吉川　マサル

す、すみません、自動更新の設定をミスってしまいました...。m(__)m 　電車を降りてすぐに京ぽん２でチェックしたら更新されてないことに気付き、全速力で帰宅して更新しました。（その場で接続して更新も考えましたが、ダッシュのほうが早いと判断してしまいました...。今思えば失敗でした）

PowerBook G4　　 12月22日（木） 0:12:00　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26363

まるケン

等間隔一直線で、９７個？

12月22日（木） 0:12:29　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　26365

まるケン

#26363 第482回ですよね、、、

12月22日（木） 0:13:41　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　26366

2709

４７×５０÷２÷２５＋５０で９７　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　入試がおわりになるまでやすましてもらいます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　初めての３い〜

パソコンにきまってる　　 12月22日（木） 0:16:34　　 　　26367

まるケン

っていうか、日付も、、、

12月22日（木） 0:15:34　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　26368

まるケン

実は、「あれぇ〜、問題更新されないなぁ、、、」 と思いつつ、「第481回」だけを見ながらリロードを繰り返していて、ふと気づいたら、問題文が新しくなってた！！っていう、出遅れの言い訳。

12月22日（木） 0:20:10　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　26369

tl

黒点の上に赤点を打ったら赤く見えないと思ってました。

12月22日（木） 0:22:21　　 　　26370

2709

僕は50画形で考えました。

パソコンにきまってる　　 12月22日（木） 0:23:02　　 　　26371

Taro

一直線で等間隔に黒点をならべてみました。 #それでも計算ミスしてました(汗)

003　　 12月22日（木） 0:25:09　　 　　26372

Taro

一直線で等間隔に黒点をならべてみました。 #それでも計算ミスしてました(汗)

003　　 12月22日（木） 0:26:53　　 　　26374

圭太

"ページ更新”でリロードしないと↓ふえちゃいますよ。＾＾；＞Taroさん

12月22日（木） 0:29:09　　 　　26375

n厨

うーん久々に参加してみた。 グラフ理論みたいな問題でした。 赤を○として ○−●−○これをつないでいきました。最小なのは重複する数を最大にすればいいだけだから一直線で考えればわけないですね。

12月22日（木） 0:31:58　　 　　26376

Taro

#26375 別端末のほうで失敗してしまいました。 でも、１つだけは削除できたものの、あと２つがなぜか削除できません。

おうち　　 12月22日（木） 0:32:04　　 　　26377

ｎ厨

赤は●

12月22日（木） 0:32:20　　 　　26378

ちゃーみー

50 個の点の x 座標 x(1) , x(2) , … , x(50) が相異なるように xy 座標を入れる(このような入れ方は可能)。 x(1) < x(2) < … < x(50) として一般性を失わず、そのとき、 (x(1)+x(2))/2 < (x(1)+x(3))/2 < (x(2)+x(3))/2 < (x(2)+x(4))/2 < … < (x(48)+x(50))/2 < (x(49)+x(50))/2 なので、少なくとも 97 個の中点がある。あとは例を構成すればよい。

東京都目黒区　　 12月22日（木） 0:40:52　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　26380

カエ

等間隔で、0.5刻みで1.5から49.5まで、ですね。 50角形でも出来るってホントですか？

12月22日（木） 0:50:20　　 MAIL:yhpnh760@ybb.ne.jp 　　26381

2709

僕が考えたのでは50角形の対角線が１１７５ありそのなかで25本の線の赤い点が１つ交わるというかとで1175÷２５の４７にへんの上にある50個をたして９７としたんですけどね〜どうでえすかカエさん

パソコンにきまってる　　 12月22日（木） 1:10:12　　 　　26382

2709

実さいにはありえないかもしれないけど。

パソコンにきまってる　　 12月22日（木） 1:11:29　　 　　26383

ウラル

単純に１直線に50個の点を打った場合を考えました。そのときにできる端っこの点２個を除いた48個の点+点同士の中点49箇所＝全部で97箇所って考えてみました。直線じゃないと、色々赤い点が出てきそうなので、勘ですが・・・でも５分以内で出来ました。０時からはじめたら１位だったか・・・？？？ ttp://gtrambler815.blog9.fc2.com/で俺のサイトへ飛びます。(頭にhをつけて)

12月22日（木） 2:03:27　　 　　26384

uchinyan

はい、おはようございます。 うーむ、今回の問題は、簡単といえば簡単なんですが、ちょっと考えさせられました。 要するに、赤点の重なりを最大にすればいいので、対称性が高そうな黒点の配置を考えました。 最初に考えたのは正50角形ですが、これでは辺回りの赤点が重なりません。 次に考えたのが、返上に13個と12個の黒点がある長方形です。これだと、長方形内だけでなく、辺上の点でも重なりが生じます。 と、ここまで考えて．．．　あ！　一直線上に等間隔に黒点を50個並べたら？！ これならば、黒点の間の49個と、両端の黒点以外の黒点、50 - 2 = 48 個、が赤点になります。これだけ！ 結局、48 + 49 = 97 個。え、最小性は？ まぁ、多分 (^^;

ネコの住む家　　 12月22日（木） 9:12:36　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26385

uchinyan

掲示板、一応読みました。 最小(最少)性の証明は、(慎重派としては、抜けがあるかもしれないという意味で)直感的ですが、一応、ｎ厨さんの#26376は妥当なようですね。 なお、tlさんの#26370 ＞黒点の上に赤点を打ったら赤く見えないと思ってました。 お、確かにそうかもしれないなぁ、と、えらく感心してしまいました ^^; それと、#26381＆#26382など、50角形ででも本当に可能なんだろうか？ もし可能だとすると、ｎ厨さんの構成方法では抜けがある可能性がありますが．．．？

ネコの住む家　　 12月22日（木） 11:29:01　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26386

みけ

#26384の方と同じ考えで解きました 直線かつ等間隔に黒点を並べたときに、作られる赤点の数が最小になるのではと考え、 隣り合う黒点同士が作る赤点が、(50-1)=49個、 1個飛ばしの黒点同士が作る赤点がちょうど両端以外の黒点に重なる形で、(50-2)=48個、 以降2個飛ばし以上の黒点同士が作る赤点は、先の赤点と重なるため考慮せず、 (50-1)+(50-2)=49+48=97　という結論にたどり着きました。 正しい解答の方法が非常に気になります^^;

みけかど　　 12月22日（木） 13:23:16　　 　　26387

ハラギャーテイ

どう並べるかだけが問題でした。

北九州　　 12月22日（木） 15:00:21　　 HomePage:信号処理に挑戦　　26388

吉川　マサル

サーバのアップデートでちょっとしたトラブルがありまして、ご迷惑をおかけしました。一時「データが失われた」みたいな表記になっていましたが、実際には問題なく移行が終了したようです。（あの書きこみが消えた..！みたいなことがありましたら、ご一報いただければ幸いです）

PowerBook G4　　 12月22日（木） 18:59:04　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26389

ほげ

#26380と同じようですが... 任意の２点を結ぶ直線を全て引くと直線は有限個であるからその全ての 直線と平行でないようにx軸を取ると　x1<x2<...<x50　となるようにとれる (x1+x2)/2<(x1+x3)/2<(x1+x4)/2<(x1+x5)/2...<(x1+x50)/2　のように x1とそのほかの点の中点のx座標を考える　49個 (x1+x50)/2<(x2+x50)/2<(x3+x50)/2<(x4+x50)/2...<(x49+x50)/2　のように x50とそのほかの点の中点のx座標を考える　49個 (x1+x50)/2が重複しているので　合計97個以上 数直線上に0,2,4,6,...,98という点をとると　その中点は0と98の間の整数 になるので　実際に97個のものは存在する

北の隠れ家　　 12月22日（木） 19:14:52　　 MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家　　26390

ハラギャーテイ

正解がわかって掲示板に書き込んで、応募するに行って 正解を送って私の名前が出るかなと思っていたら、その時 サーバがダウンしたみたいです。 タイミングと言い、めったにないこともあって 私のせいではと思ったところでした。 復旧おめでとうございます。

北九州　　 12月22日（木） 19:39:06　　 HomePage:信号処理に挑戦　　26391

uchinyan

#26380及び#26390 なるほど、最小性はこれらの解法で保証されていますね。納得。 なお、一般に n 点の場合は、2n-3 個といえそう。 (少し追加。) 最初、#26380を誤解していました。ちゃ−みーさんごめんなさい m(__)m ほげさんの#26390を読んで初めてその真意が分かりました。

ネコの住む家　　 12月23日（金） 15:54:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26392

スモークマン

５個以上では直線上に点があるときが最小になるのは直感的・・・ 直線上に等間隔で並んでいる点のときの中点の数は、 2個のときは、1個。 1個増えた3個のときは、+2個。以下同様。 n個のとき、1+2(n-2)=2n-3 個。 50個のときは、2＊50−3＝97　個。

金光　　 12月22日（木） 22:57:47　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26393

スモークマン

n個の点よりなる中点の数をT(n) と表す。 もう1点増えた時、重なった部分がn-2個あるときが最小のはず。 n-2が2以上では、これは直線上にあることと同じ。（つまり、nは4以上。） では、直線上にn個の点が並んでる場合。 中点の数は、nC2 個。これらのうちn-2個が最初の点に重なってれば最小のはず。つまり、最初の点に重なると言うことは、ある2個の点の中点が最初の点ということだから、ある２個の点は最初からある1点から等距離にあることが分かる。最初からある点はみな同じだから、それらは等間隔に並んでいることが分かる。 T(2)=1 T(3)=3 n≧4 のとき、 T(4)=2*T(3)-T(2) T(5)=2*T(4)-T(3) ・ ・ ・ T(n)=2*T(n-1)-T(n-2) これから、T(n)=2n-3 になるのか。。。？

金光　　 12月23日（金） 13:15:19　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26395

uchinyan

#26395 スモークマンさんへ。結論は正しいと思います。証明は、#26380又は#26390と同じようできます。 ただ、#26395の ＞もう1点増えた時、重なった部分がn-2個あるときが最小のはず。 ＞n-2が2以上では、これは直線上にあることと同じ。（つまり、nは4以上。） ここらは、正しそうですが、きちんと証明するのはあまり簡単そうではなく、それよりは、#26380又は#26390を拡張する方が容易です。 特に、 ＞n-2が2以上では、これは直線上にあることと同じ。（つまり、nは4以上。） は、少なくとも掲示板上では、#26380又は#26390を含めて解決しておらず、50角形でできるかも？、という投稿、#26382、もあります。 もっとも、個人的には50角形は疑問で、できたとしても凹をもつものだと思われ、作図は難しそうだなぁ、と思いますが．．． 実は、私も似たようなことを考えていて、T(n+1) = T(n) + 2 という漸化式を、できたら座標の概念なしで、要するに算数で、できないか、 と思っていたのですが、点の数勘定だけでは難しそうで、どこかで点の配置を意識しないとダメそうです。となると、座標導入に分があります。 なお、#26380又は#26390の解法のポイントは、点をある直線上の異なる点列に射影できること、なので、 点が空間にあっても同じだと思います。ただ、本当に射影できる直線を引けることを示すのは、少し面倒になりそうです。

ネコの住む家　　 12月23日（金） 15:39:18　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26396

n厨

議論最中失礼します。明日はクリスマスイブということでこんな問題いかだでしょう？ 発想問題 互いに交わらない3つの円があるとき、 その3円全てと外接する円を3円の共通外接円 内接する円を3円の共通内接円と呼ぶことにする。 いま一辺の長さが8の正三角形XYZについて、 Xを中心とする半径2の円をC1 Yを中心とする半径3の円をC2 Zを中心とする半径4の円をC3 とするとき次の問いに答えよ。 http://image.blog.livedoor.jp/czax/imgs/8/9/893a2f17.bmp (1)C1,C2,C3に共通内接円、共通外接円がそれぞれただ一つ存在することを示せ。 (2)C1,C2,C3の共通内接円の半径Rと共通外接円の半径rの差R-rを求めよ。

12月23日（金） 17:43:48　　 　　26397

ｎ厨

ぐだぐだやorz 議論の最中に失礼します。明日はクリスマスイブということでこんな問題いかがでしょう？ 図付けました。

12月23日（金） 17:45:07　　 　　26398

スモークマン

#26396 uchinyanさんへ。 そうか、T(n)=2*T(n-1)-T(n-2) から、T(n)=T(n-1)+2 はすぐ出ますね！ T(n)=T(n-1)+2=T(n-2)+2+2=・・・=T((n-1-(n-3))+2(n-3)+2=T(2)+2(n-3)+2 =1+2(n-3)+2=2n-3 か！

金光　　 12月23日（金） 17:50:21　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26399

スモークマン

#26397 求める点を(a,b) とすると、 √(a^2+b^2)-3=√((a-8)^2+b^2)-4=√((a-4)^2+(b-8√3)^2)-2 から求めることになり、２次方程式だから、内接円の中心と外接円の中心の2点が求まるのでしょうね！？ もっとスマートに解けるんでしょうけど。。。 どっちの回答にもなってない？

金光　　 12月23日（金） 18:54:08　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26401

ちゃーみー

「50 点が一直線上にある場合のみ」というのは、#26380・#26390 の発想を 少し延長すればできますよ。仮定は #26380 と同様として、 50 点を P(k) (x(k) , y(k)) とする。k = 1 , 2 , … , 46 に対して、 (A) x(k)+x(k+2) < x(k+1)+x(k+2) < x(k+1)+x(k+3) < x(k+2)+x(k+3) < x(k+2)+x(k+4) (B) x(k)+x(k+2) < x(k)+x(k+3) < x(k)+x(k+4) < x(k+1)+x(k+4) < x(k+2)+x(k+4) 「中点が 97 個」という条件のもとで両者を比較して、 P(k+1)P(k+2)の中点 = P(k)P(k+3)の中点 , P(k+1)P(k+3)の中点 = P(k)P(k+4)の中点 , P(k+2)P(k+3)の中点 = P(k+1)P(k+4)の中点 . よって、y 座標を比較して、 (A) y(k+1)+y(k+2) = y(k)+y(k+3) , (B) y(k+1)+y(k+3) = y(k)+y(k+4) , (C) y(k+2)+y(k+3) = y(k+1)+y(k+4) . (B)-(A) より、 y(k+3)-y(k+2) = y(k+4)-y(k+3) (C)-(B) より、 y(k+2)-y(k+1) = y(k+1)-y(k) これらをあわせると、k = 1 , 2 , … , 48 に対して、 y(k+2)-y(k+1) = y(k+1)-y(k) が得られる。 x 座標についても同様の式が得られる ( x 座標を比較すればよい)。 よって、50 点は一直線上にある。

東京都目黒区　　 12月23日（金） 21:25:07　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　26402

スモークマン

#26395 >n-2が2以上では、これは直線上にあることと同じ。（つまり、nは4以上。） これを、n-2 が3以上にすれば直線上にあることが言えますね！ だから、n は5以上の時になり、試行錯誤した時に合いますね。 n が4の時は、正方形でも成り立つますものね！ だいたい、2点を含めた中点は3点だからこれらは直線上にあるわけで。。。 #26402 ちゃーみーさんの考えでもその意味で言えてるわけか！ どの3点も直線上にあるといえるわけだから、つまりはすべての点は直線上にあることになりますね！

金光　　 12月24日（土） 8:47:53　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26403

スモークマン

#26401 訂正できない。。。 外接円の時は、-4,-6,-8 になるからまた別の方程式を立てないとだめですね。で、2次方程式の重根条件を使うんだろうな！？ じゃないと答えが2個出ちゃうもんね。 どなたか回答して下さいませ〜

金光　　 12月24日（土） 8:56:20　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26404

uchinyan

うへ、ちょっと見ない間ににぎやかになっているぅ〜　とても追いつけないです (^^; まずは、簡単な話から。 #26399 えと、基本的には座標を導入するものほど厳密ではないし、あまりスマートでもないので控えていましたが、一応、私なりの証明を書いておきます。 n 個の点の場合の中点の数を T(n) とします。 いつぞやの 仮面ランナーサブスリー さんのサラン○ップと似た手法ですが、n 個の点を輪ゴムで覆った状況を想像します。 もし、すべての点が一直線上に並んでいない場合には、その輪ゴムに引っかかっている点の中に、 その点の隣であって輪ゴムに引っかかっている二つの点と、元の点との中点二つが一致しないものがあります。 この二つの中点は、輪ゴムの外側には点はないので、他の中点とも一致しません。 そこで、この点を除いた場合との差を考えると、T(n) - T(n-1) >= 2 になります。 点が一直線上に並んでいる場合には、端の点を考えれば、明らかに、T(n) - T(n-1) >= 2 です。 そこで、T(n) - T(1) = (T(n) - T(n-1)) + (T(n-1) - T(n-2)) + ... + (T(3) - T(2)) >= 2 * (n-2) T(2) = 1 なので、T(n) >= 2(n-2) + T(2) = 2n-3 です。 ところが、点が等間隔に一直線上に並んでいる場合を考えれば、明らかに等号が成立するので、T(n) の最小は 2n-3 個になります。

ネコの住む家　　 12月24日（土） 17:47:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26405

uchinyan

次に、ちゃ−みーさんの解説 #26402 なるほど．．． 中点が#26380で示された 97 個しかないと仮定すれば、それ以外、例えば P(k)P(k+3)の中点 などは、 #26380で示された 97 個のどれかに一致しなければならず、それは、最初の不等式で決定するというわけか。 うーむ、これはうまいなぁ．．．抜けはないかな大丈夫かな、ちょっと心配だけど．．． でも、隣とその隣同士、要は、最も近いのとその次に近いのでやっているのだから、大丈夫そうですね。 そうか、これって、ｎ厨さんの構成法と、結局は同じになりそうですね。納得 ^^/ ということは、2709さん、残念ながら、50角形は、実際にはありえないことになりますね。

ネコの住む家　　 12月24日（土） 13:20:36　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26406

uchinyan

次に、ｎ厨さんの問題 #26397 今回の問題には関係なさそうなので、ちょっと、とも思いますが．．．スモークマンさんのリクエストもあるので一応。 まぁ、一言で言えば、頭は使わなくとも、まじめにやればできますね。 (1) 正三角形の座標を、p = 4/sqrt(3) としておいて、X(0,2p), Y(-4,-p), Z(4,-p) とし、 共通内接円、共通外接円の中心と半径をそれぞれ (a,b), r, (c,d), R とすれば、半径と中心の位置関係から、 a^2 + (b-2p)^2 = (r+2)^2 (a+4)^2 + (b+p)^2 = (r+3)^2 (a-4)^2 + (b+p)^2 = (r+4)^2 c^2 + (d-2p)^2 = (R-2)^2 (c+4)^2 + (d+p)^2 = (R-3)^2 (c-4)^2 + (d+p)^2 = (R-4)^2 後はこれを r, R > 0 で解くだけだけど、a, b は r の、c, d は R の一次式で表せるので、r, R だけ注意すれば十分。 しかも、式の形から明らかに、R の方程式は r の方程式で r -> -R とすれば OK。 ゴニョゴニョやると、20r^2 + 120r - 261 = 0 となりますが、これが r > 0 で一つの解をもつことはすぐに分かります。 また、20R^2 - 120R - 261 = 0 ですが、これも同じ。 で、証明終わり。 ただ、こんなことしなくても、直感的には、次の考察から明らかといってもいいかもなぁ。 共通内接円、共通外接円の中心をそれぞれ P, Q とすると、条件から、 PX - 2 = PY - 3 = PZ - 4 = r, QX + 2 = QY + 3 = QZ + 4 = R なので、 PY - PX = 1, PZ - PY = 1, PZ - PX = 2, QX - QY = 1, QY - QZ = 1, QZ - QX = 2 これは、P が、X と Y とを焦点にもつ双曲線、Y と Z とを焦点にもつ双曲線、Z と X とを焦点にもつ双曲線の三つの交点であることを意味します。 双曲線は枝が二本あるのと、三つの線が共通の交点をもつかどうかは微妙ですが、図を描いてみれば、 Pが存在しそうなこと、枝のうち一本しか意味がなさそうなことは分かります。 となると、一個しかないだろうなぁ、というわけです。Q も同じ。 もちろん証明ではありませんが、算数的には、これで十分かも。 (2) 20r^2 + 120r - 261 = 0、20R^2 - 120R - 261 = 0 なので、チョコチョコやって、R - r = 6 だと思います。

ネコの住む家　　 12月24日（土） 17:54:07　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26407

n厨

＞スモークマンさん、uchinyanさん ご解答ありがとうございます。 uchinyanさん (1)(2)はもちろん正解です。 (2)実はEZ=DXが図形的考察により簡単に示せます。 お詫び ＞管理人様 勝手なことして申し訳ありませんでした。

12月24日（土） 20:12:03　　 　　26408

n厨

付け加え E,Dは共通内接円、共通外接円のそれぞれの中心

12月24日（土） 20:14:32　　 　　26409

スナフキン

今週の問題、今解けました！ 結局、式にしてみると・・・、 黒い点がx個のとき、赤い点（中点）の最も少ない場合の個数をy個とする。 y＝２xー３ になりました！！わぁ〜い！！！おもしろい！おもしろい！ 　　　　　　　　　　　舞い上がり気味のスナフキンでした！

12月24日（土） 21:00:59　　 　　26410

weapon

100問

12月25日（日） 4:34:39　　 　　26411

uchinyan

#26408 ＞勝手なことして申し訳ありませんでした。 いえいえ、管理人のマサルさんは、関係のない問題の書き込み・議論も認めて下さっているので、大丈夫だと思います。 この間の私の「ちょっと」は、要するに、私が書き込み多すぎるな、という自分への戒めです。 あまり気になさらずに ^^

ネコの住む家　　 12月25日（日） 18:47:22　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26412

算数大好き人間

uchinyanさん、書きこみが多すぎるということは無いと思います。参考になり役立つのでこれからも書きこんで欲しいです

12月25日（日） 21:18:05　　 　　26413

吉川　マサル

#26412、#26408 　uchiyanさん、n厨さん、書き込み回数には特に制限もありませんし（笑）、私も楽しんで読んでいますので、ご遠慮などなさらずどんどんどうぞー。(^^;;

PowerBook G4　　 12月26日（月） 18:38:20　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26414

uchinyan

#26413＆#26414 ありがとうございます。 どうも、面白そうな問題を見ると考えてみたくなり、何か分かると報告したくなる、という悪い癖があるので、 ついつい、お騒がせしてしまいます (^^; えと、では、お言葉に甘えて少し。 #26407＆#26408 (1)の式ですが、座標の置き方を Y(0,2p), Z(-4,-p), X(4,-p) とすると、少し計算が簡単になるようです。 なお、r, R は変わりませんが、この座標の置き方で、P, Q を、共通内接円、共通外接円のそれぞれの中心として、計算が正しければ．．． r = - 3 + 21/20 * sqrt(20) P(21/80 * sqrt(20), 1/24 * sqrt(3)) R = 3 + 21/20 * sqrt(20) Q(-21/80 * sqrt(20), 1/24 * sqrt(3)) となるようです。これを見ると分かりますが、P と Q は、y軸、ZX の垂直二等分線、に対称になっています。 このことが実は、#26408の ＞(2)実はEZ=DXが図形的考察により簡単に示せます。 と関係しているようです。あ、私の記号では、PX = QZ でしょうか。これは、少なくとも、上式から明らかですね。 式を使わない証明は、次のような感じでしょうか。 XY, YZ, ZX の中点を、それぞれ、K, L, M とし、正三角形XYZの中心を O とします。 #26407でも述べたように、 PY - PX = 1, PZ - PX = 2, QY - QZ = 1, QX - QZ = 2 になっています。そうそう、#26407の QZ - QX = 2 は QX - QZ = 2 の間違いです。済みません。 この式から、 P は、X からの距離 PX を基にして、Y からの距離は PX に +1 したもの、Z からの距離は PX に +2 したもの になっています。こうした点は、△OXK 内にあることが分かります。 一方、Q は、同じような考察から、△OZL 内にあることが分かります。 しかも、正三角形XYZの対称性と(1)の一意性から、Q は P を直線 ZOK に関して折り返し、ちょうど120度回転したものになると思います。 これが分かれば、PX = QZ は明らかですね。

ネコの住む家　　 12月26日（月） 19:05:10　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26415

ｎ厨

>uchinyanさん#26412,#26415 そうでしたか、早とちりすみません。 原題は(1)がなかったのですが、入れました。 数式でやったほうが短いですね。 僕は相似拡大を考えていたのですが無駄に長くなってしまいました。 (2)は、はい相対的な長さを考えるということですね。 >管理人様#26414 ありがとうございます。 今考えている図形の問題を出そうかと思いましたが連投で出すのはさすがにと思ったので次来たときにでも送ります。

12月27日（火） 22:39:17　　 　　26416