで右回り、左回りは区別しないことにする。)
ランダムにとった x が区間 [0,x'] に入る確率は F(x')、
という形で確率分布関数 F(x) を定義すると、
F(0)=0, F(1/2)=1, dF(x)/dx=一定であることから、
F(x)=2x, dF(x)/dx=2 (→すこし回りくどいかも)。
よって、題意の期待値 = ∫x・dF(x) (積分区間 x:0→1/2 )
= ∫x・2 dx (積分区間 x:0→1/2 )
= 1/4.

★3次元のとき、
>　　表面(球面)の表面積が１の球がある。球面上に3つの異なる点
>　　をランダムに選ぶ。これらの3点のうち2点ずつを測地線(大円)
>　　(ただし短い方)で結ぶと、3本の測地線で囲まれた領域(曲面三角形)ができる。
>　　この領域の表面積の期待値はいくらか。

じつは1/4よりは小さいのではないかと考えました。
乱暴にいうと、
『1点を北極に固定して、残りの2点をランダムに決定したとき、
仮に残りの2点が南極にあったら、曲面三角形の面積はさらに
大きくなる。このように1点が北極、残りの2点が南極という
状況を考えることは、ちょうど2次元の問題を解くことと同じ。
だから、3次元の場合の答は、2次元の場合よりも小さな値に
なるはず。』
となります。発想自体はたったこれだけのことなのですが、これ
をより厳密に記述しようと苦労した結果、以下のような長い回答
ができあがりました。

(理由)
便宜上、球面を地球になぞらえて、球面上の座標を緯度, 経度,
極点などの言葉を用いて表現する。3点のうちの1点はあらかじめ
北極点に固定され、もう1点は東経0度の緯線上をランダムに動き、
残りの1点は球面の全範囲をランダムに動く、という制約条件を
つけた場合について考察すればよい(2次元の場合の議論と同様の
理由から)。
東経0度の緯線上を動く点の緯度をθ ( -90°≦θ≦ 90°, ただし
南緯はマイナスの値、北緯はプラスの値で記す)、
球面の全範囲を動く点の緯度をφ (- 90°≦φ≦ 90°, 同上)、
球面の全範囲を動く点の経度をα (-180°≦α≦180°, ただし
西経はマイナスの値、東経はプラスの値で記す)、
とする。
パラメータθ,φ,αは、3点の相対的な位置の選び方の自由度を
示している。この範囲で各パラメータがどの値をとる確からしさ
も等しいと考えられる。
ランダムにとった θ,φ,α が
-90°≦θ≦θ'、-90°≦φ≦φ'、-β'≦α≦β' (β'≧0°)
を満たす確率は F(θ',φ',β')、という形で確率分布関数
F(θ,φ,β) を定義する。
ここで各パラメータの動く範囲は
-90°≦θ≦ 90°、-90°≦φ≦ 90°、0≦β≦180°
(注意：βの可動範囲はαの可動範囲の半分。)
このとき、Fは確率分布関数なので当然、
∫dF(θ,φ,β)=1 <積分区間 θ:-90°→ 90°、φ:-90°→90°、β:0→180°>
また、
∫dF(θ,φ,β) <積分区間 θ:-90°→ 90°、φ:-90°→90°>
= F(90°,90°,β)
= β/180°
また、パラメータθ,φ,α(,β=|α|)によって決定される3点
によって囲まれる曲面三角形の面積を S(θ,φ,β) とする。
このとき、次の不等式がなりたつ。
S(θ,φ,β) ≦ S(90°,90°,β) = β/360° (＃)
(∵関数Sはθ,φに関して単調増加)
以上から、
題意の期待値 = ∫S(θ,φ,β)・dF(θ,φ,β) <積分区間 θ:-90°→ 90°、φ:-90°→90°、β:0→180°>

≦ ∫(β/360°)・dF(θ,φ,β) <積分区間は同上> (★)

= ∫(β/360°)・dF(90°,90°,β) <積分区間 β:0→180°>

= ∫(β/360°)・d(β/180°) <積分区間 β:0→180°>
γ=β/180°とすれば、
= ∫ (γ/2)・dγ <積分区間 γ:0→1>

= 1/4

ところが、関数Sに関する評価式(＃)で等号が成り立つのは、
じつは θ=φ=90°のときだけで、ほとんど至るところでは
S(θ,φ,β) < β/360°となる。
このため、(★) の「≦」も、じつは「<」としてよい。
つまり、題意の期待値は1/4未満になる。
(理由おわり)

#25772 で私が1/8と書いた根拠：
あくまでも感覚的な根拠にすぎませんが、確率密度分布について
ある種の対称性が存在するのではないか、との推測から、
　　・北極点
　　・経度 0°＆緯度0°
　　・東経90°＆緯度0°
の3点で囲まれる曲面三角形(→全球の1/8)の面積、つまり1/8
が答、もしくは答は1/8に近い値のような気がする、ということでした。

　　 9月12日（月） 20:20:54　　　　25786

仮面ランナーサブスリー

#25786
まちがってFree Talkの部屋に同じ記事を書き込んでしまいました。しかも削除できない．．． (爆
お手数ですが消していただけませんか？

あ、それから↓で北極、南極と書いたのは、もちろん北極点、南極点のことです　m(__)m

　　 9月12日（月） 21:08:04　　　　25787

uchinyan

#25786：
仮面ランナーサブスリーさん、詳しいご説明ありがとうございます。
2次元の場合は、確率密度を使った全く同じことを考えていました。
したがって、一変数で等確率の場合は、単純に平均を考えればいいというのは理解できます。
3次元の場合は、#25785で書いたように、私は、面積分布が等確率ということに自信が持てないので、そこらに関係して？です。
3次元のご考察に関しては、少なくとも、座標の入れ方、確率密度の導入までは、全く同じことを考えていました。
その後、面積をどう計算するかで、複雑な方程式と格闘することになり、どうしたものかと思っていました。
もう少しじっくりと読ませて頂きたいと思いますが、
これによると、スモークマンさんの結果 1/4 よりは小さいだろうということですね。

ネコの住む家　　 9月12日（月） 21:14:54　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25788

仮面ランナーサブスリー

#25786
たびたびすみません。南極点、北極点の記述はあべこべだったようです。読み替えてください。　m(__)m

　　 9月12日（月） 21:16:45　　　　25789

仮面ランナーサブスリー

#25788
はい。私の見解だと1/4よりは小さいだろうということになります。まったく自信ありませんが。

　　 9月12日（月） 21:18:54　　　　25790

スモークマン

#25785,25786　引き続きまして考察をば。
球上に3点をとる取り方ですが、1点を取るとき、そこを北極と考えてもいいと思います。2点目は、最初の点と結べば、大円上にあると考えてもいいと思います。しかもその大円は一意的に決まるはず。2点目が南極にある場合は、大円は無限個考えられることになりそうですね。だから、3点が大円上になるときは、曲面三角形の面積は球の半分の面積になりそう。
違う考え方として、面積0の3点の取り方は、3点が重なってるときで、あとは3点が同一大円上にない取り方でできる曲面三角形の3点をゴムのように同一大円上に来るまで引っ張って伸ばせば 0<～<2πr まで任意にとれそう。最初の曲面三角形になる3点の取り方は無限個の取り方があり、それを相似と呼ぶのかな（？）大円上まで伸ばして行けばすべての場合を考えてることになると思えるのですが。
2点が重なってる場合も面積0ではないかなあ。。。
確率分布関数はわたしにはよく分かりません。。。
だからわたしのは直感的な思考に過ぎないんでしょうねえ・・・

金光＠岡山　　 9月12日（月） 21:39:45　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25791

あ～く＠ジューク

今回の問題はピーターフランクルさんの本に類題を見たことあるのでちゃんと解答を思いついてから答えを出せました。
・・・最初は分度器を使おうとしていた・・・（汗

そういえば蝉の鳴き声がなくなって、鈴虫や秋の虫の鳴き声が目立ってきましたね。
暑いといえど、もう秋なのかと思わされる今日この頃です。

未完成の蜜柑星　　 9月13日（火） 8:27:35　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　25792

uchinyan

#25786＆#25791：
仕事の合間に、それぞれのご説明を検討してみました。
あくまでも、私個人の現時点での考えですが、
仮面ランナーサブスリーさんの結論、1/4 より小、の方に、一票を入れたい気がします。

#25786：
私流の計算、角度に対する確率密度関数を主体にしたもの、で、ご説明されている確率分布関数の議論をチェックしました。
(細かい話はともかく)特に問題と感じる箇所はなく、妥当な結論だと思います。
ただ、この後、具体的に面積を角度の式で表して計算するのは、かなり複雑な式から前に進めない状況です。
(正しい式かすら自信なし．．．)

#25791：
やはり、面積の分布が本当に等確率か、チェックする必要があると思います。
なお、等確率ならば、確かに 1/4 になることは、面積に対する確率密度関数を使ってチェックしました。
(要は、面積に関する一変数の積分計算になるので、2次元の場合と同じで、議論されている通りです。)
ただ、この後、この確率密度関数を使って、それ以上の計算をする方法が思いつかない状況です。

これら二つの方法を結ぶのが、やはり、曲面三角形の面積を角度で表すことだと思います。
しかし、これが、先に書いたように難しい．．．
取り敢えずの状況報告です。

ネコの住む家　　 9月13日（火） 16:31:21　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25793