前週（第４８３回）分の過去ログ

n厨

ねようかと思ったけどやってしまった。。

　　 12月29日（木） 0:05:46　　　　26417

吉川　マサル

うーむ、結構難しいと思って出題したのですが...。orz

PowerBook G4　　 12月29日（木） 0:06:19　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26418

CRYING DOLPHIN

●＝22.5，30，45のとき面積がどれも同じになったので
えいやっと送信してしまいました。ごめん

１年ピカチュウ組　　 12月29日（木） 0:09:19　　 HomePage:算数の限界ってどのくらい？　　26419

mhayashi

ＱをＣに，ＰをＤに一致させる・・・のに時間が掛かりました．

関西　　 12月29日（木） 0:10:39　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　26420

吉川　マサル

なるほど、特殊な場合を考えて.....かぁ。まぁ、数字が１つしかないし、答えの予想はつきやすいかな、とは思ってましたが。(^^;;

PowerBook G4　　 12月29日（木） 0:11:42　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26421

ミキティ

●＝0°でも 9/4 になるんですね。
まともに (?) 考えて時間がかかりました。○|￣|＿

　　 12月29日（木） 0:15:35　　 HomePage:みきこむ　　26422

ミキティ

↓●＝45°のつもりだったが、訂正できない～～～

　　 12月29日（木） 0:16:23　　 HomePage:みきこむ　　26423

ミキティ

おかしい。寝よ……。

　　 12月29日（木） 0:17:24　　 HomePage:みきこむ　　26424

CRYING DOLPHIN

あ、やっぱり訂正できない？

# あ、訂正できた...。今まで訂正できなかったのに。。

２年ピカチュウ組　　 12月29日（木） 0:20:22　　 HomePage:算数とか隧道とか　　26425

うはえ

SHINKOBAさん、1等賞、おめでとうございます。

　　 12月29日（木） 0:18:46　　　　26426

kasama

こんばんは、久々にリアルタイムで参加しました。結構時間がかかりましたが、まぁ何とか(^_^;

出先　　 12月29日（木） 0:20:50　　　　26427

吉川　マサル

あれ？サーバ交換の影響かも..。＞訂正できない

ちょっと調べてみますー。

PowerBook G4　　 12月29日（木） 0:22:46　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26428

工事中

45度の時の答えを入力しただけです。
それ以外の角度は求めていないので
今から考えて証明します。

　　 12月29日（木） 0:23:14　　　　26429

吉川　マサル

やはりサーバ交換が原因だったようです。スミマセンが、当記事以前の記事は訂正ができません..。（ここから先は大丈夫...と思います）

PowerBook G4　　 12月29日（木） 0:23:21　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26430

ももも

ＡＱ＝ＢＰ、ＡＱ⊥ＢＰなので
３×３÷２÷２＝９／４

　　 12月29日（木） 0:26:02　　　　26431

ark

前回は忙しくて間違ったまま答えなおしできず・・・代わりに今回はちゃんと解きました。

AQ⊥BEとなるような辺CD上の点ＥとPG//BFとなるような直線AB上の点Ｆをとる。
すると△ABQと△BCEは合同なのでBE=3
そして□BFPEは平行四辺形なのでFP=3 , そしてFPとAQの交点をHとすると
△ABHと△APHは合同なのでHP=3/2
よって求める面積は9/4 ■

　　 12月29日（木） 0:37:59　　　　26432

みかん

条件があまりに少ないので、点Ｑを点Ｃに重ねてやるという算数では
定番の戦法をとりました。

　　 12月29日（木） 3:33:09　　　　26433

ｎ厨

昨日のすぐ思い浮かんだ形としてこんな感じ
http://image.blog.livedoor.jp/czax/imgs/5/d/5d7d075c.bmp?blog_id=1143047
△ABQをQがDに一致するように回転させBの移る先をB'。
AQ//PHとなるようにHをAB'上にとる。

ここから確認できること
角度の関係によりPA=PB'なのでHはAB'の中点。
PHとQB'の交点をMとすれば上のことからQM=MB'
△QAB'は直角二等辺三角形などからS(△APQ)=S(△AMQ)=9/4

色々な解答がありそう。

　　 12月29日（木） 7:57:52　　　　26434

ハラギャーテイ

おはようございます。忙しい年末を優雅に算チャレを
解いています。昨日が御用納めでした。
　

北九州　　 12月29日（木） 9:53:38　　 HomePage:信号処理に挑戦　　26435

なか

倍角の公式

sin2α = 2sinα cosα に帰着しました。
http://www3.sansu.org/tables/san1229_94.gif

北国　　 12月29日（木） 11:12:58　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　26436

uchinyan

はい、こんにちは。皆さん、どのような年末をお過ごしでしょうか。私は、今日の午後から会社がお休みになりました ^^/
そうそう、来週はお休みなんですね。半ばホッとして、半ば残念 (^^;
さて、今回の問題ですが．．．

今朝見たときは、最初、P は B を AQ で折り返したのかな、でも、それでは矛盾するし、とか変なことを考えてしまいました。
間違いに気付き、次に、3cm はスケールを与えていますが、後の角度の条件だけでは図形が決定しない気がして、
∠BAQ = ∠QAP = 45度、要するに、Q が C に P が D に一致、とインチキをして、
△AQP = 1/2 * 正方形ABCD = 1/2 * (3 * 3 / 2) = 9/4 cm^2 で、認証したら通ってしまったので、
解答を送るというズルをしてしまいました (^^;
さて、午後になって、一段落したので再考。うーむ、久しぶりの平面幾何でなかなか気付きませんでしたが．．．

P より AQ に垂線を下ろし、その足を H とします。△AQP = 1/2 * AQ * PH = 3/2 * PH なので、PH が分かればOKです。
そこで、△APQ を AQ に関して折り返してみます。∠BAQ = ∠PAQ、及び AP > AD = AB なので、P は AB の B の方の延長線上に移動します。
この移動した P を E とします。明らかに、その構成法から、PH = 1/2 * PE です。
これからが苦しんだのですが、結局、B から PE に平行に線を引き、CD との交点を F とします。また、BF と AQ の交点を G としておきます。
すると、BF//EP、BE//FP より、□BEPF は平行四辺形です。したがって、PE = BF になります。
ここで、△ABQ、△BCF において。AB = BC、∠ABQ = 90度 = ∠BCF、∠QAB = 90 - ∠ABG = ∠FBC なので、
△ABQ ≡ △BCF、AQ = BF = 3cm です。
そこで、PH = 1/2 * PE = 1/2 * BF = 1/2 * AQ = 3/2 cm となり、△AQP = 9/4 cm^2 になります。

ちなみに、座標でもチェックしてみました。
A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a), P(x,a), Q(a,y) と置くと、△AQP = 1/2 * (a^2 - xy) となり、結構きれいな式です。
後は、∠BAQ = ∠PAQ をベクトルの内積で計算すると、うまい具合に、a^2 - xy = 9/2 となります。これから、△AQP = 9/4 cm^2 です。

三角関数もやってみましたが、なかさんと同じようですので、省略します。

別解は、いろいろありそうですね。

ネコの住む家　　 12月29日（木） 14:25:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26437

uchinyan

掲示板、読みました。
ｎ厨さんの#26434、いつものことですが、これはうまいなぁ．．．答えが 9/4 = 3 * 3 / 4 なんで、
一辺 3cm の正方形の四分の一、という解法があるだろうな、と思っていましたが、この解法はまさにそうですね。
あ、ただし、
＞△ABQをQがDに一致するように回転させBの移る先をB'。
ここは、「△ABQをBがDに一致するように回転させQの移る先をB'。」ですね、多分。
arkさんの#26432。これは、攻め方が少し違いますが、実質、私の解法と同じだと思います。ただ、
＞PG//BFとなるような．．．
は、「PE//BFとなるような」でしょうか。ここらがちょっと分かりにくい．．．多分、私と同じだと思うのだけれど。
もももさんの#26431は、特殊な場合を考えているのかな？
＞ＡＱ＝ＢＰ、ＡＱ⊥ＢＰなので
は、一般にはいえません。これがいえるのは、∠BAQ = ∠QAP = 45度の場合だと思います。
特殊な角度を考えるのが、実は、今回は一番簡単なのかな？ ^^/

ネコの住む家　　 12月29日（木） 15:31:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26438

uchinyan

芸がないですが、一応、arkさん＆私の解法と、ｎ厨さんの解法を足して２で割った別解です。
実は、最初はこの方向を考えていましたので、ご参考。
△APQ を AQ に関して折り返して △AEP を作り、PH = 1/2 * PE を導くまでは、私の#26437と同じです。
また、△ABQ を B が D に一致するように回転させ Q の移る先を B' とするまでは、ｎ厨さんの#26434と同じです。
ここで、△PAB' において。∠PAB' = ∠PAD + ∠DAB' = (90 - 2 * ∠QAB) + ∠QAB = 90 - ∠QAB = ∠AQB = ∠PB'A なので、
PA = PB'、∠APB' = 180 - 2 * ∠PAB' = 2 * ∠QAB になります。
そこで、△AEP、△PAB' において。AE = AP = PA = PB'、∠EAP = 2 * ∠QAB = ∠APB' なので、
△AEP ≡ △PAB'、PE = EP = AB' = AQ = 3cm です。
よって、PH = 1/2 * PE = 3/2 cm となり、△AQP = 9/4 cm^2 になります。

ネコの住む家　　 12月29日（木） 15:53:04　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26439

あーく

>uchinyanさん
あ、打ち間違えです。最初はＧでおいていたもので。。。

正しくはAQ⊥BEとなるような辺CD上の点ＥとPF//BEとなるような直線AB上の点Ｆをとる。～
です。ねぼけてた・・・

　　 12月29日（木） 20:59:16　　　　26440

スモークマン

#26434
n厨さんの解法はすごいけど思いつかない・・・
#26436
なかさんの方法がスマートでいいかなあ！

わたしは、３cm だけの条件だったらいろんな正方形でいかような図形にでもなるなあって、、、で、苦肉の策で、P を C に一致させて考えました。。。（ズルですね。）

図形は苦手だ～～～(でもこれだけで求まるんだから不思議ですよね～）

今年もいっぱい楽しませていただきましてありがとうございました～
マサル様はじめ、皆様どうぞよいお年をお迎え下さいませ～

金光＠岡山　　 12月30日（金） 0:38:37　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26441

uchinyan

#26440
あ、やはり間違いでしたか。訂正を見ると、結局、私の解法は、E と F とが反対なだけで、全く同じになってしまいました ^^;
この解法、#26432＆#26437、がうまくいくのは、私の記法でいうと、PE を E が B に重なるように平行移動することにあるわけですが、
さらに E を A まで平行移動すれば、ｎ厨さんの解法#26434ともつながるわけで、実は、大きな差はないのかもしれません。

マサルさん、皆さん、とにもかくにも、今年は、いろいろありがとうございました m(__)m
来年も宜しくお願い致します。よいお年を～ ^^/

ネコの住む家　　 12月31日（土） 11:13:58　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26442

スモークマン

年越しでみなさんお忙しい？
お時間あれば、友人からの問題をお歳暮（？）としてまたまた勝手に性懲りもなくアップいたしましたのでご賞味頂ければ幸いです。。。
（マサル様、OrZ）
問題1
nを正の整数とする。このときnの倍数であり、桁数がn+1
を超えず、かつ33....300ノ.0の形で表される整数がある
ことを示せ。

問題2
白と黒の球が100個ずつ一列に並んでいますが、左端と右端
は黒の球です。左端から連続したいくつか（全部ではありません）
の球を選んで、白と黒の数が等しいようにできることを示せ。

わたしは年越しで仕事で～す。
いっしょに遊んで下さる方おられたらうれしいな～。。。

金光　　 12月31日（土） 14:29:11　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26443

weapon

略解ですが・・・

問題1
a_k=3...3 (3がk桁)とする。
a_1,a_2,a_3,...,a_(n+1)の中にa_x≡a_y (mod n),x<yとなるx,yが存在する。(鳩ノ巣原理)
そのようなx,yに対して、a_y-a_x=3...30...0≡0

問題2
x軸を白の数、y軸を黒の数とし、(0,1)から(100,99)まで格子点を通り最短距離で進む(カタラン数などでよく目にする図)。
このとき、y=xを横切らずに到達することは不可能。

　　 12月31日（土） 16:53:01　　　　26444

weapon

　　 12月31日（土） 17:00:12　　　　26445

スモークマン

#26444
weaponさんへ。
いとも簡単に、、、正解です！
どちらもスマートで分かりやすい！！

ちなみに、わたしは・・・
問題1は、
「オイラーの定理を証明しなくていいなら、
一般に
10^a≡1 (mod a) なので、ただし、a は10 とは既約。
10^n-1=n*3M
10^n は、n+1 桁で、99・・・9 と、9 が　n個並んでいる。
これはつまり 3*(33・・・3) なので、33・・・3 が n で割れ
るということ。これに、0 を一つ付けたって（n+1桁）割れますよね！
10 と既約でない、2,5,10 のときは、明らか。」
でもこの方法は3と9と1、2，5，10以外の時には一般にはいえないか。。。

問題2は、
「黒が99個連続して、白が次に99個連続して並んでいる時は、198個選べば可能。その間、黒のいずれのk個かが白に変わっていても、その時は、99個の白の中のいずれかのｋ個が黒になってるだけだから、198個選べば常に言える。
199個目の白が黒に変わってる時は、黒が98個連続して並び、続けて白が98個連続して並んでいる時を考え、同様考えて196個選べば可能。一般に、右端にｋ個連続して黒があれば、200-2k個選べば可能といえる？
99個の場合、最初の2個は、黒、白と並んでるはずだから言えますよね！

こんなつたない方法で証明してました。。。（月とスッポン、雲泥の差やな～）

全く、明日のお雑煮どころか年越しそば代わり（朝飯前ってこと）にしかなりませんでしたね～

金光　　 12月31日（土） 19:06:57　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26446

weapon

スモークマンさん
mathnori日本語ページ復活しましたね
近々更新されるみたいですよ

　　 12月31日（土） 21:12:30　　　　26447

uchinyan

スモークマンさん、weaponさんへ：
スモークマンさん、お仕事ご苦労さまです。
もう既に議論が進んでしまいましたが、一応、スモークマンさんの問題を考えてみましたので、
どちらもあまりスマートではありませんが、ご参考までに。

問題1
nを正の整数とする。このときnの倍数であり、桁数がn+1
を超えず、かつ33....300....0の形で表される整数がある
ことを示せ。

数字 d が m 個並んでいるのを d...(m)...d と書くことにします。
今、3 が m 個、0 が k 個並んでいる場合、問題の整数 c は 3...(m)...30...(k)...0 で、m + k <= n+1 です。
ただし、m >= 1, k >= 1 と思われます。このとき、
c = 3...(m)...30...(k)...0 = 10^k * 3...(m)...3 = 2^k * 5^k * 3...(m)...3
に注意します。
さて、一般に正の整数 n は、n = 2^a * 5^b * N、ただし N は 2 も 5 も素因数にもたない、と書けるので、
n | c となるには、a <= k, b <= k, N | 3...(m)...3、が必要十分です。
・a = b = 0 の場合
もし 3...(m)...3 が N 以下の異なる m1, m2, N >= m1 > m2 に対して N で割った余りが等しいとすると、
3...(m1)...3 - 3...(m2)...3 = 3...(m1 - m2)...30...(m2)...0
は N の倍数のハズで、N は 2 も 5 も素因数に含まないので、3...(m1 - m2)...3 は N で割り切れることになります。
もし 3...(m)...3 が N 以下の異なる m に対して N で割った余りがすべて異なるとすると、その中には 0 になるものがあるはずです。
いずれにしても、N 以下の適当な m に対して、N | 3...(m)...3 が成立します。
この m に対して、a = b = 0 なので、n = N となり、n >= m なので、k = 1 として題意を満たします。
・a not= 0 又は b not= 0 の場合
a <= k, b <= k の条件より、k を a, b の大きい方に取ります。
n = 2^a * 5^b * N より、
n+1 - k - N = 2^a * 5^b * N + 1 - k - N = (2^a * 5^b - 1) * N + 1 - k >= 2^a * 5^b - 1 + 1 - k = 2^a * 5^b - k
明らかに 2^a > a, 5^b > b、及び k = a or b なので、
> a * b - k = a * (b - 1) or (a - 1) * b >= 0
つまり、n+1 - k >= N です。
N に関する条件 N | 3...(m)...3 は、a = b = 0 の場合と同じなので、n+1 - k >= N >= m となる m をとることができます。
したがって、題意を満たします。
以上で証明は終わりです。

問題2
白と黒の球が100個ずつ一列に並んでいますが、左端と右端
は黒の球です。左端から連続したいくつか（全部ではありません）
の球を選んで、白と黒の数が等しいようにできることを示せ。

左端から順番に球を取っていくことを考えます。
そして、どこまで取っていっても白黒が同数にならない、と仮定します。すると．．．
左端は黒なので、二番目は黒でなければなりません。つまり、二つの球は、黒黒です。
三番目は白でも黒でもOKですが、取った三つの球の色は黒の方が多くなります。
四番目は、三番目が黒ならば白でも黒でもOKですが、三番目が白ならば黒でなければなりません。
この場合の四つの球の色も黒の方が多くなっています。
以降も同じで、左端から n 個取ったときの球の色は黒の方が多くなっていなければなりません。
何故なら、もし同数ならば最初の仮定に違反します。
もし白の方が多かったら最初は黒の方が多かったので、どこかで同数にならなければなりませんが、これも仮定に違反します。
となると、左端から199個球を取ったとき、199個の球は黒の方が多いことになりますが、200個目、右端、も黒なので、
200個の球は黒の方が多いことになります。これは最初の「白と黒の球が100個ずつ一列に並んでいます」という条件に矛盾します。
そこで、どこかで白と黒の数が等しいようにできることになります。

ネコの住む家　　 12月31日（土） 21:36:38　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26448

スモークマン

#26447
weaponさんへ。
mathNori日本語サイトの復活は知りませんでした～
祝復活！ですが、もはやわたしには解けそうにない問題しか残ってないなあ。。。

#26448
uchinyanさんへ。
いつも回答下さりありがとうございます。
いろんな方法が考えられるので算数って面白いですよねえ！
問題1は、weaponさんの言われる余りの数の鳩ノ巣原理ですよね？
問題2は、背理法でのアプローチ、よく理解できます。どちらもある意味平均値の定理みたいな感じですよね？

来年もまた面白そうな問題があればお披露目しますのでご教示下さいませ～！！
除夜の鐘～明日のお昼まで平和な当直が続きますように！！
12時にみんなで年越しラーメンを食する予定にしてます・・・

金光　　 12月31日（土） 22:43:20　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26449

ぱぱぱ

あけましておめでとうございます。

　　 1月1日（日） 0:36:24　　　　26450

スモークマン

新年明けましておめでとうございま～す！
とりあえず朝まで平和でありますように！
もう腹いっぱいです。。。

金光　　 1月1日（日） 0:54:08　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26451

吉川　マサル

　新年明けましておめでとうございます。今年も１年間、よろしくお願いします。m(__)m

　去年は私も独立してしまったり（http://www.e-arena.net/）したこともあっていろいろバタバタしてしまいました。今年も本業が忙しいのは目に見えていますが、算チャレも「あまり気張らず、だらだらと」続けていくつもりですので、どうかユルい目で見守ってくだされば幸いです。(^^;;

　昨年末にはぶぶおパパさんの「難問に挑戦」（http://nan.sansu.org/）が一時休止（あくまでも一時..ですよね？）になるなんてこともありましたが、今年はCRYING DOLPHINさんの「ピカピカ☆算数」（http://cdcdcd.sansu.org/）が２月に復活予定だったりもしますね。ま、出題側も参加者の皆さんも、気持ちよく楽しくやれれば良いかなとか思っています。

　そんなわけで、ことしもいろいろとご迷惑をおかけするとは思いますが、何とぞよろしくお願いいたします。m(__)m

PowerBook G4　　 1月1日（日） 9:02:21　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26452

uchinyan

マサルさま、みなさま
明けましておめでとうございます。今年も宜しくお願い致します。
私も、「あまり気張らず、だらだらと」と解いていくつもりです (^^;
というわけで、今さっき、浮浪さんのサイトの問題を解いてきました ^^/

ネコの住む家　　 1月1日（日） 11:30:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26453

呑ちゃん

おめでとうございます
毎年お馬鹿になっていく私。
誰か止めてください。よろしくお願いいたしま酒。

河童ランド　　 1月1日（日） 20:15:35　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:ＨＯＰＥＳよいとこ一度はおいで　　26454

あまちゅあごるふぁ～まさる

あけましておめでとうございます。
今年もボケ防止に頭の体操として参加させてもらいます。
みなさま、お手柔らかによろしく。

神戸　　 1月1日（日） 23:36:14　　 MAIL:top-amateur@u01.gate01.com 　　26455

ゴンとも

明けましておめでとうございます。いつも通りに座標置き+三角関数で
先ず、題意の図形をA(0,0),B(a,0),C(a,a),D(0,a),∠BAQ=∠QAP=bとおくと
直線AQ:y=tan(a)*x・・・・・・①
直線AP:y=tan(2*a)*x=2*tan(a)*x/(1-(tan(a))^2)・・・・・・②
ここで①と直線BCの交点であるQ(a,tan(a)*a)・・・・・・③
また②と直線CDの交点であるP(a*(1-(tan(a))^2)/(2*tan(a)),a)・・・・・・④
③よりAQ=sqrt(a^2+a^2*(tan(a))^2)=a*sqrt(1+(tan(a))^2)=a*sqrt(1/(cos(a))^2)
=a/cos(a)
これが題意で3だからa/cos(a)=3　cos(a)=a/3・・・・・・☆
また④からAPの長さはsqrt((a*(1-(tan(a))^2)/(2*tan(a)))^2+a^2)
=sqrt(a^2*((tan(a))^2+1)^2/(4*tan(a)^2))
=a*((tan(a))^2+1)/(2*tan(a))=a*(1/(2*(cos(a))^2*sin(a)/cos(a)))
=a/(2*sin(a)*cos(a))=a/sin(2*a)・・・・・・⑤
これと題意でのAQ=3とより△APQの面積は公式から
3*(a/sin(2*a))*sin(a)/2=3*(a/(2*cos(a)*sin(a)))*sin(a)/2
=3*(a/(2*cos(a)))/2=3*a/(4*cos(a))
これと☆とより△APQ=3*a/(4*a/3)=9/4・・・・・・(答え)
新年そうそう一発正解でよかった。今年もよろしくお願いします。

豊川市　　 1月2日（月） 15:25:15　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　26456

香取巻尾

算数ですから、中学校以上の内容は使用せず、あくまで（底辺×高さ）/2から考えました。その方法とは、BとPを結ぶ補助線1本。AQとBQの交点をMとする。△BMQと△APQは相似　よってかつMはBPの中点。BQ＝ｘ、AQ＝ｚとすると
ｘ：1.5=3:Z xz=4.5 ところが△ABQと△APQは合同からBQ＝PQ
よってxz ×　1/2　＝2.25 になります。

　　 1月4日（水） 19:02:43　　 MAIL:sokurates2001@yahoo.co.jp 　　26457

小学名探偵

あけましておめでとうございます。
AQについて、Pの対称点（AB上）をP'とします。
PP'とAQの交点をMとして、PM=P'M
PP'はAQと直交します。
よってPP'=AQ＝３
したがって、△APQ=AQ×PM÷２＝３×３÷２÷２＝９／４

　　 1月6日（金） 7:48:44　　　　26458

スモークマン

#26458
小学名探偵さまへ。
すぐにピンとこないところがあるのですが。。。
「よってPP'=AQ」
ここをもっと詳しく教えて下さいませ～（OrZ）
式から逆算したらそうなるはずとは分かるんですけど。。。
図形は苦手なもので。。。
よろしくお願いいたします。

金光　　 1月6日（金） 9:00:44　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26459

uchinyan

ちょっと見ないうちに気になる解法が二つ＋αほど書き込まれていました。
#26458
スモークマンさんのおっしゃるとおり、「よってPP'=AQ」は、結論としては正しいのですが、論理に飛躍があるように思います。
ちなみに、#26432、#26437、#26439、#26442など、ご参考まで。
#26457
うーむ、何か変な気がします。
＞AQとBQの交点をMとする。
これは、「AQとBPの交点をMとする。」ですね、多分。そうしたとしても．．．
＞△BMQと△APQは相似　よってかつMはBPの中点。
ここらは本当なんだろうか．．．？
もし、M が BP の中点だとしたら、△ABP で ∠BAQ = ∠PAQ なので、よく知られた定理より、AB：AP = BM：PM = 1：1 で、AB = AP です。
しかし、△APD において、∠ADP = 90度なので、∠BAQ = ∠PAQ = 45度でない限り、AP > AD = AB で、矛盾です。
したがって、M が BP の中点、というのは、∠BAQ = ∠PAQ = 45度という、特殊な場合に限ると思います。
それを前提にした解法なのかな？　それならば、いいのだけれど．．．
(ちょっと追加)
#26456
tan(a) などは、tan(b) などですね、きっと。

ネコの住む家　　 1月6日（金） 14:20:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26460

ゴンとも

#26460 私の解法のミスのご指摘ありがとうございます。
直そうと思うも手間だからと・・・と思ってました。
uchinyan さん　のカキコは算チャレの解法をまとめる最近更新されてない
サイトがわりで大変参考になってます。
これからもよろしくお願いします。

豊川市　　 1月7日（土） 0:04:42　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　26461

小学名探偵

#26459 #26460 ご指摘ありがとうございます。
補足します。
「よってPP'=AQ」
AB=DAであり、
ベクトル的にはAQ=AB+BQであることから、
ベクトルPP'はベクトルAQを９０°回転させたものなのでPP'=AQです。
（ベクトルAQ=(a1,a2)、ベクトルPP'=(b1,-b1*a1/a2）とおくと、AB=DAから
b1=a2、よってPP'=(a2,-a1) 、したがって両ベクトルの長さは等しい）

あるいは、AB上に、Pと同じ高さの点をRとすると、
△PRP'≡△ABQなのでPP'=AQです。

あるいは、
問題の正方形のAをP'に平行移動し、
そこで反時計回りに９０°回転すると、
Qは原図のPに一致する
（なぜなら、９０°回転によりQはPと同じ直線（P'P）上に存在する点になり、
かつQはPと同じく、問題の正方形のCD上に存在する点になるから）
よってPP'=AQ

　　 1月8日（日） 11:28:13　　　　26462

香取巻尾

UCHIYANさんご指摘ありがとうございます。ここに正解をおくります。

前回メールした香取です。答えは偶然あっていましたが、
ご指摘のとおり誤りがあります。

題意の条件のもとで△PAQは直角△にはなりえない。
理由は　もし△PAQが直角△と仮定すると、△BAQと△PAQは合同で
　　　　AB=AP ・・①になる。
ところが△PDAに注目するとAP>DA(APは直角△PDAの斜辺)・・②
　　　　　　　またAB＝DA（正方形ABCDの1辺より）・・・③
　　②③よりAP＞DA＝AB
　　よって上述の仮定は否定される。

つぎに本題の直角△QPAの面積ですが（底辺×高さ）×1/2をベースとする。
　　
　　　点Qから直線APに垂線を下ろしその交点をP'とすると
　　　　
　　　△QPA＝(AP×QP')×1/2・・・④で面積は求まる。

　　　ここでAB＝x, BQ=y とすると　x^2+y^2=3^2=9・・・⑤

　　　△BAQと△P'AQは合同でかつ直角△

　　　　AB=AP'=x BQ=QP'=y　さてPP’に注目する。

　　そこでBP’を延長してCPとの交点をRとすると
　　　△BAQと△CBRは合同でかつ直角△。

また角BQA＝角CRB　　角BP'A =角BQA 角BP'A=角RP'P(対頂角)
　　　　よって△PRP'は二等辺△(PR=PP')

PP'=zとすると　　△PP'Q と△PQCはともに直角△であるから

　　　　　　P'Q^2+PP'^2=QC^2+CP^2　　これをx,y,zで整理すると

　　　　　　2zy=9-2xy すなわち　　z=(9-2xy)/2y=PP'

　　　　　よってAP＝AP＋PP'=y+(9-2xy)/2y QP'=y これらを④に代入すると
　　　　　
　　　　　　△QPAの面積は　9/4=2.25 cm^2 になります。

　　 1月8日（日） 14:19:42　　　　26463

香取巻尾

さきほどメールした香取です。訂正が2箇所あります。

１．そこでBP’を延長してCPとの交点をRとすると　は
　　
　　そこでBP’を延長してCDとの交点をRとすると　に訂正

２．よってAP＝AP＋PP'=y+(9-2xy)/2y QP'=y これらを④に代入すると

　　よってAP＝AP'＋PP'=y+(9-2xy)/2y QP'=y これらを④に代入するとに訂正

　　 1月8日（日） 18:08:32　　　　26464

香取巻尾

　　 1月8日（日） 18:08:56　　　　26465

香取巻尾

またまた訂正です
よってAP＝AP'＋PP'=y+(9-2xy)/2y QP'=y これらを④に代入すると

よってAP＝AP'＋PP'=x+(9-2xy)/2y QP'=y これらを④に代入するとに訂正

　　 1月8日（日） 18:20:51　　　　26466

uchinyan

小学名探偵さん、香取巻尾さん、詳しい解説をありがとうございます。
どちらも、最終的な記述は妥当だと思います。
なお、私の解法でないのは残念ですが、ｎ厨さんの#26434が簡明だと思います。ご参考まで。

ネコの住む家　　 1月8日（日） 22:00:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26467

スモークマン

暇なもんで。。。
またまた友人からの問題をば。（まだ回答もらってないですが、わたしなりには解けましたので。。。）

問題
次の(a)、(b)それぞれで先手、後手のどちらが勝つか
(a)19*91　(b)19*92　の広さのグラフ用紙があり、マス目を
1つあるいはそれ以上、正方形をつくるように黒く塗ってい
きます。マス目を2度塗りすることはできません。最後の
マス目を塗った人が勝ちです。

金光　　 1月9日（月） 2:25:29　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26468

uchinyan

#26468
えーと、ふとした思い付きの戦略なので、抜けがないかどうか心配ですが．．．
(a)先手必勝、(b)後手必勝
ではないかな。戦略としては．．．
(a)は、ちょうど用紙のど真ん中にマス目があるので、先手は、最初にそれを塗ります。
後は、後手がどこを塗ろうとも、先手は必ず、ど真ん中のマス目に対称な位置を塗れるので、
先手必勝になります。
(b)も原則同じですが、92を縦とすると、今度は、(a)のど真ん中のマス目とその上のマス目との
共有辺の中点が(b)のど真ん中で、マス目になりません。
そこで、先手がどこを塗ろうとも、後手は必ず、ど真ん中の点に対称な位置を塗れるので、
後手必勝になります。
なお、この戦略だと、正方形、というのは関係なさそうです。
それと
＞暇なもんで。。。
お暇なら、ほげさんのサイト、http://micci.sansu.org/、の「new」の問題を考えてみられたら？
どれもなかなか味のある問題です。

ネコの住む家　　 1月9日（月） 11:21:49　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26469

スモークマン

#26469
uchinyanさんへ。
いつもながら速効の解答に感心至極です。
(a) は、わたしもそう考えましたが、先手はどこを取っても後手は真ん中を取ることはできないような気がしてきてます。。。つまり、後手が先手の点対称を取れば、先手がいつでも真ん中を取れるし、そうでないものを取れば、先手は、後手の点対称を取り続ければ、最初の先手の点対称と、真ん中が残るからやはり後手が負ける。。。と思ってましたが、後手が先手の点対称にあるところに先手より大きな正方形をとる場合はややこしくなりそうですね。。。だからやっぱり、真ん中を取るってのが簡明でいいか！
(b) は、線対称だから、先手が取った部分の線対称を後手が取って行けば後手の勝ちと最初わたしも考えましたが、先手が中心線にまたがる部分を取ればややこしい。。。結局、考えたのは、先手が、中心線にまたがって、18^2の正方形を取れば、後手は、中心線にまたがってはどうしても取れないので、やはり先手の勝ち！と考えましたが。。。

ほげさんのサイトに行ってみようかしら・・・
ところで、uchinyannさんは、MathNori.com サイト、
http://jp.mathnori.com/はご存知？（以前もどなたかが紹介されてて知りました。）
ここは、算数というより数学問なんですが、算数で解けるのも（わたしには解けないのが多いけど・・・）結構ありますよ。

金光＠岡山　　 1月9日（月） 16:17:20　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26470

uchinyan

#26470
うーむ、そうか．．．
(a)はよさそうですが、(b)は再考が必要だなぁ。スモークマンさんの戦略でいいのかな．．．よさそうな感じですね。
となると、先手が勝ちなのか。なるほど。
MathNoriは私も、昨年の夏ごろから参加してます。
しかし、難しい問題が多いので、一度行き詰って、他の事で忙しくなるとなかなかできず、まだ、半分も解けていません (^^;
結構、当て勘でできてしまうのもあるのですが、どうしてそうなるのか分からずに悩んだり．．．
スモークマンさんは、えーと、190問も解いているではないですか！スゴイ！！
まぁ、のんびりやっていくつもりです ^^/

ネコの住む家　　 1月9日（月） 18:28:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26471

スモークマン

#26471
uchinyanさんにも確認していただき安心しました！
これでいけそうですよね！

MathNori は全然ですよ。。。算数っぽいのでも解ける問題はわたしにはもう残ってなさそうで。。。
高校の時には、ほんとうには三角関数やら積分やらは分かってなかったんだろうなって今ごろ思ってます。もうすっかり忘れてるし。。。
あれを全問解いてる方ってすごいなあって（やっぱ天才っていうの？）。。。尊敬の念＆羨望してますよ。

金光＠岡山　　 1月9日（月） 19:40:11　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26472

kasama

↓日本語ページ http://jp.mathnori.com/ が開けない(>_<) 私だけなのかなぁ(^_^?) http://www.mathnori.com/ なら開けます

出先　　 1月11日（水） 11:24:38　　　　26473

スモークマン

#26473
kasamaさんへ。
ほんとですね～このあいだまで開けてたんですが。。。
全問クリアーされてるんですね！すごいな～！！
英語もそんなに得意でないし、すべて中途半端だなあ。。。
でも解けた時の快感中毒なんでしょうね、ずっとチャレンジしてます～

金光　　 1月11日（水） 15:48:20　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26474

kasama

#26474 スモークマンさん、ありがとうござうます(*^_^*) そのように言ってもらえると嬉しいですo(^-^o) でも、まぁ問題を特殊化したり当感でやったヤツも結構ありまして(^_^;
それにしても、スモークマンさんやuchinyanさんの数学的な考察にはただただ頭が下がります。書き込みを読んで理解する(？)のが精一杯です。

出先　　 1月11日（水） 16:28:22　　　　26475

呑ちゃん

あかん。ねむい。お休みなさい。

河童ランド　　 1月11日（水） 23:39:33　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:ＨＯＰＥＳよいとこ一度はおいで　　26476