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圭太 |
| PAじゃなく、PBですね。 |
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アルビレックス
3月30日（木） 0:06:34
HomePage:圭太の研究所 27021 |
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tl |
| 図からするとPAはPBでは? |
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3月30日（木） 0:08:09
27022 |
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ひだ弟 |
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CADの後に考えて見ました。
左右反転した図形を重ねてみると正三角形ができますね。 |
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3月30日（木） 0:09:48
27023 |
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吉川マサル@京ぽん２ |
| あ、ＰＢでした。いま帰宅途中なので、訂正ができません…。すみません。 |
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でんしゃ？
3月30日（木） 0:10:05
27024 |
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ほげ |
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久しぶりにカキコ
三角形PBCのPBとABが重なるように 三角形PBCをひっくり返して 三角形ABCの 上にくっつけると（Cの移動したさきをDとする） 角DBC=60度より 三角形BCDは正三角形 三角形ABCと三角形ADCは合同なので描くACB=30度 よって 180-(30+25/2）＝102.5度 としました |
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3月30日（木） 0:11:17
27025 |
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圭太 |
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CAD禁止です。（冗談です）って先読みされてますね。（笑）
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アルビレックス
3月30日（木） 0:11:24
HomePage:圭太の研究所 27026 |
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ほげ |
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#27025 訂正 描く→角
クッキーが消えていて直せませんでした 再登録しましたが 時 すでに遅し... |
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北の隠れ家
3月30日（木） 0:14:14
MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家 27027 |
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カイト |
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BCを対称の軸としてPに対称な点Qをとります．
△ABQは正三角形で∠BAQ=60° △ACQは二等辺三角形で，∠AQC=155-60=95° ∠CAQ=(180-95)/2=42.5° ∠BAC=60+42.5=102.5° ∠PBC=12.5°から35+12.5*2=60°を作るのかなとあたりをつけたらうまくいきました． |
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3月30日（木） 0:14:25
MAIL:kaitoexe@green.livedoor.com HomePage:中学受験算数 Kaito's Lab. 27028 |
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スモークマン |
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正三角形と二等辺三角形とからでますね！
155-60=95 (180-95)/2+60=102.5 |
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金光＠岡山
3月30日（木） 0:15:53
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27029 |
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スモークマン |
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#27020
weaponさんへ。 9〜14のコインが本物か偽物かはわかりますか？ |
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金光＠岡山
3月30日（木） 0:19:47
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27030 |
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CRYING DOLPHIN |
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四角形PBQCが菱形となるような点Qを取ると、正三角形や
二等辺三角形が見つかりました。 与えられた条件角が整数なのに答えが小数ってのが ちょっと新鮮かな？ さて、隧道写真整理にかかるか...。 |
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２年ピカチュウ組
3月30日（木） 0:19:55
HomePage:算数とか隧道とか 27031 |
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weapon |
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＞スモークマンさん
１〜７が偽者かつ８〜１４が本物であることを証明 ということですか？ |
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3月30日（木） 0:20:47
27032 |
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吉川 マサル |
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帰宅して、取り急ぎ問題文のミス（ＰＡ→ＰＢ）を訂正いたしました。m(__)m
今回の問題は、面積関係の問題（切って張って、みたいなやつ）を作ろうと試行錯誤していたら偶然できたものです。結構難しいと思ったんですが、算チャレ参加者の皆さんにはそうでもなかったようですね...。 |
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PowerBook G4
3月30日（木） 0:24:25
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 27033 |
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tl |
| 図からするとPAはPBでは? |
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3月30日（木） 0:24:46
27034 |
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ほげ |
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図も作ってみました
http://micci.sansu.org/kotae/santyare495.htm BPの折り返し というのもいい方法ですね なるほど...勉強になります。 |
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北の隠れ家
3月30日（木） 0:27:30
MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家 27035 |
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tl |
| すみません、リロードしたら重複して書き込んでしまいました。>27034 |
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3月30日（木） 0:28:28
27036 |
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ちゃーみー |
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四角形 APCD が平行四辺形になるように D をとると
四角形 ABCD が円に内接するので，それを利用しました。 |
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東京都目黒区
3月30日（木） 0:32:33
MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 27037 |
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カエ |
| 無知で済みませんが、CADは禁止です、のCADってなんですか？辞書には「下劣な人」とありました。 |
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3月30日（木） 0:35:32
MAIL:yhpnh760@ybb.ne.jp 27038 |
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吉川 マサル |
| うーん、いろんな解き方があるもんですねぇ...。ちなみに私の想定していた解法はまだ書き込まれていません...。(^^;; |
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PowerBook G4
3月30日（木） 0:36:13
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 27039 |
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吉川 マサル |
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#27038
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=CAD&kind=ej 製図用のソフトウエア、といったところでしょうか。図が正確に描けて、角度も簡単に分かってしまうもので...。(^^;; |
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PowerBook G4
3月30日（木） 0:38:15
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 27040 |
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カエ |
| 分かりました。 |
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3月30日（木） 0:47:25
27041 |
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白玉 |
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分かる角度を埋めてたら，三角形PACをPCとABが重なるように
張り付けると二等辺三角形になることに気付きました． |
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3月30日（木） 0:47:57
27042 |
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かっくん |
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正三角形BPQをQがBPに対してAと同じ側にあるようにとると、3点Q,A,Cが一直線上に並ぶことに気付き解答に至りました。
∠PQA＝17.5° △PQCはPQ＝PC、頂角145°の二等辺三角形なので、∠PQC＝17.5 よって、∠PQA＝∠PQC＝17.5°より3点Q,A,Cは同一直線上 ∴∠BAC＝∠ABQ＋∠BQA＝25°＋77.5°＝102.5° |
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お風呂
3月30日（木） 0:55:56
27043 |
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ゴンとも |
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今回はシンデレラという作図ソフトを使用しました。
唯一4000円で買ったんですが(本に入っている)固定した角度の直線を加える というのもわかってなくて本の79ページで説明どおりで今回初めて 角度指定でできました。 今まで角度は点を適当にとってはかってずらすというとんでもなく時間 がかかることをやってて今回の問題を解く過程で角度指定で直線が かけてありがたいことです。 |
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豊川市
3月30日（木） 1:09:17
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 27044 |
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ma-mu-ta |
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Pを通るBCに垂直な直線を軸として線対称な図形を作ります。Aに対応する点をDとおくと、△APDは正三角形となり、DB,ACは正三角形と二等辺三角形の頂角の二等分線となります。∴∠BAC=72.5+30=102.5゜
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3月30日（木） 2:59:37
27045 |
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uchinyan |
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はい、おはようございます。必ずしも簡単ではないと思いますが、ヒラメキました ^^/
ちょっと下を見ると同じ解法もありそうですが、一応。 △PBC を BC に関して折り返し、P の移動先を Q とします。すると、□PBQC はひし形です。 そこで、∠PBQ = 180 - ∠BPC = 180 - 155 = 25、∠ABQ = ∠ABP + ∠PBQ = 35 + 25 = 60、AB = PB = BQ になり、△ABQ は正三角形です。 よって、AQ = QB = QC になり、△QAC は二等辺三角形です。 そこで、∠QAC = 1/2 * (180 - ∠AQC) = 1/2 * (180 - (∠BQC - ∠BQA)) = 1/2 * (180 - (155 - 60)) = 85/2 したがって、∠BAC = ∠BAQ + ∠QAC = 60 + 85/2 = 205/2 = 102.5 度 一般に、∠BPC = ∠ABP + 120 で、図形が図のような位置関係にあれば、∠BAC = 1/2 * (360 - ∠BPC) ですね。 必ずしも、答えが分数でなくてもよかったのでは (^^; |
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ネコの住む家
3月30日（木） 9:06:48
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27046 |
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スモークマン |
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#27032
weaponさんへ。 わたしはそのように理解して解きました。。。 |
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金光
3月30日（木） 8:56:01
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27047 |
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吉川 マサル |
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#27046
>必ずしも、答えが分数でなくてもよかったのでは (^^; あ、その通りなんですが、いちおう当て勘対策ってことで。(^^;; |
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PowerBook G4
3月30日（木） 9:11:31
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 27048 |
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uchinyan |
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#27016
スモークマンさん、weaponさんへ。 さっき見ましたが、確かに題意があいまいなようです。 weaponさんの#27018も正解だと、私も思います。 ただ、スモークマンさん流の解釈でも、量り、天秤でいいのですよね？、の図で、 1回目 １ ＜−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＞ ８ 2回目 １＋９＋１０ ＜−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＞ ８＋２＋３ 3回目 １＋２＋３＋１１＋１２＋１３＋１４ ＜−−−＞ ８＋９＋１０＋４＋５＋６＋７ で、できそうな気が．．．違うかな？ |
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ネコの住む家
3月30日（木） 9:25:04
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27049 |
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ハラギャーテイ |
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おはようございます。
またも三角関数です。 |
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北九州
3月30日（木） 10:15:19
HomePage:信号処理に挑戦 27050 |
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スモークマン |
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#27049
uchinyanさんへ。 なるほど・・・言えそうですね！ ちなみにわたしは以下のように考えました。。。 1) T1T2F1F2=T3T4F3F4 2) T1T2T3T4>F1F2F3F4 ここで、T3T4>F1F42とわかり、かつ、T3=T4>F1=F42もわかる。 なぜなら、異なる数同士の入れ替えなら傾かないから。 しかも、T1T2>F3F4 で、かつ、T1=T2>F3=F4 とわかる。そうでないと傾いてしまう。 つまり、ここまでで、T1=T2=T3=T4>F1=F2=F3=F4 がわかる。 3) T1T2T3F5F6F7=F1F2F3T5T6T7 から、T1T2T3=T5T6T7,F1F2F3=F5F6F7 とわかる。 以上から、T1=T2=・・・=T7>F1=F2=・・・=F7 がわかり、 F1〜F7 が偽コインだとわかる。 どっかおかしい？ |
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金光
3月30日（木） 13:58:19
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27051 |
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uchinyan |
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掲示板読みました。今回も、PB が赤い分だけ、何やらあったようですね ^^
さて、いろいろな解法があるものです。勉強になります。 ただ、ポイントは、どうやって正三角形を作るかでしょうか。 しかし、今回は解析が難しい．．．ごめんなさい、まだよく分からないのが幾つかある．．． #27023, #27045 なるほど。小さな正三角形を作るわけですね。後は合同とかでやればいいですね。 #27025 これは、大きな正三角形を作るわけですね。ただし、 ＞よって 180-(30+25/2）＝102.5度 ここは、180-(30+35+25/2）＝102.5度、の間違いですね。 それと、 ＞三角形ABCと三角形ADCは合同なので 360 = ∠BAC + ∠CAD + ∠BAD = 2 * ∠BAC + ∠BPC = 2 * ∠BAC + 155 から、∠BAC = 1/2 * (360 - 155) = 102.5度 としてもいいですね。 なお、#27035の >BPの折り返し というのもいい方法ですね 「BCの折り返し」の間違いでしょうか？ #27028, #27029, #27031 これは、私の#27046と同じ。 #27037 ＞四角形 APCD が平行四辺形になるように D をとると ＞四角形 ABCD が円に内接するので，それを利用しました。 確かにそうですが、この後どうするのかな？ よく分からない．．． かえって難しくなってしまわないのかな．．．？ #27042 ＞分かる角度を埋めてたら，三角形PACをPCとABが重なるように ＞張り付けると二等辺三角形になることに気付きました． うーむ、分からない．．．確かに二等辺三角形は作れますが、その後はどうするのだろうか？ 「三角形PACをPCとABが重なるように」は、「三角形PBCをPBとABが重なるように」の間違いでしょうか？ だったら、#27025と同じですが．．． #27043 うーむ、最初から正三角形を作りますか。 それと、いきなり、何の説明もなく、 ＞∠PQA＝17.5° は、ちょっと厳しいかも。何か説明が欲しいなぁ。 私は、B を中心とし、点 P, A, Q を通る円を考えて、円周角が中心角の半分、ということから納得しましたが。 後は、確かにそうですね。 #27050 うーむ、かえって難しくなりそうな気がするのですが．．．？ ところで、#27039 ＞ちなみに私の想定していた解法はまだ書き込まれていません...。(^^;; 既に書き込まれたのでしょうか？ そうでなかったら、知りたいな ^^; |
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ネコの住む家
3月30日（木） 14:45:45
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27052 |
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uchinyan |
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#27052
自己レスです。 ＞#27050 ＞うーむ、かえって難しくなりそうな気がするのですが．．．？ 三角関数です。 どうもうまく解けませんでした。多分、もっとうまくできるのでしょう。 あくまでもご参考。 ∠BAC = x 度 とすると、∠CAP = x - 145/2、∠ACP = 180 - 35 - 25 - x = 120 - x なので、 △ABP に正弦定理を使って、AP/sin(35) = BP/sin(145/2) △ACP に正弦定理を使って、AP/sin(120 - x) = CP/sin(x - 145/2) BP = CP に注意して、いろんな公式を使いまくって、 sin(145/2)/sin(35) = sin(x - 145/2)/sin(120 - x) sin(145/2)/sin(145) = sin(x - 145/2)/sin(120 - x) sin(145/2)/(2 * sin(145/2) * cos(145/2)) = sin(x - 145/2)/sin(120 - x) sin(120 - x) = 2 * sin(x - 145/2) * cos(145/2) sin(120 - x) = sin(x) + sin(x - 145) sin(120 - x) - sin(x) = sin(x - 145) 2 * cos(60) * sin(60 - x) = sin(x - 145) 2 * 1/2 * sin(60 - x) = sin(x - 145) sin(60 - x) = sin(x - 145) 0 < x < 180 より、-120 < 60 - x < 60, -145 < x - 145 < 35 で、 60 - x = x - 145 2x = 205 ∠BAC = x = 205/2 = 102.5 度 |
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ネコの住む家
3月30日（木） 15:53:02
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27053 |
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大岡 敏幸 |
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今回は久しぶりに算数的に解けたと思います。ＡＰを軸として折り返した点をＤとします。∠ＢＰＡ＝∠ＤＰＡ＝７５° ＢＰ＝ＰＤ＝ＰＣ （∠ＤＰＡ＝３６０°−１５５°−７２．５×２＝６０°）∠ＤＰＣ＝６０°より△ＤＰＣは正三角形 またＡＤ＝ＤＣより△ＡＤＣは二等辺三角形
上記より ∠ＤＣＡ＝４２．５ よって∠ＡＣＰ＝１７．５ ∠ＢＡＣ＝１８０°−（３５°＋１２．５）−（１７．５＋１２．５）＝１０２．５° 長々と書きましたがこんな感じでやりました。小学生の人も折り返しなどを利用して出来たのでは。三角関数の誘惑に今回は何とか勝ちました（＾＾） |
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石川県
3月30日（木） 15:53:06
MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 27054 |
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白玉 |
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#27052
こんな感じです。 http://team2ch.ath.cx/src/sora2988.gif APの延長とBCの交点をQとすると∠AQC=∠ABC+∠BAP=120° 図から△QACも二等辺三角形なので∠QAC=30° ∠BAC=72.5＋30=102.5° |
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3月30日（木） 16:11:16
27055 |
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uchinyan |
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#27052
自己レスその２です。 ＞#27037 ＞＞四角形 APCD が平行四辺形になるように D をとると ＞＞四角形 ABCD が円に内接するので，それを利用しました。 ＞確かにそうですが、この後どうするのかな？ よく分からない．．． ＞かえって難しくなってしまわないのかな．．．？ 分かりました。考え方自体は簡単でした！ 計算をもう少しうまくやる方法もありそうですが．．． □ABCD が円に内接するのは、 ∠ADC = ∠APC = 360 - ∠APB - ∠BPC = 360 - (180 - 35)/2 - 155 = 265/2 ∠ABC = ∠ABP + ∠PBC = 35 + (180 - 155)/2 = 95/2 ∠ADC + ∠ABC = 265/2 + 95/2 = 180 より明らか。 そこで、∠BAC = ∠BDC = 180 - ∠DCB - ∠DBC です。 ここで、まず、∠DCB ですが、 ∠DCP = 180 - ∠APC = 180 - 265/2 = 95/2 ∠PCB = (180 - 155)/2 = 25/2 ∠DCB = ∠DCP + ∠PCB = 95/2 + 25/2 = 60 次に、∠DBC = ∠ABC - ∠ABD ですが、△ABD は AB = PC = AD なので二等辺三角形になります。そこで、 ∠BAP = (180 - ∠ABP)/2 = (180 - 35)/2 = 145/2 ∠PAD = ∠DCP = 95/2 ∠ABD = (180 - ∠BAD)/2 = (180 - ∠BAP - ∠PAD)/2 = (180 - 145/2 - 95/2)/2 = (180 - 120)/2 = 30 ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 95/2 - 30 = 35/2 結局、 ∠BAC = 180 - ∠DCB - ∠DBC = 180 - 60 - 35/2 = 205/2 = 102.5 度 |
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ネコの住む家
3月30日（木） 16:46:10
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27056 |
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uchinyan |
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#27055
あ、解説ありがとうございます。 なるほど．．．二等辺三角形が二つ、相似なものできるのですね。 正三角形は使わないものの、その頂角は 120度 というわけですか。 これもうまいなぁ。済みませんでした (^^; |
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ネコの住む家
3月30日（木） 16:57:36
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27057 |
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uchinyan |
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#27054
これは新しい解法ですね。なるほど、こんな折り返しもあるんだ。 ただちょっとコメントしておくと、 ＞∠ＢＰＡ＝∠ＤＰＡ＝７５° これは、「∠ＢＰＡ＝∠ＤＰＡ＝７２．５° 」ですね。 ＞（∠ＤＰＡ＝３６０°−１５５°−７２．５×２＝６０°）∠ＤＰＣ＝６０°より 括弧の中は、「∠ＤＰＣ＝．．．」でしょうか。 最後のところは、 ∠BAC = ∠BAD - ∠DAC = 2 * ∠BPA - ∠DCA = 2 * 72.5 - 42.5 = 102.5 度 としてもいいように思いました。 |
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ネコの住む家
3月30日（木） 17:18:07
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27058 |
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uchinyan |
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#27051
ごめんなさい。ちょっとよく分からない．．． T, F は使うのやめて、数字だけにすると ＞1) T1T2F1F2=T3T4F3F4 ＞2) T1T2T3T4>F1F2F3F4 は、 1) 8 9 1 2 = 10 11 3 4 2) 8 9 10 11 > 1 2 3 4 ですよね。 確かに、10 11 = 1 2、10 11 < 1 2 では 2) はありえないので、 ＞ここで、T3T4>F1F42とわかり、 10 11 > 1 2 はOKです。 次に、 ＞かつ、T3=T4>F1=F42もわかる。 ＞なぜなら、異なる数同士の入れ替えなら傾かないから。 ここなんですが、10 11 > 1 2 より、10, 11 の両方が偽物はありえず、少なくとも一つは本物です。 しかし、例えば、11 > 1 = 2 = 10 でも、10 11 > 1 2 はいえるので、 例えば、8 > 9 = 3 = 4 ならば、 1) 8 9 1 2 = 10 11 3 4 2) 8 9 10 11 > 1 2 3 4 は成立してしまって、10 = 11 > 1 = 2 はいえないように思うのですが．．． ちなみに、私の#27049は、今の記号で書きなおすと、 1) 1 < 8 これで、1 が偽物、8 が本物と分かります。 2) 1 9 10 > 8 2 3 1 が偽物、8 が本物と分かっているので、少なくとも二つ左側に本物がないとこれは成立しません。 したがって、9, 10 は本物と分かります。となると、左は本物が二つなので、2, 3 は偽物でないと、やはり 2) は成立しません。 そこで、1, 2, 3 は偽物、8, 9, 10 は本物、と分かります。 3) 1 2 3 11 12 13 14 > 8 9 10 4 5 6 7 少なくとも、左側には偽物が三つ、右側は本物が三つあるので、左側にはさらに本物が四つ以上ないと、これは成立しません。 そこで、11 12 13 14 は本物です。となると、左には本物は四つしかないので、4 5 6 7 は偽物でないとなりません。 以上で、1 2 3 4 5 6 7 が偽物、8 9 10 11 12 13 14 が本物と分かります。 |
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ネコの住む家
3月30日（木） 18:37:05
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27059 |
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アヒーのおじさん |
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おそらく既出でしょうがこんな感じです（＾＾；
http://www.sky.sannet.ne.jp/bomb/sansuu.html |
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9点円の中心
3月30日（木） 19:40:43
HomePage:正体不明 27060 |
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スモークマン |
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#27059
uchinyanさん、weaponさんへ。 いつもながら自然な発想、感服します！ やり方は他にもあるかもしれませんが、お二方の手順なら、1,1+2=3,3+4=7 と前の情報がうまく使えて、しかも一つ前の数より１個だけ増えてるから比べやすいし、その意味で美しいですね！ きっとこれが本手に思えますね！！ わたしのは自分でもよく分からなくなってきました。。。 また考え直してみます。 |
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金光
3月30日（木） 21:48:59
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27061 |
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uchinyan |
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#27060
これは、#27054と同じですね。この折り返しも見事だと思います。 |
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ネコの住む家
3月30日（木） 23:26:14
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27062 |
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uchinyan |
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#27061
いえいえ、私のは、weaponさんのを真似ただけですから (^^; お手柄は、weaponさんです。 それよりも、もう一点、気になることがあります。 「量り」というのは、本当に天秤でいいのですね。 もし「量り」が天秤ではなく、実際に重さを数値で量るものだったら、状況が一変しそうです。 weaponさん流の解釈ならば、三回で可能なのは難しくないと思います。 つまり、最初に 1 を量り、次に 8 を量り、1 を偽物と確定してから、 1 〜 7 を一度に量り、その重さが 1 の 7 倍になっていることを示せばいいと思います。 しかし、スモークマンさん流の解釈では、四回なら同様にできますが、三回でできるかどうか．．． |
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ネコの住む家
3月30日（木） 23:51:56
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27063 |
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スモークマン |
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#27063
uchinyanさんへ。おはようございます。 「量り」は、天秤です。 昨日友人からは、わたしの方法は正解の返事が返ってきました。。。 皆さんの解法を送り、確認してみます。 昨日の新たな、友人問は、、、 凸6角形の各辺は1より長いとする。このとき、この 6角形は長さが2より長い対角線をかならずもつか否か？ というものです。これは寝床で考えてましたが、簡単かな！？ |
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金光
3月31日（金） 7:58:17
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27064 |
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なか |
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点ＰをＢＣで折り返し
こういう図が見あたらなかったので描いているうちに、 #27046 uchinyan さんの記事などと同じと気づきました。 その説明図として載せておきます。 http://www3.sansu.org/tables/san0330_1025.gif |
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北国
3月31日（金） 7:58:59
MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page 27065 |
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uchinyan |
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#27065
図をありがとうございます。しかし、いろんな解法があるものですね。 |
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ネコの住む家
3月31日（金） 8:40:44
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27066 |
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uchinyan |
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#27064
＞「量り」は、天秤です。 これはよかった ^^; ＞昨日友人からは、わたしの方法は正解の返事が返ってきました。。。 うーん、そうですか。 でもなぁ、ごめんなさい、私の#27059の疑問はどうなるのでしょうか。 裁判官からすれば、11 > 1 = 2 = 10 かつ 8 > 9 = 3 = 4 などを排除できないと思いますよ。 どうも変な感じがするんですが．．． ＞皆さんの解法を送り、確認してみます。 はい、お願いします。できましたら、上記の疑問も聞いてみて下さい。 ＞凸6角形の各辺は1より長いとする。このとき、この ＞6角形は長さが2より長い対角線をかならずもつか否か？ 直感的には、もつ、と思いますが。 正六角形の場合には、中心を通るすべての対角線の長さが同じで辺の2倍だから、2 より長いですよね。 それ以外の凸六角形は、正六角形を辺の長さを短くせずに何らかの方向に引っ張って構成できるだろうから、 その方向の対角線が 2 より長くなると思います。 ちゃんと証明するのは、面倒かなぁ．．． |
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ネコの住む家
3月31日（金） 9:13:51
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27067 |
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吉川 マサル |
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#27052
>＞ちなみに私の想定していた解法はまだ書き込まれていません...。(^^;; >既に書き込まれたのでしょうか？ あ、その後にありました。#27060、#27054あたりの解法です。実際今回は、平行四辺形に正三角形をくっつけて、いろいろと図形をいじっていて、「ここをこう切り取ってこっちにくっつけて...」とかやってたんですが、そしたら出題中の問題が出来た、という感じでした。 |
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PowerBook G4
3月31日（金） 9:45:10
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 27068 |
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かっくん |
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#27052
uchinyan さんへ >うーむ、最初から正三角形を作りますか。 >それと、いきなり、何の説明もなく、 >∠PQA＝17.5° >は、ちょっと厳しいかも。何か説明が欲しいなぁ。 正三角形BPQをQがBPに対してAと同じ側にあるようにとります。 △ABQは∠ABQ＝25°（∵∠PBQ−∠PBA）、BA＝BQ の二等辺三角形なので ∠BQA＝77.5° ∴∠PQA＝∠BQA−∠BQP＝17.5°・・・�� ちょっと置いといて、 △PQCは∠CPQ＝145°、PQ＝PC の二等辺三角形なので ∠PQC＝17.5°・・・�� ここで、� ↓△茲� ∠PQA＝∠PQC＝17.5°となり 3点Q、A、Cは同一直線上にならぶことがわかる。 以上より∠BAC＝180−∠BAQ＝102.5° このような問題で『正三角形を作る』というのは自分の中で定石となっていたりします。 しかし、他の方々の書き込みを拝見させてもらってると、今回自分が作った正三角形はちょっと鮮やかさにかけるかなぁと・・・(^^ゞ 『角度が等しい→3点が同一直線上』という発想は小学生には厳しいかもですもんねぇ。 http://www.geocities.jp/afternoon_cocoa/0.html |
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お風呂
3月31日（金） 10:20:34
27070 |
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大岡 敏幸 |
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uchinyanさん。ご指摘ありがとうございます。そのとおりです（＾＾；
最近はきちんと書いているつもりが書いてないんですね。（老化現象か・・・） uchinyanさんや他の方たちの考察や解法を読んでいると面白いですね。その会話にはとても入れませんが、これからも色々な考察（で良いのかな？）楽しみにしています。私は凄いなーの一言で、理解するのにやっとって感じですから（＾＾； |
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3月31日（金） 10:29:58
MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 27071 |
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ハラギャーテイ |
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本日、めでたく63歳で定年になりました。
想像以上に私物がありました。3ヶ月間がんばって 整理をしました。 角度だけの条件を三角関数で解くのは面倒でした。でも いつもMATHEMATICAで解くので条件さえ間違わなければ 幾何は解けます。 |
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北九州
3月31日（金） 10:43:12
HomePage:信号処理に挑戦 27072 |
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スモークマン |
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#27067
uchinyanさんへ。 （凸６角形）わたしも同じように以下のように考えました・・・ 半径１の円周上には、すべての辺の長さ１の正６角形が作れるが、円の内部には、同点を取っても直径１の円同士は中心以外は重なるので、どちらの辺の長さも１以上には取れない（凸なら）。つまり、すべてが１より長い辺のものは、少なくとも１点はその円周上からはみ出ているので、その点と一番遠い点との対角線は、直径２よりも大きくなる！ #27072 ハラギャーティさん、お勤めご苦労様でした。団塊の世代ですよね？ 多くの優秀な方々が一気にリタイアされるので日本は大変になるのではっていわれてますね。定年が伸びるんじゃあないかと思ってますが。。。 第２の人生謳歌して下さいませ〜！ |
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金光
3月31日（金） 11:01:04
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27073 |
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ai |
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点Dが点Aの反対にくる平行四辺形ABCDを描く。
CD＝AB、よってCD＝CP ∠PCD ＝ ∠PCB + ∠BCD ∠PCBは二等辺三角形PBCから*(180ー155)/2 ＝ 12．5。 三角形ABCとDCBは合同なので、∠BCD＝∠CBA ＝12．5 + 35 ＝47．5。 つまり∠PCD ＝ 12.5 + 47.5 = 60. △PCDが正三角形だということがわかる。 そこからPD ＝ PC ＝ PB、△PBDは二等辺三角形。 ∠BPD ＝ ∠BPC ー ∠DPC ＝155 - 60 = 95. よって、∠BDP ＝ (180 - 95)/2 = 42.5. ∠PDC = 60 とあわせると∠D ＝ ∠PDC + ∠BDP ＝ 60 + 42.5 = 102.5. ABCDは平行四辺形なので∠A ＝ ∠D ＝ 102.5 |
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3月31日（金） 12:10:04
27074 |
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なか |
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#27073 スモークマンさん
>円周上からはみ出ているので、その点と一番遠い点との対角線は、直径２よりも大きくなる 円の外だからといって、一番遠い点から２を超えるといえるのでしょうか？ |
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3月31日（金） 12:27:40
MAIL:naka@sansu.org 27075 |
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スモークマン |
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#27075
なかさんへ。 なるほど。。。 もう少し考えてみます。。。(OrZ) |
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金光
3月31日（金） 12:35:11
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27076 |
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スモークマン |
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#27975 なかさんへ。
正６角形の対角線の長さは２なので、１辺がほんの少しだけ１より長くなれば、最低１個の点は円周外になりますよね。その点は、元の点より最初に対応していた対角線の相手側の点を中心とした半径２の円の外側だから、最低１本の対角線の長さは２より大きい！？ これでどうでしょ？ |
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金光
3月31日（金） 13:09:54
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27077 |
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uchinyan |
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#27070
かっくん さん、詳しい説明、ありがとうございます。 ＞『角度が等しい→3点が同一直線上』という発想は小学生には厳しいかもですもんねぇ。 確かに。でも、算チャレに挑戦するぐらいの小学生なら大丈夫でしょう。 #27071 ＞最近はきちんと書いているつもりが書いてないんですね。（老化現象か・・・） いえいえ、私もしょっちゅう訂正しています (^^; #27072 ＞本日、めでたく63歳で定年になりました。 ハラギャーテイさん、ご苦労様でした。私はまだまだ頑張らないと．．． 三角関数の解法#27053、ご参考まで。難しくなってしまいました。 #27074 BC で折り返し、の亜流ですね。 #27073、#27077など ごめんなさい、今は時間がないので感想だけ。 直感的には、私の#27067同様に正しそうに思います。ただ、何かスッキリしないんですよねぇ．．． |
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ネコの住む家
3月31日（金） 16:18:15
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27078 |
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なか |
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#27077 スモークマンさん
半径１の円の外側で、向かいを中心とする半径２の円の内側、という領域が存在するので、 半径１の円の外側というだけでは、半径２の円の内か外かが決まらないと思います。 もう少し条件がいるのではないでしょうか。 |
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3月31日（金） 17:53:59
MAIL:naka@sansu.org 27079 |
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スモークマン |
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#27079 なかさんへ。
凸の６角形だから、半径１の円の外側でかつ半径２の円の外側になると思いますが・・・？どうなんだろ？ |
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金光＠岡山
3月31日（金） 18:44:49
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27080 |
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なか |
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六角形問題
心配していたのは、点Ａが下の図の黄色部に移動する場合でした。 http://www3.sansu.org/tables/hexa00.gif ところで元の問題に戻って、 >凸6角形の各辺は1より長いとする。このとき、この >6角形は長さが2より長い対角線をかならずもつか否か？ 答は「否」でしょう。 たとえば、ルーローの三角形に内接する下図のような６角形です。 http://www3.sansu.org/tables/hexa10.gif |
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北国
3月31日（金） 23:01:35
MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page 27081 |
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スモークマン |
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#27081 なかさんへ。
A は黄色の部分にはこれないと思うのですが・・・ A の両隣の点を中心に半径１の円を描くと、どちらかの点からは１以下の距離になるので・・・（図を描いて示す技を持ってないのでもどかしい：OrZ） でも、ルーローの三角形に内接する６角形を示されると、、、参りました。 ありがとうございました！！ |
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金光
4月1日（土） 8:26:20
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27082 |
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uchinyan |
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スモークマンさん、なかさん、凸六角形の問題ですが、反例が作れそうです！
．．． と書き出したら、既に、なかさんが#27081で示されていましたね。先を越されたか．．． 「ルーローの三角形」というのは知りませんが、これは何？、論理的に詰めきれないので、ひょっとして？、と思いました。 (ごめんなさい。以降、少し冗長というか、ムダがありました。修正しました。) (さらに、結論は変わりませんが、誤りがありました。訂正します。) 正六角形を引っ張るのではなく頂点を押し込む、というか、正三角形の各辺を引っ張る、というか、 そうしてできる、辺の長さがすべて a、対角線の長さがすべて b の六角形を考えてみました。 [ここに誤りがありました。対角線の長さがすべて b、が間違いです。] 作成する六角形の辺の長さはすべて a とします。 さらに、より分かりやすそうな、正三角形の各辺の中点 M を引っ張っぱる構成法で考えます。 ただし、引っ張るのは、正六角形にならない範囲とします。 元の正三角形の一辺の長さを b、 M を引っ張ってできる点と中心に関して反対側にある正三角形の頂点とを結んだ対角線の長さを c、 M を引っ張ってできる点同士を結んだ対角線の長さを d とします。対角線はこの三種類ですべてです。 すると、正六角形にはならない範囲で考えているので、d < b です。 また、余弦定理を使った計算で、 a^2 = b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos(30) = b^2 + c^2 - sqrt(3) * b * c がいえます。そこで、b >= c (> sqrt(3)/2 * b、これは引っ張るからで、凸六角形に対応します。) を考えれば、 b が最長の対角線になるので、b と a とで考えればいいことになります。 ここで、簡単なために、c = b としてみます。すると、 a^2 = b^2 + b^2 - sqrt(3) * 2 * b * b = (2 - sqrt(3)) * b^2 がいえます。a, b > 0 で解くと、 a = sqrt(2 - sqrt(3)) * b b = sqrt(2 + sqrt(3)) * a = (sqrt(6) + sqrt(2))/2 * a = 1.93185... * a になります。これは、a > 1, 0 < b <= 2 で解があります。 つまり、これが反例になります。 [ここまでが訂正です。] なかさんの実例は、私の例で、a = 1.02 の場合のようです。 何故、こんなのを考えたかを少し追記しておきましょう。 私の最初の直感の#27067では、正六角形の頂点を引っ張ることだけを考えていました。 これは、押し込む場合は、どこかがその分だけ押し出されて、引っ張る場合と等価になるような気がしたからです。 しかしこれは、辺の長さが不変ならば正しそうですが、 今の場合、辺の長さが 1 より大の範囲で短くなっても構わないので、全くのウソでした。 そこで、押し込む場合を再考していて、待てよ、となったわけです。 対角線を b = c にしてみたのは、取り敢えず簡単な場合を考えて、少しずつ変形して行こうと思ったわけです。 しかし、これで反例が見つかったのは、運がよかったというか、全くの偶然でした (^^; |
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ネコの住む家
4月2日（日） 23:21:21
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27083 |
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スモークマン |
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#27083 uchinyanさんへ。
いつもどうもです！ >辺の長さがすべて a、対角線の長さがすべて b の六角形を考えてみました。 これって、正６角形では？ わたしがいつもピンとこなくってすみません。(^^;) |
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金光
4月1日（土） 10:11:31
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27084 |
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なか |
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#27063 uchinyan さん
b/a = sqrt(2 + sqrt(3)) = (sqrt(6)+sqrt(2))/2 = 2cos(π/12) 私の図は確かにこれです。 b/a が最大となるのがこの形と思われます。 >ルーローの三角形 至るところ幅が等しいのに円でないことで有名な図形ですね。 マツダのロータリーエンジンにも使われました。 #27064 スモークマンさん ＞これって、正６角形では？ 「辺の長さがすべて a、対角線の長さがすべて b の六角形」 これこそ私が示した図 http://www3.sansu.org/tables/hexa10.gif です。 |
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北国
4月1日（土） 10:44:18
MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page 27085 |
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いちたすには |
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やっと出来ました。長さで考えました。
ＡＰの延長とＢＣの交点をＤ、ＢからＡＰに下した垂線の足をＥ、ＰからＢＣに下した垂線の足をＦとする。∠ＥＢＤ＝３０°、∠ＥＤＢ＝６０°となる。 ＢＦ＝a、ＦＤ＝b、ＥＰ＝c とおくと、ＰＤ＝２ＦＤ＝2bだからＥＤ＝2b+c ＢＤ＝２ＥＤだから a+b=2(2b+c)→a=3b+2c ＡＤ＝2(b+c) ＤＣ＝a-b=3b+2c-b=2(b+c) 従ってＡＤ＝ＤＣ ∠ＡＤＣ＝１２０°だから∠ＤＡＣ＝３０° |
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4月1日（土） 10:34:55
27086 |
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uchinyan |
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(この議論は、スモークマンさんのご指摘で、あまり意味がなくなってしまいました。#27092, #27094, #27083辺りをご覧ください。)
#27084 ＞これって、正６角形では？ えと、なかさんもコメントなされていますが、正六角形ではありません。 正六角形は、その中心に対して対称な二つの頂点を結んだ対角線と、一つ置きの頂点を結んだ対角線とで、長さが違います。 前者は、一辺の二倍、後者は一辺の√3倍、ですよね。 |
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ネコの住む家
4月2日（日） 11:21:35
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27087 |
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uchinyan |
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#27085
なかさん、ご説明ありがとうございます。 ＞b/a = sqrt(2 + sqrt(3)) = (sqrt(6)+sqrt(2))/2 = 2cos(π/12) ＞私の図は確かにこれです。 はい。ご確認、ありがとうございます。 ＞b/a が最大となるのがこの形と思われます。 えーと、ちょっとよく分からないのですが、「辺の長さがすべて a、対角線の長さがすべて b の六角形」では、 b/a は確定してしまうのではないのでしょうか？ 「最大」というのがよく分からないのですが．．． ＞>ルーローの三角形 ＞至るところ幅が等しいのに円でないことで有名な図形ですね。 ＞マツダのロータリーエンジンにも使われました。 あー、ひょっとして、外側の丸みを帯びた三つの弧で囲まれた図形のことですか。これを「三角形」といっているのか。 「ロータリーエンジン」で、分かりました (^^; でも、反例をすぐに見つけられてしまうのには、いつものことですが、脱帽です。 |
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ネコの住む家
4月1日（土） 11:48:45
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27088 |
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スモークマン |
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#27085,#27087
なかさん、uchinyanさんへ。 う〜ん、なるほど！ こんな６角形が存在するんだ。。。 自分の頭が堅いってことがよく分かりました。(^^;) |
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金光
4月1日（土） 13:10:41
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27089 |
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uchinyan |
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#27086
なるほど、30度、60度をうまく使った新たな解法ですね。 なお、最後の辺りは、#27055に少し近いかな。 |
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ネコの住む家
4月1日（土） 13:26:19
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27090 |
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なか |
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#27088
>>b/a が最大となるのがこの形と思われます。 まず、最大でなく最小の間違いでした。ごめんなさい。そして、いいたかったのは、 b/a < 2 となる６角形は無数に存在しますが、それらのなかでも、 b/a が最小となるのは、「辺の長さがすべて a、対角線の長さがすべて b」 となる場合と思われます。 |
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北国
4月1日（土） 14:46:43
MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page 27091 |
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スモークマン |
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#27091
なかさん、uchinyanさんへ。確認まで。 ルーローの６角形も、よく見たらすべての対角線は同じ長さじゃないですよね？ 正三角形の各辺を引っ張っていくというイメージでなんとなくわかってきました。 とにもかくにもこんな形のものを発見されるとは、素晴らし〜！！ |
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金光＠岡山
4月1日（土） 20:04:46
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27092 |
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なか |
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#27092 スモークマンさん
おっしゃるとおりでした。 ６辺がすべて１のとき、対角線９本の長さは、 ６本が、(sqrt(6)+sqrt(2))/2 ３本が、sqrt(2) となります。 |
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大阪 mobile
4月2日（日） 3:07:38
MAIL:naka@sansu.org HomePage:なか 27093 |
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uchinyan |
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#27092, #27093
あ、ホントだ．．．正三角形の辺を引っ張ってできる点同士を結んだ対角線の長さが違う．．． でも、構成法からして、これは、元の正三角形の一辺よりも短いから、他の対角線よりも短いですね。 危ない危ない．．．反例は大丈夫 (^^; スモークマンさん、ご指摘ありがとうございます。 後で、関連記事を訂正しておきます。 |
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ネコの住む家
4月2日（日） 8:26:23
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27094 |
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スモークマン |
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ルーローの奇数角形は、「"差し渡し幅"をrとすると、ルーローのｎ角形の周の長さはｎによらずπrになる」とのことです。が、、、
各頂点とその対辺のなす角の合計は、n角形の内角の和ー180°*n＋n角形の内角の和＝360°*(n-2)-180°*n＝180°*nー720 ですよね？ だから、n=5 のときは、180°になるけど、それ以上はどうなんでしょう・・？ nが無限になったら360°になりそうだし・・・？ どっかおかしいかな？？ |
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金光
4月2日（日） 12:27:48
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27095 |
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ER部長 |
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単純に考えました(^^;
http://www.geocities.jp/taki_math/kaihou.html |
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4月2日（日） 14:32:04
27096 |
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fumio |
| こんばんは。 |
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4月3日（月） 0:43:48
27097 |
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uchinyan |
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#27095
おっしゃりたいことが今一つ分からないのですが．．． 私は、ルーローの○○は、今回初めて知ったので誤解しているかもしれませんが．．． ルーローのｎ角形は、正ｎ角形をもとに、その各頂点に向かい合う正ｎ角形の辺の端の点と、先ほどの頂点との距離を半径にし、 その頂点を中心にして円を描いて作るようです。 これは、ｎが奇数ならば可能です。 したがって、「各頂点とその対辺のなす角の合計」というのは、元の正ｎ角形の外接円を考えて、それに関する、円周角と中心角との関係から、 常に、360 * 1/2 = 180度、弧度法では π、になるのでは？ そこで、周の長さは、常に、πr だと思います。 はずしていたらごめんなさい。 |
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ネコの住む家
4月3日（月） 9:11:35
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27098 |
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スモークマン |
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#27098 uchinyan さんへ。
ほんとだ。。。ありがとうございました。(^^;) 星形の外側の角の合計を一所懸命ややこしく求めてました。。。 |
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金光
4月3日（月） 10:40:08
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27099 |