裴〓β

吉川　マサル

うーむ、ちょっと簡単すぎたかな...。orz

　とりあえずもうちょっとで帰宅します。まだ仕事中なもので...。(^^;;

PowerBook G4　　 12月15日（木） 0:03:35　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26327

2709

１３４４×５/１６で４２０
２位だ～

パソコンにきまってる　　 12月15日（木） 0:27:22　　　　26328

はなう

久々に回答～
なるほど、と思いました。有名なのかもしれませんが、面白い切り口ですね♪

　　 12月15日（木） 0:08:37　　　　26329

Taro

電車がおくれて０時にまにあいませんでしたorz

003　　 12月15日（木） 0:08:40　　　　26330

tomh

約分前の分子が、総和と同じなんですね。

新潟市　　 12月15日（木） 0:09:55　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　26331

ヒデー王子

こういう問題のときにリアルタイム参加できてラッキーです。
小学生に負けるわけにはいきませんし。

　　 12月15日（木） 0:10:38　　　　26332

2709

たまには小学生に花を持たせろよ～！

パソコンにきまってる　　 12月15日（木） 0:15:08　　　　26333

万打無

　任意の整数Xの約数を書き表し、それらの逆数を書き表す。
　それらを通分すると分母は任意の整数Xと同じになり分子は約数を大きい順に書き表したのと同じ状態になることに気づく。

　よって、ある整数の約数の逆数の総和の約分する前の分子は1344である。
　16/5を1344/Xで表したとき、Xは1344÷16×5＝420となる。
　これは約分する前の分母であり、ある整数と同じである。
　よって答えは420となる。

　　 12月15日（木） 0:20:31　　 MAIL:akkk@hi-net.ne.jp 　　26334

ゴンとも

今回は数式処理 mupad light 2.5.3 のプログラミングで約数の和が1344
なるものををだし先頭の420が答えとなってよかったという
i := 1: x :=1000:
for i from 1 to x do
if numlib::sumdivisors(i)=1344 then print(i) end_if;
end_for;
を実行して
420
546
564
620
644
764
806
861
897
NIL
より最初の420の約数を列挙させて
numlib::divisors(420);
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84,105, 140, 210, 420]
それを足して
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/10+1/12+1/14+1/15+1/20+1/21+1/28+1/30+1/35+1/42+1/60+1/70+1/84+1/105+1/140+1/210+1/420;16/5
題意どおりより
より420・・・・・・(答え)

豊川市　　 12月15日（木） 1:32:17　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　26335

uchinyan

はい、おはようございます。今週もやさしいですね ^^/
約数の逆数の和は、通分すると、分母は元の整数に、分子はちょうど元の約数の和になります。ポイントはこれだけ。
そこで、1344/16 = 84 なので、16/5 = (16 * 84)/(5 * 84) = 1344/420 となり、答えは 420 です。

ネコの住む家　　 12月15日（木） 8:45:21　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26336

uchinyan

掲示板読みました。が、まぁ、大した話はないようです。
あ、もちろん、整数は、「正の」整数、と思っていいのですよね ^^:

ネコの住む家　　 12月15日（木） 8:57:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26337

kasama

おはようございます(*^_^*)

Question481()=
{
　local(n,ds,i,s);
　n = 1;
　while (true,
　　ds = divisors(n);
　　s = 0;
　　for (i=1,length(ds), s += ds[i]);
　　if (s == 1344,
　　　s = 0;
　　　for (i=1,length(ds), s += 1/ds[i]);
　　　if (s == 16/5,
　　　　print(n);
　　　　break;
　　　);
　　);
　　n++;
　);
}

出先　　 12月15日（木） 9:24:42　　　　26338

ウラル

uchinyanのいうことに気づくのに２分かかりました．簡単な例で試してそこから法則性を見つけると良いということを示している問題ですね．

　　 12月15日（木） 10:42:03　　　　26339

ハラギャーテイ

Mathematicaです。DivisorsとかTotalという命令で簡単に
計算できます。

北九州　　 12月15日（木） 10:43:10　　 HomePage:信号処理に挑戦　　26340

ハラギャーテイ

正解者の中にタイ文字で書かれた人名があります。タイには
１年滞在したのでタイ文字が懐かしいです。

北九州　　 12月15日（木） 11:10:44　　 HomePage:信号処理に挑戦　　26341

大岡　敏幸

４の約数：１、２，４（合計７）　１、１／２、１／４（合計７／４）
６の約数：１、２，３，６（合計１２）　１、１／２、１／３、１／６（合計１２／６）ここでは仮分数のままの方が分かりやすいです（＾＾）
約数の合計が逆数の合計の分子になっており、分母がもとの数だと言う事が予想されます。
１３４４／Ｘ　＝１６／５　　よってＸ＝４２０
今回みたいな問題がやはりやりやすいですね（＾＾）
それにしても１位の方の時間は凄すぎですね。まさに瞬殺（驚）

石川県　　 12月15日（木） 14:01:04　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　26342

いしいし

やっぱりそうでしょう。１３４４÷１６＝８４。８４×５ですよね。確認のために出た答えの約数すべて足してみましたよ・・。

　　 12月15日（木） 14:25:44　　　　26343

???

分数計算だったらubasic
10 'asave "sc481.ub"
20 Max=1344
30 for N=1 to Max
40 Wa1=0
50 Wa2=0//1
55 J=1
60 while and{J<=N,Wa1<=1344,Wa2<=16//5}
70 if N@J=0 then Wa1+=J:Wa2+=1//J
80 J+=1
90 wend
100 if and{Wa1=1344,Wa2=16//5} then print N
110 next N
120 end

　　 12月15日（木） 15:27:09　　　　26344

スモークマン

なんだ、気がついたら簡単だった～
求める数をｍとすると、
1+x1+x2+・・・+m/x2+m/x1+m=1344
1+1/x1+1/x2+・・・+x2/m+x1/m+1/m=16/5
つまり、16／5＊ｍ＝1344　ってこと！なので、
ｍ＝420
このことは一般的に言えることですね！

金光　　 12月15日（木） 20:31:13　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26345

uchinyan

今回の問題は容易でしたが、少し拡張した問題を考えてみました。これは、難しそうです。
まず、約数の和が 1344 という条件を無しにしてみました。16/5 はそのままです。このときの整数は？
perl で調べてみました。ナイーブなコーディングなので、効率はよくありませんが。

# Sansuu Challenge 481

$n = 100000;
$p = 16; $q = 5;

sub divSum {
　local($a) = @_; local($s) = 0;
　foreach (1..$a/2) {
　　$s += $_ if($a % $_ == 0);
　}
　$s += $a;
　return($s);
}

print "$n までの結果：\n";
foreach (1..$n) {
　$s = &divSum($_);
　if($p * $_ / $q == $s) {
　　print "$p/$q：求める整数 $_, 約数の和 $s\n";
　}
}

結果は、次のとおり。これを見ると、解は複数あるようです。

100000 までの結果：
16/5：求める整数 420, 約数の和 1344
16/5：求める整数 7440, 約数の和 23808
16/5：求める整数 8190, 約数の和 26208
16/5：求める整数 18600, 約数の和 59520

なお、この次は、

16/5：求める整数 121920, 約数の和 390144

となるようですが、その後がなかなか見つかりません。
問題は、解の個数は有限かどうか、有限ならば幾つあるか、具体的にそのときの整数はなにか、などです。
現時点ではよく分かっていません。
また、これもよく分かっていないのですが、約数の逆数の和の取り得る値の範囲はどうなっているか。
すぐに分かることは、
・有理数であること。
・1 以上であること。これは、整数 1 を考えれば分かります。
・上限はないこと。これは、例えば、整数 n! で 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n が n -> ∞ で無限大になることから分かります。
・完全数の場合に 2 となること。完全数とは、もちろん、自分自身を除いた約数の和がその数に等しくなる数のことです。
要は、1 以上の有理数で、取り得る値の範囲を特定できるかどうかです。
うーむ．．．

ネコの住む家　　 12月15日（木） 21:13:08　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26346

พี่ชุณ(ぴーしゅん)

#26341

タイ人です。

#25001

昨年長男の中学受験の際このページを見つけ、長男に薦めたのですが、彼より私のほうがはまっています。２００５年５月５日から目下３３連勝中です。「ハラギャーティ」さんのお名前も毎度拝見しています。
長男の名前を借りています。「พี่ชุณ(ぴーしゅん)」とはタイ語で「シュン兄さん」という意味です。
ときどき正解者の中に「タイの象さん」というお名前を見かけ、もしかすると私と同じタイ出身かも知れないと思い、名前をタイ文字にしてみました。
今後ともよろしくお願いします。

ところで今回の問題ですが、以下のように考えました。あまり算数らしくありませんが、ご参考まで。
求めたい数をaとし、a = (p1^n1)*(p2^n2)*…とします。
するとaの約数の和 = (1+p1+p1^2+…+p1^n1)*(1+p2+p2^2+…+p2^n2)*… = 1344となります。
一方aの約数の逆数の和 = (1+1/p1+1/p1^2+…+1/p1^n1)*(1+1/p2+1/p2^2+…+1/p2^n2)*…
= ((1+p1+p1^2+…+p1^n1)/p1^n1)*((1+p2+p2^2+…+p2^n2)/p2^n2)*…
= ((1+p1+p1^2+…+p1^n1)*(1+p2+p2^2+…+p2^n2)*…)/((p1^n1)*(p2^n2)*…)
= ((1+p1+p1^2+…+p1^n1)*(1+p2+p2^2+…+p2^n2)*…)/a
= 1344/a
よって、16/5 = 1344/a
a = 1344*5/16 = 420
算数的、小学校が分かるような方法がないでしょうか？

　　 12月15日（木） 21:39:21　　　　26347

monkey business

はじめまして。
わたしのやった方法は、
全ての「約数の逆数」を通分すると分母は求めたい数（ａ）になり、分子は「全ての約数」を足した数、即ち1344になるので、1344/ａ=16/5
よって、ａ=1344*5/16=420となる。
という、なんとも説明しづらい方法でやりました。ぴーしゅんさんの説明に比べると、なんて幼稚な説明なんだろう^^;

　　 12月15日（木） 22:37:32　　 MAIL:gone-going@ezweb.ne.jp 　　26348

トトロ＠Ｎ

水曜の夜から体調をくずしてずっと寝てました。
たまに起きても食事をしたら寝るの繰り返し。
やっと少し元気がでたので問題にチャレンジしてみました。

兵庫県明石市　　 12月16日（金） 16:28:11　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　26349

スナフキン

あはは。monkey businessさんのが幼稚なら、私も同類です。（＾０＾）
エレガントに解ければいいんです。

　　 12月16日（金） 21:07:12　　　　26350

y.kobayashi

逆数の和が５分の１６っていうのから５の倍数かなーと思い４００から初めて１３４４に足りなかったので少しずつ増やしていったら、つまり４０５，４１０，４１５，４２０と試行錯誤していったら偶然見つかりました。ばかなやりかたですね。あはは

　　 12月16日（金） 21:23:54　　　　26351

พี่ชุณ(ぴーしゅん)

#26346

uchinyanさんの拡張問題が面白そうだったので少し考えてみました。
解の個数や一般的な構成方法はまだわかりませんが、特殊な構成方法をひとつ見つけました。

420 = (2^2)*3*5*7
7440 = (2^4)*3*5*31
121920 = (2^6)*3*5*127

((2^n)-1)が素数(メルセンヌ素数 n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89 )であれば
a = (2^(n-1))*3*5*((2^n)-1) が解になります。

n = 13 のとき ((2^13)-1) = 8191 が素数になり、 a = (2^12)*3*5*8191 = 503255040
n = 17 のとき ((2^17)-1) = 131071 が素数で、 a = (2^16)*3*5*131071 = 128848035840
n = 19 のとき ((2^19)-1) = 524287 が素数で、 a = (2^18)*3*5*524287 = 2061580369920

これは次のように証明できます。
aの約数の和 = (1+2+(2^2)+…+(2^(n-1)))*(1+3)*(1+5)*(1+((2^n)-1))
= ((2^n)-1)*4*6*(2^n) = 16*a/5

メルセンヌ素数は確か38個まで確定しているので、この構成方法で n = 2 を除き計37個の解を見つけたことになります。

　　 12月16日（金） 23:16:36　　　　26352

uchinyan

#26352
ぴーしゅんさんへ。私の環境では、タイの文字がうまく入力できないようなので、ひらがなでごめんなさい。
多分、Unicodeとか、文字の実体参照とかで頑張ればいいのでしょうが．．．m(__)m
メルセンヌ素数を使った考察、興味深く拝見しました。確かにおっしゃるとおりですね。これは面白い。
ただ、8190 と 18600 とは表現できないようですが、これは、どうしてなのでしょうか。
私のプログラムミスかな、とも思い、筆算でチェックしてみたのですが、間違ってはいないようです。

ネコの住む家　　 12月17日（土） 0:06:15　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26353

スモークマン

どうでもいいことですが・・・
一般にある数ｍの約数のｎ乗の和がＮ
ｎ乗分の１の和がＮ’のときも同様に、Ｎ’＊ｍ＾ｎ＝Ｎ　なので、
ｍ＝ｎ乗根（Ｎ/Ｎ’）ですね！

金光＠岡山　　 12月17日（土） 0:16:03　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26354

พี่ชุณ(ぴーしゅん)

#26353

uchinyanさんへ。お気になさらず「ひらがな」で結構です。私も最初のごろはひらがなのみでした。
メルセンヌ素数は一つの特殊な例で、これ以外の形もたくさんあるようです。

例えば
18600 = (2^3)*3*(5^2)*31
(2^3)の約数の和 = 1+2+4+8 = 15 = 3*5
(2^n)の約数の和が二つの素数の積で書き表される場合、確信はありませんが、解が(2^n)*(5^2)*何個かの素数の積の形になるようです。
(2^8)の約数の和 = 511 = 7*73
これを使って、
a = (2^8)*(5^2)*7*19*31*37*73 = 71271827200
を見つけました。
なお、この数が3で割り切れないことがuchinyanさんの見つけたほかの例と違うところです。今のところまだ奇数解が見つかっていません。

またこうしてみると解は無限にあるように思います。証明できるでしょうか？

　　 12月17日（土） 7:26:22　　　　26355

uchinyan

#26355
自分で提起しておきながら、どうしたものかと思っていましたが、おかげでいろいろと面白そうになってきました。
とはいうものの、少し考えあぐねております。16/5 の解に関して、今までの状況をまとめてみました。

・2^n - 1 が素数、メルセンヌ素数、の場合、2^(n-1) * 3 * 5 * (2^n - 1) が解になる。ただし、n = 2 は除く。これで、37 個の解がある。
・2^n * 5^2 * (奇素数の積) という解がある。少なくとも、2^3 * 3 * 5^2 * 31 と 2^8 * 5^2 * 7 * 19 * 31 * 37 * 73 は確認。
・これ以外に、少なくとも、2 * 3^2 * 5 * 7 * 13 = 8190 という解がある。この系列の詳細は、まだ不明。

なお、Wikipediaを見る限りでは、順番は確定していないものの、42個のメルセンヌ素数の存在は知られているらしいです。
その意味では、最初の項目は、「41個」(= 42 - 1) といっていいように思います。

次に、予想というか、不明なこととして、

・メルセンヌ素数は、有限個か無限個かは分かっていないし、それ以外の系列も有限か無限かは不明。しかし、たくさんありそう。
・2^(n-1) * (2^n - 1) は完全数で 2 を与えることは分かっているので、これと素な数で 8/5 を与えるものがあれば、それも解になる。
・2^n * 5^2 * (奇素数の積) という解に関して、2^n の約数の和が二つの素数の積で表される場合には、解があるか。
・奇数の解はあるか。

2^n * 5^2 * (奇素数の積) という解については、少なくとも、n = 10 の場合、
2^10 の約数の和は 2^11 - 1 = 2047 = 23 * 89 で素数の積になりますが、ちょっと考えた感じでは、うまくいかないようです。

なお、今回の問題が 16/5 だったのでそれに拘っていますが、この 16/5 に意味があるのかも、よく分からないところです。
これは、出題者のマサルさんにお聞きした方がいいのかも。
16/5 には、意味があって出題なされたのでしょうか？

#26354
こちらは正しそうに思います。が、大丈夫かな．．．いつも間違えるので (^^;

ネコの住む家　　 12月18日（日） 21:15:46　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26356

uchinyan

#26346＆#26356
ちょっと違ったアプローチ。
自然数 n の約数の和を S(n) とし、約数の逆数の和を T(n) とすると、T(n) = S(n)/n ですが、
n = p^a * q^b * ... * r^c、ただし、p, q, ..., r は素因数、とすると、
S(n) = {p^(a+1) - 1}/(p - 1) * {q^(b+1) - 1}/(q - 1) * ... * {r^(c+1) - 1}/(r - 1)
なので、
T(n) = T(p^a) * T(q^b) * ... * T(r^c)
となり、素数のべきの場合を考えれば十分なことが分かります。
問題が、因子化されたわけです。これで何か分からないかなぁ．．．

ネコの住む家　　 12月18日（日） 0:06:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26357

スモークマン

#26352
面白いのでわたしなりに参加・・・

a の約数の和を M とする。
a=5M/16
なので、a は 5 を約数に持つ。
M は、1+5=6=2*3 なので、a は、2,3 を約数に持つ。
また、a は 2^4 で割れるので、2^k (k は3以上）を因数に持つ。
つまり、a=2^k*2*3*5*p とするとき、一番簡単に p を奇素数とすると、
M=(2^(k+2)-1)*2^3*3*(1+p) なので、
a=2^k*2*3*5*p=5M/16=5*(2^(k+2)-1)*2^3*3*(1+p)/2^4 なので、
2^k*p=(2^(k+2)-1)*(1+p)/2^2
つまり、2^(k+2)*p=(2^(k+2)-1)*(1+p) なので、
2^(k+2)-1=p であればいい。
p は、いわゆるメルセンヌ数かあ！

a が 5^2 を素因数に持つときはよく分からない。。。

金光　　 12月18日（日） 18:03:47　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26358

DrK

約数については、平方根以外は2つ対象になるものが存在する。
このことに気づけば、簡単な問題ですね。
約数の総和と約数の逆数の総和に対して丁度元の数倍になっていることがわかれば答えが出たも同様。
1336/(16/5)=420
が答え

今度こそ地上の楽園　　 12月18日（日） 19:30:04　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　26359

DrK

#26359
1336じゃなく1344でした。
当日は早く寝たのでリアルタイムではありませんでした。

今度こそ地上の楽園　　 12月18日（日） 19:35:09　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　26360

航空アニマル改アニマル大好き

今回の問題は超簡単!2月1日まであと44日!全力を尽くすぞ!1月校までは1ヶ月きってます!

携帯じゃなくてパソコンです　　 12月19日（月） 17:23:52　　　　26361

uchinyan

#26346, #26356, #26352, #26358 など。
その後、少しシステマティックに解を探す方法を考えたぐらいで、残念ながらあまり進展はありません。
「少し」というのは、この方法もムダが多く、停止性も危ういので、かなり不満があります。
要するに、アルゴリズムにはなっていないということです。
ただ、折角考えたので、少し長くなりますが、まとめておきます。

ポイントは、#26357の因子化、因子(因数)分解、です。
この式から、分母に数が残っている場合には、その素因数を元の数が素因数に含むことが分かります。
例を通して考えてみます。
T(n) = 16/5 なので、n は 5 を素因数にもちます。元の整数の 5 の因数が 5^1 であって 5^2 などではないと仮定すると、
T(5) = 6/5 となり、16/5 = T(n) = T(5) * T(残り) = 6/5 * T(残り) なので、T(残り) = 16/5 * 5/6 = 8/3 です。
そこで今度は 3 を素因数にもちます。3^1 と仮定すると T(3) = 4/3 で、残りは、8/3 * 3/4 = 2 です。
2 を与えるのは完全数なので、2^n - 1 が素数のとき、2^(n-1) * (2^n - 1) が解になります。
ただし、n = 2 は、3 を因数にもってしまい、先ほどの 3^1 の仮定と矛盾するので除きます。
これらを、次のように書くことにします。

16/5
5 : 1 + 5 = 6, 6/5
16/5 * 5/6 = 8/3
3 : 1 + 3 = 4, 4/3
8/3 * 3/4 = 2
2 : ... (完全数) ...
2^(n-1) * (2^n - 1)
--->
2^(n-1) * 3 * 5 * (2^n - 1)

2 の解に関する「...」は、本当は計算が続くことを意味しています。
この計算は、分母が 1 なので、実は、実際に行うのは難しくなります。
素因数となるべき素数が約分されてしまっているので、それを適当に補うしかありません。
例えば、2 で 2^1 と仮定すると、

16/5
5 : 1 + 5 = 6, 6/5
16/5 * 5/6 = 8/3
3 : 1 + 3 = 4, 4/3
8/3 * 3/4 = 2 = 4/2
2 : 1 + 2 = 3, 3/2
4/2 * 2/3 = 4/3
--->
NG

最後の分数の計算が 4/3 になり、既に 3^1 と仮定した素因数 3 が再び現れます。これは矛盾です。
NG は失敗したことを表します。なお、これは、完全数の場合の n = 2、うまくいかない場合、に対応しています。
失敗した場合、次の対応として、2^2 と仮定する、2 以外の素数を考える、の二つの方法があります。
後者は、3, 5 は既に出ているので、7 が対象になります。どちらがいいかの判断は、残念ながら、よく分かりません。
取り敢えず、2^2 としてみると、

16/5
5 : 1 + 5 = 6, 6/5
16/5 * 5/6 = 8/3
3 : 1 + 3 = 4, 4/3
8/3 * 3/4 = 2 = 4/2
2^2 : 1 + 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7, 7/2^2 = 7/4
4/2 * 4/7 = 8/7
7 : 1 + 7 = 8, 8/7
8/7 * 7/8 = 1
--->
2^2 * 3 * 5 * 7

で、うまくいきます。これは、完全数の場合の n = 3 に対応します。7 もうまい具合に出てきています。
同様のことを繰り返して、完全数型の他の解を探すことは可能ですが、きりがないので、今はここまでにしておきます。
次の解の可能性としては、3 を 3^1 ではなく 3^2 と仮定する場合があります。これは、

16/5
5 : 1 + 5 = 6, 6/5
16/5 * 5/6 = 8/3
3^2 : 1 + 3 + 3^2 = 1 + 3 + 9 = 13, 13/3^2 = 13/9
8/3 * 9/13 = 24/13
13 : 1 + 13 = 14, 14/13
24/13 * 13/14 = 24/14 = 12/7
7 : 1 + 7 = 8, 8/7
12/7 * 7/8 = 12/8 = 3/2
2 : 1 + 2 = 3, 3/2
3/2 * 2/3 = 1
--->
2 * 3^2 * 5 * 7 * 13

となって、2 * 3^2 * 5 * 7 * 13 = 8190 の解を与えます。なお、この後ですが、2^2 は考えなくて OK です。これは、
2^2 : 1 + 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7, 7/2^2 = 7/4
3/2 * 4/7 = 6/7 < 1
なので、T(n) >= 1 に矛盾するからです。これは常にいえます。
解が求まる場合には最後は分数が 1 になりますが、このときの素因数が p^k のとき、p^(k+m), m > 0 に対して、
T(p^k) = (1 + p + ... + p^k)/p^k = 1 + 1/p + ... + (1/p)^k
T(p^(k+m)) = (1 + p + ... + p^k + ... + p^(k+m))/p^(k+m) = 1 + 1/p + ... + (1/p)^k + ... + (1/p)^(k+m)
なので、T(p^k) < T(p^(k+m)) ですが、最後の分数は N/T(p^k) = 1 となっているので、N/T(p^(k+m)) < 1 となり矛盾です。
つまり、解が見つかった場合の素因数に関しては、それ以上考える必要はない、ということです。
また、一度、1 より小さくなれば、それよりも大きなベキに関しては、当然 1 より小さくなるので、考える必要はありません。
停止する場合に関して、ここまでで分かっている場合をまとめておくと、
・解が見つかった場合。
・既に仮定した素因数が再び分母に現れた場合。これは、失敗です。
・残りの分数が 1 より小になった場合。これも、失敗です。
以上を考慮して、先ほどの続きを行って、他の解を探してみます。

16/5
5 : 1 + 5 = 6, 6/5
16/5 * 5/6 = 8/3
3^2 : 1 + 3 + 3^2 = 1 + 3 + 9 = 13, 13/3^2 = 13/9
8/3 * 9/13 = 24/13
13 : 1 + 13 = 14, 14/13
24/13 * 13/14 = 24/14 = 12/7
7^2 : 1 + 7 + 7^2 = 1 + 7 + 49 = 57 = 3 * 19, (3 * 19)/7^2
12/7 * 7^2/(3 * 19) = (4 * 7)/19
19 : 1 + 19 = 20 = 2^2 * 5, (2^2 * 5)/19
(4 * 7)/19 * 19/(2^2 * 5) = 7/5　<----- 5 が出現
--->
NG

16/5
5 : 1 + 5 = 6, 6/5
16/5 * 5/6 = 8/3
3^2 : 1 + 3 + 3^2 = 1 + 3 + 9 = 13, 13/3^2 = 13/9
8/3 * 9/13 = 24/13
13 : 1 + 13 = 14, 14/13
24/13 * 13/14 = 24/14 = 12/7
7^2 : 1 + 7 + 7^2 = 1 + 7 + 49 = 57 = 3 * 19, (3 * 19)/7^2
12/7 * 7^2/(3 * 19) = (4 * 7)/19
19^2 : 1 + 19 + 19^2 = 1 + 19 + 361 = 381 = 3 * 127, (3 * 127)/19^2
(4 * 7)/19 * 19^2/(3 * 127) = (4 * 7 * 19)/(3 * 127)　<----- 3 が出現
--->
NG

16/5
5 : 1 + 5 = 6, 6/5
16/5 * 5/6 = 8/3
3^2 : 1 + 3 + 3^2 = 1 + 3 + 9 = 13, 13/3^2 = 13/9
8/3 * 9/13 = 24/13
13 : 1 + 13 = 14, 14/13
24/13 * 13/14 = 24/14 = 12/7
7^2 : 1 + 7 + 7^2 = 1 + 7 + 49 = 57 = 3 * 19, (3 * 19)/7^2
12/7 * 7^2/(3 * 19) = (4 * 7)/19
19^3 : 1 + 19 + 19^2 + 19^3 = 1 + 19 + 361 + 6859 = 7240 = 2^3 * 5 * 181, (2^3 * 5 * 181)/19^3
(4 * 7)/19 * 19^3/(2^3 * 5 * 181) = (7 * 19^2)/(2 * 5 * 181)　<----- 5 が出現
--->
NG
...

と、NG が続きますが、19^k の系列が終わりそうにありません。これが、停止性に不安があるといった理由です。
なお、もし、5 の因数を 5^2 にしたら、やはり途中が問題ですが、少なくとも、

16/5
5^2 : 1 + 5 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31, 31/5^2
16/5 * 5^2/31 = (16 * 5)/31
31 : 1 + 31 = 32 = 2^5, 2^5/31
(16 * 5)/31 * 31/2^5 = 5/2
2 : 1 + 2 = 3, 3/2
5/2 * 2/3 = 5/3
3 : 1 + 3 = 4 = 2^2, 2^2/3
5/3 * 3/2^2 = 5/2^2
--->
NG
...

16/5
5^2 : 1 + 5 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31, 31/5^2
16/5 * 5^2/31 = (16 * 5)/31
31 : 1 + 31 = 32 = 2^5, 2^5/31
(16 * 5)/31 * 31/2^5 = 5/2
2^2 : 1 + 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7, 7/2
5/2 * 2/7 = 5/7
7 : 1 + 7 = 8 = 2^3, 2^3/7
5/7 * 7/2^3 = 5/2^3
--->
NG
...

16/5
5^2 : 1 + 5 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31, 31/5^2
16/5 * 5^2/31 = (16 * 5)/31
31 : 1 + 31 = 32 = 2^5, 2^5/31
(16 * 5)/31 * 31/2^5 = 5/2
2^3 : 1 + 2 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 3 * 5, (3 * 5)/2^3
5/2 * 2^3/(3 * 5) = 2^2/3
3 : 1 + 3 = 4 = 2^2, 2^2/3
2^2/3 * 3/2^2 = 1
--->
2^3 * 3 * 5^2 * 31
...

となりますが、なかなか大変です．．．2^8 の場合にたどり着けるかどうか．．．

原理的には、この方法でいくらでも解を探せますが、考えなくてよい場合をさらに大幅に絞り込まないと、実用にはならないようです。

ネコの住む家　　 12月19日（月） 21:16:01　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26362