裴〓β

長野　美光

2005 と 1020 だと、(1, 1) にならないんですね。
残念。

はままつ　　 10月20日（木） 0:07:00　　 HomePage:ヨッシーの八方美人　　25986

あ～く＠ジューク

逆に考えて(2005,1019)→(2005-1019,1019)→・・・みたいな。

季節の変わり目に必ず風邪をひいてしまいます。どうしてだろ。。

未完成の蜜柑星　　 10月20日（木） 0:07:49　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　25987

数楽者

ユークリッドの互除法ですね

横浜　　 10月20日（木） 0:08:34　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　25988

長野　美光

あ、もちろん、大きい方から小さい方を引く
逆たどりをやりましたよ。

はままつ　　 10月20日（木） 0:08:57　　 HomePage:ヨッシーの八方美人　　25989

Taro

紙ではなくEXCELで逆から打ってみました。
途中いくつか省略したら少し楽でした

　　 10月20日（木） 0:10:21　　 MAIL:tarox@nifty.com 　　25990

トトロ＠Ｎ

しまった、１つずれてた～！

兵庫県明石市　　 10月20日（木） 0:10:31　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　25991

長野　美光

もちろん、Excel です。
If 文を書いて、ダーーーッとコピーしたら
４３行目で１，１　になったので．．．

はままつ　　 10月20日（木） 0:13:16　　 HomePage:ヨッシーの八方美人　　25992

のびた

こんな遅くに計算たくさんさせるとあたまがぼーっとしますね。

　　 10月20日（木） 0:18:00　　　　25993

圭太

逆算すればよかったんだ。。OTL

米所～♪　　 10月20日（木） 0:18:03　　 HomePage:圭太の研究所＠いれこみくん！＆役満縛り～♪　　25994

みかん

（現在のＡの数，現在のＢの数）＝（Ｘ，Ｙ）と置くとき、
１秒後はＡが分裂すると（Ｘ，Ｘ＋Ｙ）となり、Ｂが分裂すると（Ｘ＋Ｙ，Ｘ）となる。
大小関係は明らかなので、地道に逆たどり。

　　 10月20日（木） 0:25:15　　　　25995

Shin　Koba

差がフィボナッチ数列になるのかな？なんて思い込んでいたのですが・・・。全然、違ったのですね。それにしても、みんな、実に早い・・・。

　　 10月20日（木） 0:27:00　　　　25996

トトロ＠Ｎ

昔の灘の入試問題が印象に残っています。
確か、細胞ＢとＴが分裂する問題です。

兵庫県明石市　　 10月20日（木） 0:32:38　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　25997

Shin　Koba

ちょっとした、きっとすごく間抜けなしつもんなのですが、(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(5,4)(5,9)(14,9)(23,9)(23,32)(23,55)(78,55)(133,55)(133,188)(133,321)(133,454)(133,587)(133,720)(133,853)(133,986)(1019,986)(1019,2005)で20秒後って、どこが間違っているのかわからないのですが、すみません、どなたか教えてください。

　　 10月20日（木） 0:44:26　　　　25998

nakakun

(133,986)(1119,986)ですね。

日本　　 10月20日（木） 0:48:05　　　　25999

Shin　Koba

ありがとうございました。何とも、みっともない限りで・・・すみません。やり直しているうちに、おや？と思ったのですが、すっきりしました。

　　 10月20日（木） 0:50:57　　　　26000

ちゃーみー

2004年のJJMOにも類題がありますね。面白い問題だと思います。

東京都目黒区　　 10月20日（木） 0:51:49　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　26001

URARU

とりあえず(1,1)からではなく、(2005,1019)からどんどん減らしていくようにする以外の回答方法ってありますか？だれかおしえてくださいな。

　　 10月20日（木） 2:36:43　　　　26002

スモークマン

たしかに互除法か。。。
2005/1019=1・・・986
1019/986=1・・・33
986/33=29・・・29
33/29=1・・・4
29/4=7・・・1
4/1=4
1+1+29+1+7+4=43
でも、こたえは42？合わない・・・？

金光　　 10月20日（木） 8:29:35　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26003

uchinyan

はい、おはようございます。
最初見たときは、面倒そうだなぁ、と思ったものの、逆方向にたどるたどり方は一意に決まってしまうので、簡単でした ^^;
(2005,1019) -1-> (986,1019) -1-> (986,33) -29-> (29,33) -1-> (29,4) -7-> (1,4) -3-> (1,1)
1 + 1 + 29 + 1 + 7 + 3 = 42 秒後です。
あ、そうそう、これは結局、最大公約数を求めているのと同じなので、ユークリッドの互除法ですね。
ただし、最後は (1,1) であって、(1,0) ではないので、一回、回数は少なくなります。

ネコの住む家　　 10月20日（木） 8:51:10　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26004

kasama

おはようございます(*^_^*)

public class Question473 {
　public static void main(String[] args) {
　　segment(0, 1, 1);
　}
　private static final void segment(int n, int red, int blue) {
　　if (red > 2005 || blue > 1019) return;
　　if (red == 2005 && blue == 1019) {
　　　System.out.println(n);
　　　return;
　　}
　　segment(n+1, red, blue+red);
　　segment(n+1, red+blue, red);
　}
}

出先　　 10月20日（木） 9:21:28　　　　26005

uchinyan

あまり賢い方法ではありませんが、正直に、赤色の生物及び青色の生物が一匹ずついる場合から分裂させて、
赤色が 2005 匹、青色が 1019 匹になるのをチェックするプログラムを組んでみました。
あ、今、下を見たら、kasamaさんとアルゴリズムは全く同じですね ^^;

REM 算数にチャレンジ473回
REM 赤色の生物の数を r 匹
REM 青色の生物の数を b 匹

SUB check(r,b,t)
　IF (r <= 2005) AND (b <= 2005) THEN
　　LET c = c + 1
　　IF (r = 2005) AND (b = 1019) THEN
　　　PRINT "赤色が2005匹，青色が1019匹の場合：";t;"秒後"
　　END IF
　　CALL check(r+b,b,t+1)
　　CALL check(r,r+b,t+1)
　END IF
END SUB

LET c = -1
CALL check(1,1,0)
PRINT "両方の生物が 2005 匹以下の分裂パターンの総数：";c;"通り"
END

結果は、
赤色が2005匹，青色が1019匹の場合： 42 秒後
両方の生物が 2005 匹以下の分裂パターンの総数： 2445610 通り
です。
最初から真面目に調べると、2445610 通り、もの場合を調べることになり、大変です．．．(^^;

ネコの住む家　　 10月20日（木） 11:16:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26006

英ちゃん

フィボナッチ数列で必死にやっていましたが、
逆から考えた方が楽じゃないかと思ったら解けました。

福島　　 10月20日（木） 11:59:52　　 HomePage:英ちゃんのホームページ　　26007

ハラギャーテイ

わからんかった。プログラムでは計算時間から
計算できないことが（単純にシミュレーションするだけでは)
わかった。

北九州　　 10月20日（木） 12:20:22　　 HomePage:信号処理に挑戦　　26008

uchinyan

掲示板、一通り読みました。やはり、皆さん、逆向きの一手ですね。
#25986：
確かに、(2005,1020) -1-> (985,1020) -1-> (985,35) -28-> (5,35) -6-> (5,5) -1-> (5,0) で、(1,1) にはなりません。
他の方もご指摘になっているように、ユークリッドの互除法と同じ操作になるので、最大公約数がキーになり、
今回は、互いに素、なのがポイント、だと思います。
でも、2005年10月19日の24時に出題と考えれば、2005, 1019 でも、「狙ったのかな？」という感じですね (^^;
＞　マサルさん．．．？
#25995：
理屈は、まさにこれですね ^^/
#26002：
うーむ、#26006で書きましたが、ナイーブにやると、2445610 通り、もの場合を調べることになります。
あ、もちろん、このほとんどは調べなくていいのですが、ある程度、半分ぐらい？、計算はしなければならない．．．
(1,1) から始めて、うまい方法があるのかなぁ．．．？
#26003：
最初が、(1,0) 又は (0,1) ではなくて、(1,1) なので、操作が一回少なくなります。これって、わざとかな？
＞　マサルさん (^^;
#26008：
えと、一応、プログラムでの解法(#26005, #26006)も書き込まれていますが．．．？
＞（単純にシミュレーションするだけでは)
というところが、違っているのかな？

ネコの住む家　　 10月20日（木） 13:02:28　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26009

tapu

赤2005、青1019からもどって行きました。数の大きいのが1秒前に分裂したほうなのですね。

　　 10月20日（木） 16:01:31　　　　26010

大岡　敏幸

１週間ぶりに来ました（＾＾）
逆から計算していきました今回は！
（９８６，１０１９）　１秒
（９８６、３３）　　　１秒
（２９、３３）　　　２９秒（９８６÷３３＝２９・・・２９）
（２９、４）　　　　　１秒
（１，４）　　　　　　７秒（２９÷４＝７・・・１）
（１，１）　　　　　　３秒
よって　　１＋１＋２９＋１＋７＋３＝４２
昔、偶数だったら２倍して、奇数だったら１足すっていう問題があったような？それの変化版みたいな感じがしました（＾＾）
面白かったです。

石川県　　 10月20日（木） 22:41:27　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　26011

ｎ厨

何か面白い問題に発展しないものか。
　　　

　　 10月20日（木） 23:10:03　　　　26012

スモークマン

直接関係ない友人の問題です。

問題
1cmより長く、55cmより短い10本の線分を考える。
この10本の中から、三角形を作ることのできる3本の
線分を選ぶことができることを証明せよ。

こういう問題を考える人って素晴らしいといつも感心します。。。

金光　　 10月21日（金） 10:21:44　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26013

uchinyan

どうも最近、私の書き込みが多過ぎる気がするので、自粛しようと思うのですが．．．
面白そうな問題があるとつい．．．ごめんなさい m(_ _)m スモークマンさんも自粛しましょうよぅ．．．^^;
スモークマンさんの問題：
＞1cmより長く、55cmより短い10本の線分を考える。
＞この10本の中から、三角形を作ることのできる3本の
＞線分を選ぶことができることを証明せよ。
三角形成立の必要十分条件は、三辺を a, b, c として、a + b > c, b + c > a, c + a > b です。
この証明は、どこかにあると思うので、省略します。
今、適当な三つの線分の長さを p cm、p + q cm、p + q + r cm、p > 1, q, r >= 0 とします。すると、三角形の成立条件は p > r になります。
これは、一番短い長さ＞残りの二つの長さの差、を意味しています。
さて、1 cm より長く 55 cm より短い 10 本のいずれを取ってきても三角形ができないと仮定し、
最小の長さを p cm, p > 1 として、短い順に並べることを考えます。
三つの線分 p, p + q, p + q + r に対して、三角形ができないことから p <= r でなければなりません。そこで、最初の３本は、
p, p + q, p + q + r >= 2p + q
になりますが、特に、最長のものが最小になる場合を考えると、q = 0 で、
p, p, 2p です。
同じことを４本目に対して考えると、p, p, 2p, 2p + r で、三角形ができない条件から p <= (2p + r) - 2p = r なので、
p, p, 2p, 3p
５本は、p, p, 2p, 3p, 3p + r で、三角形ができない条件から 2p <= (3p + r) - 3p = r なので、
p, p, 2p, 3p, 5p
６本は、p, p, 2p, 3p, 5p, 5p + r で、三角形ができない条件から 3p <= (5p + r) - 5p = r なので、
p, p, 2p, 3p, 5p, 8p
以下同様にして、三角形ができなくて、しかも、最長が最小になる 10 本を並べると、
p, p, 2p, 3p, 5p, 8p, 13p, 21p, 34p, 55p
ところが、p > 1 だったので、55p > 55 cm となり、最小の場合でも最長の線分が 55 cm をはみ出してしまい、矛盾です。
そこで、三角形ができない 10 本の線分は存在しないことになります。
これって、フィボナッチ数列なんですね。面白い ^^/

ネコの住む家　　 10月21日（金） 14:05:19　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26014

スモークマン

#26014
uchinyanさんへ。
即答ありがとうございます。もちろん正解！
面白い問題はついここにお披露目したくなっちゃう誘惑に勝てなくって。。。でも、わたしも自重しますかね。・・・どうだかあまり自信ないけど。。。

金光　　 10月21日（金） 16:32:11　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26015

吉川　マサル

風邪ひいて自宅で寝込んで（というほどでもありませんが）ます。(^^;;

#28014,28015

　いえ、自重などされず、じゃんじゃん書きこんでくださいな。

PowerBook G4　　 10月21日（金） 16:40:21　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26016

スモークマン

マサルさんのお言葉に甘えて・・・

問題（わたしは解けなかった。。。）

テnにもっとも近い整数をanと表す。
このとき、S=1/a1+1/a2+・・・・・・・・+1/a992
の値を求めよ。

今風邪流行ってますね～
マサルさん、お気をつけあそばせ！

金光　　 10月21日（金） 17:08:46　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26017

スモークマン

#26017

文字化けしてました。orz。
テn = √n です。

これも、こんな問題よく思いつくもんだいなんて。。。

　　　　　　　↓

金光　　 10月21日（金） 17:15:48　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26018

uchinyan

#26017：(自粛中)
皆さんにも考えて欲しいので、解法は書きませんが、答えは 62 かな。
確かに、計算は、きれいにできます．．．

ネコの住む家　　 10月21日（金） 22:13:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26019

uchinyan

あ、マサルさん、ご自愛ください。

ネコの住む家　　 10月21日（金） 18:21:33　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26020

なか

#26013 #26014 三角形問題
もう少しシンプルにこんな感じでいかがでしょうか。

どの３本を選んでも三角形を作れないと仮定する。
１０本の線分を短い順に a(1),a(2),a(3),a(4),,,,a(10) とすると、
a(i),a(i+1),a(i+2)が三角形を成さないことにより、a(i)+a(i+1) <= a(i+2)　(i=1,2,,,,8)
a(1)>1, a(2)>1, a(3)>=a(1)+a(2)よりa(3)>2
同様に、a(4)>1+2=3, a(5)>5, a(6)>8, a(7)>13, a(8)>21, a(9)>34, a(10)>55 となり、
最長の線分が 55 を超え題意に反する。
仮定は矛盾に帰着したので、ある３本を選べば三角形を作れる。

北国　　 10月21日（金） 20:19:48　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　26021

uchinyan

#26021：
なるほど。私の証明と基本的には同じだと思いますが、私の解法にはムダがありましたね。
なかさんの証明の方が、簡明だと思います。

ネコの住む家　　 10月21日（金） 22:06:18　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26022

weapon

#26017
m≧2のとき、(m-1)^2,(m-0.5)^2,m^2,(m+0.5)^2,(m+1)^2を考えてみると、
m^2-m+1≦k≦m^2+mのときa_k=mであることがわかる。この範囲のkについて
Σa_k=(1/m)*{(m^2+m)-(m^2-m+1)+1}=(1/m)*2m=2。
したがって、992=31*31+31に注意して、求める和は、1/1+1/1+Σ[n=2,31]2=2*31=62

スモークマンさんの問題どっかの数オリ予選っぽいですねー
なぜか組み合わせの問題が多いようですが・・・
数オリ系の問題はとにかく手を動かすっていうのが鉄則かと。

　　 10月22日（土） 0:05:00　　　　26023

スモークマン

#26017
uchinyanさん、weaponさん、正解です！
さすが算数力が私とは違いますね～！

回答は

nに対するanを列挙すると
n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21・・
an : 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 ・・
anが変化するときのnの値は
2,6,12,20,・・・・・・・・
1*2=2
2*3=6
3*4=12
4*5=20
・・・・・・・
であり、anがkからk+1に変化するときの境界のnの値は
k(k+1)
an=kとなるnの値は
(k-1)*k+1≦n≦k(k+1)
で、その個数は　k(k+1)-(k-1)k=2k
992=31*32　より
S=2*(1/1)+4*(1/2)+6*(1/3)+・・・・・・・・+62*(1/31)
=2+2+・・・・・・・・+2
=62

友人の種本知りたいと思っても教えてもらえない・・・

金光＠岡山　　 10月22日（土） 0:36:03　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26024

weapon

#26023
訂正
Σa_k→Σ(1/a_k)
992=31*31+31→992=31^2+31　(こっちはどうでもいいですが)

　　 10月22日（土） 0:47:56　　　　26025

weapon

#26023
訂正
Σa_k→Σ(1/a_k)
992=31*31+31→992=31^2+31　(こっちはどうでもいいですが)

　　 10月22日（土） 1:03:25　　　　26026

てててて

単にユークリッドの互助法でしょ。最後のひとつだけ注意が必要。

　　 10月22日（土） 8:16:34　　　　26027

ＳＵＰＯＲＯＮ

#25998
133+988≠1019

???
1+2+3+…+11=66
1+2+……+36=666
1+2+3+4+‥+？=66‥6

国道1956号　　 10月23日（日） 2:43:28　　　　26028

スモークマン

#26028
SUPORONさんの問題。
11・・1 が、1x11,3x37 以外に、下一桁の数字が1,3,7,9 の二桁以上の数（しかも、√(11・・1/12)に近い数）で割りきれるものが無ければあり得ないと思いますが。。。その証明がわからない・・・
それにしてもどこにでも面白い問題って転がってますね～

金光＠岡山　　 10月23日（日） 16:28:44　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26030

スナフキン

解けました！わぁ～い！
でも、後ろから計算していくしかないのかな？
もっとエレガントに解けるんですか～？

　　 10月24日（月） 12:41:46　　　　26031

uchinyan

#26028の問題：
私も、仕事の合間に少し考えてみました。
まず、十進BASICの1000桁モードで目一杯調べてみましたが、3, 11, 36 以外の解は見つかりませんでした。
したがって、それ以外に解がないか、あっても、かなり、500桁以上？の大きな数になりそうです。
証明ですが．．．
うーむ、少なくとも、現時点では、分かりません。結構、根が深いのかなぁ？
まぁ、いつものように、簡単なことを見落としている可能性が高いのでしょうが ^^;

ネコの住む家　　 10月24日（月） 19:18:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26032

スモークマン

#26028の問題　解けました！（プリミティブに筆算で。。。）

n(n+1)=12x11・・1=13・・32

なので、n の下一桁の候補は、１，３，６，８
?@　１のとき、
a,1
a,2
2a,2
a^2,a
から、2a+a=3 ・・・等号は、下一桁が3になると考えて下さい。

から、a=1 のみ。
この時、a^2=1 を満たす。

　　　　b,1,1
b,1,2
　2b,2,2
　　b,1,1
　　　 b^2,b,b
から、3b+1=10c+3 からb=4
2b+1=1,3 は満たさない。
つまりこれ以上の数で満たすものはない。

?A 3のとき、
　　　　　 a,3
a,4
4a+1,2
a^2,3a
から、4a+1+3a=7a+1=3 から、a=6

b,6,3
b,6,4
4b+2,5,2
6b+3,7,8
b^2,6b,3b
から、4b+2+7+3b=7b+9=3 から、b=2
また、6b+3+6b+2=12b+5=3 から、b=4
つまり満たすものはない。

?B 6 のとき、
　　　 a,6
a,7
7a+4,2
a^2,6a
から、7a+4+6a=13a+4=3 から、a=3
このとき、a^2+4=13 で満たす。

　　　　　　　　　　　　 b,3,6
b,3,7
7b+2,5,2
3b+1,0,8
b^2,3b,6b
から、7b+2+1+6b=13b+3=3 から、b=0
3b+1+3b=6b+1=3 から、b=2,7
つまりこれ以上満たすものはない。

?C 8のとき、
　　　　　　 a,8
a,9
9a+7,2
a^2,8a
から、9a+7+8a=17a+7=3 から、a=8
a^2+14=78 だから、二桁にはない。

　　　　　　　　　　　　　　b,8,8
b,8,9　　　　　　　　　　　　　　
9b+7,9,2
8b+7,0,4
b^2,8b,8b
から、9b+7+1+8b=17b+8=3 から、b=5
また、8b+7+8b+9=16b+16=3 から、b の候補はなし。
つまりこれ以上のものもないと分かる。

以上から、n=11,36
また、n(n+1)=12 のときは、n=3

案外、こういう問題は逐一調べる方が早道かも。。。？

金光　　 10月25日（火） 14:07:45　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26033

スモークマン

下の投稿回答は、
何だか、ずれまくってて読みづらくなっちゃいましたね。。。
コピー＆ペーストしてもずれてたから、直したつもりだったんですが。。。
orz

金光　　 10月25日（火） 14:11:32　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26034

uchinyan

#26028の問題：
論理的にちょっと引っかかるんだけど、解けたかなぁ、という気が．．．
と思ったら、スモークマンさんの書き込みがありました。同じ考え方のようです。ということは、これでいいのかな。
引っかかったのは、各桁の数字を決める際に、本当に 0 ～ 9 に限定していいかどうか。
でもいいはずですよね。そうしないと、桁が膨れ上がってしまうし。
．．．
と、今朝、書いたのですが、やっぱり引っかかる。
例えば、#26033の
＞2b+1=1,3 は満たさない。
＞つまりこれ以上の数で満たすものはない。
これがどうしていえるのか。桁を増やすところは、簡単ではないような気がします。
三桁ではダメなわけだから、
c,4,1,1
を考える。こうすると、c = 8 として、下四桁は、...3332 となります。ただし、上の四桁は 7075 でダメです。
しかし、だったら、五桁を考える。これをやれば、下五桁は ...33332 とできます。上の方はダメですが。(ちなみに 68411 * 68412)
こうしたことを繰り返していって、下桁の方を ...333332 に合わせたら、うまく上も 13333... となることが本当にないか、
ないことをキチンと示さないといけない気がします。
もっとも、そうして桁を増やしていくと、ますます条件が厳しくなってうまくいかなくなるとは思うのですが。
そこらがどうもスッキリと証明できていないような気がします．．．
多分、一般の n 桁の場合でやればいいだけなんだけど、それが．．．

ネコの住む家　　 10月26日（水） 17:48:11　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26035

スモークマン

#26028
uchinyan さんへ。
言われてみると確かにそうですね！
一筋縄では行かないか。。。
何かうまい方法はないもんでしょうかねえ・・・？
最後は、z^2+α　なので、z^2=1,4,9,16,25,36,49,64,81
だから、αは、それに足して、13,133,1333,・・・になる数になればいいわけで。。。探せばあるかもねえ？？？
　　　　

金光＠岡山　　 10月26日（水） 23:20:18　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26037

さい

後ろから計算しました。楽でした。よ～し

　　 10月26日（水） 23:48:17　　　　26038