吉川　マサル

実はまだ会社だったりして...。orz 　そろそろ家路につきます。帰宅途中にミスとかが見つかりませんよーに。(^^;;

PowerBook G4　　 1月19日（木） 0:06:51　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　26502

トトロ＠Ｎ

４日連続で５時台に起床で今朝は４時半起きです。 でも、なぜか起きているので解いてみましたが計算ミスをしてました。 おやすみなさい。

兵庫県明石市　　 1月19日（木） 0:13:35　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　26503

数楽者

大人気ないですが 連続１位を逃してしまいました。（少し悔しいです） それはさておき アイウエアイウエと２周させるのも面白いかと。

横浜　　 1月19日（木） 0:19:00　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　26504

数楽者

大人気ないですが 連続１位を逃してしまいました。（少し悔しいです） それはさておき アイウエアイウエと２周させるのも面白いかと。

横浜　　 1月19日（木） 0:21:00　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　26505

数楽者

大人気ないですが 連続１位を逃してしまいました。（少し悔しいです） それはさておき アイウエアイウエと２周させるのも面白いかと。

横浜　　 1月19日（木） 0:23:12　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　26506

CRYING DOLPHIN

これの「反射１回だけ・光の通過部分の体積を求める」バージョンを 見たことがあります（ていうかそんな問題を作った）

２年ピカチュウ組　　 1月19日（木） 0:24:54　　 HomePage:算数とか隧道とか　　26507

あーく

先週のはすっかりこんと忘れていた・・・ そして今年初算数はうっかりの連続。図は合っていても答えにたどり着けないもどかしさ。 そういえば冬期講習に教えていた小学生のおちびちゃん達が全員合格してくれました。なんだかんだ言って嬉しいものですね。

1月19日（木） 0:27:25　　 　　26508

tomh

#26506 n周のときの面積は、9(4n+1)/[4n(2n+1)^2] cm^2 かな?

新潟市　　 1月19日（木） 0:39:28　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　26509

mhayashi

(1.5+1)*1/2=1.25 台形でいいんですよね？ 見た瞬間C-Dさんとこの（解けなかった）問題を思い出しました． 今やったら解けるかなぁ…

関西　　 1月19日（木） 1:04:15　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　26510

CRYING DOLPHIN

作り散らかした解説の残骸（ http://www7a.biglobe.ne.jp/~cdcdcd/pikkachu-125.GIF そういやあれの解説まだ作ってないや。。 本当は２度ほど作ったことがあるんだけどどちらも更新する前に ＰＣ再インストールするはめに陥って、苦労して作った画像を 失って再作成する気力を失っているのだ。

２年ピカチュウ組　　 1月19日（木） 1:26:00　　 HomePage:算数とか隧道とか　　26511

kasama

おはようございます。こんな感じでやりました(^_^; http://wind.ap.teacup.com/kasama/img/1137634503.jpg

出先　　 1月19日（木） 10:38:02　　 　　26512

uchinyan

(少し追加修正しました。) はい、こんにちは。今回は、結構考えました。 よくやるように、求める範囲の境界を探りました。面アでの光線の当たる位置を、点 P とします。 まず、P が AB 上にあるときは、AB, BC, CD で反射、折り返して、AD 上に行くようにするためには、 展開図の要領で考えると、2cm < AP < 3cm の範囲と分かります。これはすぐに分かりました。 問題は BF 方向で、最初、面ABCD や 面EFGH にも鏡があると勘違いして、アホなことをいろいろと考えてしまいました (^^; (とはいうものの、これは、あまり関係ないですね。) 間違いにやっと気付き、再考。説明上、ちょっと文字式を使いますが．．． 今、AB 上で AX = x cm として、面ア上で X より BF に平行に線を引き EF との交点を Y とします。 先ほどの条件は、2 < x < 3 になります。 点 P が XY 上にあるとき、光線が反射して面エに到達するように戻ってくるとき、BF 方向の変化を、三角形の相似を使って調べると、 点 P が AB から下方向に x/2 cm までにあればいい、となります。先ほどの条件より、2 < x < 3 だったので、1 < x/2 < 3/2 です。 これをもとに、X を AB 上で動かすと、結局、P は、 BS = 1 cm となる AB 上の点 S BT = 3/2 cm となる BF 上の点 T S より BF に平行に面ア上に線を引きその線上の SU = 1 cm となる点 U 点 B の四つの点からなる台形内にあればいいことが分かります。そこで、面積は、 1/2 * (1 + 3/2) * 1 = 5/4 cm^2 になります。

ネコの住む家　　 1月19日（木） 13:28:32　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26513

2709

ただいまか顧問をときくるっています＜1日２０題のぺースで＞

パソコンにきまってる　　 1月19日（木） 14:37:12　　 　　26514

2709

過去問でした＊＊＊＊＊＊＊

パソコンにきまってる　　 1月19日（木） 14:37:51　　 　　26515

しんちゃん

面ＡＤＨＥを、面ＣＤＨＧ、面ＢＣＧＦ、面ＡＢＦＥの順に対象移動して、さいころ６個を縦３個、横２個に並べたような形を書いて求めました。

1月19日（木） 15:13:48　　 　　26516

小林

しんちゃんさんの解き方が最もノーマルでいいような気がします。高さ（台形の上底と下底）を求めるところで、終点の面の、端と端を考えたとき、相似比が１：２から１：３に変化していくことに着目すればよいのですね。

1月19日（木） 17:25:04　　 　　26517

uchinyan

今日もいろいろ忙しく、今やっと、掲示板を読みました。 #26511, #26516, #26517 確かにそうですね ^^; 私の#26513の展開図及び相似云々は、結局同じことになるような気もしますが、イマイチですね。 #26512 うーむ、図はきれいなんだけど、ごめんなさい、見方がよく分からない (^^; #26509 私の#26513に基づいてやっても同じになりました。 計算の便宜上、立方体の一辺を 1cm とします。すると、同様に AX = x cm として、 AB, BC, CD, DA に対して、1 周目の光線の当たる点は、 AB 間：x, 1 - x, BC 間：1/x - 1, 2 - 1/x, CD 間：2x - 1, 2 - 2x, DA 間：2/x - 2, 3 - 2/x と各辺を分けていきます。そこで、1 周目で面エに収まるには、ギリギリ、 2/x - 2 = 1, x = 2/3 で、最初に面アに収まるには 0 < x < 1 だから、結局、2/3 < x < 1 です。 一方、BF 方向は、最初に面アに当たるときに y だけ下がるとすると、面エで、ギリギリ、 y + y * (1/x - 1) + y * (2 - 1/x) + y * (2/x - 2) = (y + y) + y * (2/x - 2) = y * 2/x = 1 になればよく、y = x/2 で、1/3 < y < 1/2 です。これから、1 周目の場合の#26513の台形の範囲が分かり、面積は、 S/9 = 1/2 * (1/3 + 1/2) * 1/3 = 1/9 * 5/4 実際には、立方体の一辺は 3cm なので、3 * 3 = 9 倍して 5/4 cm^2 でした。 同じことを n 周に拡張すると容易に計算できて、最後の DA 間は、2n/x - 2n, (2n+1) - 2n/x になります。 そこで、同様にギリギリを考えて、 2n/x - 2n = 1, x = 2n/(2n+1), 2n/(2n+1) < x < 1 (y + y) + ...n個... + (y + y) + y * (2n/x - 2n) = 1, y = x/2n, 1/(2n+1) < y < 1/2n になり、台形の面積は S/9 = 1/2 * (1/(2n+1) + 1/2n) * 1/(2n+1) = (4n+1)/(4n(2n+1)^2) S = 9(4n+1)/(4n(2n+1)^2) cm^2 になります。

ネコの住む家　　 1月20日（金） 11:45:11　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26518

kasama

#26518 uchinyanさん すみませんでした<(_ _)> 大変図がわかり難いですね；￣_￣) 灰色の部分が光で、緑色の壁に反射していく経路を適当につなげたものを表現したかったのです↓ http://wind.ap.teacup.com/kasama/img/1137682130.jpg

1月19日（木） 23:53:13　　 　　26519

uchinyan

#26519　kasama さんへ。解説の図をありがとうございます。 なるほど。そういうことですか。 しかし、こうした図がすぐに描けてしまうのはすごいですね！ 私は、展開したような、折り返した、図を書いたり、数式を頼りに端の点を押さえたりして、何とか分かりましたが。

ネコの住む家　　 1月20日（金） 8:55:36　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26520

tomh

#26518 > 私の#26513に基づいてやっても同じになりました。 そうですか、安心しました。 (^.^) uchinyanさん、いつも素晴らしい解説をありがとうございます。 (^o^)

新潟市　　 1月21日（土） 0:38:25　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　26521

スモークマン

やっと入れた〜 頭がこんがりました。。。 横方向はすぐ1/3と分かったのですが、縦方向がなかなか。。。 式としては、9*1/3*(1-1/3-1/4)=5/4 でいいのかな？ どうも、、、掲示板みる限りわたしの方法は間違いだな！たまさか合っただけみたいですね。。。わたしのは台形でないもんな〜

金光　　 1月21日（土） 9:02:37　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26522

uchinyan

tomhさん。 ＞uchinyanさん、いつも素晴らしい解説をありがとうございます。 (^o^) いえいえ、今回の解法に関しては、やはり、立方体を対称に移動して六つ並べる、#26511, #26516, #26517などの方が簡単ですね。 一般化も、その方向でやる方がいいのかもしれません。 (ちょっと追加) #26516の しんちゃん さん流にいうと、 さいころ 2n(2n+1)個を 縦(2n+1)個、横2n個に並べたような形 を考えればいいですね。なお、高さは、1個分です。 (追加ここまで) 今日は、私の住む東京も雪です。 大学受験生は、センター試験ですね。試験時間とか大丈夫なんだろうか。体調を崩さずに頑張って欲しいものです。

ネコの住む家　　 1月21日（土） 11:41:15　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26523

スモークマン

このての問題は面白いけど苦手だなあ。。。（図を見てもついていけないんだからだめですねえ。。。） でも、言われてみると台形になりそうなのが感覚的に分かってきました・・・ 全然関係ないですが、今以下の問題を考えてました。（グラフ間の反射の数列という意味ではちょっとは関連あるか。。。） 問題 数列｛an｝を次のように定める。 a1=1、　n≧1　のときa(n+1)=an+1/an このときa100の整数部分[a100]を求めよ。

金光　　 1月22日（日） 17:36:07　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26524

weapon

14

1月22日（日） 21:15:56　　 　　26525

スモークマン

#26525 weaponさんへ、あっさり解かれました〜？ どうやって解かれたのでしょうか？ よかったら教えて下さいますか？ ちなみに友人からの解答はまだですが、わたしは・・・ (a_(n+1))^2=(a_n+1/(a_n))^2=(a_n)^2+(1/a_n)^2+2 だから、 (a_2)^2-(a_1)^2=(1/a_1)^2+2 (a_3)^2-(a_2)^2=(1/a_2)^2+2 ・ ・ ・ (a_100)^2-(a_99)^2=(1/a_99)^2+2 (a_100)^2-(a_1)^2=(1/a_1)^2+・・・+(1/a_99)^2+2*99 (a_100)^2=(1/a_1)^2+・・・+(1/a_99)^2+199 =200+(1/a_2)^2+・・・+(1/a_99)^2 a_2=2 (1/a_2)^2=1/4 √200=10√2=14.・・・ 15^2=225 つまり、1/4*98=98/4<100/4=25 なので、 200<(a_100)^2<225 つまり、14<a_100<15 つまり、a_100 の整数部分は、14 って感じで結構地道に考えました。 後半はたまたま思いついたのですが。。。 （正攻法じゃないかもね。。。）

金光　　 1月22日（日） 21:39:05　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26526

weapon

同じです。 補完すると、 2≦nのとき、a_n=a_(n-1)+{1/(a_(n-1))}≧2だから(相加相乗)、(1/(a_n))^2≦1/4

1月23日（月） 0:05:12　　 　　26527

スモークマン

#26527 weaponさん、ありがとうございました。 一般にも、a_n の整数部分は、√2n の整数部分になりそうですよね。。。？

金光　　 1月23日（月） 0:11:56　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26528

uchinyan

#26524 他 ちょっと見ない間に、スモークマンさんの問題で盛り上がって、早くも、収束してしまいましたね。 #26526で解法は尽きていると思うので、その意味ではコメントはないのですが、 二乗することに気付かないでもうまくいかないのかなぁ、と思って、その方向を少し考えてみました。 ただし、解法としては、ナイーブだと思うのですが、その分、評価が不十分なので、残念ながら失敗作ですが、 結果はちょっと興味深いので、ご参考までに、報告しておきます。 まず明らかに、a(n) は単調増加です。そこで、今 a(n) の整数部分を k >= 2 とすると、 最初に整数部分が k になるものがあります。それを改めて a(n) とします。 このとき、a(n-1) < k で、 a(n) - (k + 1/k) = a(n-1) + 1/a(n-1) - k - 1/k = (a(n-1) - k) * (1 - 1/(a(n-1) * k)) < 0 つまり、a(n) の小数部分 b(n) は 1/k よりも小さくなります。 一方、a(n) に対して、 a(n+m) = a(n) + 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) ですが、a(n+m-1) までの整数部分が k とすると、 1/(k+1) < 1/a(n+m-1) < ... < 1/a(n+1) < 1/a(n) <= 1/k m/(k+1) < 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) < m/k そこで、a(n) の小数部分 b(n) も考えると m/(k+1) <= b(n) + m/(k+1) < b(n) + 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) < b(n) + m/k < 1/k + m/k さて、a(n+m) の整数部分が k+1 になるには．．． 最後の不等式より、m <= k-1 では a(n+m) の k 以外の部分は 1 より小なので、m >= k が必要です。 また、最初の不等式より、m >= k+1 で a(n+m) の k 以外の部分は 1 以上なので、 m = k+1 で a(n+m) の整数部分が k+1 になれば、m >= k+2 でも成立します。 したがって、一般に、a(n) の整数部分が k で a(n+m) の整数部分が最初に k+1 になる範囲の m は k <= m <= k+1 になります。 つまり、これは、整数部分が k になるような a(n) の個数は、k 又は k+1 ということです。 この情報から、整数部分が k になるような a(n) の個数がすべて k の場合の、 整数部分が k までの a の個数の総数は、k(k+1)/2 です。 今は a(100) を考えているので、k(k+1)/2 >= 100 、つまり k >= 14 で条件を満たします。 これは、a(100) の整数部分が 14 になることを意味します。 しかし、残念ながら、整数部分が k になるような a(n) の個数がすべて k+1 の場合も考えられ、 この場合は、k = 1 は 1 個であることを考慮すると (k+1)(k+2)/2 - 2 >= 100 で、k >= 13 となります。 実際には、整数部分が k になるような a(n) の個数は k だったり k+1 だったりするので、 条件を満たす k は、13 か 14 か、これだけでは決定できないようです。 ただ、確率的にどちらになるか半々、と仮定すると、総数は大体 k(k+1)/2 + k/2 = k(k+2)/2 となり、 k = 14 となって、a(100) の整数部分は 14 だろうなぁ、と予想できます。 一応プログラムも組んで a(1000000) までチェックしてみましたが、 「確率的にどちらになるか半々」というのは、おおよそ、正しそうな感じです。正確に 1/2 ではないようですが．．． あ、もちろん、a(100) の整数部分が 14 というのもチェックできます。 もう少し評価をうまくやれば、このナイーブな方法でも、正解にたどり着けるかもしれません (^^; (ちょっと追加) a(n)を#26526の方法でそのまま評価すると (1) sqrt(2n) < a(n) < sqrt(2n + (n-2)/4) = sqrt(9n-2)/2 になるようです。一方、「確率的にどちらになるか半々」の仮定を入れた上記の方法では、 (2) k >= sqrt(2n+1) - 1 を満たす最小の整数 k になります。n = 20000 とすると、 (1) 200 < a(20000) < 212.13... (2) k >= 199.0024..., k = 200 プログラムによる計算では、[a(20000)] = 200 となりました。 スモークマンさんの予想、[a(n)] = [sqrt(2n)] は正しそうですが、(1)の評価は、そのままでは少し甘いようです。 当然ですが、(1/a(2))^2 + (1/a(3))^2 + ... + (1/a(n-1))^2 の評価の見直しが必要になりますね。

ネコの住む家　　 1月23日（月） 22:56:40　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26529

スモークマン

#26529 uchinyanさんへ。 詳しい解析どうもです。 >a(n+m) = a(n) + 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) ここがすぐにピンとこなかったりするのですが・・・ （もう少し分かりやすく教えてくださいませ〜） n の一般の場合がどうなるかを考えてみたんですが・・・ (a_n)^2=2*(n-1)+2+(1/a_2)^2+・・・+(1/a_(n-1))^2 =2n+(1/a_2)^2+・・・+(1/a_(n-1))^2 <2n+(n-2)/4 2n≦m^2 (m+1)^2=m^2+2m+1 2n+(n-2)/4≦m^2+(m^2/2-2)/4 つまり、2m+1 と (m^2/2-2)/4 の大きさを考えてみると、 m^2-4-8(2m+1)=m^2-16m-12=(m-8)^2-76 なので、 m-8≧9 なら、つまり、m≧17 、つまり、m が17以上なら、a_n の整数部分は m+1 以上。 m-8≦8 なら、つまり、m≦16、つまり、m が16以下なら、a_n の整数部分はm ということ？ だから、2n≦16^2=256,つまり、n≦128 までの a_n の整数部分は、√2n の整数部分で m 2n≧17^2=145.5,つまり、n≧146 の場合は、a_n の整数部分は、√2n の整数部分 m に +1 した m+1 となりそう？ その間の数はどうなるんだろ？なんかおかしいですか・・・？

1月23日（月） 22:43:17　　 　　26530

uchinyan

#26530 ＞>a(n+m) = a(n) + 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) ＞ここがすぐにピンとこなかったりするのですが・・・ これは単に、与えられた漸化式を使って、 a(n) + 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) = a(n+1) + 1/a(n+1) + 1/a(n+2) + ... + 1/a(n+m-1) = a(n+2) + 1/a(n+2) + ... + 1/a(n+m-1) = ... = a(n+m-1) + 1/a(n+m-1) = a(n+m) という式変形です。 一般の場合ですが、#26529の追加部分をご覧ください。 n が大きくなると、スモークマンさんの方法は、今のままでは評価が甘くなります。 これは当然で、a(n) が少しずつ大きくなっていくので、実は無限大に発散する、(1/a(n))^2 <= 1/4 では不十分だと思います。 そこらから見直す必要がありそうです。 なお、私の方法だと、[a(n)] = k となる a(n) の個数は k 又は k+1 という強い条件が導かれているので、 n が大きくなっても評価の度合いはあまり変わらないようです。 k か k+1 か「確率的にどちらになるか半々」の仮定を証明するのは難しそうですが、 プログラムによるチェック、実験、では、正しそうな感じです。 この仮定のもとでは、[a(n)] は、 ＞(2) k >= sqrt(2n+1) - 1 を満たす最小の整数 k になります。これが [sqrt(2n)] と等しいかどうかはまだ証明できていませんが、 実際に少し計算した範囲では一致するようです。

ネコの住む家　　 1月23日（月） 23:44:16　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26531

スモークマン

#26531 uchinyanさんへ。 そうか！漸化式の方は言われてみれば確かに！ 一般の場合の評価も確かに甘すぎますね！ 追加：ちなみに、この評価では、n=101 になった途端、2n=202,15^2=225,225-202=23,(101-2)/4=24.75>23 なので、[a_101]=15 になっちゃいますね〜！ 　　　n<100 でも、この評価では決めれない数ってあるのかな・・・？

金光＠岡山　　 1月24日（火） 14:49:31　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26532

uchinyan

#26532 ＞n<100 でも、この評価では決めれない数ってあるのかな・・・？ 気になって少し調べてみましたが、要するに、 sqrt(2n) と sqrt(2n + (n-2)/4) = sqrt(9n-2)/2 とが、ある整数値を跨ぐようなものが危ない わけですから、かなりたくさんあるようです。 例えば、n = 12, ...(途中省略)..., 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97 うーむ、そう考えると、a(100) というのは、かなり恣意的に作られた問題のような気もしますね。 なお、私の確率ベースの不完全な方法も、さすが不完全なだけあって、境目で一つずれてしまうようです ^^; ただ、確率ベースではない元の答えが二つ出て決定できない方は、正解を含んだ二つを与えます。 もう少し改良できないかな．．．

ネコの住む家　　 1月24日（火） 17:30:23　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26533