吉川　マサル

う〜ん、さすがに知ってる人も多い...でしょうか。（ネタ元は、知ってる人は知ってるでしょう..）

PowerBook G4　　 8月31日（木） 0:07:07　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28162

きょろ文

3×7に数字を並べるとして 縦横ともに割ったあまりが等しいように並べるので 縦：3! 横：7! 計30240

√2の隣　　 8月31日（木） 0:07:49　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　28163

小杉原 啓

久しぶりの参加です。 ３つ飛び、７つ飛びに余りが同じという法則性があるので３行７列に並べることを考えました。

8月31日（木） 0:08:42　　 　　28164

＜Melvy＞

考え方は合っていた (整理すると，#28163 きょろ文さんのやり方に行きつきました) のに計算間違い (汗)． 見直してみると，ここ 5 回は誤答なしで通っていたのに，今回は 2 つも誤答を送ってしまいました．

8月31日（木） 0:14:46　　 HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記　　28165

ちゃーみー

問題を理解するとほぼ同時に解けたのですが，妙に不安になって 何度も問題文を読み直してしまいました。 元ネタ…何だろう？ 要するに中国剰余定理ですね。 ちなみに，類題の経験としては，2000 年の JMO 予選 12 番があります。 http://www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/jmo10yq.htm

自宅　　 8月31日（木） 0:17:23　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　28166

吉川マサル

#28166 　あ、それです...。＞元ネタ 　2000年に出題されたときに、「いい問題だな〜」と感じたですが、「さすがにすぐに算チャレには出せないだろう」と思って「しばらくしたらネタにしよう」と思っていたんです。もう６年も経過したしいいかな、と。:-)

Intel iMac(20)　　 8月31日（木） 0:28:02　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　28168

ちなみに

#28166 答えは2!*3!*5!ですか？

8月31日（木） 0:29:41　　 　　28169

ちゃーみー

なんだ，これが元ネタだったのか…。問題を読んだとき， 「あれ？ この解釈でよければ JMO 予選と同じ問題だよなぁ…」 と思って読み直してしまったのです (笑)。 (注) 当時受験者です。これで年齢がある程度ばれますね。 #28169 はい。そうですよー。

自宅　　 8月31日（木） 0:39:16　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　28170

万打無

3人先との差が3の倍数になるので、出席番号を3で割ったときの余りで ABCの3グループに分けると列の並び方は ABCABCABCABCABCABCABC になる。 任意の数字において差が7になる数字はどの出席番号でも2つしかない。 （例えば1の場合は8と15) また、これらの数字は3で割ったときの余りが互いに異なる。 出席番号を3で割ったときの余りでABCの3グループに分けた列の並びで Aの7人先はBになり、Bの7人先はCになり、Cの7人先はAになる。 ゆえに、ある箇所の数字を決めるとその7人先もしくは7人前の数字も 自動的に決まることになる。 つまり最初の7人の出席番号が決まるとその先の番号も自動的に決まることになる。 最初の7人 ABCABCA においてABCのそれぞれ3で割ったときの余りの組み合わせは3*2=6通り。 最初のAは7通りあり、その3人後のAは6通りあり、さらに3人後のAは5通りある。 最初の7人のAが決まると最初の7人以降のBに当てはまる数字が決まるので、 最初から2番目のBはその分を除いた7-3=4通りあり、その3人後のBは3通りある。 最初の7人のAおよびBが決まると最初の7人以降のCに当てはまる数字が決まるので、 最初から3番目のCはその分を除いた7-5=2通りあり、その3人後のCは1通りある。 よってすべての組み合わせは 6*7*6*5*4*3*2*1=30240通りあることになる。

8月31日（木） 1:17:16　　 　　28171

y.kobayashi

列を○△□○△□○△□○△□○△□○△□○△□とする。（1,4,7,10,13,16,19)→A　（3,6,9,12,15,18,21)→B　(2,5,8,11,14,17,20)→C　とするとABCはそれぞれ並びを変えて同じ形の所に入る。○にAが、△にBが、□にCが入る場合を考えると特定のAに対して、△と□に入る数字は一通りしかない。よってこの場合の列は7！通り。○△□とABCの対応数は3!で他の場合も同様に7!通リなので7!×3!＝30240　　であってるかどうか…

8月31日（木） 8:08:54　　 　　28172

uchinyan

(少し追加修正しました。) はい、おはようございます。さて、今回の問題は．．． うーむ、私には難しかった。 最初、題意は分かったものの、条件がピンとこなくて30分ほど試行錯誤していました。 そうして、「なるほど」と思った解法が．．． (解法1) 1番目、2番目、3番目、以下これの繰り返し、と、3 で割った余りが異なるもの、具体的には、 3 で割って 1 余るグループ：1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 の一つ 3 で割って 2 余るグループ：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 の一つ 3 で割って 0 余るグループ：3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 の一つ が入ります。 1番目、2番目、3番目、4番目、5番目、6番目、7番目、以下これの繰り返し、と、7 で割った余りが異なるもの、具体的には、 7 で割って 1 余るグループ：1, 8, 15 の一つ 7 で割って 2 余るグループ：2, 9, 16 の一つ 7 で割って 3 余るグループ：3, 10, 17 の一つ 7 で割って 4 余るグループ：4, 11, 18 の一つ 7 で割って 5 余るグループ：5, 12, 19 の一つ 7 で割って 6 余るグループ：6, 13, 20 の一つ 7 で割って 0 余るグループ：7, 14, 21 の一つ が入ります。 ここで、3 と 7 は互いに素なので、 3 で割った余りの各グループのそれぞれの数が 7 で割った余りの異なるグループに属していること、 7 で割った余りの各グループのそれぞれの数が 3 で割った余りの異なるグループに属していること、 に注意します。＜−−−−−（＊） さて、まず、1番目は 21 通り、8番目は 2 通り、15番目は残りの 1 通り、になります。 2番目は、8番目と 3 で割った余りが同じになるので、7 - 1 = 6 通り。 さらに、9番目は、1番目とも2番目とも 3 で割った余りが異なるので、3 - 2 = 1 通りで、16番目は残りの 1 通りです。 3番目は、9番目と 3 で割った余りが同じになりますが、15番目と9番目で使った数を除くので 7 - 2 = 5 通り。 10番目は、1番目と 3 で割った余りが同じになるので 1 通り、17番目は残りの 1 通り。 4番目は、1番目と 3 で割った余りが同じになりますが、1番目、16番目、10番目のものを除くので 7 - 3 = 4 通り。 11番目は、2番目と 3 で割った余りが同じになるので 1 通り、18番目は残りの 1 通り。 ．．． 以下同様にやっていくと、 (21 * 2 * 1) * (6 * 1 * 1) * (5 * 1 * 1) * (4 * 1 * 1) * (3 * 1 * 1) * (2 * 1 * 1) * (1 * 1 * 1) = 30240 通り これを見直していて、「あ、そうか！」と思ったのが．．． (解法2) 一列に並んでいるのを三つずつ区切って、横に 3 個、縦に 7 個と長方形状に並べることにします。 こうしても、元に戻せるので、一対一の対応になっています。 さて、(解法1)の状況を見直すと、縦に 3 で割った余りのグループを、横に 7 で割った余りのグループを並べれば、 （＊）の条件のために、一番左の列の七つの(行方向の)欄に 7 で割った余りのグループの中の一つを与えると、 第2列目、第3列目は、3 で割った余りのグループの与え方によって一意に決まります。 そこで、非常に単純に、 どの列に 3 で割った余りのグループを対応させるかで 3! 通り 一番左の列のどの行に 7 で割った余りのグループを対応させるかで 7! 通り で、結局、 3! * 7! = 30240 通り でいいことになります。 ごめんなさい、時間がないので分かりにくいと思いますが、取り急ぎ。 −＞ 少し時間が取れたので、一応、一部の間違いを修正し、少し補いました。

ネコの住む家　　 8月31日（木） 18:43:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28173

25no12

１〜２１で、７で割ったあまりが同じ数はそれぞれ３つ、その３つを３で割ったあまりは０、１、２の３通りになる（背理法で、３で割って同じ数があるとすると、その２つの数の差が２１の倍数になって１〜２１の範囲におさまりきらない）。 １〜７番目の人がそれぞれ７で割っていくつ余るかが７！通り。これが決まると、他の人たちが７で割っていくつ余るかが一意的に決まる。 次に７で割って同じあまりになる３人が前７人、中７人、後７人のどこに入るのかを決める。どれか一組（例えば１、８、１５番目）の３人がそれぞれ３で割っていくつ余るかが３！＝６通り、これが決まると、他の人たちが３で割っていくつ余るかが一意的に決まる（１番目が決まると４、７、・・・１９番目が決まる、他も同様）。 以上合計して、７！×３！＝３０２４０通りってことですね。 背理法の部分は小学校の範囲を超えるような気がしますが、たかだか２１個の数字なので実際に書き出してもいいですね。 uchinyanさんの解法２はエレガントですね。

8月31日（木） 14:12:54　　 　　28174

uchinyan

今日もいろいろ忙しく、やっと、掲示板を読めました。 #28166 ＞元ネタ…何だろう？ 要するに中国剰余定理ですね。 ふーむ、そうなんだ．．．こんな感じかな？ 題意を満たす並びを a(n), n = 1, 2, ..., 21 とすると、 a(1), a(2), ..., a(21) は、1, 2, ..., 21 の並べ替えで、 a(n+3) ≡ a(n) (mod 3) a(n+7) ≡ a(n) (mod 7) a(21) ≡ a(18) ≡ a(15) ≡ a(12) ≡ a(9) ≡ a(6) ≡ a(3) (mod 3) a(20) ≡ a(17) ≡ a(14) ≡ a(11) ≡ a(8) ≡ a(5) ≡ a(2) (mod 3) a(19) ≡ a(16) ≡ a(13) ≡ a(10) ≡ a(7) ≡ a(4) ≡ a(1) (mod 3) a(21) ≡ a(14) ≡ a(7) (mod 7) a(20) ≡ a(13) ≡ a(6) (mod 7) a(19) ≡ a(12) ≡ a(5) (mod 7) a(18) ≡ a(11) ≡ a(4) (mod 7) a(17) ≡ a(10) ≡ a(3) (mod 7) a(16) ≡ a(9) ≡ a(2) (mod 7) a(15) ≡ a(8) ≡ a(1) (mod 7) と書けます。 これを見ると明らかですが、mod 3 で合同なものは、mod 7 では合同になっていません。逆もいえます。 つまり、a(n) は、mod 3, mod 7 で同じになることはありません。 そこで、中国剰余定理より、これらは、mod 21 で一意に決定します。 よって、今、a(n) は 1 〜 21 なので、mod 3 での 0 〜 2 を、mod 7 での 0 〜 6 をそれぞれの式に与えれば、 a(n) は、その与え方に対して一意に完全に決定することになります。 したがって、a(n) の取り得る場合の数は、0 〜 2 の与え方 3! 通り と 0 〜 6 の与え方の 7! 通り から、 3! * 7! = 30240 通り になります。 #28162 #28166 ＞ちなみに，類題の経験としては，2000 年の JMO 予選 12 番があります。 #26168 ＞あ、それです...。＞元ネタ 数オリがらみですか。道理で、私には難しいはずだ．．． (^^; #28169, #28170 確かに、上記と同様に考えることができて、2! * 3! * 5! 通り ですね。 #28163, #28164, #28165 縦横が反対ですが、私の#28173の(解法2)と同じだと思います。 #28171 細かい部分は違うようですが、基本的には、私の#28173の(解法1)と同じ考え方だと思います。 #28172 基本的には、私の#28173と同じだろうと思います。 そして、見かけは(解法1)っぽいですが、実質は、(解法2)に近い気がします。 #28174 表現は違いますが、考え方の基本は、私の#28173の(解法2)と同じだと思います。 結局、見た目は幾つかの解法がありますが、根っこは同じで、その意味では大差ないようですね。

ネコの住む家　　 9月1日（金） 9:09:43　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28175

uchinyan

マサルさんへ： 今、気付いたのですが、問題のところ ＞第５１５回問題（ 8月31日〜 9月30日） う〜ん、一ヶ月も出題はお休みですか？ ^^; 問題の下 ＞次回の問題は　８月３１日（木）午前０時公開となります。 うーむ、矛盾だ．．．(^^; あ、ごめんなさい。矛盾はしていません！ 次に、８月３１日が木曜日になるのは、２０１７年だから、 ・第５１５回問題の出題期間は、(多分、２００６年の)８月３１日〜 ９月３０日 ・次回の出題は、２０１７年８月３１日（木）午前０時 ということでしょうか．．．なぁ〜んちゃって (^^; #28177 ＞そういえば次回予告は以前から 1 回分ずれているんですよね． そうだったんだ。気が付きませんでした。

ネコの住む家　　 9月1日（金） 10:45:40　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28176

＜Melvy＞

#28176 問題欄は気づいていませんでしたが，そういえば次回予告は以前から 1 回分ずれているんですよね． 指摘せずに (するのを忘れて？) いましたが．

9月1日（金） 1:38:22　　 HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記　　28177

吉川　マサル

#28176,28177（uchinyanさん、<Melvy>さん） 　ご指摘、ありがとうございましたー。ようやく訂正いたしました。m(__)m >う〜ん、一ヶ月も出題はお休みですか？ ^^; 　お休み....なら大分ラクでしょうけれど、一度休むと二度と始められない気がするので、続けてます..。(^^;

PowerBook G4　　 9月1日（金） 12:33:34　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28178

JUN

６倍するのを忘れてました

Sapporo　　 9月1日（金） 23:12:45　　 MAIL:jmrtk800@ybb.ne.jp 　　28179

トトロ＠Ｎ

皆さんと同じで３！×７！ですね。 水曜は翌朝が早かったので１１時ごろに寝てしまいました。 木曜日は早朝に出かけて昨夜遅く帰ったのでこんなに遅れての参加になりました。

兵庫県明石市　　 9月2日（土） 1:14:50　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　28180

水無灯里15歳

初めての投降です。 １２３４５６７ ８９1011121314 15161718192021 こう並べれば各列は差が７で割れて、かつ３で割ると余りがどれも一致しない組み合わせで、１から４、７、10・・・と２つ飛びで進めていくと各行にに一回づつ止まるから、３！＊７！ で

9月3日（日） 12:48:55　　 　　28181

水無灯里15歳

ずれたorz

9月3日（日） 12:53:25　　 　　28184

ゴンとも

プログラミング(十進basic)で for a=1 to 21 for b=1 to 21 if b=a then goto 290 for c=1 to 21 if ((c=a) or (c=b)) then goto 280 for d=1 to 21 if (0<>mod(d-a,3) or (d=a) or (d=b) or (d=c)) then goto 270 for e=1 to 21 if (0<>mod(e-b,3) or (e=a) or (e=b) or (e=c) or (e=d)) then goto 260 for f=1 to 21 if (0<>mod(f-c,3) or (f=a) or (f=b) or (f=c) or (f=d) or (f=e)) then goto 250 for g=1 to 21 if (0<>mod(g-d,3) or (g=a) or (g=b) or (g=c) or (g=d) or (g=e) or (g=f)) then goto 240 for h=1 to 21 if (0<>mod(h-e,3) or 0<>mod(h-a,7) or (h=a) or (h=b) or (h=c) or (h=d) or (h=e) or (h=f) or (h=g)) then goto 230 for i=1 to 21 if (0<>mod(i-f,3) or 0<>mod(i-b,7) or (i=a) or (i=b) or (i=c) or (i=d) or (i=e) or (i=f) or (i=g) or (i=h)) then goto 220 for j=1 to 21 if (0<>mod(j-g,3) or 0<>mod(j-c,7) or (j=a) or (j=b) or (j=c) or (j=d) or (j=e) or (j=f) or (j=g) or (j=h) or (j=i)) then goto 210 for k=1 to 21 if (0<>mod(k-h,3) or 0<>mod(k-d,7) or (k=a) or (k=b) or (k=c) or (k=d) or (k=e) or (k=f) or (k=g) or (k=h) or (k=i) or (k=j)) then goto 200 for l=1 to 21 if (0<>mod(l-i,3) or 0<>mod(l-e,7) or (l=a) or (l=b) or (l=c) or (l=d) or (l=e) or (l=f) or (l=g) or (l=h) or (l=i) or (l=j) or (l=k)) then goto 190 for m=1 to 21 if (0<>mod(m-j,3) or 0<>mod(m-f,7) or (m=a) or (m=b) or (m=c) or (m=d) or (m=e) or (m=f) or (m=g) or (m=h) or (m=i) or (m=j) or (m=k) or (m=l)) then goto 180 for n=1 to 21 if (0<>mod(n-k,3) or 0<>mod(n-g,7) or (n=a) or (n=b) or (n=c) or (n=d) or (n=e) or (n=f) or (n=g) or (n=h) or (n=i) or (n=j) or (n=k) or (n=l) or (n=m)) then goto 170 for o=1 to 21 if (0<>mod(o-l,3) or 0<>mod(o-h,7) or (o=a) or (o=b) or (o=c) or (o=d) or (o=e) or (o=f) or (o=g) or (o=h) or (o=i) or (o=j) or (o=k) or (o=l) or (o=m) or (o=n)) then goto 160 for p=1 to 21 if (0<>mod(p-m,3) or 0<>mod(p-i,7) or (p=a) or (p=b) or (p=c) or (p=d) or (p=e) or (p=f) or (p=g) or (p=h) or (p=i) or (p=j) or (p=k) or (p=l) or (p=m) or (p=n) or (p=o)) then goto 150 for q=1 to 21 if (0<>mod(q-n,3) or 0<>mod(q-j,7) or (q=a) or (q=b) or (q=c) or (q=d) or (q=e) or (q=f) or (q=g) or (q=h) or (q=i) or (q=j) or (q=k) or (q=l) or (q=m) or (q=n) or (q=o) or (q=p)) then goto 140 for r=1 to 21 if (0<>mod(r-o,3) or 0<>mod(r-k,7) or (r=a) or (r=b) or (r=c) or (r=d) or (r=e) or (r=f) or (r=g) or (r=h) or (r=i) or (r=j) or (r=k) or (r=l) or (r=m) or (r=n) or (r=o) or (r=p) or (r=q)) then goto 130 for s=1 to 21 if (0<>mod(s-p,3) or 0<>mod(s-l,7) or (s=a) or (s=b) or (s=c) or (s=d) or (s=e) or (s=f) or (s=g) or (s=h) or (s=i) or (s=j) or (s=k) or (s=l) or (s=m) or (s=n) or (s=o) or (s=p) or (s=q) or (s=r)) then goto 120 for t=1 to 21 if (0<>mod(t-q,3) or 0<>mod(t-m,7) or (t=a) or (t=b) or (t=c) or (t=d) or (t=e) or (t=f) or (t=g) or (t=h) or (t=i) or (t=j) or (t=k) or (t=l) or (t=m) or (t=n) or (t=o) or (t=p) or (t=q) or (t=r) or (t=s)) then goto 110 for u=1 to 21 if (0<>mod(u-r,3) or 0<>mod(u-n,7) or (u=a) or (u=b) or (u=c) or (u=d) or (u=e) or (u=f) or (u=g) or (u=h) or (u=i) or (u=j) or (u=k) or (u=l) or (u=m) or (u=n) or (u=o) or (u=p) or (u=q) or (u=r) or (t=s) or (u=t)) then goto 100 print a;b;c;d;e;f;g;h;i;j;k;l;m;n;o;p;q;r;s;t;u 100 next u 110 next t 120 next s 130 next r 140 next q 150 next p 160 next o 170 next n 180 next m 190 next l 200 next k 210 next j 220 next i 230 next h 240 next g 250 next f 260 next e 270 next d 280 next c 290 next b 300 next a END 初日プログラミングに失敗するも今日は 一発でこの正解掲示板に入れました。

豊川市　　 9月6日（水） 15:55:03　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　28185

fumio

ぎりぎりに入れました。ははは。しんどかった。

9月6日（水） 16:51:47　　 　　28186